Непрерывные случайные величины

Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Непрерывные и случайные величины
Индивидуальные задания
Пособие разработано доцентом Цыловой Е. Г.,
ассистентом Морозовой Е. А..
Одобрено методической комиссией кафедры
«Высшая математика»
© 2007, каф. «Высшая математика» ПГТУ
Пермь 2007
Решение типового варианта
Задача 1. Модуль скорости молекулы газа является случайной величиной X,
2 2
распределенной по закону Максвелла: f  x   Cx 2e  h x , если x  0 , h – параметр. Найти
C, M  X  , D  X  .

Решение: Плотность распределения должна удовлетворять условию
 f  x  dx  1
,

поэтому для нахождения значения C потребуем, чтобы выполнялось это условие:

2 2
1
1
C  x 2 e  h x dx  1 . Воспользовавшись подстановкой: h2 x 2  y, x 
y , dx 
dy и
h
2
h
y
0
1 
4h3

1
,
и
окончательно
. Значение
C

2h 3 2

математического
ожидания
получим,
воспользовавшись
формулой


1
3
4h 2  h 2 x 2
1 2
M  x    xf  x  dx   x
xe
dx  h 2 x 2  y, dx 
y dy 
2
h


0
значением гамма-функции получим: C

M  x2  



2
h 
x 2 f  x  dx 


2 Г  2
h 
0
4h 3




2
ye  y dy 

2
h 
.
x 2 x 2e h x dx  h 2 x 2  y, dx 
2 2
0
2 Г 5 / 2
1  12
y dy 
2h
3
2h 2
h2  0
h2 
Дисперсия вычисляется по формуле:

y
3/ 2  y
e dy 

2
3  2 
1 3 4
D  X   M  X    M  X   2  
 2   .

2h  h   h  2  
Задача 2. Задана плотность непрерывной случайной величины Х:
0 при х  1,

1

f ( x)   х  при 1  х  2,
2

0 при х  2.
2
2
Найти функцию распределения F (x) .
x
Решение. Используем формулу F ( x) 
 f ( x)dx .

Если x  1, то f ( x)  0 , следовательно F ( x)  0 .
1
x
Если 1  x  2 , то F ( x)   0dx   ( x  0,5)dx 

1
1
2
x
1 2
( x  x).
2
2
1
Если x  2 , то F ( x)   0dx   ( x  0,5)dx   0dx  0  ( x 2  x)  0  1 .
2
1

1
2
Итак, искомая функция распределения
0 при х  1,

F ( x)  0,5( х 2  x) при 1  х  2,
1 при х  2.

При решении остальных заданий варианта необходимо использовать приведенные
свойства с учетом свойств конкретных функций распределения.1
1
1. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я., Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. М.:
ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век»: ООО «Издательство «Мир и образование», 2003.
2. Кремер Н. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник 2-е изд. Издательство: ЮНИТИДАНА, 2006.
Вариант №1
1. Какой из этих графиков может соответствовать функции распределения
непрерывной случайной величины, ответ обосновать
1)
2)
4)
3)
2. Задана функция распределения случайной величины Х. Требуется найти плотность
распределения, математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение. Построить
графики функций плотности и функции распределения.
0 при x  0,
 2
x
F ( x)  
при 0  x  2,
4
1 при x  2.
3. Случайная величина задана плотностью распределения f ( x) . Найти коэффициент С,
математическое ожидание и дисперсию. Найти F (x) .


c cos x при x  2 ,
f ( x)  
0 при x  

2
4. Случайная величина задана плотностью распределения f ( x) . Найти коэффициент С,
математическое ожидание и дисперсию. Найти F (x) .

0 при x  0,
f ( x)   3 X
при x  0.

c e
5. Случайная величина X имеет равномерное распределение на отрезке от [0,6].
Написать выражение плотности. Найти M ( X ) , D ( X ) и F (x) .
6. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами
m  2,   3. Написать выражение плотности распределения, нарисовать график
плотности. Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу
 1  X  11 , а также вероятность неравенства X  2  6 .
Вариант №2
1. Какой из этих графиков может соответствовать функции плотности распределения
случайной величины, ответ обосновать
1)
2)
3)
4)
2. Задана функция распределения случайной величины Х. Требуется найти плотность
распределения, математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение.
Построить графики функций плотности и функции распределения.
0 при x  0,
 2
x
F ( x)  
при 0  x  10,
100
1 при x  10.
3. Случайная величина задана плотностью распределения f ( x) . Найти коэффициент С,
математическое ожидание и дисперсию. Найти F (x) .
0 при x  0,

f ( x)  c x при 0  x  2,
0 при x  2.

4. Случайная величина задана плотностью распределения f ( x) . Найти коэффициент С,
математическое ожидание и дисперсию. Найти F (x) .
0 при х  0,
f ( x)    4 x
c e при х  0
5. Случайная величина X имеет равномерное распределение на отрезке от [2,6]. Написать
выражение плотности и функции распределения. Найти P ( X  M ( X )) .
6. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами
m  10,   2. Написать выражение плотности распределения, нарисовать график
плотности. Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу
0  X  12 , а также вероятность неравенства X  10  6 .
Вариант №3
1. Какой из этих графиков может соответствовать функции распределения случайной
величины, ответ обосновать
1)
2)
4)
3)
2. Задана функция распределения случайной величины Х. Требуется найти плотность
распределения, математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение.
Построить графики функций плотности и функции распределения.

0 при x  0,



F ( x)  sin x при 0  x  ,
2



1 при x  2 .
3. Случайная величина задана плотностью распределения f ( x) . Найти коэффициент С,
математическое ожидание и дисперсию. Найти F (x) .
0 при x  0,

f ( x)  c x 2 при 0  x  1,
0 при x  1.

4. Случайная величина Х имеет экспоненциальное распределение с параметром   8 .
Написать выражение плотности и функции распределения.
5. Случайная величина Х равномерно распределения на отрезке [-2;2]. Найти M ( X ) ,
D ( X ) , P (1  X  1) .
6. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами
m  7,   4. Написать выражение плотности распределения, нарисовать график
плотности. Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу
3  X  19 , а также вероятность неравенства X  7  8 .
Вариант №4
1. Какой из этих графиков может соответствовать функции плотности распределения
случайной величины, ответ обосновать
1)
2)
3)
4)
2. Задана функция распределения случайной величины Х. Требуется найти плотность
распределения, математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение.
Построить графики функций плотности и функции распределения.
0 при x  0,
 2
x
F ( x)  
при 0  x  9,
 81
1 при x  9.
3. Случайная величина задана плотностью распределения f ( x) . Найти коэффициент С,
математическое ожидание и дисперсию. Найти F (x) .
0 при x  0,

f ( x)  c x 3 при 0  x  1,
0 при x  1.

4. Случайная величина Х имеет экспоненциальное распределение с параметром   3 .
Найти M ( X ) , D ( X ) и вероятность P( X  M ( X )  2 ) .
5. Случайная величина Х имеет равномерное распределение на отрезке [-5;5]. Найти
M ( X ) , D ( X ) , третий начальный момент и третий центральный момент.
6. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами
m  1,   5. Написать выражение плотности распределения, нарисовать график
плотности. Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу
 4  X  16 , а также вероятность неравенства X  1  10 .
Вариант №5
1. Какой из этих графиков может соответствовать функции распределения непрерывной
случайной величины, ответ обосновать
1)
2)
4)
3)
2. Задана функция распределения случайной величины Х. Требуется найти плотность
распределения, математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение.
Построить графики функций плотности и функции распределения.

0 при x  0,



F ( x)  sin 2 x при 0  x  ,
4



1 при x  4 .
3. Случайная величина задана плотностью распределения f ( x) . Найти коэффициент С,
математическое ожидание и дисперсию. Найти F (x) .
0 при x  0,

f ( x)  c x 5 при 0  x  1,
0 при x  1.

4. Случайная величина Х имеет экспоненциальное распределение с параметром   2 .
Написать выражение плотности f ( x) . Найти функцию распределения. Найти M ( X ) и
начальный момент пятого порядка.
5. Случайная величина Х имеет равномерное распределение на отрезке [0;2]. Найти
M ( X ) , D ( X ) , асимметрию и эксцесс.
6. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами
m  5,   1. Написать выражение плотности распределения, нарисовать график
плотности. Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу
2  X  8 , а также вероятность неравенства X  5  3 .
Вариант №6
1. Какой из этих графиков может соответствовать функции плотности распределения
случайной величины, ответ обосновать
1)
2)
3)
4)
2. Задана функция распределения случайной величины Х. Требуется найти плотность
распределения, математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение.
Построить графики функций плотности и функции распределения.
0 при x  0,
 2
x
F ( x)  
при 0  x  8,
 64
1 при x  8.
3. Случайная величина задана плотностью распределения f ( x) . Найти коэффициент С,
математическое ожидание и дисперсию. Найти F (x) .
0 при x  1,

f ( x)   c
 x 4 при , x  1.

4. Случайная величина Х имеет экспоненциальное распределение с параметром   5 .
Найти F ( x) , M ( X ) , D ( X ) .
5. Случайная величина Х имеет равномерное распределение на отрезке [-2;2]. Найти
асимметрию и эксцесс.
6. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами
m  0,   6. Написать выражение плотности распределения, нарисовать график
плотности. Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу
 6  X  12 , а также вероятность неравенства X  2 .
Вариант №7
1. Какой из этих графиков может соответствовать функции распределения непрерывной
случайной величины, ответ обосновать
1)
3)
2)
4)
2. Задана функция распределения случайной величины Х. Требуется найти плотность
распределения, математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение.
Построить графики функций плотности и функции распределения.
0 при x  2,

F ( x)  0, 25 x  0, 5 при  2  x  2,
1 при x  2.

3. Случайная величина задана плотностью распределения f ( x) . Найти коэффициент С,
математическое ожидание и дисперсию. Найти F (x) .


0 при x  2 ,




f ( x)  c cos( x) при   x  ,
2
2



0 при x  2 .

4. Случайная величина Х имеет экспоненциальное распределение с параметром   4 .
Найти f ( x) , F ( x) , M ( X ) , P ( X  M ( X )) .
5. Случайная величина Х равномерно распределена на отрезке [2;10]. Написать
выражение плотности и найти P(3  X  5) .
6. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами
m  1,   2. Написать выражение плотности распределения, нарисовать график
плотности. Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу
 5  X  9 , а также вероятность неравенства X  1  4 .
Вариант №8
1. Какой из этих графиков может соответствовать функции плотности распределения
случайной величины, ответ обосновать
1)
2)
4)
3)
2. Задана функция распределения случайной величины Х. Требуется найти плотность
распределения, математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение.
Построить графики функций плотности и функции распределения.
0 при x  0,
 2
x
F ( x)  
при 0  x  7,
 49
1 при x  7.
3. Случайная величина задана плотностью распределения f ( x) . Найти коэффициент С,
математическое ожидание и дисперсию. Найти F (x) .

0 при x  0,



f ( x)  c sin( x) при 0  x  ,
2



0 при x  2 .
4. Случайная величина Х имеет экспоненциальное распределение с параметром   5 .
Найти функцию распределения F ( x) и вероятность P( X  M ( X )  3 ) .
5. Случайная величина Х задана с плотностью
1
 при x  [4; 8],
f ( x)   4
0 при x  [4; 8].

Найти M ( X ) и D ( X ) .
6. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами
m  3,   3. Написать выражение плотности распределения, нарисовать график
плотности. Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу
0  X  15 , а также вероятность неравенства X  3  6 .
Вариант №9
1. Какой из этих графиков может соответствовать функции распределения непрерывной
случайной величины, ответ обосновать
1)
2)
4)
3)
2. Задана функция распределения случайной величины Х. Требуется найти плотность
распределения, математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение.
Построить графики функций плотности и функции распределения.
0 при x  1,

F ( x)  0, 25( x  1) при 1  x  5,
1 при x  5.

3. Случайная величина задана плотностью распределения f ( x) . Найти коэффициент С,
математическое ожидание и дисперсию. Найти F (x) .

0 при x  0,



f ( x)  c cos(2 x) при 0  x  ,
4



0 при x  4 .
4. Случайная величина Х имеет экспоненциальное распределение с параметром   5 .
Найти P ( X  M ( X )) .
5. Случайная величина Х задана с плотностью
1
 при x  [4; 8],
f ( x)   4
0 при x  [4; 8].

Найти функцию распределения.
6. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами
m  4,   2. Написать выражение плотности распределения, нарисовать график
плотности. Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу
 4  X  10 , а также вероятность неравенства X  4  8 .
Вариант №10
1. Какой из этих графиков может соответствовать функции плотности распределения
случайной величины, ответ обосновать
1)
2)
3)
4)
2. Задана функция распределения случайной величины Х. Требуется найти плотность
распределения, математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение.
Построить графики функций плотности и функции распределения.
0 при x  0,
 2
x
F ( x)  
при 0  x  6,
 36
1 при x  6.
3. Случайная величина задана плотностью распределения f ( x) . Найти коэффициент С,
математическое ожидание и дисперсию. Найти F (x) .
0 при x  2,

f ( x)  c при 2  x  4,
0 при x  4.

7. Случайная величина Х задана с плотностью

0 при x  0,
f ( x)   3 x

3 e при x  0.
Найти вероятность попадания случайной величины Х на интервал [1;3].
4. Случайная величина Х задана плотностью
1
 при x  [1;1],
f ( x)   2
0 при x  [1;1].

Найти асимметрию.
5. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами
m  2,   5. Написать выражение плотности распределения, нарисовать график
плотности. Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу
 12  X  8 , а также вероятность неравенства X  2  10 .
Вариант №11
1. Какой из этих графиков может соответствовать функции распределения случайной
величины, ответ обосновать
1)
2)
4)
3)
2. Задана функция распределения случайной величины Х. Требуется найти плотность
распределения, математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение.
Построить графики функций плотности и функции распределения.
0 при x  1,
 x 1

F ( x)  
при 1  x  5,
 2
1 при x  5.
3. Случайная величина задана плотностью распределения f ( x) . Найти коэффициент С,
математическое ожидание и дисперсию. Найти F (x) .



c cos 2 x при  4  x  4 ,



f ( x)  0 при x   ,
4



0 при x  4 .

4. Случайная величина Х имеет плотность распределения
x

e при x  0,
f ( x)  

0 при x  0.
Найти функцию распределения.
5. Случайная величина Х имеет равномерное распределение на отрезке [-5;5]. Найти
M ( X ) , D ( X ) , третий начальный момент и третий центральный момент.
6. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами
m  6,   2. Написать выражение плотности распределения, нарисовать график
плотности. Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу
0  X  8 , а также вероятность неравенства X  6  6 .
Вариант №12
1. Какой из этих графиков может соответствовать функции плотности распределения
случайной величины, ответ обосновать
2)
1)
3)
4)
2. Задана функция распределения случайной величины Х. Требуется найти плотность
распределения, математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение.
Построить графики функций плотности и функции распределения.
0 при x  0,
 2
x
F ( x)  
при 0  x  5,
 25
1 при x  5.
3. Случайная величина задана плотностью распределения f ( x) . Найти коэффициент С,
математическое ожидание и дисперсию. Найти F (x) .
Cx 2 e  x при x  0,

f ( x)  

0 при x  0.
3
4. Функция распределения случайной величины Х равна F ( x)  1  e4 x . Найти M ( X ) и
D( X ) .
5. Случайная величина Х равномерно распределена на отрезке [2;10]. Написать
выражение плотности и найти P(3  X  5) .
6. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами
m  1,   8. Написать выражение плотности распределения, нарисовать график
плотности. Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу
 7  X  17 , а также вероятность неравенства X  1  8 .
Вариант №13
1. Какой из этих графиков может соответствовать функции распределения непрерывной
случайной величины, ответ обосновать
2)
1)
4)
3)
2. Задана функция распределения случайной величины Х. Требуется найти плотность
распределения, математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение.
Построить графики функций плотности и функции распределения.
0 при x  1,

F ( x)   x  1 при 1  x  2,
1 при x  2.

3. Случайная величина задана плотностью распределения f ( x) . Найти коэффициент С,
математическое ожидание и дисперсию. Найти F (x) .

C x e  x при x  0,
f ( x)  

0 при x  0.
4. Случайная величина Х имеет экспоненциальное распределение с параметром   3 .
Найти M ( X ) , D ( X ) и вероятность P( X  M ( X )  2 ) .
2
5. Случайная величина Х равномерно распределения на отрезке [-2;2]. Найти M ( X ) ,
D ( X ) , P (1  X  1) .
6. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами
m  6,   1. Написать выражение плотности распределения, нарисовать график
плотности. Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу
0  X  12 , а также вероятность неравенства X  6  4 .
Вариант №14
1. Какой из этих графиков может соответствовать функции плотности распределения
случайной величины, ответ обосновать
1)
2.
3.
4.
5.
2)
3)
4)
Задана функция распределения случайной величины Х. Требуется найти плотность
распределения, математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение.
Построить графики функций плотности и функции распределения.
0 при x  0,
 2
x
F ( x)  
при 0  x  4,
16

1 при x  4.
Случайная величина задана плотностью распределения f ( x) . Найти коэффициент С,
математическое ожидание и дисперсию. Найти F (x) .
0 при x  0,

f ( x)  c x 5 при 0  x  1,
0 при x  1.

Случайная величина Х имеет экспоненциальное распределение с параметром   4 .
Найти f ( x) , F ( x) , M ( X ) , P ( X  M ( X )) .
Случайная величина Х задана с плотностью
1
 при x  [4; 8],
f ( x)   4
0 при x  [4; 8].

Найти функцию распределения.
6. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами
m  7,   3. Написать выражение плотности распределения, нарисовать график
плотности. Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу
 2  X  10 , а также вероятность неравенства X  7  6 .
Вариант №15
1. Какой из этих графиков может соответствовать функции распределения непрерывной
случайной величины, ответ обосновать
1)
2)
4)
3)
2. Задана функция распределения случайной величины Х. Требуется найти плотность
распределения, математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение.
Построить графики функций плотности и функции распределения.
0 при x  1,

F ( x)  ln x при 1  x  e,

1 при x  e.
3. Случайная величина задана плотностью распределения f ( x) . Найти коэффициент С,
математическое ожидание и дисперсию. Найти F (x) .
0 при х  0,

f ( x)  c x при 0  x  3,

0 при x  3.
4. Случайная величина Х имеет экспоненциальное распределение с параметром   5 .
Найти P ( X  M ( X )) .
5. Случайная величина Х задана плотностью
1
 при x  [1;1],
f ( x)   2
0 при x  [1;1].

Найти асимметрию.
6. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами
m  8,   5. Написать выражение плотности распределения, нарисовать график
плотности. Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу
3  X  18 , а также вероятность неравенства X  8  15 .
Вариант №16
1. Какой из этих графиков может соответствовать функции плотности распределения
случайной величины, ответ обосновать
1)
2)
4)
3)
2. Задана функция распределения случайной величины Х. Требуется найти плотность
распределения, математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение.
Построить графики функций плотности и функции распределения.
0 при x  0,
 2
x
F ( x)  
при 0  x  3,
9
1 при x  3.
3. Случайная величина задана плотностью распределения f ( x) . Найти коэффициент С,
математическое ожидание и дисперсию. Найти F (x) .
0 при x  0,

f ( x)  c x при 0  x  2,
0 при x  2.

4. Случайная величина Х задана с плотностью

0 при x  0,
f ( x)   3 x

3 e при x  0.
Найти вероятность попадания случайной величины Х на интервал [1;3].
5. Случайная величина Х имеет равномерное распределение на отрезке [-2;2]. Найти
асимметрию и эксцесс.
6. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами
m  9,   2. Написать выражение плотности распределения, нарисовать график
плотности. Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу
 1  X  11 , а также вероятность неравенства X  9  8 .
Вариант №17
1. Какой из этих графиков может соответствовать функции распределения непрерывной
случайной величины, ответ обосновать
1)
2)
4)
3)
2. Задана функция распределения случайной величины Х. Требуется найти плотность
распределения, математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение.
Построить графики функций плотности и функции распределения.
0 при x  0,
 2
x
F ( x)  
при 0  x  9,
 81
1 при x  9.
3. Случайная величина задана плотностью распределения f ( x) . Найти коэффициент С,
математическое ожидание и дисперсию. Найти F (x) .
0 при х  0,

f ( x)  c x при 0  x  4,

0 при x  4.
4. Функция распределения случайной величины Х равна F ( x)  1  e4 x . Найти M ( X ) и
D( X ) .
5. Случайная величина Х задана с плотностью
1
 при x  [4; 8],
f ( x)   4
0 при x  [4; 8].

Найти M ( X ) и D ( X ) .
6. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами m  5 и   2 .
Написать выражение плотности и найти P ( X  M ( X )) и P( X  M ( X )  2 ) .
Вариант №18
1. Какой из этих графиков может соответствовать функции плотности распределения
случайной величины, ответ обосновать
1)
2)
3)
4)
2. Задана функция распределения случайной величины Х. Требуется найти плотность
распределения, математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение.
Построить графики функций плотности и функции распределения.
0 при x  0,
 2
x
F ( x)  
при 0  x  8,
 64
1 при x  8.
3. Случайная величина задана плотностью распределения f ( x) . Найти коэффициент С,
математическое ожидание и дисперсию. Найти F (x) .
0 при x  0,

f ( x)  c x при 0  x  5,
0 при x  5.

4. Случайная величина задана плотностью распределения f ( x) . Найти коэффициент С,
математическое ожидание и дисперсию. Найти F (x) .

0 при x  0,
f ( x)   3 X
при x  0.

c e
5. Случайная величина X имеет равномерное распределение на отрезке от [0,6]. Написать
выражение плотности. Найти M ( X ) , D ( X ) и F (x) .
6. Случайная величина Х распределена нормально с параметрами m  0 и  2  16 .
Найти интервал симметричный относительно M ( X ) , в который с вероятностью 0,9973
попадает величина Х в результате испытания.
Вариант №19
1. Какой из этих графиков может соответствовать функции распределения случайной
величины, ответ обосновать
1)
2)
4)
3)
2. Задана функция распределения случайной величины Х. Требуется найти плотность
распределения, математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение.
Построить графики функций плотности и функции распределения.

0 при x  0,



F ( x)  sin x при 0  x  ,
2



1 при x  2 .
3. Случайная величина Х задана плотностью
2

2 xe  x при x  0,
f ( x)  

0 при x  0.
Найти функцию распределения.
4. Случайная величина Х имеет экспоненциальное распределение с параметром   5 .
Найти F ( x) , M ( X ) , D ( X ) .
5. Случайная величина Х равномерно распределения на отрезке [-2;2]. Найти M ( X ) ,
D ( X ) , P (1  X  1) .
6. Случайная величина Х нормально распределена с M ( X )  10 . Вероятность попадания
в интервал (10,20) равна 0,3. Найти P(0  X  10) .
Вариант №20
1. Какой из этих графиков может соответствовать функции плотности распределения
случайной величины, ответ обосновать
1)
2)
3)
4)
2. Задана функция распределения случайной величины Х. Требуется найти плотность
распределения, математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение.
Построить графики функций плотности и функции распределения.
0 при x  2,

F ( x)  0, 25 x  0, 5 при  2  x  2,
1 при x  2.

3. Случайная величина задана плотностью распределения f ( x) . Найти коэффициент С,
математическое ожидание и дисперсию. Найти F (x) .
0 при x  0,

f ( x)  c x 5 при 0  x  1,
0 при x  1.

4. Случайная величина Х имеет плотность распределения
x

e при x  0,
f ( x)  

0 при x  0.
Найти функцию распределения.
5. Случайная величина X имеет равномерное распределение на отрезке от [2,6]. Написать
выражение плотности и функции распределения. Найти P ( X  M ( X )) .
6. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами m  2 и   5 .
Найти асимметрию и эксцесс.
Вариант №21
1. Какой из этих графиков может соответствовать функции распределения непрерывной
случайной величины, ответ обосновать
1)
2)
4)
3)
2. Задана функция распределения случайной величины Х. Требуется найти плотность
распределения, математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение.
Построить графики функций плотности и функции распределения.
0 при x  0,
 2
x
F ( x)  
при 0  x  6,
 36
1 при x  6.
3. Случайная величина задана плотностью распределения f ( x) . Найти коэффициент С,
математическое ожидание и дисперсию. Найти F (x) .



c cos 2 x при  4  x  4 ,



f ( x)  0 при x   ,
4



0 при x  4 .

4. Случайная величина Х имеет экспоненциальное распределение с параметром   8 .
Написать выражение плотности и функции распределения.
5. Случайная величина Х имеет равномерное распределение на отрезке [0;2]. Найти
M ( X ) , D ( X ) , асимметрию и эксцесс.
6. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами m  3 и   4 .
Найти P( X  3) , P( X  3  8) .
Вариант №22
1. Какой из этих графиков может соответствовать функции плотности распределения
случайной величины, ответ обосновать
1)
2)
3)
4)
2. Задана функция распределения случайной величины Х. Требуется найти плотность
распределения, математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение.
Построить графики функций плотности и функции распределения.
0 при x  1,
 x 1

F ( x)  
при 1  x  5,
 2
1 при x  5.
3. Случайная величина задана плотностью распределения f ( x) . Найти коэффициент С,
математическое ожидание и дисперсию. Найти F (x) .
Cx 2 e  x при x  0,

f ( x)  

0 при x  0.
4. Случайная величина Х имеет экспоненциальное распределение с параметром   3 .
Найти M ( X ) , D ( X ) и вероятность P( X  M ( X )  2 ) .
3
5. Случайная величина Х имеет равномерное распределение на отрезке [-5;5]. Найти
M ( X ) , D ( X ) , третий начальный момент и третий центральный момент.
6. Случайная величина Х нормально распределена с параметрами m  5 и   2 . Найти
P ( X  M ( X )) и нарисовать график плотности.
Вариант №23
1. Какой из этих графиков может соответствовать функции распределения непрерывной
случайной величины, ответ обосновать
1)
2)
4)
3)
2. Задана функция распределения случайной величины Х. Требуется найти плотность
распределения, математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение.
Построить графики функций плотности и функции распределения.
0 при x  1,

F ( x)   x  1 при 1  x  2,
1 при x  2.

3. Случайная величина задана плотностью распределения f ( x) . Найти коэффициент С,
математическое ожидание и дисперсию. Найти F (x) .
0 при х  0,

f ( x)  c x при 0  x  4,

0 при x  4.
4. Случайная величина Х имеет экспоненциальное распределение с параметром   5 .
Найти F ( x) , M ( X ) , D ( X ) .
5. Случайная величина Х имеет равномерное распределение на отрезке [-2;2]. Найти
асимметрию и эксцесс.
6. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами
m  2,   5. Написать выражение плотности распределения, нарисовать график
плотности. Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу
 12  X  8 , а также вероятность неравенства X  2  10 .
Вариант №24
1. Какой из этих графиков может соответствовать функции плотности распределения
случайной величины, ответ обосновать
1)
2)
4)
3)
2. Задана функция распределения случайной величины Х. Требуется найти плотность
распределения, математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение.
Построить графики функций плотности и функции распределения.
0 при x  1,

F ( x)  ln x при 1  x  e,

1 при x  e.
3. Случайная величина задана плотностью распределения f ( x) . Найти коэффициент С,
математическое ожидание и дисперсию. Найти F (x) .

C x e  x при x  0,
f ( x)  

0 при x  0.
4. Случайная величина задана плотностью распределения f ( x) . Найти коэффициент С,
математическое ожидание и дисперсию. Найти F (x) .
0 при х  0,
f ( x)    4 x
c e при х  0
5. Случайная величина Х задана с плотностью
2
1
 при x  [4; 8],
f ( x)   4
0 при x  [4; 8].

Найти M ( X ) и D ( X ) .
6. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами
m  3,   3. Написать выражение плотности распределения, нарисовать график
плотности. Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу
0  X  15 , а также вероятность неравенства X  3  6 .
Вариант №25
1. Какой из этих графиков может соответствовать функции распределения непрерывной
случайной величины, ответ обосновать
1)
2)
4)
3)
2. Задана функция распределения случайной величины Х. Требуется найти плотность
распределения, математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение.
Построить графики функций плотности и функции распределения.
0 при x  0,
 2
x
F ( x)  
при 0  x  10,
100
1 при x  10.
3. Случайная величина задана плотностью распределения f ( x) . Найти коэффициент С,
математическое ожидание и дисперсию. Найти F (x) .
0 при х  0,

f ( x)  c x при 0  x  3,

0 при x  3.
4. Случайная величина Х имеет экспоненциальное распределение с параметром   5 .
Найти функцию распределения F ( x) и вероятность P( X  M ( X )  3 ) .
5. Случайная величина X имеет равномерное распределение на отрезке от [0,6]. Написать
выражение плотности. Найти M ( X ) , D ( X ) и F (x) .
6. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами
m  1,   8. Написать выражение плотности распределения, нарисовать график
плотности. Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу
 7  X  17 , а также вероятность неравенства X  1  8 .
Вариант №26
1. Какой из этих графиков может соответствовать функции плотности распределения
случайной величины, ответ обосновать
1)
2)
3)
4)
2. Задана функция распределения случайной величины Х. Требуется найти плотность
распределения, математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение.
Построить графики функций плотности и функции распределения.

0 при x  0,



F ( x)  sin 2 x при 0  x  ,
4



1 при x  4 .
3. Случайная величина задана плотностью распределения f ( x) . Найти коэффициент С,
математическое ожидание и дисперсию. Найти F (x) .
0 при x  2,

f ( x)  c при 2  x  4,
0 при x  4.

4. Случайная величина задана плотностью распределения f ( x) . Найти коэффициент С,
математическое ожидание и дисперсию. Найти F (x) .

0 при x  0,
f ( x)   3 X
при x  0.

c e
5. Случайная величина Х задана с плотностью
1
 при x  [4; 8],
f ( x)   4
0 при x  [4; 8].

Найти функцию распределения.
6. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами
m  9,   2. Написать выражение плотности распределения, нарисовать график
плотности. Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу
 1  X  11 , а также вероятность неравенства X  9  8 .
Вариант №27
1. Какой из этих графиков может соответствовать функции распределения случайной
величины, ответ обосновать
1)
2)
4)
3)
2. Задана функция распределения случайной величины Х. Требуется найти плотность
распределения, математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение.
Построить графики функций плотности и функции распределения.
0 при x  0,
 2
x
F ( x)  
при 0  x  2,
4
1 при x  2.
3. Случайная величина задана плотностью распределения f ( x) . Найти коэффициент С,
математическое ожидание и дисперсию. Найти F (x) .
0 при x  0,

f ( x)  c x при 0  x  5,
0 при x  5.

4. Случайная величина Х имеет экспоненциальное распределение с параметром   2 .
Написать выражение плотности f ( x) . Найти функцию распределения. Найти M ( X ) и
начальный момент пятого порядка.
5. Случайная величина Х имеет равномерное распределение на отрезке [0;2]. Найти
M ( X ) , D ( X ) , асимметрию и эксцесс.
6. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами
m  7,   3. Написать выражение плотности распределения, нарисовать график
плотности. Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу
 2  X  10 , а также вероятность неравенства X  7  6 .
Вариант №28
1. Какой из этих графиков может соответствовать функции плотности распределения
случайной величины, ответ обосновать
1)
2)
3)
4)
2. Задана функция распределения случайной величины Х. Требуется найти плотность
распределения, математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение.
Построить графики функций плотности и функции распределения.
0 при x  0,
 2
x
F ( x)  
при 0  x  7,
 49
1 при x  7.
3. Случайная величина задана плотностью распределения f ( x) . Найти коэффициент С,
математическое ожидание и дисперсию. Найти F (x) .

0 при x  0,



f ( x)  c cos(2 x) при 0  x  ,
4



0 при x  4 .
4. Случайная величина Х имеет экспоненциальное распределение с параметром   8 .
Написать выражение плотности и функции распределения.
5. Случайная величина Х задана плотностью
1
 при x  [1;1],
f ( x)   2
0 при x  [1;1].

Найти асимметрию.
6. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами
m  8,   5. Написать выражение плотности распределения, нарисовать график
плотности. Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу
3  X  18 , а также вероятность неравенства X  8  15 .
Вариант №29
1. Какой из этих графиков может соответствовать функции распределения непрерывной
случайной величины, ответ обосновать
1)
2)
4)
3)
2. Задана функция распределения случайной величины Х. Требуется найти плотность
распределения, математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение.
Построить графики функций плотности и функции распределения.
0 при x  0,
 2
x
F ( x)  
при 0  x  5,
 25
1 при x  5.
3. Случайная величина задана плотностью распределения f ( x) . Найти коэффициент С,
математическое ожидание и дисперсию. Найти F (x) .

0 при x  0,



f ( x)  c sin( x) при 0  x  ,
2



0 при x  2 .
4. Случайная величина задана плотностью распределения f ( x) . Найти коэффициент С,
математическое ожидание и дисперсию. Найти F (x) .
0 при х  0,
f ( x)    4 x
c e при х  0
5. Случайная величина Х равномерно распределена на отрезке [2;10]. Написать
выражение плотности и найти P(3  X  5) .
6. Случайная величина Х нормально распределена с M ( X )  10 . Вероятность попадания
в интервал (10,20) равна 0,3. Найти P(0  X  10) .
Вариант №30
1. Какой из этих графиков может соответствовать функции плотности распределения
случайной величины, ответ обосновать
1)
2)
3)
4)
2. Задана функция распределения случайной величины Х. Требуется найти плотность
распределения, математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение.
Построить графики функций плотности и функции распределения.
0 при x  1,

F ( x)  0, 25( x  1) при 1  x  5,
1 при x  5.

3. Случайная величина задана плотностью распределения f ( x) . Найти коэффициент С,
математическое ожидание и дисперсию. Найти F (x) .
0 при x  0,

f ( x)  c x при 0  x  2,
0 при x  2.

4. Случайная величина Х имеет экспоненциальное распределение с параметром   2 .
Написать выражение плотности f ( x) . Найти функцию распределения. Найти M ( X ) и
начальный момент пятого порядка.
5. Случайная величина X имеет равномерное распределение на отрезке от [2,6]. Написать
выражение плотности и функции распределения. Найти P ( X  M ( X )) .
6. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами
m  6,   2. Написать выражение плотности распределения, нарисовать график
плотности. Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу
0  X  8 , а также вероятность неравенства X  6  6 .