ПРИРОДНИЧІ НАУКИ УДК 621.313 О ВЛИЯНИИ НАМАГНИЧЕННОСТИ ТЕЛА, ЕГО ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ НА НАПРЯЖЕННОСТЬ МАГНИТНОГО ПОЛЯ, СОЗДАВАЕМОГО ИМ Придубков П.Я. Украинская государственная академия железнодорожного транспорта, г. Харьков Введение. Во многих отраслях народного хозяйства (на транспорте, в тяжёлом машиностроении и др.) широкое распространение получили магнитные и электромагнитные методы дефектоскопии, использующие ферромагнитные свойства стали. Магнитные свойства материала тех или иных устройств могут быть использованы при идентификации транспортных средств или промышленных изделий. Как известно, напряженность магнитного поля, а также и его индукция, во многом определяется геометрическими параметрами ферромагнитного тела и величиной его намагниченности. Поэтому весьма актуальной является проблема исследования параметров магнитного поля намагниченного тела. Известные теоретические исследования параметров полей магнитной ленты при ее продольном и поперечном намагничивании, а так же ферромагнитных цилиндра, сферы и эллипсоида в однородном внешнем магнитном поле, изложенные в [1, 2], не решают данной проблемы, т.к. не устанавливают аналитических зависимостей параметров магнитных полей от объема этих тел. Цель работы. Исследование магнитного поля, создаваемого намагниченным телом, и установление аналитических зависимостей параметров данного поля от геометрических размеров тела и его намагниченности, позволяющей повысить эффективность функционирования устройств дефектоскопии и идентификации. Материал и результаты исследований. Для расчета магнитных полей как в областях занятых, так и в областях незанятых током (т.е. в условиях магнитостатики) широко используется векторный потенциал магнитного поля. Это векторная величина, плавно изменяющаяся от точки к точке. Его ротор равен вектору магнитной индукции: B rotA . (1) Представление вектора магнитной индукции в виде ротора от вектора-потенциала [1] основывается на том, что в соответствии с формулами векторного анализа дивергенция любого ротора тождественно равна нулю. Так как в соответствии с дифференциальной формой записи принципа непрерывности магнитного потока divB 0 , то подстановка в равенство (2) тора лю: B дает выражение, тождественно равное ну- divrotA 0 . (3) В электротехнических расчетах векторный потенциал может быть использован для определения вектора B магнитной индукции (1) или магнитного потока . Вектор H напряженности магнитного поля в однородной среде также принято определять через векторный потенциал. В соответствии с основными уравнениями маг нитостатики, т.е. когда rotH 0 и, полагая соnst во всей области магнитного поля, связь между векторами жена уравнением: J и B может быть выра- rotB rotH rotJ rotJ . (4) Так как вектор B может быть выражен через векторный потенциал (1) , то: rotB rotrotA graddivA 2 A rotJ . (5) Векторный потенциал A является вспомогательною функцией, введенной с целью упрощения расчета, поэтому в магнитном поле постоянного магнита ее можно подчинить требованию divA 0 [1]. Последнее означает, что линии вектора A есть замкнутые сами на себя линии. С учетом того, что divA 0 , уравнение (5) приобретает вид: 2 A rotJ . (6) Выражение (6) представляет собой уравнение Пуассона. Для получения общего решения данного уравнения необходимо воспользоваться теоремой Грина, применимой к конечной области V , ограниченной поверхностью S . Причем в формуле данной теоремы необходимо использовать вектор- ный градиент функции A : (2) rotA вместо век- 1 2 2 V r A A 1 dA d 1 1 dS . (7) A dV r r dn dn r S Вісник КДПУ. Випуск 6/2006 (41). Частина 1 8 ПРИРОДНИЧІ НАУКИ n Здесь r означает расстояние произвольной точки поля от точки P , в которой ищется векторный потенциал. Так как в соответствии с правилами операций дифференцирования векторного анализа r0 1 r grad 2 3 , r r r r 1 1 div 3 3 divr r grad 3 . r r r то S S0 (8) P P P P P (9) Учитывая, что Рисунок 1 – К пояснению вывода уравнений 1 d 1 3 grad 3 r 4 r0 , а divr 3 , 3 0 dr r r r (10) Поэтому на поверхности получаем: Принимая во внимание уравнение Пуассона (6) и уравнение (11), формулу Грина можно представить как 1 dA d 1 dS . A r dn dn r S S0 d 1 d 1 1 1 2 2 dn r dr r r r0 r r0 1 1 3 2 1 3 divr r grad 3 3 3 4 0 . (11) r r r r r rotJ V и dA dA . dn dr (13) (14) Если распространить поверхностный интеграл формулы теоремы Грина по поверхности S 0 , внеся (12) в него полученные в уравнениях (13) и (14) значения и применив теорему о среднем интегрального исчисления, получим: В рассматриваемом объеме V , включающем в себе точку P , в которой определяется векторный потенциал, и ограниченном поверхностью S , век- 1 dA A 1 dA d 1 S r dn A dn r dS S r0 dr r02 dS 0 0 V r 1 dA 1 A dS , 2 r dr r 0 0 S тор A и его производные являются непрерывными функциями точки. А вот скаляр 1 и его производr ные конечны и непрерывны во всем пространстве, кроме точки P . Теорема Грина может быть приме нена к участкам пространства, где A и 1 , и их проr изводные непрерывны. Поэтому из объема V интегрирования следует исключить точку P , заключив ее в сферу S 0 произвольно малого радиуса, и применить формулу (12) к объему между внешней поверхностью сферы V , заключенному S и поверхностью (15) dA - некоторые средние значения векгде A и dr dA тора A и его производной на поверхности dr сферы S 0 . Интеграл dS равен общей поверхности сфе- S0 S 0 (рис. 1). Нормаль к поверхности сферы S 0 , направлен- ная к ее центру, прямо противоположна радиусу вектору r и является внешней по отношению к объему интегрирования. ры S 0 = 4r , потому правая часть уравнения (15) имеет вид: 2 0 dA 4A . 4r0 dr Вісник КДПУ. Випуск 6/2006 (41). Частина 1 9 (16) ПРИРОДНИЧІ НАУКИ Если теперь устремить к нулю радиус гивая сферу Следовательно, r0 , стя- B rotA rot 4 S 0 в точку P , то первый член выра- жения (16) обратится в нуль, а среднее значение вектора-потенциала A на поверхности бесконечно малой сферы может быть принят, равным значению вектора A в ее центре P . Таким образом, в пределе при r0 0 урав- нение (12) принимает вид: V rotJ r 1 dA d 1 dS , 4A A r dn dn r S или 1 A 4 V rotJ r 1 4 В соответствии с формулами векторного анали- rotJ [ Jr ] r dV r 3 dV , V где объемный интеграл может быть распространен на весь ограниченный поверхностью S объем, т.к. r0 0 область V интегрирования стремится к объему V , а подынтегральное выражение остается конечным и при r 0 . при Последний член уравнения (18) представляет собой интеграл по поверхности, ограничивающим поэтому [ Jr ] [ Jr ] B rot dV rot 3 dV . (22) 4 V r 3 4 V r rot[ Jr ]r n J (n 2)r n r ( Jr )nr n 2 , (23) получаем [ Jr ] B rot 3 dV 4 V 4 r жает зависимость значений вектора-потенциала A в объеме V от значений этого вектора и его первых производных на граничной поверхности этого объема. Если под объемом интегрирования понимать все бесконечное пространство (т.е. удалить ограничивающую V поверхность S в бесконечность) и наложить на A и его первые производные следу- A 1 , а его перr вые производные по координатам не медленнее, d A 1 2 чем , т.е. rA и r при r0 0 остаются dn r2 конечными, то интеграл по граничной поверхности станет равен нулю. Таким образом: 1 rotJ A 4 4 V r rotJ r dV . V (19) dV (24) dV . (25) J 3r Jr r3 r5 V Следовательно, B 1 H 4 объем, в котором определяется вектор A , и выра- стремится к нулю не медленнее, чем (21) Учитывая, что [3] 1 dA d 1 S r dn A dn r dS , (18) ющие граничные условия: в бесконечности (20) за: Следовательно, 1 dA d 1 A lim dS 4 A . (17) dn r r0 0 S0 r dn rotJ . dV V r J 3r Jr r 3 r 5 V Выводы. Напряженность магнитного поля, создаваемого намагниченным телом, убывает не мед1 , и определяется его намагниченноленнее, чем r3 стью, геометрическими параметрами данного тела. Установленная аналитическая зависимость может быть использована в промышленности при разработке устройств дефектоскопии и идентификации с целью повышения эффективности их функционирования. ЛИТЕРАТУРА 1. Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники. Электромагнитное поле. – М.: Высшая школа, 1986. – 263 с. 2. Поливанов К. М. Теоретические основы электротехники, ч. 3, Теория электромагнитного поля. – М.: Энергия, 1969. – 352 с. 3. Маделунг Э. Математический аппарат физики. – М.: Государственное издательство физикоматематической литературы, 1960. –618 с. Статья поступила 20.11.2006 г. Рекомендовано к печати д.т.н., проф. Черным А.П. Вісник КДПУ. Випуск 6/2006 (41). Частина 1 10