Электромагнитные волны

ТЕМА 14. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
14.1. Свойства электромагнитных волн
Электромагнитные волны – это электромагнитные колебания,
распространяющиеся в окружающей среде. Существование
электромагнитных волн вытекает из уравнений Максвелла:
rot E  
B
D
, div B  0 , rot H  j 
, div D   .
t
t
В простейшем случае среды, в которой отсутствуют сторонние заряды и
макротоки проводимости (   0, j  0 ) имеем:
B
D
, div D  0 , rot H 
, div B  0 .
t
t
Из этих уравнений следует, что координаты вектора E удовлетворяют
rot E  
волновому уравнению:
2Ey
 2 Ey  2 Ez
 2 Ex
 2 Ex
 2 Ez
,
,
.












0
0
0
0
0
0
x 2
t 2
z 2
t 2
y 2
t 2
Просуммировав эти уравнения, в векторной форме получим:
2 E
 E   00  2 .
t
(14.1)
Аналогичные соотношения имеют место и для вектора H :
2H y
2H y 2H z
2H x
2H x
2H z








,
,
,




0
0
0
0
0
0
x 2
t 2
z 2
t 2
y 2
t 2
2 H
 H   00  2 .
t
(14.2)
Из сопоставления равенств (14.1) и (14.2) с волновым уравнением
S 
1 2S
имеем:
 2 t 2

1
 00 
.
(14.3)
В случае вакуума   1,   1 , поэтому
 c
1
 0 0
 2,999  10 8 м/с,
что соответствует скорости света в вакууме. Переписав равенство (14.3) в
виде  
1
 0 0

1


c

, легко
догадаться, что выражение  дает нам
показатель преломления среды.
Таким образом в 1865 г. Максвелл теоретически предсказал
существование электромагнитных волн. Это случилось за 23 года до того, как
они были получены Герцем в лаборатории (1888 г.). Исходя из совпадения
скорости, найденной Максвеллом, со скоростью света, которая к тому
1
времени была уже измерена, Максвелл сделал вывод о том, что свет – это
электромагнитные волны, воспринимаемые человеческим глазом.
Из уравнений Максвелла следует, что электромагнитные волны
поперечны, т.е. векторы E и H расположены в плоскости,
перпендикулярной направлению распространения волны. Векторы E и H
взаимно перпендикулярны; фазы их изменения совпадают, вместе с вектором
скорости волны они образуют правовинтовую тройку. Если при
распространении волны векторы E и H остаются в одних и тех же
плоскостях, волна называется плоскополяризованной (линейно
поляризованной). Если же при распространении волны концы векторов E и
H описывают эллипс или окружность, волна называется эллиптически или
циркулярно поляризованной. В любом случае плоскостью поляризации
волны называется плоскость, в которой расположен вектор E . В частности,
если волна распространяется вдоль оси OX , простейшие решения уравнений
(14.1) и (14.2) имеют вид: EY  E0 sin( t  kx), H Z  H 0 sin( t  kx) . Если в эти
уравнения подставить конкретное значение переменной t , мы получим т.н.
мгновенную фотографию волны.
Как уже отмечалось, впервые электромагнитные волны в лаборатории
получил Г. Герц в 1988 г. В ходе своих экспериментов Герц подтвердил
вывод Максвелла об их поперечности. Герц наблюдал отражение и
преломление электромагнитных волн и показал, что эти явления
подчиняются тем же закономерностям, которые установлены в
геометрической оптике. Исходя из данных экспериментов со стоячими
волнами Герц измерил скорость их распространения; она оказалась близкой к
скорости света. В 1896 г. российский ученый А.С. Попов впервые
осуществил передачу информации с помощью электромагнитных волн и
положил тем самым начало радиосвязи.
14.2. Энергия и импульс электромагнитных волн
Пусть плоская электромагнитная волна распространяется в однородной
среде со скоростью  . Плотностью потока энергии называется величина
энергии, переносимой за единицу времени через поверхность площадью 1 м2,
расположенную перпендикулярно направлению распространения волны.
Если объемная плотность энергии электромагнитного поля равна WV , то
плотность потока S  WV  . Как известно,
WV 
1
1
 0 E 2   0 H 2 .
2
2
Из уравнений Максвелла следует, что
E  0  H  0   E
 0
2
H
0 
2
.
С учетом этого имеем:
2
 
0 
 0 0 
1
 0 E 2  0 E 
H
EH .
2
2
2
2
Аналогично
1
 0 H 2 
2
 00 
2
EH .
Поэтому
WV 
1
1
 0 E 2   0 H 2   00  EH 
2
2

1
EH .
 0 0
Поскольку 1 /  0  0  c ,
  n ,
WV 
n
1
1
EH  EH  EH .
c
c

n
Умножив последнее равенство на  , получим плотность потока энергии:
S  EH .
Как уже отмечалось, векторы E и H взаимно перпендикулярны и образуют
вместе с вектором  правовинтовую тройку. Исходя из этого плотность
потока энергии можно рассматривать как вектор, который получил название
«вектор Умова-Пойнтинга»: S  E, H .
Опыт показывает, что электромагнитная волна, падающая на тело,
оказывает на него давление, т.е. сообщает телу определенный импульс.
Пусть, например, плоская волна падает на поглощающую ее проводящую
поверхность. Электрическое поле волны возбуждает в теле ток плотностью
j   E , при этом магнитное поле будет действовать на каждый носитель тока
силой F  q , B . Соответственно сила, действующая на n носителей в
единице объема:
FV  nq  , B  nq , B .
 
 
  
Поскольку qn  j ,
 

 
FV  j, B   0  j, H .
(12.4)
Легко видеть, что направление действия силы совпадает с направлением
распространения волны.
Согласно второму закону Ньютона, падающая на тело
электромагнитная волна сообщает поверхностному слою площадью ds
толщиной dl за промежуток времени dt импульс d K  F0 dsdldt . С учетом
(12.4) в скалярной форме имеем: dK   0 jHdldsdt . Согласно закону ДжоуляЛенца, в этом же слое за промежуток времени dt выделяется теплота
dW  E 2 dldsdt . Имеем:
dK  0 jHdldsdt
H

 0  .
dW
jEdldsdt
E
Как уже отмечалось,
3
E  0  H  0  
 0
.
0 
H

E
Легко видеть, что
dK
n
1
  0 0    dK  dW .
dW
c

Отсюда получается, что в единице объема электромагнитного поля
сосредоточен импульс
KV 
1

WV .
Ранее было показано, что вектор плотность потока энергии
электромагнитной волны S W V  . В скалярной форме
S  WV  WV 
S

.
Поэтому
 
KV 
1

WV 
S
2
.
Если учесть, что S  E, H , а также то, что направления векторов K V и S
совпадают, в векторной форме имеем:
KV 
1
2
E, H .
Пусть электромагнитная волна, падающая в вакууме нормально на
плоскую поверхность, полностью поглощается. Тогда поверхности тела
площадью ds за промежуток времени dt сообщается импульс, заключенный
в цилиндре объемом dV  cdsdt . В скалярной форме:
1
dK  K V dV  WV cdsdt  WV dsdt .
c
Согласно второму закону Ньютона, d K  Fdt . В соответствии с этим имеем:
WV dsdt  Fdt  F  WV ds .
Если считать, что ds = 1 м2, модуль силы численно равен давлению: P  WV .
Мгновенное значение объемной плотности энергии изменяется с частотой,
равной удвоенной частоте волны. Поэтому на практике можно измерить
лишь среднее по времени значение давления: P  WV  . Впервые это сделал
П.Н. Лебедев в 1900 г.; результаты его измерений оказались в полном
соответствии с теорией Максвелла.
14.3. Излучение электрического диполя
Как уже отмечалось, электрический диполь представляет собой
электронейтральную систему двух точечных разноименных зарядов.
Расстояние между ними называется плечом диполя; вектор, проведенный от
 q в направлении  q q  0 , называется вектором плеча диполя l , вектор
ql  p называется дипольным моментом. Если хотя бы один из зарядов
диполя будет совершать колебания, в окружающем пространстве образуется
4
переменное электрическое поле, порождающее переменное магнитное поле,
т.е. возникает электромагнитная волна.
Электрический диполь представляет собой модельную систему,
которая играет важную роль в электродинамике. Это обусловлено тем, что
многие вопросы взаимодействия электромагнитного излучения с веществом
можно рассматривать в рамках классических представлений, согласно
которым атом вещества представляет собой совокупность диполей с разными
частотами собственных колебаний. Отрицательные заряды этих диполей
(электроны) совершают вынужденные колебания относительно неподвижных
положительных зарядов (ядер атомов) под действием электрического поля
волны, падающей на вещество. Кроме того, важная роль электрического
диполя как модельной системы обусловлена и тем, что электромагнитное
излучение любой электронейтральной совокупности зарядов на большом
удалении от них (в волновой зоне) эквивалентно излучению диполя,
соответствующего этой совокупности. Как уже отмечалось при изучении
электростатики, электрический (дипольный) момент такого диполя
pe   qi ri ,
i
где ri – радиус-вектор заряда q i в выбранной системе координат.
Рассмотрим закономерности электромагнитного излучения диполя,
электрический момент которого изменяется во времени по гармоническому
закону: pe  p0 sin t . Волновые поверхности в волновой зоне представляют
собой сферы с центром в точке, где расположен диполь. Если вектор p e
направлен вдоль оси OZ , то вектор E направлен вдоль меридиана, а вектор
H – вдоль параллели на сфере (рис. 14.1). Векторы E и H
Z
E

H
pe

r
Y
X
Рис. 14.1
электромагнитной волны изменяются по гармоническому закону:
E  E0 sin( t  k r ) , H  H 0 sin( t  k r ) . Амплитудные значения E 0 и H 0
зависят от расстояния до диполя и угла  между векторами p e и r :
5
E0 ~
1
1
sin  , H 0 ~ sin  .
r
r
Соответственно среднее по времени значение модуля вектора плотности
потока энергии (интенсивность волны)
 S ~
1
sin 2  .
r2
Отсюда следует, что интенсивность электромагнитного излучения диполя
максимальна в плоскости, перпендикулярной плечу диполя, и равна нулю
вдоль его оси.
Расчеты показывают, что мощность излучения диполя в вакууме
(энергия, излучаемая за единицу времени по всем направлениям)
2
 0 d 2 pe
.
N
6c dt 2
(14.5)
Поскольку pe  p0 sin t , имеем:
d pe
d 2 pe

2
  p0 cos t ,
  2 p0 sin t , N  0  4 p0 sin 2 t .
2
dt
6c
dt
2
Так как sin t   1 / 2 ,
 N 
0 4 2
 p0 .
12c
По определению pe  ql . Будем полагать, что электрический момент
диполя изменяется счет колебаний только одного из зарядов, например –
положительного. В таком случае в системе отсчета, связанной с
отрицательным зарядом, вектор плеча диполя можно рассматривать как
радиус-вектор положительного заряда, а вторую производную плеча диполя
по времени – как вектор ускорения положительного заряда:
Поэтому
d 2l
 a.
dt 2
d 2 pe
 qa ,
dt 2
и равенство (14.5) примет вид:
N
0 2 2
q a .
6c
Эта формула справедлива не только для заряда, совершающего колебания в
составе диполя; из нее следует, что любая заряженная частица, движущаяся с
ускорением, является источником электромагнитного излучения. Если
ускорение частицы изменяется по гармоническому закону (как в случае
колебаний), испускается гармоническая волна. Если же ускорение зависит от
времени по иному закону, волна не является гармонической. Например, при
торможении частицы излучается волна с непрерывным (сплошным) спектром
частот.
6
14.4. Шкала электромагнитных волн
Различные виды электромагнитного излучения, существующего в
природе, в зависимости от происхождения имеют следующие исторически
сложившиеся названия.
Радиоволны возникают при вынужденных колебаниях электронов в
металлических проводниках (антеннах) под действием переменной э.д.с.
высокочастотных генераторов. Диапазоны длин волн электромагнитного
излучения различных видов имеют условные границы; для радиоволн
принято считать, что   50 мкм. Этот диапазон делится на поддиапазоны
сверхдлинных, длинных, средних, коротких, метровых, дециметровых,
сантиметров, миллиметровых и субмиллиметровых волн.
Оптическое излучение испускается атомами и молекулами вещества
при переходе валентных электронов из возбужденных стационарных
состояний в невозбужденные. Диапазон длин волн оптического излучения
простирается примерно от 50 мкм до 0,1 мкм и делится на поддиапазоны
инфракрасного (0,8 мкм    50 мкм), видимого (0,4 мкм    0,8 мкм) и
ультрафиолетового (0,01 мкм    0,4 мкм) излучения.
Рентгеновское излучение (0,01 мкм    0,1 нм) возникает при
взаимодействии заряженных частиц (чаще всего электронов) с атомами
вещества и делится на тормозное и характеристическое. Тормозное
излучение имеет сплошной спектр и испускается при торможении пучка
электронов с достаточно большой энергией на металлических поверхностях.
Характеристическое излучение имеет дискретный спектр; оно возникает в
результате перехода электронов между энергетическими состояниями
различных внутренних слоев электронной оболочки атомов.
Гамма-излучение (   0,1 нм) испускается ядрами атомов в процессах
радиоактивных превращений, в различных ядерных реакциях и в результате
взаимодействия элементарных частиц. Более подробно рентгеновское и
гамма-излучение будет рассматриваться в курсе квантовой физики.
14.5. Эффект Доплера
Эффект Доплера для электромагнитных волн заключается в изменении
частоты волны, регистрируемой приемником, при перемещении источника
относительно приемника либо наоборот.
Пусть приемник света находится в начале инерциальной системы
отсчета K , источник света – в начале инерциальной штрихованной системы
K ' . Оси абсцисс обеих ИСО совпадают, система K ' движется вдоль
положительного направления оси OX со скоростью V . Уравнение плоской
световой волны, испускаемой источником в системе K ' по направлению к
приемнику:
 

x' 
E ' ( x ' , t ' )  A ' cos  '  t '     '  .
c
 

(14.6)
7
Согласно принципу относительности уравнение этой же волны в системе K
имеет аналогичный вид:
 
E ( x, t )  A cos   t 
 

x
    .
c

(14.7)
Последнее уравнение можно получить из (14.6), выразив переменные x ' и
t ' через x и t посредством преобразований Лоренца:
Vx
c2 .
x' 
, t' 
V2
V2
1 2
1 2
c
c
x  Vt
t
(14.8)
Подставив равенства (14.8) в (14.7), получим:


V


1
x
 '

'
'
'
с
E ( x, t )  A cos 
t     
2
 c
V


1 2


c


(14.9)
Поскольку уравнения (14.7) и (14.9) описывают одну и ту же волну, имеем:
  '
V
V
1
с    '
c .
2
V
V
1
1 2
c
c
1
Скорость V в этой формуле – величина алгебраическая. При удалении
источника от приемника V  0,    ' ; в случае сближения источника и
приемника V  0,    ' . Можно показать, что относительное изменение
частоты
 '
V
 .

c
Такие же результаты получаются и в том случае, когда покоится источник, а
приближается либо удаляется приемник.
Рассмотренное явление изменения частоты называется продольным
эффектом Доплера. Существует также и т.н. поперечный эффект, который
заключается в уменьшении частоты электромагнитной волны, попадающей в
приемник, когда вектор скорости движения источника перпендикулярен
прямой, проходящей через источник и приемник. Например, поперечный
эффект наблюдается, когда источник движется вдоль окружности, в центре
которой находится приемник. В этом случае
V 2  '
1 V 
   1 2 ,
   .

2 c 
c
2
'
(14.10)
Легко видеть, что изменение частоты в случае поперечного эффекта
существенно меньше, чем в случае продольного эффекта.
Поперечный эффект Доплера наблюдался в 1938 г. Айвсом и
Силуэллом, исследовавшим изменение частоты излучения пучка атомов
водорода, движущихся со скоростью 2∙106 м/с. Результаты измерений
оказались в хорошем согласии с формулой (14.10).
8