17) Задан закон распределения дискретной случайной

1. Задана непрерывная случайная величина Х своей функцией распределения F(x).
0
при x  0
F(x) =
Ах
при 0  x  4
=2; =7.
1
при x  4
Требуется:
1) Найти плотность распределения вероятностей f(x);
2) Определить коэффициент А;
3) Схематично построить графики функций F(x) и f(x);
4) Вычислить математическое ожидание и дисперсию Х;
5) Определить вероятность того, что Х примет значение из интервала (; ).
Решение.
Найдем значение параметра a, используя непрерывность функции F(x) в точке x = 4
А *4 = 1
Получаем значение А = 1/4
Дифференциальную функцию f(x), получаем дифференцируя функцию F(x) и подставляя
значение А = 1/4
0
при x  0
f(x) =
1/4
при 0  x  4
0
при x  4
Графики функций F(x) и f(x);
f(x)
1
0
2
4
6
0
2
4
6
X
F(x)
1
Математическое ожидание случайной величины x:

M( X ) 
 xp( x )dx

X
0
4
 x * 0dx  x *
M( X ) 

0

1
x2
dx   x * 0dx 
4
8
4
4
0

16
0  2
8
дисперсия случайной величины x:

D( X ) 
 [ X  M( X )]
2
p( x )dx

0
D( X ) 
4
2
2
 x  2 * 0dx  x  2 *

0
x  2
1
2
dx   x  2 * 0dx 
4
12
4

3 4

0
8  8 4
   
12  12  3
Определим вероятность того, что случайная величина x попадет в интервал (2; 7).
P(x1  X  x2) = F(x2 ) - F(x1 ) = F(7) - F(2) = 1 – 2/4 = 1/2
P(2  X  7) = 0,5
2. Случайная величина задана функцией распределения F(x). Найти
а) плотность распределения случайной величины
б) вероятность попадания случайной величины в интервал (a, b).
Найти числовые характеристики.
0
при x < 0
2
F(x) =
x
при 0  x  1
1
при x  1
a) Плотность распределения вероятностей f(x), получаем дифференцируя функцию F(x)
0
при x < 0
f(x) =
2x
при 0  x  1
0
при x  1
б) Определим вероятность того, что случайная величина x попадет в интервал (а; b).
P(а  X  b) = F(b ) - F(а )
Математическое ожидание случайной величины х:

M( X ) 
 x f( x )dx

0
1

1
x3
M ( X )   x * 0dx   x * 2 xdx   x * 0dx  2 x dx  2
3

0
1
0
Дисперсия случайной величины x:
D( X )  M( X 2 )  [ M( X )] 2
1

2
0
2
3
0

1
1
x4
M ( X )   x * 0dx   x * 2 x dx   x * 0dx  2 x dx  2
4

0
1
0
2
2
2
2
1

3
0
2 1

4 2
2
D( X )  M ( X 2 )  [ M ( X )] 2 
1 2
1 4 98 1
    

2 3
2 9
18
18
3. Нормально распределенная случайная величина Х задана своими параметрами
а (математическое ожидание) и  (среднее квадратическое отклонение).
Требуется:
а) написать плотность вероятности и схематически изобразить ее график;
б) определить вероятность того, что Х примет значение из интервала (;);
в) определить вероятность того, что Х отклонится (по модулю) от а не более чем на .
а=9; =3; =3; =12; =6.
а) напишем плотность вероятности нормально распределенной случайной
величины Х:
2
2
2
1
1
f x  
e x a  / 2  
e  x 9  / 18
 2
3 2
изобразим схематически график
f(x)
9
х
б) Вероятность того, что х примет значения, принадлежащее интервалу (3;12)
составляет;
 12  а 
3 а
 12  9 
3 9
P3  x  12  Ф
  Ф
  Ф
  Ф
  Ф1  Ф 2  Ф1  Ф2
  
  
 3 
 3 
где Ф(х) – функция Лапласа. По таблице находим:
P3  x  12  Ф1  Ф2  0,3413  0,4772  0,8185
в) Вероятность того, что абсолютная величина отклонения Ix-аI окажется меньше
=6
 
6
P x  а     2Ф   2Ф   2Ф2  2 * 0,4772  0,9544
 
3
4. Непрерывная случайная величина задана интегральной функцией F(x).
0
при x  3
F(x) =
a (x - 3)
при 3  x  8
1
при x  8
Требуется найти:
а) значение параметра а;
б) дифференциальную функцию f(x);
в) математическое ожидание и дисперсию случайной величины x;
г) построить график функций F(x) и f(x);
д) вероятность того, что случайная величина x попадет в интервал (-1; 4).
Решение.
а) Найдем значение параметра a, используя непрерывность функции F(x) в точке x = 8
а *(8 - 3) = 1
Получаем значение а = 1/5
б) Дифференциальную функцию f(x), получаем дифференцируя функцию F(x) и
подставляя значение а = 1/5
0
при x  3
p(x) =
1/5
при 3  x  8
0
при x  8
в) математическое ожидание случайной величины x:

M( X ) 
 xp( x )dx

3
M( X ) 
8
 x * 0dx  x *

3

1
x2
dx   x * 0dx 
5
10
8
8
 5,5
3
дисперсия случайной величины x:

D( X ) 
 [ X  M ( X )]
2
p( x )dx

3
D( X ) 
8
2
2
 [ x  5,5 ] * 0dx  [ x  5,5 ] *

3
г) графики функций F(x) и p(x);

1
[ x  5,5 ] 3
dx   [ x  5,5 ] 2 * 0dx 
5
15
8
8
3

25
 2,08
12
f(x)
1
1/5
0
2
4
6
8
10
X
2
4
6
8
10
X
F(x)
1
0
д) Определим вероятность того, что случайная величина x попадет в интервал (-1; 4).
P(x1  X  x2) = F(x2 ) - F(x1 ) = F(4) - F(-1) = 1/5 – 0 = 1/5
P(x1  X  x2) = 0,2
5. . Функция распределения F(x) непрерывной случайной величины Х имеет вид:
F(x) =
0
А+Вcosx
1
x  /2
/2  x  
x 
Найти:
 неизвестный коэффициент А;
 функцию плотности распределения f(x);
 математическое ожидание М[X], дисперсию D[X];
 вероятность попадания Х в интервал Р(0<X<2/3);
 построить графики функций f (x), F (x).
Решение.
Найдем значение параметров А и В, используя непрерывность функции F(x) сначала в
точке x=/2, используя первое и второе условия в описании функции F(x)
F(/2) =0
F(/2) = А+Вcos(/2)=А  А=0
Теперь используем непрерывность функции F(x) в точке x=, используя второе и третье
условия в описании функции F(x)
F() = Вcos= -В
F() = 1
 В= -1
Функция распределения F(x) непрерывной случайной величины Х имеет вид:
x  /2
/2  x  
x 
0
-cosx
1
F(x) =
Функцию плотности распределения f(x), получаем дифференцируя функцию F(x)
x  /2
/2  x  
x 
0
sinx
0
f(x) =
Математическое ожидание случайной величины x:

M( X ) 
 xf ( x )dx

M( X ) 
π/2
π

π

π/2
π
π/2
 x * 0dx 
π
 x sin x   x * 0dx 
π
  x cos x π / 2 
 cos xdx  π  0 sin x
 x sin xdx 
π
π/2
ux
dv  sin xdx
du  dx
v   cos x

 π  0 1 π 1
π/2
дисперсия случайной величины x:
 
D X   M X 2  M ( X )
π
  x
M X2 
π/2
2
sin xdx 
2
π
π
u  x2
dv  sin xdx
  x 2 cos x
  2 x cos xdx 
π/2
du  2 xdx v   cos x
π/2
π
u  2x
dv  cos xdx
π
π
π
2

 π  0 2 x sin x π / 2  2  sin xdx  π 2  0  2  2 cos x π / 2 
du  2dx
v  sin x
2
π/2
 π 2 π  2  0  π 2 π  2
2
2
D X   M X 2   M ( X )  π 2  π  2  π  1  π  3
Определим вероятность попадания Х в интервал Р(0<X<2/3)
P(x1  X  x2) = F(x2 ) - F(x1 ) = F(2/3) - F(0) = -cos(2/3) – 0 = 1/2
P(x1  X  x2) = 0,5
Построим графики функций F(x) и p(x);
f(x)
1
0
1
2
3
4
1
2
3
4
X
F(x)
1
0
5
X