Межрегиональная олимпиада школьников «Будущие исследователи – будущее науки» Физика, Финальный тур 9 класс

Межрегиональная олимпиада школьников
«Будущие исследователи – будущее науки»
2013-2014уч.г.
Физика, Финальный тур
9 класс
1. Симметричная граната, брошенная с начальной скоростью v 0 под углом  к горизонту, в верхней точке траектории разорвалась на множество одинаковых осколков. Известно, что осколки падали на землю в течение интервала времени t . Найти скорость (сразу после взрыва) того осколка,
который сразу после взрыва полетел горизонтально в направлении движения гранаты до взрыва.
2. Определить сопротивление электрической цепи, изображенной на рисунке.
Величина каждого резистора - r . Сопротивление соединительных проводов пренебрежимо мало.
3. Две доски массами m и 2m находятся на горизонтальной поверхности. Коэффициент трения между досками  , между ниж-

2
m
2m
F
ней доской и поверхностью 2  . На нижнюю доску действует горизонтальная сила F . При каком
минимальном значении силы F между досками возникнет проскальзывание?
Межрегиональная олимпиада школьников
«Будущие исследователи – будущее науки»
2013-2014уч.г.
Физика, Финальный тур
9 класс
1. Симметричная граната, брошенная с начальной скоростью v 0 под углом  к горизонту, в верхней точке траектории разорвалась на множество одинаковых осколков. Известно, что осколки падали на землю в течение интервала времени t . Найти скорость (сразу после взрыва) того осколка,
который сразу после взрыва полетел горизонтально в направлении движения гранаты до взрыва.
2. Определить сопротивление электрической цепи, изображенной на рисунке.
Величина каждого резистора - r . Сопротивление соединительных проводов пренебрежимо мало.
3. Две доски массами m и 2m находятся на горизонтальной поверхности. Коэффициент трения между досками  , между ниж-

2
m
2m
F
ней доской и поверхностью 2  . На нижнюю доску действует горизонтальная сила F . При каком
минимальном значении силы F между досками возникнет проскальзывание?
Межрегиональная олимпиада школьников
«Будущие исследователи – будущее науки»
2013-2014уч.г.
Физика, Финальный тур
10 класс
1. На тело массой m , движущееся со скоростью v , начинает действовать
некоторая постоянная сила. Направление вектора силы составляет угол  с

F

вектором начальной скорости v0 (    / 2 ). Какую работу совершит над

v0
телом эта сила к тому моменту времени, когда вектор скорости тела станет
перпендикулярен вектору начальной скорости v0 ? Другие силы на тело не действуют.
2. Две открытые с обоих концов в атмосферу трубы с площадями сечений, которые относятся как 3/ 2 , состыкованы между собой. В них вставлены соединенные
стержнем поршни, которые при температуре T0 находятся на одинаковых рассто-
яниях от стыка труб. Между поршнями находится идеальный газ. Объем газа между поршнями V .
Газ охлаждают до температуры T0 / 2 . Какими будут давление и объем газа между поршнями.
Считать, что газ при всех рассматриваемых температурах является идеальным. Описать последовательность изменения параметров газа.
3. Тело массой m находится на
доске массой той же массы, лежащей на горизонтальном полу. Ко-
m
v0 m

2
m
v0 m

2
эффициент трения между телом и доской равен  , между доской и полом 2  . В некоторый момент времени доске ударом сообщают скорость v0 (левый рисунок), и все движения в системе тел
прекращаются через время  н . Затем скорость v0 сообщают телу, и все движения в системе прекращаются через время  в . Найти отношение  н /  в . Тело не сваливается с доски ни в первом, ни
во втором случае.
Межрегиональная олимпиада школьников
«Будущие исследователи – будущее науки»
2013-2014уч.г.
Физика, Финальный тур
11 класс
1. Сто тел с массами m , 2m , 3m , … 100m свя…
F
заны невесомыми нитями и расположены на
гладком горизонтальном столе. Сначала на тело
F
…
массой m действуют горизонтальной силой F ,
потом той же силой действуют на тело массой 100m (см. рисунок). Найти отношение сил натяжения нити, связывающей тела с массами 49m и 50m в первом и во втором случае.
2. Две открытые с обоих концов в атмосферу трубы с площадями сечений, которые относятся как 3/ 2 , состыкованы между собой. В них вставлены соединенные
стержнем поршни, которые при температуре T0 находятся на одинаковых расстояниях от стыка труб. Между поршнями находится идеальный газ. Объем газа между поршнями V .
Газ охлаждают до температуры T0 / 2 . Какими будут давление и объем газа между поршнями.
Считать, что газ при всех рассматриваемых температурах является идеальным. Описать последовательность изменения параметров газа.
3. Пластины незаряженного плоского конденсатора расположены на
расстоянии d друг от друга. Пластины соединены проводником.
Q
Внутрь конденсатора вставляют пластинку, заряженную зарядом Q ,
и расположенную на расстоянии d / 3 от одной и на расстоянии 2d / 3 от другой пластины конденсатора (см. рисунок). Какие заряды приобретут при этом пластины конденсатора?
4. Тело массой m находится на
доске массой той же массы, лежащей на горизонтальном полу. Ко-
m
v0 m

2
m
v0 m

2
эффициент трения между телом и доской равен  , между доской и полом 2  . В некоторый момент времени доске ударом сообщают скорость v0 (левый рисунок), и все движения в системе тел
прекращаются через время  н . Затем скорость v0 сообщают телу, и все движения в системе прекращаются через время  в . Найти отношение  н /  в . Тело не сваливается с доски ни в первом, ни
во втором случае.
Решения
9 класс
1. В системе отсчета, связанной с гранатой, осколки разлетаются с одинаковыми скоростями, поэтому первым упадет тот осколок, который движется вертикально вниз, последним – вертикально
вверх. Очевидно, что
t 
2v1
g
(*)
где v1 - скорость, которую осколки приобрели при взрыве (в системе отсчета, связанной с гранатой). Действительно, за интервал времени, равный разности времени падения последнего и первого осколков, последний успеет подняться на максимальную высоту и спуститься в ту точку, откуда он начал движение; потом он будет в точности повторять движение первого. А время подъема
на максимальную высоту и спуска в начальную точку тела, брошенного вертикально вверх, как
раз и равно (*). Отсюда находим
v1 
g t
2
Осколок, который сразу после взрыва будет двигаться горизонтально в направлении движения
гранаты до взрыва, имеет скорость
v  v0 cos   v1  v0 cos  
g t
2
2. Очевидно, что данная в условии электрическая цепь с помощью деформации проводов может быть приведена к цепи,
показанной на рисунке. Находя ее сопротивление, получим
R
7r
3
3. При попытке сдвинуть нижнюю доску или при ее движении, между ней доской и полом действует сила трения, максимальное значение которой равно 6  mg . Поэтому если выполнено условие
F  6  mg
доски будут покоится. Если сила F больше 6  mg , нижняя доска начинает двигаться, и сила трения между верхней и нижней доской заставит двигаться и верхнюю доску. Максимальное значение этой силы трения -  mg . При небольшом ускорении нижней доски этой силы достаточно,
чтобы сообщить такое же верхней. Эта сила может сообщить верхней доске максимальное ускорение  g . Поэтому если ускорение нижней доски меньше  g , доски будут двигаться вместе. А в
этом случае силу F можно найти, применяя второй закон Ньютона к обеим доскам, как к одному
целому
3ma  F  6 mg
Подставляя сюда ускорение  g , находим значение внешней силы, при котором между досками
возникает проскальзывание
F  9  mg
10 класс
1. Вычислить работу внешней силы, исходя из определения работы, здесь не удастся, поскольку
неизвестна сила. Поэтому для нахождения работы используем теорему об изменении кинетической энергии
A
mv12 mv02

2
2
(1)
где v1 - величина скорости тела в тот момент, когда вектор v1 будет перпендикулярен вектору v0 .
Поскольку направление внешней силы фиксировано, то проекция скорости тела на направление, перпендикулярное направлению силы, не изменяется. Поэтому
v0 cos    / 2  v1 sin    / 2
(2)
Выражая v1 из формулы (2) и подставляя в (1), получим
A
mv02
tg2   1

2
2. Рассмотрим условие равновесия поршней. Внешними силами по отношению к системе двух
поршней, соединенных стержнем являются силы, действующие на них со стороны атмосферного
воздуха, и воздуха между поршнями. Условие равновесия этой системы дает:
p0 (3S / 2)  pS  p(3S / 2)  p0S
(1)
где S и 3S / 2 - площади сечений труб, p0 и p - атмосферное давление и давление газа в трубах.
Из формулы (1) имеем
 p0  p  (3S / 2)   p0  p  S
(2)
Из формулы (2) следует, что поршни в такой трубе (из соединенных труб разных поперечных сечений) находятся в равновесии только в том случае, когда давление газа в трубах равно атмосферному давлению. Это значит, что при охлаждении газа с ним происходит изобарический процесс с
уменьшением объема. Для этого поршни должны перемещаться влево до стыка труб. При этом
новый объем газа составит
Sl
4

S (l / 2)  (3S / 2)(l / 2) 5
от старого (где l - длина стержня, связывающего поршни). Температура газа составит в этот момент 4T0 / 5 . После этого поршни уже не могут перемещаться, поэтому при дальнейшем охлаждении объем газа не меняется, т.е. с ним происходит изохорический процесс с уменьшением давления. Для этого процесса имеем
p0
px

(4T0 / 5) (T0 / 2)
где p x - искомое давление. Отсюда
5 p0
8
px 
Таким образом, новое давление газа составит 5/ 8 от старого, объем - 4 / 5 .
3. В случае удара по нижней доске, она начинает двигаться, возникает сила трения между верхней
и нижней доской, которая заставит двигаться и тело. При этом ускорение доски будет определяться двумя силами трения, направленными противоположно ее скорости
aд  5 g
Тело будет двигаться с ускорением
aт   g
которое направлено так же как и скорость доски. Поэтому законы изменения скорости для тела и
доски дают
vд (t )  v0  5 gt
vт (t )   gt
где v0 - та скорость, которую доска приобрела при ударе. Отсюда находим время  1 , через которое скорости тела и доски сравняются
1 
v0
6 g
и эти скорости
v1 
v0
6
После этого тело «вырвется вперед». Действительно, если бы доска и тело двигались вместе, то их
ускорение определялось бы силой трения между доской и полом –
a
4  mg
 2 g ,
2m
но такое ускорение сила трения между доской и телом сообщить телу не сможет. Поэтому тело
будет скользить относительно доски вперед, на него будет действовать тормозящая сила трения
 mg . Следовательно, для доски эта сила будет направлена по ходу ее движения. Это значит, что
доска будет тормозиться разностью сил трения между доской и полом и доской и телом, т.е. ее
ускорение будет равно 3 g . Поэтому доска затормозит раньше, и движение в системе прекратится, когда затормозит тело. Время его торможения  2 найдем из закона движения для тела
vт  v1   gt

2 
v0
.
6 g
Отсюда находим время прекращения движения после удара по нижней доске
 н  1   2 
v0
3 g
(*)
При ударе по верхней доске будет двигаться только верхнее тело. Действительно, приего движении на доску будет действовать сила трения  mg , направленная по движению тела, которая
меньше силы трения, действующей на доску со стороны пола 4  mg . Поэтому движения в системе
прекратятся, когда остановится тело. Из закона движения находим
vт  v0   gt

в 
v0
.
g
(**)
Из (*) и (**) получаем
н 1

в 3
11 класс
1. Ускорение тел и в том, и в другом случае будет одинаковым и равным
a
F
F
F


(1  2  3  ...  100)m  100  101 
5050m

m
2


(1)
В первом случае сила натяжения нити, связывающей грузы массами 49m и 50m , сообщает ускорение участку цепочки грузов 50m , 51m , 52m , …, 100m . Поэтому она равна
3
T49(1)50   50m  51m  ...  100m  a   50  51m  1  2  ...  50  m  a  50  51ma
2
Подставляя сюда ускорение (1), получим
3  51
T49(1)50 
F
2  101
Во втором случае сила натяжения этой нити сообщает ускорение (1) участку цепочки с грузами
m , 2m , 3m , …, 49m . Поэтому
T49(2)50   m  2m  ...  49m  a 
49  50
49
ma 
F
2
2  101
Отсюда
T49(1)50 153

T49(2)50 49
2. Рассмотрим условие равновесия поршней. Внешними силами по отношению к системе двух
поршней, соединенных стержнем являются силы, действующие на них со стороны атмосферного
воздуха, и воздуха между поршнями. Условие равновесия этой системы дает:
p0 (3S / 2)  pS  p(3S / 2)  p0S
(1)
где S и 3S / 2 - площади сечений труб, p0 и p - атмосферное давление и давление газа в трубах.
Из формулы (1) имеем
 p0  p  (3S / 2)   p0  p  S
(2)
Из формулы (2) следует, что поршни в такой трубе (из соединенных труб разных поперечных сечений) находятся в равновесии только в том случае, когда давление газа в трубах равно атмосферному давлению. Это значит, что при охлаждении газа с ним происходит изобарический процесс с
уменьшением объема. Для этого поршни должны перемещаться влево до стыка труб. При этом
новый объем газа составит
Sl
4

S (l / 2)  (3S / 2)(l / 2) 5
от старого (где l - длина стержня, связывающего поршни). Температура газа составит в этот момент 4T0 / 5 . После этого поршни уже не могут перемещаться, поэтому при дальнейшем охлаждении объем газа не меняется, т.е. с ним происходит изохорический процесс с уменьшением давления. Для этого процесса имеем
p0
px

(4T0 / 5) (T0 / 2)
где p x - искомое давление. Отсюда
px 
5 p0
8
Таким образом, новое давление газа составит 5/ 8 от старого, объем - 4 / 5 .
3. Пластины конденсатора приобретут такие одинаковые по вели-
q
чине и противоположные по знаку заряды, что их потенциалы будут одинаковы. Это и будет тем условием, которое позволит
найти заряды пластин конденсатора. Итак, пусть заряд верхней
Q
q
пластины конденсатора  q , нижней q (все нижеследующие формулы являются алгебраическими, поэтому если сам заряд q получится отрицательным, то заряд
верхней пластины конденсатора будет положительным, нижней отрицательным). Тогда напряженность суммарного поля между пластинкой и верхней пластиной конденсатора (см. рисунок)
будет равна
Q
q

2 S 0 S 0
а между пластинкой и нижней пластиной конденсатора
Q
q

2 S 0 S 0
Если перенести пробный заряд e с заряженной пластинки на верхнюю пластину конденсатора,
электрическое поле совершит работу
 Q
q  2d
Aверх  e Q  в   e 


 2S 0 S 0  3
где Q и  в - потенциалы пластинки и верхней пластины конденсатора. Если перенести пробный
заряд e с заряженной пластинки на нижнюю пластину конденсатора, электрическое поле совершит работу
 Q
q d
Aниж  e Q  н   e 


 2S 0 S 0  3
где Q и  н - потенциалы пластинки и верхней пластины конденсатора. Используя условие равенства потенциалов верхней и нижней пластины, получим
 Q
q  2d  Q
q d






 2S 0 S 0  3  2S 0 S 0  3
Отсюда находим
q
Q
6
4. В случае удара по нижней доске, она начинает двигаться, возникает сила трения между верхней
и нижней доской, которая заставит двигаться и тело. При этом ускорение доски будет определяться двумя силами трения, направленными противоположно ее скорости
aд  5 g
Тело будет двигаться с ускорением
aт   g
которое направлено так же как и скорость доски. Поэтому законы изменения скорости для тела и
доски дают
vд (t )  v0  5 gt
vт (t )   gt
где v0 - та скорость, которую доска приобрела при ударе. Отсюда находим время  1 , через которое скорости тела и доски сравняются
1 
v0
6 g
и эти скорости
v1 
v0
6
После этого тело «вырвется вперед». Действительно, если бы доска и тело двигались вместе, то их
ускорение определялось бы силой трения между доской и полом –
a
4  mg
 2 g ,
2m
но такое ускорение сила трения между доской и телом сообщить телу не сможет. Поэтому тело
будет скользить относительно доски вперед, на него будет действовать тормозящая сила трения
 mg . Следовательно, для доски эта сила будет направлена по ходу ее движения. Это значит, что
доска будет тормозиться разностью сил трения между доской и полом и доской и телом, т.е. ее
ускорение будет равно 3 g . Поэтому доска затормозит раньше, и движение в системе прекратится, когда затормозит тело. Время его торможения  2 найдем из закона движения для тела
vт  v1   gt

2 
v0
.
6 g
Отсюда находим время прекращения движения после удара по нижней доске
 н  1   2 
v0
3 g
(*)
При ударе по верхней доске будет двигаться только верхнее тело. Действительно, приего движении на доску будет действовать сила трения  mg , направленная по движению тела, которая
меньше силы трения, действующей на доску со стороны пола 4  mg . Поэтому движения в системе
прекратятся, когда остановится тело. Из закона движения находим
vт  v0   gt

Из (*) и (**) получаем
н 1

в 3
в 
v0
.
g
(**)