Расширение понятия числа

Расширение
понятия
числа
I. Множество натуральных чисел – это множество чисел, которыми пользуются при счете предметов.
N  1,2,3, 4,... .
Всякому натуральному числу соответствует точка на числовой прямой.
Задание: Назовите самое маленькое натуральное число. Существует ли самое большое натуральное
число?
II. Множество целых чисел – это множество, состоящее из натуральных чисел, им противоположных
чисел и нуля.
Z  ...  4,3,2,1,0,1,2,3, 4,... .
Всякому целому числу соответствует точка на числовой прямой.
Задания:
1.
Существуют ли самое маленькое и самое большое целое число?
2.
Верно ли утверждение:
a. любое натуральное число является целым;
b. любое целое число является натуральным?
III. Множество рациональных чисел – это множество несократимых дробей вида
m
, где m  целое число, n  натуральное число.
n
m
Q   m  Z , n  N .
n
Всякому рациональному числу соответствует точка на числовой прямой.
Свойство рациональных чисел: Всякое рациональное число можно представить в виде бесконечной
периодической десятичной дроби.
Обратно: всякая бесконечная периодическая десятичная дробь является рациональным числом.
Правило перевода периодических дробей в обыкновенные:
Чисто периодические дроби
Чистая периодическая дробь равна
обыкновенной дроби, в числителе которой
записан период, а в знаменателе – столько
девяток, сколько цифр периоде.
4
Пример: 8, (4)  8 .
9
Смешанные периодические дроби
Смешанная периодическая дробь равна обыкновенной
дроби, в числителе которой записана разность между
числом до второго периода и числом до первого
периода, а в знаменателе – число, составленное из
стольких девяток, сколько цифр в периоде и стольких
нулей, сколько цифр между запятой и периодом.
Пример: 8,3(27)  8
327  3
324
18
8
8 .
990
990
55
Задания:
1
1
Докажите, что числа  ; 0,6;  2 ; 1,4;  5 являются рациональными и отметьте эти числа
2
3
на числовой прямой.
2.
Верно ли утверждение:
а) всякое натуральное число является рациональным;
2
1.
б) всякое целое число является рациональным;
в) верно ли утверждение: Всякое рациональное число является целым?
2
7
; 5
3.
Представьте рациональные числа 1,7;  3;
в виде бесконечных периодических
3
11
десятичных дробей.
4.
Переведите периодические дроби 0, (3); 2, (7); 3, (04); 1,31(2); 10,183(15) в обыкновенные.
Проверьте результат перевода.
IV. Множество иррациональных чисел – это множество чисел, которые нельзя представить в виде
m
несократимых дробей , где m  целое число, n  натуральное число.
n
m

I   m  Z, n  N  .
n

Всякому иррациональному числу соответствует точка на числовой прямой.
Свойство иррациональных чисел: Всякое иррациональное число представимо в виде бесконечной
десятичной непериодической дроби.
Пример: π ≈ 3,1415926535897932384626433832795…;
3  1,732050807568880 …
Задание: Докажите, что числа
2,
5,
7 являются иррациональными.
3
V. Множество действительных (вещественных) чисел – это объединение множеств рациональных и
иррациональных чисел.
R QI .
Каждому действительному числу соответствует точка на числовой прямой.
Обратно: каждой точке на числовой прямой соответствует определенное действительное число.
Следовательно, между множеством действительных чисел и множеством точек на числовой прямой
существует взаимно-однозначное соответствие.
Задания:
1.
Верно ли утверждение:
а) всякое целое число является действительным;
б) всякое рациональное число является вещественным;
в) всякое иррациональное число является вещественным;
г) всякое действительное число является рациональным;
д) всякое вещественное число является целым?
1
2.
Даны числа: 2; ;  0,4; 7 ;  8; 12,35;  ; 2,3(6); 0; 9, (81); 0,121121112... .
3
Выпишите: а) натуральные числа; б) целые числа; в) рациональные числа; г) иррациональные числа.
4
Модуль числа – это само число, если оно неотрицательно, и число, ему противоположное, если оно
отрицательно.
 x, если
x 
 x, если
x  0,
x  0.
Примеры: 2  2;  2  2; 0  0 .
С геометрической точки зрения модуль числа – это расстояние от этого числа до начала отсчета.
Вывод: модуль числа отрицательным быть не может!
Задания:
1.
Решите уравнения:
а) x  7 ;
2.
Решите неравенства:
а) x  7 ;
б) x  4  17 ;
б) x  5 ;
в) 2 x  5  6 ;
в)
х2  6;
г)
2  9x  0 ;
г)
х  1  0,5 .
д)
x  6  9 .
3.
Найдите расстояние между
точками:
а) A(3) и B(2) ;
б) C(5) и D(12) .
5
Приближенные вычисления
Приближенное число есть такое число, которое отличается от точного на погрешность (ошибку),
допущенную в соответствии с условиями данной задачи, и заменяет точное число в расчетной
формуле.
Обозначим буквой a0 точное число, а буквой a его приближенное значение, тогда a0 ≈ a.
Абсолютная погрешность приближенного значения числа – это модуль разности между точным и
приближенным значением этого числа, т.е.   a0  a .
Так как точное число чаще всего неизвестно, то можно указать положительное число ∆а,
удовлетворяющее неравенству a0  a  a или a  a  a0  a  a . Число ∆а называется границей
абсолютной погрешности.
Задание:
1.
Записать числа в виде двойного неравенства:
а) а = 347,50; ∆а = 0,0047;
б) а0 = 7,269 ± 0,0004.
2.
Докажите, что число 1,7 является приближенным значением числа 1, 739 с точностью до 0,05.
3.
Точное значение числа х неизвестно, а известно лишь, что
0,68 < х< 0,72. Найдите точность приближения h.
4. Вычислите приближенное значение величины х, равное среднему арифметическому границ, и
укажите точность этого приближения, если: а) 3,6 ≤ х ≤ 4,2;
б) 0,12 ≤ х ≤ 0,14.
Относительная погрешность приближенного значения числа – это отношение абсолютной


 100% .
погрешности этого числа к самому числу, т.е.  
или в процентах  
a0
a0
Так как в большинстве случаев истинное значение величины a0 неизвестно, то на практике
относительную погрешность  оценивают некоторым числом  , большим этой погрешности.
h
В качестве  можно взять отношение
или любое число, большее этого отношения, но достаточно
a
h
.
a
Число  называется границей относительной погрешности.
Качество измерений или вычислений тем лучше, чем меньше граница относительной погрешности.
близкое к нему, т.е.  
Пример: Пусть а0 = 42,1 ± 0,2. Вычислить в процентах границу относительной погрешности
приближенного значения величины а.
h
0,2
 100%  0,4% .
Решение: Имеем а = 42,1; h = 0,2. Следовательно,    100% 
a
42,1
Задания:
1.
Округлите число 123 до десятков и найдите абсолютную и относительную погрешность
округления.
2.
Округлите число 8, 2478 до сотых и найдите абсолютную и относительную погрешность
округления.
3.
Найдите относительную погрешность приближенных чисел:
а) 35,148 ± 0,00074;
б) 0,012 ± 0,001;
в) 17,2 ± 0,25.
13
 0,684 или
52  7,21 .
4.
Установите, какое равенство точнее:
19
5.
Найдите верхнюю и нижнюю границы, если приближенное значение числа и относительная
погрешность в процентах соответственно равны:
а) 18 и 1%;
б) 0,6 и 15%.
Комплексные числа
Определение 1. Число, квадрат которого равен -1, называется мнимой единицей и обозначается
буквой i.
i2 = -1.
Следовательно, i   1 .
Определение 2. Числа вида a + bi, где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, называются
комплексными.
Данная форма записи комплексного числа называется алгебраической.
Число а является действительной частью комплексного числа, bi – его мнимой частью, число b
называется коэффициентом при мнимой части.
Если b = 0, то комплексное число a + bi = a + 0i = a, то есть является действительным числом.
Вывод: действительные числа являются частным случаем комплексных чисел.
Если а = 0, то комплексное число a + bi = bi и называется чисто мнимым.
Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел выполняется по правилам соответствующих
действий над многочленами.
Задания:
1.
Выполните сложение, вычитание и умножение комплексных чисел:
а) z1 = 3+5i и z2 = 7–2i;
б) z1 = -2+3i и z2 = 7–4i;
в) z1 = 3–2i и z2 = 7–i;
г) z1 = 1–i и z2 = 1+i;
д) z1 = 3–9i и z2 = 5+2i.
Определение 3. Два комплексных числа называются сопряженными, если они отличаются друг от
друга только знаками перед мнимой частью (a + bi и a – bi).
Произведение двух сопряженных комплексных чисел всегда равно действительному числу (проверьте!).
Для деления одного комплексного числа на другое необходимо умножить делимое и делитель на
комплексное число, сопряженное делителю.
Примеры действий с комплексными числами
Даны два комплексных числа z1 = 3+5i и z2 = 7–2i. Выполнить их сложение, вычитание, умножение и
деление.
I. Сложение
Раскрываем скобки, применяем переместительный и сочетательный законы сложения и правило
приведения подобных слагаемых.
z1  z 2  3  5i   7  2i   3  5i  7  2i  3  7  5i  2i   10  3i
II. Вычитание
Применяем те же правила, что и при сложении, но не забываем, что если перед раскрываемой скобкой
стоит знак «минус», то у всех слагаемых в скобке знак меняется на противоположный.
z1  z 2  3  5i   7  2i   3  5i  7  2i  3  7  5i  2i   4  7i
7
III. Умножение
Используем правило умножения многочленов: каждое слагаемое в первой скобке умножаем на каждое
слагаемое во второй скобке.
Не забываем, что i2 = -1.
z1  z 2  3  5i   7  2i   21  6i  35i  10i 2 
 (21  10i 2 )  (6i  35i)  (21  10)  29i  31  29i
IV. Деление
Число, сопряженное делителю z 2  7  2i , – это число 7+2i. Домножаем числитель и знаменатель дроби
на число 7+2i и выполняем необходимые преобразования: в числителе перемножаем два комплексных
числа по предыдущему правилу, а в знаменателе используем разность квадратов
a  ba  b  a 2  b 2 .
z1 3  5i 3  5i   7  2i  21  6i  35i  10i 2




2
z2 7  2i 7  2i   7  2i 
7 2  2i 

21  10  41i 11  41i 11  41i 11 4



 i
49  4i 2
49  4
53
53 53
Задания:
1. Выполните
деление
комплексных
чисел:
2  3i
а)
;
5  7i
3  5i
б)
;
2  6i
5i
в)
;
3  2i
5  7i
г)
.
5  7i
2. Выполните указанные действия с
комплексными числами:
2  3i   5  7i ;
а)
2  3i
2
б) 3  5i  ;
в)
3  2i 3 ;
3. Решите квадратные уравнения
с отрицательными
дискриминантами:
а) x 2  6 x  13  0;
б) 9 x 2  12 x  29  0;
в) x 2  4 x  13  0.
3  2i 5  2i

;
3  2i 3  2i
6  2i 2  3i

д)
.
3  7i 2  5i
г)
8