РПД Линейная алгебра

1. Рабочая программа
1.1. Цели освоения дисциплины
Ознакомление с основами линейной алгебры и аналитической геометрии. Линейная алгебра является основой для изучения других математических курсов, дает
необходимый математический аппарат для изложения экономических дисциплин.
1.2.Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Учебная дисциплина «Линейная алгебра» входит в цикл общих математических и естественнонаучных дисциплин; требования к входным знаниям и умениям
студента – знание элементарной математики: алгебры, элементарных функций; данная дисциплина является предшествующей для следующих дисциплин: Микроэкономика, Макроэкономика, Методы оптимальных решений, Стратегический менеджмент.
Дисциплина “Линейная алгебра” относится к базовой части математического
цикла (Б.2).
1.3. Компетенции обучающегося,
формируемые в результате освоения дисциплины (модуля)
В результате изучения данной дисциплины студент должен обладать следующими профессиональными компетенциями (ПК):
– - способен собрать и проанализировать исходные данные, необходимые для
расчета экономических и социально-экономических показателей, характеризующих
деятельность хозяйствующих субъектов (ПК-1);
– - способен на основе типовых методик и действующей нормативно-правовой
базы рассчитать экономические и социально-экономические показатели, характеризующие деятельность хозяйствующих субъектов, (ПК-2);
– - способен выполнять необходимые для составления экономических разделов
планов расчеты, обосновывать их и представлять результаты работы в соответствии
с принятыми в организации стандартами (ПК-3);
– - способен осуществлять сбор, анализ и обработку данных, необходимых для
решения поставленных экономических задач (ПК-4);
– - способен выбрать инструментальные средства для обработки экономических
данных в соответствии с поставленной задачей, проанализировать результаты расчетов и обосновать полученные выводы (ПК-5).
В результате изучения дисциплины «Линейная алгебра» обучающийся
должен:
знать:
 точные формулировки основных понятий, уметь интерпретировать их на
простых модельных примерах, в том числе, свободно использовать координатный, векторный, матричный или операторный способ записи математических соотношений;
 основные понятия матричной алгебры;
 общие теоремы о структуре множества решений систем линейныхалгебраических уравнений, методы решения таких систем;
 простейшие задачи аналитической геометрии;
 основные виды уравнений прямой и линий второго порядка на плоскостина
плоскости;
уметь:
 вычислять определители n – го порядка;
 складывать и вычитать матрицы, умножать матрицу на число, умножать
матрицу на матрицу, находить обратную матрицу;
 находить ранг матрицы;
 исследовать и решать системы линейных алгебраических уравнений;
 исследовать и решать системы линейных алгебраических уравнений;
 применять методы матричной алгебры в экономике и управлении;
 использовать методы аналитической геометрии для описания прямых, а
также кривых второго порядка;
 использовать описание прямых и кривых второго порядка для решения геометрических задач аналитическими методами.
владеть:
 методами вычисления определителей n – го порядка;
 методами матричной алгебры для решения зкономических задач;
 методами решения систем линейных алгебраических уравнений;
 методами теории линейных операторов для решения экономичеких задач;
 аналитическими методами решения геометрических задач.
1.4. Структура и содержание дисциплины (модуля) «Линейная алгебра»
Общая трудоемкость дисциплины составляет 6 зачетных единиц, 216 часов.
Форма контроля – экзамен.
Вид учебной работы
Всего
часов
Очное
Заочное
Очно-
отделение отделение
заочное
отделение
1 сем.
Общая трудоемкость
216
3 сем.
1 сем
216
216
216
108
20
54
Лекции (Л)
54
16
36
Практические занятия
54
4
18
72
187
126
72
187
126
дисциплины
Аудиторные занятия
(всего)
В том числе:
(ПЗ)
Семинары (С)
Лабораторные работы
(ЛР)
Самостоятельная
работа (всего)
В том числе:
Курсовой проект (работа)
Расчетно-графические
работы
Реферат
И (или) другие виды
самостоятельной работы
Вид промежуточного
36
36
9
36
контроля (экзамен)
Экзамен
Экзамен
Экзамен
Экзамен
Виды учебной работы, включая
самостоятельную работу студентов,
и трудоемкость (в часах)
Дневное
Заочное
Очноотделение
отделение
заочное
отделение
1 Матрицы и
определители
2 Системы
линейных
алгебраических уравнений
3 Векторы на
плоскости и
в пространстве
4 n - мерный
вектор и
n - мерное
пространство
5 Линейный
оператор
6 Уравнение
прямой на
плоскости
7 Кривые
второго
порядка
2
1-3
8
8
10
2
2
3-6
8
8
12
4
2
6-8
6
6
10
2
2
8-10
8
8
10
2
2
11-13
8
8
10
2
2
13-16
8
8
10
2
2
16-18
8
8
10
2
Лекции
Практические
занятия
Самостоятельные
занятия
Лекции
Практические
занятия
Самостоятельные
занятия
Лекции
Практические
занятия
Самостоятельные занятия
№
Раздел дисп
циплины
/
(модуля)
п
Семестр
Неделя семестра
1.4.1. Разделы дисциплин и виды занятий
Формы
текущего
контроля
успеваемости и промежуточной аттестации
26
6
2
20 Контрольная
работа №1
30
8
4
22 Контрольная
работа №2
20
4
2
12 Контрольная
работа №3
24
4
2
16 Контрольная
работа №4
27
4
2
1
26
4
2
16 Контрольная
работа №5
16 Контрольная
работа №6
1
34
6
4
1
1
24 Контрольная
работа №7
1.4.2. Содержание лекционных занятий
№
п/п
1
2
3
4
5
6
7
Наименование раздела дисциплины
(модуля)
Матрицы и определители
Содержание раздела
Общие сведения о матрицах и определителях. Способы
вычисления определителя n - го порядка. Действия с
матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы.
Системы линейных Исследование систем линейных алгебраических уравалгебраических
нений. Теорема Кронекера - Капелли. Методы решения
уравнений
систем линейных алгебраических уравнений (метод
Крамера, матричный метод, метод Гаусса).
Векторы на плоско- Декартова система координат. Понятие вектора на
сти и в пространстве плоскости и в пространстве. Координаты вектора. Длина вектора. Действия с векторами. Скалярное произведение векторов.
n - мерный вектор и Понятие n - мерного вектора и n - мерного пространn - мерное
ства. Базис и размерность векторного пространства.
пространство
Длина n - мерного вектора. Действия с n - мерными
векторами. Скалярное произведение n - мерных векторов. Переход к новому базису. Евклидово пространство.
Линейный оператор Понятие линейного оператора. Собственные значения и
собственные векторы линейного оператора. Линейная
модель обмена (модель международной торговли).
Уравнение прямой
Простейшие задачи аналитической геометрии на плосна плоскости
кости. Уравнение прямой, проходящей через две точки.
Уравнение прямой, проходящей через заданную точку с
данным угловым коэффициентом. Уравнение прямой в
отрезках. Общее уравнение прямой. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.
Кривые второго по- Общее уравнение кривых второго порядка. Каноничерядка
ские уравнения окружности, эллипса, гиперболы, параболы.
Понятие квадратичной формы. Матрица квадратичной
формы. Канонический вид квадратичной формы. Положительно и отрицательно определенные квадратичные
формы.
1.4.3. Содержание практических занятий
НаименоваОбразование раздела Компетельная техдисциплин
тенции
нология
(модуля)
ПК – 1, Практикум
Матрицы и
определители ПК – 2,
ПК – 3,
ПК – 4,
ПК – 5
Системы линейных алгебраических
уравнений
ПК – 1, Практикум
ПК – 2,
ПК – 3,
ПК – 4,
ПК – 5
ПК – 1, Практикум
Векторы на
плоскости и в ПК – 2,
пространстве
ПК – 3,
ПК – 4,
ПК – 5
n - мерный ПК – 1, Практикум
вектор и
ПК – 2,
n - мерное ПК – 3,
пространство
ПК – 4,
ПК – 5
Линейный
оператор
ПК – 1, Практикум
ПК – 2,
ПК – 3,
Содержание занятий
Изучение примеров матриц.
Решение примеров на вычисление определителей второго, третьего, четвертого порядков. Решение примеров на сложение и
вычитание матриц, умножение матриц на
число, умножение матрицы на матрицу,
нахождение обратной матрицы и вычисление ранга матрицы.
Отработка алгоритма исследования систем
линейных алгебраических уравнений на
примере различных видов систем. Решение
задач на исследование систем уравнений с
помощью теоремы Кронекера - Капелли.
Решение систем линейных алгебраических
уравнений методом Крамера, матричным
методом и методом Гаусса.
Решение примеров на вычисление длины
вектора, сложения и вычитание векторов,
умножение векторов на число. Нахождение
скалярного произведения векторов, а также
угла между векторами.
Отработка на примерах понятия n - мерного
вектора. Нахождение скалярного произведения n - мерных векторов. Решение задач на
определение линейной независимости векторов. Отработка на примерах понятий базиса и размерности линейного пространства.
Решение задач на переход к новому базису.
Отработка на примерах понятия линейного
оператора, нахождение образа вектора по
заданной матрице линейного оператора. Ре-
ПК – 4,
ПК – 5
Уравнение
прямой на
плоскости
ПК – 1, Практикум
ПК – 2,
ПК – 3,
ПК – 4,
ПК – 5
Кривые второго порядка
ПК – 1, Практикум
ПК – 2,
ПК – 3,
ПК – 4,
ПК – 5
шение задач на нахождение собственных
векторов и собственных значений линейного
оператора.
Решение задач на определение расстояния
между точками на плоскости, деление отрезка в заданном отношении. Решение задач
на использование различных видов уравнений прямых в условиях различных исходных данных. Решение задач на определение
угла между прямыми, а также отработка
условий перпендикулярности и параллельности прямых. Отработка приемов применения различных видов уравнений прямых для
решения геометрических задач.
Решение задач на составление уравнений
окружности, эллипса, гиперболы и параболы, а также нахождение основных параметров кривых второго порядка.
1.5. Образовательные технологии
В качестве образовательной технологии при проведении практических занятий по всем темам данной дисциплины используется практикум. На каждом практическом занятии студенты под руководством преподавателя и самостоятельно приобретают и закрепляют навыки решения задач и примеров по соответствующей теме.
В ходе решения задачи или примера производится анализ возможных методов решения и выбор наиболее приемлемого, реализация выбранного подхода, а также
оценка достоверности и правильности полученного решения. Особое внимание уделяется отработке наиболее сложных вопросов каждой темы.
1.6. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости,
промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины
и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов
1.6.1. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости
Текущий контроль знаний студентов осуществляется с помощью контрольных
работ, выполняемых на практическом занятии по темам 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и индивиду-
альных самостоятельных работ, выполняемых дома в ходе подготовки к занятию по
«Линейной алгебре», по темам 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Примеры решения задач, подобных
входящим в контрольные работы, можно найти в лекции по соответствующей теме.
Образцы контрольных заданий прилагается в п.7.1.
Тема 1. Матрицы и определители
Контрольная работа № 1
Цель работы: контроль знаний и умений студентов в области вычисления
определителей любого порядка, а также выполнения действий с матрицами.
Тема 2. Системы линейных алгебраических уравнений
Контрольная работа № 2
Цель работы: контроль знаний и умений студентов в области решения систем
линейных алгебраических уравнений.
Тема 3. Векторы на плоскости и в пространстве
Контрольная работа № 3
Цель работы: контроль знаний и умений студентов в области действий с векторами на плоскости и в пространстве.
Тема 4.
n
- мерный вектор и
n
- мерное пространство
Контрольная работа № 4
Цель работы: контроль знаний и умений студентов в области действий с n мерными векторами, оценки линейной независимости векторов, нахождения базисов
векторного пространства, а также перехода к новому базису.
Тема 5. Линейный оператор
Контрольная работа № 5
Цель работы: контроль знаний и умений студентов в области преобразования
векторов с помощью линейных операторов, нахождения собственных значений и
собственных векторов линейного оператора.
Тема 6. Уравнение прямой на плоскости
Контрольная работа № 6
Цель работы: контроль знаний и умений студентов в области решения геометрических задач методами аналитической геометрии.
Тема 7. Кривые второго порядка
Контрольная работа № 7
Цель работы: контроль знаний и умений студентов в области решения задач на
составление уравнений и нахождение характеристик кривых второго порядка, а
также в области составления матрицы квадратичной формы, приведение квалратичной формы к каноническому виду и исследования квадратичной формы на знакоопределенность.
1.6.2. Оценочные средства для итогового контроля
К итоговой аттестации допускается студент, успешно выполнивший контрольные работы и дополнительные задания для самостоятельной работы по всем темам.
Итоговым этапом проверки знаний по данному курсу является экзамен, который проводится в письменной форме. Содержание вопросов одного билета охватывает различные разделы курса с тем, чтобы наиболее более полно отразить пройденный материал. В билет входят:
1. Тестовая часть.
2. Практическая часть.
3. Общетеоретическая часть.
Принципы формирования экзаменационных билетов, а также перечень
теоретических вопросов излагаются ниже в п.3.
Пример экзаменационного билета представлен в разделе 7.2.
1.6.3. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов
Самостоятельная работа студентов должна способствовать укреплению и углублению знаний студентов, формированию творческого отношения к изучаемой дисциплине, дополнительному приобретению навыков решения задач.
Самостоятельная работа по дисциплине “Линейная алгебра” заключается:
- в активной работе на лекциях;
- в активной работе на практических занятиях;
- в углубленном изучении теоретических материалов с использованием конспекта лекций и рекомендуемой литературы. В конце каждой темы приводятся вопросы для самоконтроля знаний студентов;
- в выполнении контрольных работ;
- в выполнении дополнительных заданий по каждой теме. Объем заданий,
предоставляемых студентом на проверку преподавателю, указывается ниже по каждой теме.
Тема 1. Матрицы и определители
Для самостоятельной проработки данной темы рекомендуется выполнение
следующих дополнительных заданий, при этом, по одному заданию (на выбор студента) из каждого пункта предоставляются на проверку преподавателю:
1. Вычислить различными способами определители третьего порядка:
a 1 a
2 3 4
1
2
5
12 6  4
7 ; г) 6 4 4 .
а) 5  2 1 ; б)  1 a 1 ; в) 3  4
a 1 a
1 2 3
 3 12  15
3 2 8
2. Вычислить определители четвертого порядка, используя теорему о линейной комбинации параллельных рядов определителя:
3
5 7 2
1 2 3 0
1
2 3 4
а)
;
б) 0 1 2 3 .
2 3 3 2
3 0 1 2
1
3 5 4
2 3 0 1
3. Найти произведение матриц А · В и В · А, если
 2 1 3
1 2
0




B   2 1 0 .
A 2
3 1 ;
0 1 1
 1  2 1 




2
4. Найти матрицу 2 A  3B , если
 3 5
;
A  
4
1


1 0 
.
B  
 2  1
1
5. Найти матрицу A , обратную по отношению к матрице А, если:
10 20  30 
3 2 2




A   1 3 1 ;
B   0 10 20 .
а)
б)
 0 0 10 
5 3 4




6. Определить ранг матрицы A , если:
а)
 1 0 2 0 0


A   0 1 0 2 0 ;
 2 0 4 0 0


б)
6
2 5


A   4  1 5 .
 2  6  1


Тема 2. Системы линейных алгебраических уравнений
Для самостоятельной работы по данной теме рекомендуется выполнение
следующих дополнительных заданий, при этом, по одному заданию (на выбор студента) из каждого пункта предоставляются на проверку преподавателю:
1. Исследуйте с помощью теоремы Кронекера–Капелли следующую систему
уравнений:
 2 x1  x2  5 x3  x4  6,

 x1  3x2  3x3  x4  6,
 x  x  x  x  3.
2
3
4
 1
2. Решите методом Крамера и матричным методом следующие системы уравнений:
 4 x1  5 x2  x3  10,

x  2 x2  3x3  9,
а)  1
3x  4 x  x  1.
2
3
 1
2 x  3 y  2 z  9,

2 x  y  3z  5,
б) 
,
 x  y  2 z  1.

3. Решите методом Гаусса следующие системы уравнений:
 2 x1  x2  3x3  5,

x  4 x2  2 x3  9,
а  1
 x  2 x  x  1.
2
3
 1
  2 x  3 y  2 z  2,

3x  2 y  z  2,
б) 
 5 x  10 y  7 z  10.

Тема 3. Векторы на плоскости и в пространстве
Для самостоятельной проработки отдельных вопросов данной темы рекомендуется выполнение следующих дополнительных заданий, при этом, не менее
двух заданий (на выбор студента) предоставляются на проверку преподавателю:



a  (0;2;3) ;



d  a b ;

b  (4;1;2) .



2. Найти скалярное произведение векторов a и c , если:


c  2 a 3 b ;
1. Найти длины векторов c и d , если:




a  (1;0;3) ;

b  (3;1;2) ; c  a  4 b .



3. Найти угол  между векторами с и d , если:



d  a b ;

n


a  (1;2;3) ;
Тема 4.

c  3 a 2 b ;
b  (2;1;1) .
- мерный вектор и
n
- мерное пространство
Для самостоятельной проработки данной темы рекомендуется выполнение
следующих дополнительных заданий, при этом, по одному заданию (на выбор студента) из каждого пункта предоставляются на проверку преподавателю:
1. Действия с векторами
 


а) Векторы e1 , e2 , e3 , e4 образуют ортонормированный базис. Найти длину



вектора X и косинус угла  между векторами Y и Z , если:




X  2 e1  3 e2  e4 ;
 




Y  e2  e3  4 e4 ;




Z  2 X  3 Y .

б) Векторы e1 , e2 , e3 , e4 образуют ортонормированный базис. Найти длину





вектора Y и косинус угла


X  2 e1  3 e2  2 e4 ;
 между векторами X и Z , если:





Y  e2  e3  4 e4 ;


Z  3 X  2Y .
2. Линейная независимость векторов



а) Выяснить, являются ли векторы a , b и с линейно независимыми, если:

a  (0;9;2) ;

b  (2;1;3) ;

c  (1;4;1)



 

б) Выяснить, образуют ли базис векторы a , b и с , если в базисе e1 , e2 , e3

a  (4;11;9) ;

b  (1;8;1) ;

c  (2;3;3) .
3. Переход к новому базису
 

а) В базисе e1 , e2 , e3 заданы векторы:

















X  2 e1  3 e2  e3 ; a  e1  2e2 ; b  3 e1  e2  e3 ; c  e2  e3 .
  

Найти координаты вектора X в базисе a , b , c .
 

б) В базисе e1 , e2 , e3 заданы векторы:











X  e1  3 e2  2 e3 ; a  e1  e2  e3 ; b  2 e2  3 e3 ; c  e2  5e3 .

  
Найти координаты вектора X в базисе a , b , c .
Тема 5. Линейный оператор
Для самостоятельной проработки данной темы рекомендуется выполнение
следующих дополнительных заданий, при этом, не менее двух заданий (на выбор
студента) предоставляются на проверку преподавателю:
 





1. В базисе e1 , e2 , e3 задан вектор X  e1  4 e2  2 e3 . Найти его образ, если
матрица линейного оператора имеет вид
 3  4 2


A   1  1 1 .
 1 3 4


 
~
2. В базисе e1 , e2 линейный оператор A задан матрицей
3 2
 .
A  
1
4


Найти:
а) собственные векторы и собственные значения линейного оператора;





~
б) образ Y  A ( X ) вектора X   e1  2 e2 .
 

3. В базисе e1 , e2 , e3 матрица линейного оператора имеет вид
 1  4  8


A    4 7  4 .
8  4 1 


Найти собственные векторы и собственные значения линейного оператора.
Тема 6. Уравнение прямой на плоскости
Для самостоятельной проработки данной темы рекомендуется выполнение
следующих дополнительных заданий, при этом, не менее двух заданий (на выбор
студента) предоставляются на проверку преподавателю:
1. Написать уравнения прямых, проходящих через точку М(2;-3) параллельно и перпендикулярно прямой 4 x  2 y  3  0 .
2. Даны вершины треугольника: А(3;5), В(-3;3) и С(5;-8). Написать уравнение медианы AD, проведенной из вершины С и найти ее длину, а также найти периметр треугольника.
3. Составить уравнение перпендикуляра к прямой 8 x  4 y  3  0 в точке
пересечения ее с прямой x  y  0 .
Тема 7. Кривые второго порядка
Для самостоятельной проработки данной темы рекомендуется выполнение
следующих дополнительных заданий, при этом, по одному заданию (на выбор студента) из каждого пункта предоставляются на проверку преподавателю:
1. Кривые второго порядка
а) Написать уравнение окружности с центром С(-2;3) и радиусом R  5 , Известно, что точка А(а;-1) лежит на этой окружности. Найти а.
б) Составить каноническое уравнение гиперболы, проходящей через точку
М(6;  2 2 ) и имеющей мнимую полуось b  2 . Найти координаты ее фокусов,
эксцентриситет, уравнения асимптот.
в) Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат:
1) проходящей через точку А(-4;2) симметрично оси Ох;
2) проходящей через точку А(3;2) симметрично оси Оy.
2. Квадратичные формы
а) Написать квадратичную форму L  x1  x3  2 x1 x2  5 x1 x3 в матричном
2
2
виде.
б)
Исследовать
на
знакоопределенность
квадратичную
форму
квадратичную
форму
L   x12  2 x22  2 x32  x1 x3  2 x2 x3 .
в)
Исследовать
на
знакоопределенность
L  x12  x22  x32  4 x1 x2  6 x1 x3  4 x2 x3 .
1.7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
а) основная литература:
1. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов, /Н.Ш. Кремер, Б.А.
Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман; под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – 3-е изд.– М.:
ЮНИТИ-ДАНА, 2006. – 479 с. - (Золотой фонд российских учебников).
2. Высшая математика для экономистов: Практикум для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям/[Н.Ш. Кремер и др.]; под ред. проф.
Н.Ш. Кремера. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. – 479 с.
3. Красс М.С. Математика для экономического бакалавриата: Учебник/ М.С.
Красс, Б.П. Чупрынов. - М.: ИНФРА-М, 2011. – 472 с. – (Высшее образование). –
ЭБС: http://znanium.com/
б) дополнительная литература:
1. Математика: учебное пособие для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям/ Б.А. Горлач. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2006. – 911 с.
2. Щипачев В.С. Основы высшей математики. Учебное пособие для вузов/
Под ред. А.Н. Тихонова. - 7-е изд. – М.: Юрайт; Высшее образование, 2009. – 479 с. (Основы наук)
1.8. Материально-техническое обеспечение учебной дисциплины (модуля)
Аудитории, оборудованные мультимедийными средствами обучения.
2. Перечень вопросов к зачету
Зачет по данной дисциплине не предусмотрен.
3. Перечень вопросов к экзамену
Экзамен по данной дисциплине проводится в письменной форме.
Экзаменационная работа включает в себя три части: тестовую, практическую
и общетеоретическую.
Ниже излагаются основные принципы формирования экзаменационных билетов.
I. Тестовая часть
Тестовая часть состоит из 10 заданий, которые, в свою очередь, включают в
себя:
а) задания на знание определений основных понятий линейной алгебры и
аналитической геометрии, основных свойств определителей и действий с матрицами
и векторами, знание уравнений прямой и кривых второго порядка и т.п.;
б) примеры и задачи по отдельным вопросам (вычисление определителей,
действия с матрицами и векторами, нахождение образа n - мерного вектора, преобразование уравнений прямой из одного вида в другой. Задание считается выполненным правильно, если полученный вариант ответа подтверждается соответствующим
расчетом.
Ниже приводятся примеры заданий тестовой части экзаменационной работы
и оформления их решения.
1. Найти алгебраическое дополнение
4
A12 для следующего определителя:
2 3
3 5 6
1 0 1
Решение.
A12  (1)12
3 6
 (3  1  1  6)  9. .
1 1
Ответ: 9.

2. Найти длину вектора
Решение.
a  (2;3;1).

a  x2  y 2  z 2 .

a  (1) 2  32  12  11.
Ответ:
11.
 
3.


В базисе



e1 , e2 , e3 , e4

даны




X  e1  2 e2  3 e3  5 e4
векторы

Y  3 e2  4 e3  e4 . Найти их скалярное произведение.
Решение.


Преобразуем заданные векторы к виду: X  (1;2;3;5) и Y  (0;3;4;1).
Скалярное произведение n - мерных векторов вычисляется по формуле
  
 X , Y   x1  y1 x2  y 2 ...  xn  y n ,



где:
x1, x2 ,..., xn
– компоненты вектора
X;
и

y1, y2 ,..., yn
Следовательно:
– компоненты вектора
Y.
  
 X , Y   1  0  (2)  3  3  (4)  5 1  13.


Ответ: -13.
4. Найдите расстояние от точки M ( 2;1;3) до прямой
Решение.
y  3x  5
Расстояние от точки до прямой находится по формуле d 
A, B, C
Ax  By  C  0 ;
где:
x0 , y0
–
параметры
уравнения
прямой
Ax0  By 0  C
A2  B 2
в
общем
,
виде
– координаты заданной точки.
Преобразовав заданное уравнение прямой в уравнение в общем виде, получим
Следовательно:
Таким образом:
3x  y  5  0 .
A  3; B  1; C  5.
d
3  2  11  5  3
32  (1) 2

20
 2 10.
10
Ответ: 2 10 .
II. Практическая часть
Практическая часть включает в себя одну задачу прикладного характера,
требующую использования знаний по нескольким темам дисциплины.
Практическая часть экзаменационной работы оценивается от 0 до 2 баллов в
зависимости от правильности и полноты решения задачи.
Ниже приводятся примеры заданий практической части экзаменационной работы и оформления их решения.
1. Решить систему уравнений
 x  2 y  3z  6,

2 x  3 y  2 z  2,
 3x  2 y  z  4.

Решение.
Решаем систему уравнений методом Гаусса.
1. Исключаем неизвестное x из второго и третьего уравнений; для этого вычитаем из второго уравнения первое уравнение, умноженное на два, и из третьего
уравнения первое уравнение, умноженное на три.
 x  2 y  3z  6,

  y  4 z  10,
  8 y  10 z  14.

2. Исключаем неизвестное y из третьего уравнения (из третьего уравнения вычитаем второе уравнение, умноженное на восемь).
 x  2 y  3z  6,

  y  4 z  10,
 22 z  66.

3. Далее последовательно находим значения неизвестных z, y и x.
 x  2 y  3  (3)  6,

  y  4  ()  10,

z  3.

 x  2  2  3,

 y  2,
 z  3.

 x  1,

 y  2,
 z  3.

Ответ:
 x  1,

 y  2,
 z  3.

2. Найти собственные векторы и собственные значения линейного оператора,



1 1


A

заданного матрицей
 6 2  , а также образ вектора X  e1  3e2 .


Решение.
1. Составим матрицу ( A  E ) :
1 1
 1 0  1 3  
   
  
  
A  E  
6
2
0
1
4
2



 
 0
0  1  

   6
1 

2    .
~
2. Составим характеристический многочлен линейного оператора A
1 
6
1
 (1   )  (2   )  6  1  2  3  4 .
2
3. Приравняем нулю полученное выражениеи решим полученное квадратное
уравнение
2  3  4  0 ;
D  (3) 2  4  1(4)  25 ;
1, 2 
 (3)  25 3  5

;
2
2
1 
35
 4;
2
2 
35
 1.
2
4. Находим собственные векторы, соответствующие каждому собственному
значению.
При
1  4 :
1   3 1 
1  4
  
 .
( A  1E )  
6
2

4
6

2

 

 (1)
Обозначим через x1 и
x2 координаты собственного вектора X , соответствующего собственному значению 1  4 . Тогда,
  3 1   x1   0 

       .
6

2

  x2   0 
Далее преобразуем матричное уравнение в систему уравнений
 3x1  x2  0,

 6 x1  2 x2  0.
Разделив первое уравнение на (-1), а второе на 2, мы получим два одинаковых
уравнения.
3x1  x2  0,

3x1  x2  0.
Система сводится к одному уравнению с двумя неизвестными, следовательно:
3x1  x2 ,

 x2  c 1 ,
1

 x1  c1 ,
3

 x2  c1 ,
где c1 – любое действительное число.
Таким образом, собственному значению
 (1)
вектор X
При
1  4
соответствует собственный
1
 ( c1 ; c1 ) .
3
2  1 :
1   2 1
1  (1)
  
 .
( A  1E )  
6
2

(

1
)
6
3

 

 ( 2)
Обозначим через x3 и
x4 координаты собственного вектора X
ствующего собственному значению 2  1 . Тогда:
, соответ-
 2 1   x3   0 

       .
6
3

  x4   0 
Преобразуем матричное уравнение в систему уравнений
2 x3  x4  0,

6 x3  3x4  0.
Разделив второе уравнение на 3, мы получим два одинаковых уравнения.
2 x3  x4  0,

2 x3  x4  0.
Система сводится к одному уравнению с двумя неизвестными, следовательно,
1
x


c2
x

c
она имеет множество решений. Принимая 4
2 , находим 3
2 .
Таким образом, собственному значению
 ( 2)
вектор X
2  1
соответствует собственный
1
 ( c2 ; c2 ) .
2

3. Находим образ вектора X :

~ 
Y  A( X ) ,
 1 1  1   4 
    .
Y  
6
2

 3  12 




Следовательно, Y  4 e1  12 e2 .
 (1)
1
 ( c1 ; c1 ) при 1  4 ;
3
(
2
)

1
X

(

c2 ; c2 ) при 1  1 ;
б)
2
Ответ: а) X



в) Y  4 e1  12 e2 .
3. Даны координаты вершин треугольника АВС: А(1;4), В(5;2) и С(-1;3).
Найти:
1) уравнение стороны АВ;
2) длину высоты, опущенной из вершины С на сторону АВ.
Решение.
1) Т.К. нам известны координаты двух точек, через которые проходит прямая
y  y1
x  x1

АВ, то для составления ее уравнения используем формулу y  y
x2  x1 , где
2
1
x1  1 , y1  4 (координаты точки А) и x2  5 , y2  2 (координаты точки В).
y  4 x 1

;
2  4 5 1
4( y  4)  2( x  1);
y  0,5 x  3,5.
2) Т.к. прямая АВ имеет угловой коэффициент k1  1 , то у высоты, опущенной из вершины С на сторону АВ, угловой коэффициент
k2  
1
1

 2.
k1
 0.5
Для написания уравнения высоты воспользуемся формулой уравнения прямой,
проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом
y  y1  k ( x  x1 ),
y  3  2( x  (1)),
y  2 x  4.
Найдем координаты точки D пересечения прямой АВ и высоты, опущенной из
вершины С на сторону АВ, для чего составим систему уравнений:
 y  0,5 x  3,5
.

y

2
x

4

 y  0,5 x  3,5
.

 2,5 x  7,5
 x3

 y  6,5
Находим длину высоты d (расстояние между точками C и D):
d  (1  3) 2  (3  (6,5)) 2  106,25  10,3 .
Ответ:
y  0,5 x  3,5; d  106,25  10,3 .
III. Общетеоретическая часть
Общетоеретическая часть экзаменационного билета включает в себя один теоретический вопрос из прведенного ниже перечня:
1. Общие понятия о матрицах.
2. Общие понятия об определителях.
3. Свойства определителей.
4. Основные типы матриц.
5. Основные операции над матрицами.
6. Обратная матрица
7. Ранг матрицы.
8. Сравнительный анализ методов решения системы линейных алгебраических
уравнений.
9. Сущность метода Крамера решения системы линейных алгебраических уравнений.
10. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.
11. Решение системы линейных алгебраических уравнений в матричной форме.
12. Векторы на плоскости и в пространстве. Основные понятия. Действия с векторами.
13. n-мерный вектор. Свойства операций над n-мерными векторами.
14. Линейная независимость n-мерных векторов.
15. Размерность и базис векторного пространства.
16. Переход к новому базису.
17. Линейные операторы.
18. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.
19. Основные задачи аналитической геометрии на плоскости.
20. Основные виды уравнения прямой на плоскости.
21. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.
22. Общий вид уравнения прямой.
23. Каноническое уравнение окружности.
24. Каноническое уравнение эллипса.
25. Каноническое уравнение гиперболы.
26. Каноническое уравнение параболы.
27. Понятие квадратичной формы. Матрица квадратичной формы.
28. Канонический вид квадратичной формы.
29. Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы.
4. Методические рекомендации по изучению учебной дисциплины
для студентов
При изучении темы “Матрицы и определители” необходимо обратить внимание на многообразие применения понятия матрицы в различных областях, в том
числе в экономике, на основные приемы вычисления определителей любого порядка, а также выполнение действий с матрицами, осбенно нахождения обратной матрицы и вычисления ранга матрицы.
При изучении темы “Системы линейных алгебраических уравнений” особое
внимание следует обратить на порядок исследования систем линейных алгебраических уравнений на основе теоремы Кронекера-Капелли, а также особенностям применения различных методов их решения.
При изучении темы “Векторы на плоскости и в пространстве” особое внимание следует обратить на описание векторов с помощью координат и выполнение
различных действий с векторами.
При изучении темы “ n - мерный вектор и n - мерное пространство” внимание
следует обратить на возможность использования n - мерных векторов в задачах
экономики и управления. Более детально следует изучить понятие размерности и базиса линейного пространства, исследование векторов на линейную независимость, а
также определение координат заданного вектора в новом базисе.
При изучении темы “Линейный оператор” особое внимание следует обратить
на понятие линейного оператора, алгоритм нахождения его собственных векторов и
собственных значений, а также их применение в экономике.
При изучении темы “Уравнение прямой на плоскости” особое внимание следует обратить на различные виды уравнений прямой и их применение в геометрических задачах.
При изучении темы “Кривые второго порядка” внимание следует обратить на
взаимосвязь различных параметров кривых второго порядка (окружности, эллипса,
гиперболы, параболы), а также на приведение квадратичной формы к каноническому
виду, исследованию знакоопределенности квадратичной формы.