П р а в

Правительство Российской Федерации
Государственное образовательное бюджетное учреждение
высшего профессионального образования
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ –
ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ
Факультет экономики
Программа дисциплины
СТОХАСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И МОДЕЛИРОВАНИЕ
ДЛЯ НАПРАВЛЕНИЯ 080100.68 «ЭКОНОМИКА» ПОДГОТОВКИ
МАГИСТРА
АВТОР: В.М. ХАМЕТОВ ( RISK@HSE.RU )
Рекомендована секцией УМС
« КОНКРЕТНАЯ ЭКОНОМИКА»
ПРЕДСЕДАТЕЛЬ
СМИРНОВ С.Н.
________________
«______» _______________________ 2011 Г.
УТВЕРЖДЕНА УС ФАКУЛЬТЕТА
ЭКОНОМИКИ
УЧЕНЫЙ СЕКРЕТАРЬ
КОССОВА Т.В.
_________________
«______» ______________________ 2011 Г
ОДОБРЕНА НА ЗАСЕДАНИИ
КАФЕДРЫ УПРАВЛЕНИЯ РИСКАМИ И СТРАХОВАНИЯ
МОСКВА, 2011
ЗАВ. КАФЕДРОЙ СМИРНОВ С.Н.
_________________________
«_______» ________________2010 Г.
1. Пояснительная записка.
Автор программы – д. ф.-м.н., профессор В.М. Хаметов
Аннотация. Курс «Стохастический анализ и моделирование» рассчитан на
один семестр и читается студентам первого курса магистратуры направления
Экономика, обучающимся по магистерской программе «Управление рисками и
актуарные методы».
Курс предназначен для ознакомления слушателей с математическими основами
экономического моделирования, прежде всего с ориентацией на финансы,
страхование и смежные области экономики, и практически-ориентированными
методами такого моделирования.
Данный курс является базовым для многих дальнейших курсов магистерской
программы «Управление рисками и актуарные методы». Полученные знания
могут быть использованы в дальнейших курсах финансово-экономического
профиля и при подготовке магистерских диссертаций, связанных с
применением методов экономического моделирования.
Важная роль в курсе отведена семинарским занятиям. Для успешного усвоения
курса студентам необходимо не просто получить представление об основных
методах анализа, но и научиться применять эти методы. Это требует
непрерывной практики в решении задач, которая приобретается на семинарских
занятиях.
Требования к студентам.
Курс предназначен для студентов первого курса магистратуры, уже
прослушавших курсы линейной алгебры, обыкновенных дифференциальных
уравнений, теории вероятностей и математической статистики. Предполагается
также, что студенты знакомы с основами теории вероятностей.
Учебная задача дисциплины.
В результате изучения курса студент должен:
- знать основные результаты теории вероятностей и некоторые результаты
теории случайных процессов, обладать навыками решения задач в этой
области;
- уметь описывать экономические задачи на «языке» теории вероятностей и
случайных процессов;
- обладать навыками применения вероятностных моделей в области финансов
и страхования.
2
2. Тематический план дисциплины.
№
Наименование разделов и тем
1
Основные понятия элементарной 21
теории вероятностей
Математические
основания 31
теории вероятностей
Стохастический
анализ 42
случайных последовательностей
и его приложения
Случайные процессы с непре- 32
рывным временем
126
Итого:
2
3
4
Всего
часов
Аудиторные часы
Самосто
Лекции
Семинар ятельная
работа
ы
6
2
13
6
3
22
14
7
21
6
4
22
32
16
78
3.Литература.
Базовые учебники
Ширяев А.Н. (2004) Вероятность т. 1,2 М. Физматлит [Ширяев I]
Булинский А.В., Ширяев А.Н. (2003) Теория случайных процессов М.
Физматлит [Булинский]
3. Ротарь В.И. (1992) Теория вероятностей. – М.: Высшая школа. [Ротарь]
1.
2.
Основная.
1. Ширяев А.Н. (2004) Основы стохастической финансовой математики т.
1,2, М. Фазис [Ширяев II]
2. Фёльмер Г., Шид А. (2008) Введение в стохастические финансы.
Дискретное время [Фёльмер]
3. Мельников А.В. (2006) Финансовые рынки М. Физматлит [Мельников I]
4. Бьорк Т.(2010) Теория арбитража в непрерывном времени. М. МЦНМО
[Бьорк]
5. Мельников А.В., Волков С.Н., Нечаев М.М. (2011) Математика
финансовых обязательств. М. ГУВШЭ [Мельников II]
6. Жакод Ж., Ширяев А.Н. (1994) Предельные теоремы для случайных
процессов М. Физматлит [Жакод]
7. Оксендаль Б. (2003) Стохастические дифференциальные уравнения
Введение в теорию и приложения. М.:Мир. [Оксендаль]
8. Невельсон М.Б., Хасьминский Р.З. (1972) Стохастическая аппроксимация
и рекуррентная оценивание. М. Наука [Невельсон]
Дополнительная.
1. Боровков А.А. (1986) Теория вероятностей. – М.: Наука.
3
2. Вентцель А.Д. (1996) Курс теории случайных процессов, 2-е изд.. – М.:
Наука
3. Прохоров, Ю. В. (ред.) (1999) Теория вероятностей и математическая
статистика. – М.: Большая российская энциклопедия
4. Karatzas I. and Shreve S.E. (1988) Brownian Motion and Stochastic Calculus.
– Springer.
Соответствующие разделы основной литературы приведены по каждой теме.
4.Формы контроля.
Текущий контроль – посещение лекций и активность на семинарах.
Промежуточный контроль – контрольная работа (30% от общей оценки).
Итоговый контроль – зачёт в конце курса (60% от общей оценки).
Итоговый контроль – устный зачёт, который включает в себя ответы на
теоретические вопросы и решение задач (примеры контрольных вопросов по
курсу приведены в пункте 6 настоящей программы).
Итоговая оценка складывается из результатов текущего контроля (Отек),
промежуточного контроля (Опр) и оценки, полученной на зачёте (Озач).
Итоговая оценка (Оср) определяется как средневзвешенная величина из
оценок текущего контроля (Отек), промежуточного контроля (Опр) и итогового
зачёта (Озач)
Удельный вес каждой формы контроля составляет:
Текущий контроль = 0,1
Промежуточный контроль = 0,3
Итоговый зачёт = 0,6
Оср=0,1*Отек +0,3*Опр+0,6*Озач
5.Содержание программы.
Раздел I. Основные понятия теории вероятностей (Ширяев I глава I; Ротарь
часть I).
Конечное вероятностное пространство. Пространство элементарных
исходов. Алгебра событий. Определение вероятности. Свойства вероятности.
Теорема сложения вероятностей. Определение условной вероятности.
Разбиение пространства элементарных исходов. Формула полной вероятности.
Формула Байесса. Дискретные случайные величины. Примеры дискретных
случайных величин. Повторные испытания: независимые события, формула
Бернулли, теорема Пуассона. Предельные теоремы Муавра-Лапласса (локальная
и интегральная). Функция распределения дискретной случайной величины.
Раздел II. Математические основы теории вероятности (Ширяев I, глава 2;
Ротарь, гл. 1 части II).
Понятие метрического пространства. Метрика и ее свойства, примеры.
Понятие линейного пространства. Пространства R1 , Rn, R∞, C(R+), пространства
Скорохода. Сигма – алгебра (примеры). Терема о монотонных классах.
Измеримые пространства.
4
Способы задания вероятностных мер на измеримых пространствах.
Вероятностное пространство. Определение случайного элемента. Примеры
случайных элементов. Теорема Бореля. Функции распределения случайного
элемента. Случайные величины и действия над ними. Классификация
случайных величин. Теорема о монотонной сходимости.
Интеграл Лебега и его свойства.
Сходимость случайных величин: по вероятности, с вероятностью один, в
Lp, слабая сходимость.
Теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега.
Неравенства Чебышева, Гёльдера, Йенсена.
Абсолютная непрерывность вероятностных мер (примеры). Теорема
Радона-Никодима. Определение условной вероятности и условного
математического ожидания по Колмогорову (примеры). Свойства условного
математического ожидания.
Дисперсия случайной величины и ее свойства. Ковариация, корреляция.
Закон больших чисел. Усиленный закон больших чисел.
Раздел III. Стохастический анализ случайных последовательностей и его
приложения (Булинский глава 4, Ширяев I, глава 7, Жакод глава 1, Нивельсон
глава 2, Ширяев II, главы 2, 5,6, Мельников I лекции 2-6).
Определение случайной последовательности, согласованной случайной
последовательности.
Полумартингалы:
субмартингалы,
мартингалы,
супермартингалы. Примеры полумартингалов. Гипотеза эффективного рынка и
мартингалы.
Возрастающие
последовательности.
Предсказуемые
последовательности. Последовательности имеющие ограниченную вариацию.
Теорема Дуба-Мейера. Семимартингалы.
Марковские случайные последовательности. Переходная вероятность.
Соотношение
Чепмена-Колмогорова.
Случайные
последоватеотности
определенные
рекуррентно.
Условия
марковости
случайных
последовательностей определенных рекуррентно.
Примеры. Применение
теории марковских последовательностей для построения моделей рынка.
Модели: МА, AR,GARCH, биномиальная.
Применение теории случайных последовательностей к решению задачи
расчета опционов. Рисковые и безрисковые активы. Эволюция стоимости
рискового и безрискового активов. Понятие (B,S) рынка. Портфель,
самофинансирующий портфель. Капитал самофинансирующего портфеля.
Дисконтированный капитал. Описание опционных европейского и
американского типов. Арбитраж на (B,S) рынке. Условия отсутствия арбитража.
Платежные обязательства. Полный (B,S) рынок. Хедж. Биномиальный (B,S)
рынок. Расчет европейского опциона на полном (B,S) рынке. Формула КоксаРосса-Рубинштейна. Динамическое платежное обязательство. Задача расчета
американского на полном (B,S) рынке. Марковский момент. Задача об
оптимальной остановке. Пример решения задачи расчета американского
опциона.
5
Раздел IV. Стохастический анализ случайных процессов. (Булинский главы
2, 3,8, Мельников II глава 9 параграф 9.1, Жакод глава 2, Оксендаль главы
3,4,5,12, Бьорк главы 4-8).
Пуассоновские случайный процесс. Непрерывный слева (справа)
случайный процесс. Предсказуемый случайный процесс. Процесс с
ограниченной вариацией. Считающий процесс. Мартингалы с ограниченной
вариацией. Стохастический интеграл по мартингалу имеющему ограниченную
вариацию (примеры). Процесс гибели и размножения. Модель коллективного
страхования.
Стохастическое исчисление Ито. Определение винеровского процесса.
Свойства винеровского процесса. Стохастические интегралы Винера, Ито,
Стратановича и их свойства. Процесс Ито. Формула Ито. Геометрическое
броуновское движение и его экономическая интерпретация.
Стохастические уравнения Ито (сду). Условия существования и
единственности решения сду. Диффузионные процессы и сду. Прямое и
обратное уравнения Колмогорова, соответствующие диффузионным процессам
(вывод уравнений и примеры решения).
Рынок Блэка-Шоулса (описание). Уравнение Блэка-Шоулса. Расчет
европейского опциона на рынке Блэка-Шоулса.
6.Вопросы для оценки качества освоения дисциплины и
контрольной работы.
Примеры вопросов (задач) для проверки качества знаний.
1.Вероятность того, что расход электроэнергии в течение суток не превысит
нормы равна 3/4 . Найти вероятность того, что в течение 6 суток расход не
превысит нормы за четверо суток.
2. Транспортируется
изделий. Вероятность того, что изделие сломается
при его транспортировке равна
. Какова вероятность того, что сломается
при транспортировке 3 изделия?
3. В условиях задачи 1 найдите вероятность того, что в течение 10 суток расход
электроэнергии не превысит нормы 8 суток.
4. Вероятность появления события в каждом из 400 испытаний постоянна и
равна 0.2. Найти вероятность того, что это событие произойдёт не менее 70 раз
и не более 100 раз.
5. Пусть
- случайная величина, имеющая непрерывную функцию
распределения
. Докажите, что случайная величина
имеет равномерное распределение.
6. Докажите, что сумма конечного числа независимых пуассоновских
случайных величин имеет пуассоновское распределение.
6
7. Пусть случайная величина имеет пуассоновское распределение с
параметром . Найдите её математическое ожидание и дисперсию.
8. Найти дисперсию суммы бернуллевских случайных величин.
9. Докажите неравенство Чебышева.
10. Докажите неравенство Коши-Буняковского.
11. Докажите неравенство Йенсена.
12. Докажите, что если
.
- случайная величина такая, что
, то
13. Пусть
- случайные величины, принимающие не более чем
счётное число значений. Докажите, что они независимы тогда и только тогда,
когда для любого
14. Докажите, что если дисперсия случайной величины равна нулю, то с
вероятностью один она равна константе.
15. Пусть
- неотрицательная случайная величина с функцией
распределения
и конечным математическим ожиданием. Тогда
справедливо
.
16. Докажите равенство:
.
17. Докажите, что из сходимости в среднеквадратическом следует сходимость
по вероятности.
18. Докажите, что закон больших чисел справедлив для последовательности
независимых случайных величин, имеющих равномерно ограниченные
дисперсии.
19. Пусть
- последовательность независимых в совокупности случайных
величин, причём
. Пусть
. Докажите, что если для любого
конечного n:
а)
, то последовательность
является субмартингалом.
б)
, то
- мартингал.
в)
, то
- супермартингал.
20. Пусть последовательность
удовлетворяет рекуррентному соотношению
7
(1)
, где
- константы. Докажите, что оно имеет решение
.
21. Найдите условия, при выполнении которых последовательность
определяемая рекуррентным соотношением (1) является марковской.
22. Пусть в рекуррентном соотношении (1)
- гауссовская случайная
величина.
– последовательность некоррелированных гауссовских
случайных величин, причём
и
некоррелированы. Докажите, что для
любого
,
- гауссовская случайная величина, и найдите её
математическое ожидание и дисперсию.
23. Пусть
удовлетворяет рекуррентному соотношению
(2)
, где
- последовательность бернулливских случайных величин, причём:
1)
и
,
2)
Найдите математическое ожидание
.
24. Пусть выполнены условия задачи 23. Пусть -1<a<r<b, и
, где
- стоимость безрискового актива. Докажите, что рассматриваемый
рынок является безарбитражным и полным.
25. Пусть выполнены условия задачи 23. Пусть n=1,
1) Найдите a, b. Постройте мартингальную меру.
2) Пусть
. Найдите стоимость опциона Call.
26. Докажите, что винеровский процесс является мартингалом.
8
27. Пусть
- винеровский процесс. Найдите математическое
ожидание y(t) и его дисперсию .
28. Вычислите стохастический интеграл
.
29. Найдите решение стохастического уравнения
- константа.
, где
30. С помощью формулы Ито найдите решение стохастического уравнения
, где
- константы.
7. Методические рекомендации преподавателю.
Данный курс предназначен для студентов, уже владеющих основами
вероятностного моделирования. В то же время он охватывает достаточно
широкий материал. Поэтому курс носит обзорный характер. При его чтении
важно обращать внимание слушателей на ключевые моменты, восприятие
которых необходимо для умения применять вероятностные методы на практике.
Следует уделять внимание выработке навыков решения задач, причем
применение основных концепций теории, таких, как (в том числе условные)
распределения, плотности, математические ожидания и дисперсии, не должно
встречать трудностей.
8. Методические указания студентам.
Для успешного усвоения курса необходимо не только посещать лекции и
семинарские занятия, но и активно готовится к ним. В частности, целесообразно
перед каждой лекцией просматривать основные определения и факты по теме,
известные студентам из курса теории вероятностей.
Автор программы:_________________________________ Хаметов В.М.
9