Задание для студентов, занимающихся по индивидуальному

Методические рекомендации
по дисциплине Б3.В.4, Алгебра, 1 курс
по направлению 010200.62 Математика и компьютерные науки
Темы для самостоятельного изучения
№
п/п
Наименование раздела
дисциплины (модуля)
1.
Основные понятия алгебры
2.
Матрицы и определители.
3.
4.
5.
6.
Форма самостоятельной
работы
- Изучение литературы.
- Ведение конспекта
лекционных и практических
занятий.
Решение задач.
- Изучение литературы.
- Ведение конспекта
лекционных и практических
занятий.
Решение задач.
Кол-во
часов
12
26
Системы линейных
уравнений.
- Изучение литературы.
- Ведение конспекта
лекционных и практических
занятий.
Решение задач.
16
Векторные пространства.
- Изучение литературы.
- Ведение конспекта
лекционных и практических
занятий.
Решение задач.
20
Многочлены.
- Изучение литературы.
- Ведение конспекта
лекционных и практических
занятий.
Решение задач.
20
Линейные преобразования.
- Изучение литературы.
- Ведение конспекта
лекционных и практических
занятий.
Решение задач.
14
.
Задания для самостоятельной работы:
- Задачи на вычисление ранга матриц;
- Найти различные способы определения скалярного произведения в n-мерном
арифметическом пространстве.
Многочлены.
План:
1. Кольцо многочленов. Деление многочленов. Остаток от деления. Схема
Горнера. Корни многочленов. Теорема Безу.
2. Наибольший общий делитель в кольце многочленов и алгоритм Евклида.
3. Поле комплексных чисел. Алгебраическая замкнутость поля комплексных
чисел.
4. Неприводимые многочлены над полем вещественных чисел.
5. Многочлены над полем рациональных чисел.
трансцендентные числа. Алгебраические расширения.
Алгебраические
и
Линейные преобразования.
Задания для самостоятельной работы:
-Нахождение матриц преобразований проектирования, зеркального отражения,
поворота;
- Нахождение собственных чисел и собственных векторов линейных
преобразований по их матрицам.
Литература основная.
1. Курош А. Г. Курс высшей алгебры : учебник для студ. вузов, обуч. по спец.
"Математика","Прикладная математика" / А. Г. Курош. - Изд. 14-е., стер. - СПб. :
Лань, 2005. [Гриф МО]
2. Кострикин А. И. Введение в алгебру : учебник для студ. ун-тов, обуч. по
спец."Математика" и "Прикладная математика" : в 3 ч. Ч.2 : Линейная алгебра / А.
И. Кострикин ; МГУ им.М.В.Ломоносова. - 3.изд. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2004
Литература дополнительная.
3. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
4. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. - М.:
Просвещение, 1993.
5. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Высшая школа, 1974.
6. Сборник задач по алгебре. Под редакцией Кострикина А.И. - Факториал, 1995.
7. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. - М.: Наука, 1984.
8. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. - М.: Наука,
1977.
9. Кострикин А.И. Введение в алгебру, ч.1. Основы алгебры. – М.: Физ.-мат.
литература, 2000.
10. Кострикин А.И. Введение в алгебру, ч. 2. Линейная алгебра. – М.: Физ.-мат.
литература, 2000.
11. Кострикин А.И. Введение в алгебру, ч. 3. Основные структуры алгебры. – М.: Физ.мат. литература, 2000.
12. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. - М.: 1986.
13. Ильин В., Позняк Э. Линейная алгебра: Учеб. для вузов по спец. “Физика”, “Прикл.
математика”. - М., 1978.
14. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. - М., 1970.
15. Постников М. Линейная алгебра: Учеб. пособие для студентов вузов, обуч. по спец.
“Математика”. - М., 1986.
16. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. – М.:
Просвещение, 1993.
17. Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел. - М., Просвещение, 1974 г.
:
Примерный перечень вопросов к коллоквиуму в семестре 1.
1. Унарные и бинарные операции.
2. Группы. Аксиомы группы.
3. Группа подстановок. Число элементов. Произведение. Обратный элемент.
Циклическая запись. Разложение в независимые циклы.
4. Группа подстановок. Транспозиции. Разложение в произведение транспозиций.
5. Группа подстановок. Инверсии. Четные и нечетные подстановки. Теорема о
четности и нечетности.
6. Аксиомы кольца, ассоциативного кольца, коммутативного кольца, кольца с
единицей, поля.
7. Матрицы. Сумма, произведение на число, произведение матриц. Кольцо матриц.
8. Определители и их основные свойства.
9. Определитель блочно-треугольной матрицы. Определитель произведения
матриц.
10. Разложение определителя по строке и столбцу.
11. Обратная матрица. Формула. Критерий существования.
12. Системы линейных уравнений. Понятие частного решения и общего решения.
13. Крамеровские системы - решение n*n с помощью обратной матрицы.
14. Крамеровские системы и формулы Крамера.
15. Линейные пространства векторов плоскости и 3-х мерного пространства,
строк, столбцов, матриц.
16. Линейные комбинации, линейная зависимость и независимость в векторных
пространствах.
17. Критерий для определителя равенства нулю.
Контрольные вопросы и задания для проведения текущего контроля.
1. Понятие множества.
2. Понятие функции или отображения.
3. Найти количество функций из множества {1,2,3} во множество {a,b}.
4. Унарные и бинарные операции.
5. Перечислить все унарные операции на множестве {a,b,c}.
6. Аксиомы группы.
7. Число перестановок n элементов.
8. Аксиомы поля.
9. Сумма матриц и произведение матриц.
10. Понятие алгебраического дополнения.
11. Формула разложения определителя по строке и столбцу.
12. Обратная матрица.
13. Формула вычисления обратной матрицы.
14. Критерий существования обратной матрицы.
15. Матричная запись системы линейных уравнений.
16. Формулы Крамера.
17. Аксиомы векторного пространства.
18. Понятие линейной независимости.
19. Базис векторного пространства.
20. Координаты вектора в данном базисе.
21. Понятие ранга системы векторов.
22. Ранг матрицы по строкам, столбцам, минорам.
23. Теорема Кронекера-Капелли.
24. Понятие ортонормированной системы векторов.
25. Деление многочленов. Остаток от деления.
26. Схема Горнера.
27. Алгоритм Евклида для нахождения НОД многочленов.
28. Понятие матрицы линейного преобразования.
29. Понятие собственного вектора и собственного числа линейного
преобразования.
30. Ортогональные матрицы.
Контрольные вопросы и задания для контроля самостоятельной работы.
Вычислить определители:
0
4
2
0
1
0
3
4
1.
0
-3
1
0
-3
-3
0
1
2.
-2
1
0
0
2
-1
4
4
-2
4
0
-3
-4
1
-4
0
3.
4 1 0 4
0 3 -1 0
0 -3 0 -4
0 0 0 1
4.
-1 0 0 -3
-2 0 -1 3
3 -3 2 1
-3 0 3 -3
5.
0 0 3 0
4 -1 -2 0
-2 -3 3 0
0 4 1 -2
6.
2 -4 -4 -2
0 1 4 0
0 1 -3 0
-1 -3 2 0
7.
-3
1
1
-3
4 -3 1
2 -3 1
2 0 0
0 -3 2
8.
-1 -2 -3 -3
4 -4 0 0
0 0 1 0
0 -1 -2 -2
9.
2 -4 -2 -1
0 2 2 -2
0 2 -4 0
0 4 -3 3
10.
1 -1 -4 -3
-3 -3 0 -2
0 0 4 0
1 -3 -3 -1
Найти общее решение систем линейных уравнений, заданных расширенными матрицами:
1.
-4 -4 1 5 3 -31
-4 -4 1 5 3 -31
3 3 -1 -3 -2 20
2.
2 11 6 -24 30
1
-3 -4 -2
4 -13 -10
-3 5 3 -19 10 -16
3.
9 -13 -44 -8 5 -37
-2
3 10 2 -1
9
4.
8 -9
3 -5 -10 31
5 -2
3 -3 -5
0
-12 -4 -10 7
9 47
5.
5 3 -4 16 -2 44
-2 -1 2 -6 1 -16
-1 -1 0 -4 0 -12
6.
30 -17 -26 -43 -13 -44
-7
4
6 10
3 11
30 -17 -26 -43 -13 -44
7.
-5 -4 -6 5 1 -45
-4 -3 -5 4 1 -34
-2 -1 -3 2 1 -12
8.
-3 5 4 -1 -4 -11
-5 8 6 -2 -6 -14
3 -5 -4 1 4 11
9.
8 -3 7 4 4 34
-6 2 -5 -3 -3 -33
-10 4 -9 -5 -5 -35
10.
-5 -6 -7 1 -7 44
-4 -5 -6 1 -6 36
Задание для студентов, занимающихся по индивидуальному плану
и имеющих право на свободное посещение занятий
Семестр 1
Решить следующие задачи из задачника Проскурякова [5]:
55,56,58
90 - 98
125,126
138
Разложить в циклы и определить четность: 153, 154
163,164
169,170
178
200, 203
213
236
261,262,263
279
258,259
610
615
622
636
642,643,644
646 - 650
655
661
672
691 - 694
706
711
725 - 728
790, 791
806
823
844,845,846
864