Образцы контролирующих материалов.

Приложение 1
Образцы контролирующих материалов.
Экзаменационный билет по дисциплине Высшая математика
1 семестр
Вариант 1
1. Понятие базиса. Разложение вектора по произвольному базису.
2. Дана система линейных уравнений
2 x1  x2  2 x3  x4  x5  2,

 x1  2 x2  x3  x4  x5  2,
x  x
 x4  2 x5  1.
2
 1
найдите общее решение системы;
3. Плоскость проходит через точку M(6, −1, 1) и отсекает на оси Ox отрезок a = −3, на оси
Oz отрезок c = 1. Составьте уравнение этой плоскости.
4. Приведите уравнение кривой к каноническому виду и постройте кривую
4 x 2  4 y 2  64 x  18 y  89 .
Вариант 2
1. Сформулировать и доказать правило Лопиталя для случая неопределённости
вида
0
..
0
2. Найдите пределы:
2 x 1  3 x  2
а) lim
.
x   2 x 1  3 x
1
в) lim xe x .
x  0
x
3. Найдите производную функции y  ln tg (5  2 ).
4. Определите точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости функции
1
y  x5ex.
Экзаменационный билет по дисциплине Высшая математика
2 семестр
Вариант 1
1. Свойства функций, непрерывных на множестве. Формулировки теорем,
геометрическая иллюстрация, примеры.
2. Определение локального экстремума функции двух переменных. Терема о
необходимом условии экстремума (с доказательством). Примеры: z  x  y ,
2
2
z  x 2  y 2 . Существует ли стационарная точка для каждой из функций? Есть ли
экстремум функции в стационарной точке?
3. Найти и построить область определения функции z  lg( 4 x  y ) .
2
4. z  arcsin
2
x
. Найти угол между градиентами этой функции в точках (1,1) и
x y
(3,4).
Вариант2
1. Понятие первообразной. Теорема о первообразных (формулировка).
2. Вычислить a), b) и исследовать на сходимость c).
a)  x
2
cos( x 3  4)dx
3. Вычислить

1
x
dx
0 ( x  2)( x  1)
b) 
c)

0
x
dx
x2 1
2
3
 xdx  y dy, L : { y  x , от т. А(8, 2) до т. В(0, 0)}
L
4. Вычислить  ydS S : {x  3 y  2 z  1, x  0, y  0, z  0}
S
Экзаменационный билет по дисциплине Высшая математика
3 семестр
Вариант 1
1. Исследовать на сходимость ряды:

1. 
n 1 n
n2
3
2

, 2. 
n 1 ( n

n
 5 )2 4 n
, 3. 
e-
n 1
n
n
,
 ( 1) n 3n
4. 
.
n 1
3

1
n 1
2. Разложить в ряд Тейлора с центром в точке x0 функцию f(x):
f ( x )  3 2 x  3 ; x0  1.
3. Вычислить и построить на комплексной плоскости:
4. Вычислить интеграл:  e
 12  i 4 3
 | z|
dz ,
L
где L - отрезок прямой от точки z1  0 до точки z 2  3  4i .
5. Найти аналитическую функцию
f ( z)  U  iV по известной
значению f ( z 0 ) : V( x , y )  e cos x  y ;
y
мнимой части и
f (  / 2) 1 i
Вариант 2
1. Теоирема существования и единственности решения задачи Коши для уравнения 1-го
порядка.
2. Определить тип и найти общие решения данных уравнений:
y  y  x .
3. Решить задачу Коши:
yy  ( y) 2  0 .
 dx
 dt  y,
 dy
   x.
 dt
y (1)  1, y(1)  1.
x (0)  1; y( 0)  1.
4. Операционным методом решить задачу Коши:
 x  3x  y,
x0  2; y0  0.

 y  5 x  3 y  2.
5. Найти оригинал по заданному изображению:
e p
.
p( p  1)
ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ
Контрольная работа по теме «Линейная алгебра»
1. Дан определитель
2 4 3 1
1 1 0 1 .
3 2 4 0
0 1 1 3
а) Запишите разложение данного определителя по четвёртому столбцу;
б) вычислите определитель, получив предварительно нули в какой – либо строке
или столбце.
5 x  8 y  z  7
2. Решить систему уравнений  x  2 y  3 z  1

матричным методом. Значение x
2 x  3 y  2 z  9

вычислить также методом Крамера.
3. Исследовать систему на совместность и решить методом Гаусса
x2  x3  x4  1

x
 x3  x4  2
 1

 x4  3
 x1  x2

4
 x1  x2  x3
4. Дана система однородных линейных уравнений
0
 x1  x2  2 x3

2 x1  x2  x3  3x4  0
 x  2 x  x  3x  0
2
3
4
 1
а) Докажите, что система имеет нетривиальные решения;
б) Найдите общее решение системы;
в) найдите фундаментальную систему решений.
5. При каких значениях параметра
 система линейных уравнений
с расширенной матрицей
 2 1 1 4


 1  1 3  совместна?
 1 2 1 4 


Контрольная работа по теме «Векторная алгебра»




I. Даны четыре вектора: a  {4,5,2}; b  {3,0,1}; c  {1,4,2}; d  {5,7,8}.

  
1.Доказать, что векторы a , b , c образуют базис и найти разложение вектора d в этом
базисе.
 
2. Найти косинус угла между векторами a и b .

 

3. Найти длину вектора g  a  2b  3c .
II. Даны четыре точки: A(1;3;0), B(4;1;2), C (3;0;1), D(4;3;5) .
4. Найти объём пирамиды ABCD и длину высоты , опущенной из вершины D на грань
ABC .
5. Найти проекцию вектора AB на ось вектора CD .
6. Найти координаты вектора [( BC  AB), CB] .
 
  1  
III. Параллелограмм построен на векторах a  p  4q , b  ( p  q ), где
2


 

p  4, q  2, ( p ^ q )  .
3
Определить: а) косинус тупого угла между диагоналями; б) длину высоты, опущенной

на сторону a .
Контрольная работа по теме «Аналитическая геометрия»
1. Определить при каких значениях а прямая
(а+2)х + (а2 -9)у + 3а2 - 8а + 5 =
0
параллельна оси ОХ.
2.
Составить уравнения прямых, параллельных прямой
отстоящих от нее на расстояние d=3.
3х - 4у - 10 = 0 и
3.
Даны вершины треугольника А(2,6), В(4,-2), С(-2,-6).
высоты из вершины А и
4.
Составить уравнение
уравнение медианы из вершины С.
Привести к каноническому виду, назвать и построить
кривые:
а) 16х2 + 25у2 + 32х - 100у - 284 = 0;
б) у2 - 4у - 20х + 24 = 0.
 2 x  y  3z  9  0
 2 x  3z  4  0
5. Из общих уравнений прямой : 
получить канонические и параметрическое уравнения
6.
прямой.
Найти проекцию точки А(1,2,0) на плоскость
8x + 6y +8z – 25 = 0.
7.
Построить тело, ограниченное поверхностями
х2 = z,
x + y = 2,
y = 0, z = 0.
Контрольная работа по теме «Введение в анализ»
I. Вычислить пределы:
1. lim
n2  4n
n  3
3. lim
x 2
2n  1
3
;
2. lim
x 1
x2  3  1
;
x2
1 1 1
1
   n
2 4 8
2 ;
5. lim
n
n 1
x 2 1
x2 x

7. lim 

x   x  1 
;
x2  x
x  3x - 4
3
;
arcsinx 2
4. lim
;
x 0 1  cos x
sin 2  x 
;
x 2
2x  2
6. lim
8. lim
x 0
ln( 1  3 x 2  tg 4 x )
2x  1  1
2
.
II. Найти точки разрыва функции, указать их характер. Построить график функции в
окрестности точек разрыва:

cosx , åñëè x  0 ,

f ( x )   x 2 , åñëè 0  x  1,
 1
 x 1
, åñëè x  1.
2
Ш. Доказать по определению предела и дать геометрическую интерпретацию:
lim
n2  1
n 
n2
 1.
IV. Сформулировать и доказать первый замечательный предел.
Контрольная работа по теме «Дифференциальное исчисление»
I. Найти производные следующих функций:
2. 3x  3 y  x  y ;
1. y  (ecos x  3)2 ;
II. Найти вторую производную
d2y
:
dx 2
1. y 
x
ctg( )
3. y  (tg 2 x) 2
 x  cos(t / 2),
x
2.

x2  1
 y  t  sin t.
III. Пользуясь правилом Лопиталя найти пределы:
x
1 

1. lim 

x 1 x  1 ln x 
2. lim (1  x)
cos
x
2
x 1
IV. Провести полное исследование функции и построить график функции :
y
3x  1
.
5x  2
Контрольная работа по теме «Неопределенный интеграл»
Вычислить интегралы
1.  x 1  x 2 dx ;
3.  arctg x dx ;
2.  5 ( 8  3x)6 dx ;
4.  (1  x)sin 2x dx ;
xdx
6. 
5. 
;
3
x 1
7. 
dx
;
4
cos x
8. 
x 2dx
;
2
4 x
9. 
xdx
;
(x  1 )(x  3 )(x  5 )
sin 6 x
dx ;
cos 4 x
dx
10. 
.
4
4
1 x
Контрольная работа по теме «Определенный интеграл»
1. Вычислить среднее значение функции на указанном отрезке:
y
sin 2 x
,
2  cos 2 x
 
x  [ , ].
4 4
2. Оценить интеграл (сверху и снизу):
2
e
x2  x
dx .
0
3. Вычислить несобственные интегралы или исследовать их
3
dx
1) 
;
1 x ln x

2) 
0
x 2 dx
3
(x3  8)4
на сходимость:
x 2dx
3) 
.
3
2
0 arctg x  x
2
;
4. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями:
1) y  e x , y  e x
и
x  1;
2)   2 sin  .
5. Вычислить длины кривых:
1) y  x3 ,
от точки
(0,0) до (5,5 5 ) ;
 x  5(t  sin t ),
t  [0, ] .
 y  5(1  cos t ),
2) 
6. Найти объем тела, образованного вращением фигуры вокруг
оси ОХ, ограниченной линиями:
 x  3 y  2,

 y  1, x  1.
Контрольная работа по теме «Кратные интегралы»
1. Вычислить двойной интеграл
 x
3 2
y dxdy;
D : {x 2  y 2  R 2 }.
( D)
2. Перейти к полярной системе координат и вычислить
интеграл
y
 arctg( x ) dxdy;
D : {x 2  y 2  1, 0  y  x}.
( D)
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y  x;
4. Найти объем тела, ограниченного цилиндрами: x 2  y,
и плоскостями: z  0,
x2  2  y
x2  4  3 y
z  9.
5. Вычислить массу тела, занимающего область
V : {x 2  y 2  2 x, z  3, y  0, z  0},
если  
z
x2  y 2
- объемная плотность.
Контрольная работа по теме «Элементы векторного анализа »
1. Вычислить криволинейный интеграл 1го рода
 (1  x
2
)dl , где L : x 2  y 2  ay .
( L)
2. Вычислить работу силового поля. Проверить зависит ли интеграл от траектории
интегрирования? Если не зависит, то упростить вычисления.
 ( xy  1)dx  x
2 2
y dy ,
где L : AB; A(1,0); B(0,2) .
( L)
3. Вычислить поверхностный интеграл
 dS , где S – часть плоскости
(S )
x  y  z  a , заключенная в первом октанте.



4. Найти поток векторного поля A  4i  9 j через внешнюю сторону поверхности
параболоида вращения y  x 2  z 2 , ограниченного плоскостью y  4 , при
x  0, z  0 .
5. Проверить будет ли потенциальным и соленоидальным поле




a m   (2 xy  z 2 )i  (2 yz  x 2 ) j  (2 xz  y 2 )k .
Контрольная работа по теме «Числовые и функциональные ряды»
I.
Исследовать на сходимость ряды:

1. 
n 1 n

1
 1  cos na
2
, 2. 
(n  1) 2
n 1 (n
 2) 3
2
n!(n  1)!
,
n 1 (2n)!

, 3. 
n
n
 ( 1) n n 4
 n 1 
4.  
.
 , 5.  5
n 1  3n  2 
n 1 n  5

II.
Найти интервал сходимости ряда, исследовать ряд на концах интервала:
n
n  x  5

 .

2 
n1 n  2 

III.
Разложить в ряд Тейлора, в окрестности точки x0, функцию f(x):
f ( x )  cos 2 x;
IV.
x0 

3
.
Разложить функции в ряд Фурье в указанном интервале: 1.
y  3x  7, x  (  ; ).
 2, при  2  x  1
; x  (2;0); (по косинусам).
 x, при  1  x  0
2. y  
Контрольная работа по теме «Функции комплексного переменного»
1.
Разложить функцию f ( z ) 
z
2
( z  1)( z  2 z  3)
в ряд Лорана с центром в
z0  1 в кольце | z  1 | 4 .
2.
А)
Вычислить следующие интегралы:

zdz
z
2
| z  2| 4 e  e
В)

2
2
 ( z  1) sin z dz
| z | 5
С)

cosxdx
2
 x  4x  5
Контрольная работа по теме «Дифференциальные уравнения.»
Определить тип и найти общие решения данных уравнений:
1.
( y  y ln x)dx  ( x  xy)dy  0.
2. y 
2x
1  x2
y
2 x2
.
2
1 x
Найти частные решения уравнений:
4.
 y
xy  y  x tg   ,
 x
y (1)  1.
5. e y dx  (2 y  xe y )dy,
y(1)  0.
Контрольная работа по теме «Операционное исчисление»
1) Найти изображение по заданному оригиналу: e5t sin 2 t
2) Найти оригинал по заданному изображению:
3)
e p
p( p  1)
Операционным методом решить задачу Коши: x  x  cos t , x0  0, x0  2.
4) С помощью формулы Дюамеля решить задачу Коши:
1, 0  t  2,
xx 
x0  x0  0.
 0, t  2,
5) Операционным методом решить задачу Коши:
 x  3x  y,
x0  2; y0  0.

 y  5 x  3 y  2.
РЕЙТИНГ-ПЛАН
по курсу Высшая математика
Осенний семестр ЭЛТИ 2009\2010 учебного года
Всего баллов
Семестр 1
1000
Курс 1 (набор 2009)
Лектор
Кол-во уч.недель 17
Манешева Р.А.
Допуск к экзамену 450
Тема
Линейная
алгебра
Векторная
алгебра
Аналитическая
геометрия
Введение в
анализ
Диф.исчисление
функции одной
переменной
ИТОГО
Лектор потока
Контрольная
работа,
баллы
ИДЗ,
балл
ы
Практ.
занятия,
баллы
Колл.
Отчетная
неделя
Макс.балл
150
25
25
200
100
25
25
150
150
25
25
200
150
25
25
200
150
25
25
200
700
150
150
1000
И.А. Цехановский