Метод.указ по реш. гр. задач

ФИЗИКА
Методические указания по решению задач
с применением графических методов
Для учителей
общеобразовательных школ
Москва, 2011
1
ОГЛАВЛЕНИЕ
Методические указания по использованию математических знаний в
процессе решения физических задач..…………………………………………. 3
Применение графических методов при решении задач
кинематики прямолинейного движения………………………………………..6
Примеры решения задач…………………………………………………………10
Библиографический список……………………………………………………..14
2
Методические указания по использованию математических знаний
в процессе решения физических задач
Построение графиков как способ исследования различных функций активно
используется в курсе математики. Известно также, что в курсе физики графические
методы активно используются уже на стадии изучения простейшего движения
(равномерного прямолинейного). Еще раньше вводятся понятия радиуса-вектора,
координаты вектора, модуля вектора и проекции вектора на ось. Эта тематика подробно
рассматривается в стандартных учебниках и не нуждается в специальном подробном
дополнительном рассмотрении в пособии, адресованном учителю. Поэтому на этапе
теоретического
обсуждения
методики
решения
графических
задач
нами
будет
рассмотрено равноускоренное движение и общие вопросы, связанные с нахождением по
графику кинематических характеристик движения. Однако, методика построения
домашних заданий по принципу постепенного усложнения будет включать вопросы по
равномерному движению и конечно же понятия радиуса-вектора, координаты вектора,
модуля вектора и проекции вектора на ось.
Следует учитывать, что предлагаемая методика позволяет наглядно доступными
пониманию учащихся приемами устанавливать связи физики с математикой. Исторически
физика и математика развивались во взаимодействии: развитие физики побуждало к
развитию математики и наоборот. Процессы, происходящие в естественных и
педагогических науках, аналогичны: «Если задача естественной науки состоит в
построении модели реального мира, то задача обучения физике, химии, биологии и т.д.создание аналогичной учебной модели в сознании учащихся» ( [1], с. 37 ).
Создание моделей необходимо в силу того, что невозможно отразить и учесть все
свойства изучаемого объекта, а сама модель это отпечаток наших знаний, подходов и
представлений. Новая модель всегда соотносится с предшествующей моделью, поэтому
процесс овладения знаниями аналогичен процессу построения моделей. В основе
физического моделирования лежит теория подобия и анализ размерностей. Поэтому при
теоретическом обсуждении графических методов решения задач будем использовать
также анализ размерностей.
Понятия производной и интеграла являются основными в курсе математики. Но без
усвоения этих понятий невозможно и основательное изучение физики. К тому же, как
отмечалось выше, рассмотрение этих понятий с позиций обеих дисциплин должно
оказаться плодотворным.
3
Понятие производной традиционно иллюстрируется на примере определения
мгновенной скорости. Но ещё раньше понятие скорости вводится при изучении
равномерного прямолинейного движения, при котором, в случае движения вдоль оси ОХ,
координата x зависит от времени t линейно:
x = xo + vx t,
а проекция скорости vx выполняет роль углового коэффициента, т.к. угол наклона
графика x(t) зависит от vx .
Исторически определение углового коэффициента даётся в курсе математики при
изучении линейной зависимости функции у от аргумента х:
y = ax + b,
где « а есть тангенс угла наклона , образованного прямой с положительным
направлением оси абсцисс (а = tg),… величину а называют угловым коэффициентом»
[2]. Далее в [2], «если линия L есть график функции y = (x), то угловой коэффициент
касательной равен значению производной функции в соответствующей точке, т.е. (x)» и
пример: «Найти угловой коэффициент касательной к параболе y = x2 в точке М( 1; 1 ).
Решение. Имеем у = 2х. При х = 1, получаем, у = 2. Искомый угловой
коэффициент касательной равен 2» [2].
Заметим, что в приведённом выше примере и определении углового коэффициента
нет упоминания о масштабе единиц по осям х и у, а также о размерности этих величин.
Предполагается одинаковость их размерности и масштаба по координатным осям. В
учебниках физики, как правило, этот аспект подробно не освещается. Чаще встречается
упоминание о том, что «геометрически производная характеризуется тангенсом угла
наклона касательной к кривой» ([3], с.125).
Решение физических задач графическим методом без указания масштаба и
размерности используемых физических величин может привести к тупиковой ситуации.
Предположим, нам известно, что координата материальной точки зависит от
времени прямо пропорционально и что график зависимости х(t) составляет 45 с осью
абсцисс. Можно ли по имеющимся данным определить модуль скорости или её проекцию
на ось ОХ?
Исходя из определения скорости как производной координаты по времени и
равенства производной угловому коэффициенту касательной к графику зависимости х(t),
определяемому как тангенс угла наклона , мы должны найти tg45. Как известно, он
равен единице. Но мы не нашли скорость. Однако, ситуация изменится, если мы укажем,
что масштабы единиц измерения по осям одинаковы, и что координата
и время
4
измеряются в СИ. Тогда с учётом равенства размерности производной отношению
размерностей дифференцируемой величины и величины, по которой производится
дифференцирование, мы получим: vx = 1 м/с, и числовое значение этого ответа совпадет с
полученным ранее формально результатом.
Важно и то, что приведённый нами наглядный пример можно использовать ещё до
введения понятия производной в курсе математики, поскольку проекцию скорости в
данном случае можно найти как отношение приращения координаты к приращению
времени, а полученные знания и навыки, безусловно, пригодятся в дальнейшем при
изучении производной.
При несовпадении масштабов единиц измерения по осям графика понимание даже
для числового значения углового коэффициента как тангенса угла наклона касательной к
графику функции в буквальном смысле не допускается. Однако, можно говорить, что
тангенс угла наклона касательной к графику функции характеризует скорость изменения
функции, и если он увеличится в несколько раз, то и скорость изменения функции
увеличится во столько же раз.
Точно также нужно обратить внимание учащихся на тот факт, что не следует
понимать буквально определение ряда физических величин как численно равных площади
фигуры, (имеется ввиду пропедевтика определённого интеграла), так как площадь фигуры
не может быть отрицательной.
В школьном курсе физики часто используется вывод формулы зависимости пути
от времени при равноускоренном движении по площади трапеции, образуемой графиком
зависимости скорости от времени. Но если мы захотим найти координату материальной
точки по графику зависимости проекции скорости на координатную ось от времени, то
придётся учитывать, что координата может быть отрицательной, а, следовательно, и
численное значение, так называемой площади фигуры, должно оказаться отрицательным.
В заключение отметим важность заданий альтернативного типа. При градации
задач по уровням сложности вопросы альтернативного типа условно можно отнести к
заданиям низшего первого уровня сложности. Несмотря на то, что вероятность получения
правильного ответа в таких задачах равна 50%, зачастую понимание ответа не является
очевидным.
Альтернативные вопросы в большей степени связаны с качественным пониманием
величины,
процесса
или
закона,
поэтому,
по
сути,
не
являются
простыми.
Альтернативные вопросы можно использовать для подготовки к практическим занятиям
на стадии изучения физических понятий, определений и законов, то есть на стадии
изучения базовых элементов знаний. Этот вывод позволит нам в дальнейшем наиболее
5
эффективно использовать альтернативные вопросы в методике обучения учащихся
графическим методам решения задач.
Применение графических методов при решении задач
кинематики прямолинейного движения
Зависимость скорости от времени для равноускоренного движения имеет вид:
  
v  v0  at
(01)

Для радиуса-вектора x , характеризующего положение точки в любой момент, при
равноускоренном движении по оси Х может быть получено уравнение:

  
at 2
(02)
x  x0  v0t 
2
Из уравнений (01) и (02) можно получить, что при равноускоренном движении (и только
 

v0  v
vср 
2
(03)
для этого случая) средняя скорость равна полусумме начальной и конечной скоростей:
Если мы спроецируем векторы, входящие в уравнения (01) и (02), на ось X, то получим
уравнения для координаты и проекции скорости при равноускоренном движении:
x  x0  v0 x t 
axt 2
2
(04)
v x  v0 x  a x t
(05)
Если записывать уравнения с учётом знаков начальной координаты, проекции начальной
скорости и проекции ускорения, а под X0, V0 и a подразумевать абсолютные значения
этих величин, то, например, уравнения движения, заданного с помощью рис.1, будут
иметь следующий вид:
x  x0  v0t 
at 2
2
6
vx  v0  at
.
0

a

v0

x0
Рис. 1
Зависимость координаты от времени при равноускоренном движении –
квадратичная (уравнение 04), поэтому её графиком является парабола. При этом, если
проекция ускорения положительна, то ветви параболы направлены вверх от её вершины, а
если проекция ускорения отрицательна – то вниз. Зависимость проекции скорости от
времени при равноускоренном движении является линейной (уравнение 05), поэтому её
график – прямая линия. Ускорение при равнопеременном движении постоянно, поэтому
графиком проекции ускорения служит прямая, параллельная оси времени.
Для движения, заданного с помощью рис.1, графики зависимости координаты,
проекция скорости и проекция ускорения от времени изображены на рис. 2, 3 и 4.
x
VX
x0
0
v0
t
aX
0
t
0
t
a
Рис. 2
Рис. 3
Рис. 4
Перейдём к рассмотрению анализа графиков движения и графических методов
решения задач кинематики. Так как мы рассматриваем здесь только прямолинейное
движение, то в дальнейшем нет необходимости оговаривать это в каждой задаче. Далее,
во всех задачах каждое деление по оси координаты и пути соответствует 1м, по оси
времени – 1с, по оси скорости – 1м/с, а по оси ускорения – 1м/с2.
При анализе графиков движения будем использовать тот факт, что путь,
пройденный за какой-либо промежуток времени, численно выражается площадью,
ограниченной осью времени, графиком проекции скорости и двумя вертикальными
7
отрезками, проведёнными из точек, соответствующих началу и концу данного
промежутка времени (рис.5).
Если за время движения проекция скорости меняет знак (т.е. точка изменяет
направление движения на противоположное), то пройденный путь можно найти как
арифметическую сумму площадей фигур, заключенных между графиком проекции
скорости и осью времени, независимо от того, выше или ниже оси времени идёт график
проекции скорости.
Когда нас интересует изменение координаты точки x  x  x0 (величина
перемещения), то площади надо складывать алгебраически, приписывая отрицательный
знак площадям тех фигур, которые лежат ниже оси времени. Так, для графика на рис.6,
проёденный за 2 секунды путь равен 1 метру, а величина перемещения – нулю.
VX
VX
1
S2
0
t0
t
t
0
Рис. 5
1
2
t
Рис. 6
При нахождении пути или величины перемещения через площадь, измеряемую по
графику, следует учитывать масштабы по осям координат:
x  mv  mt  S 2
(06)
где mv и mt – масштаб (цена одного деления по соответствующей оси на графике), а
S2 – площадь фигуры между графиком проекции скорости и осью времени.
Проекция скорости в любой момент времени определяется через угловой
коэффициент (тангенс угла наклона  ) касательной к графику координаты. Его можно
найти из прямоугольного треугольника, образованного касательной к графику координаты
и прямыми, параллельными осям, как отношение противолежащего катета к прилежащему
(рис 7). Угол  отсчитывается от положительного направления оси времени против
8
часовой стрелки. Тангенс положителен, если угол  – острый (рис 7а), и отрицателен,
если угол  – тупой (рис 7б).
x
x

0
.
.

0
t
t
Рис. 7б
Рис. 7а
При нахождении проекции скорости через тангенс угла наклона касательной
необходимо учитывать соотношение масштабов по осям координат:
vx 
mx
 tg
mt
(07)
где mx и mt –масштаб (цена одного деления по соответствующей оси на графике), а tg –
тангенс угла наклона касательной, определённый непосредственно по графику.
На рис.8а и 8б изображен в различных масштабах график одного и того же
движения. Естественно, что в заданный момент значение vx в обоих случаях одно и то же,
хотя на рисунках углы наклона касательных  и   различны.
x
3
.
2
1
0
x
6
mx = 1 м/см
mt = 1 c/см
2
3
Рис. 8а
4
t
0
mx = 2 м/см
mt = 1 c/см
.
2

1
4

1
2
3
4
t
Рис. 8б
Аналогичным образом по площади под графиком зависимости проекции ускорения
ax от времени можно найти изменение проекции скорости точки vx , а по тангенсу угла
9
наклона касательной к графику зависимости проекции скорости от времени можно найти
проекцию ускорения ax.
Следует помнить, что скорость точки не может меняться скачком (для этого
ускорение должно было бы принимать бесконечно большие значения, что невозможно из
физических соображений). Поэтому график координаты не должен иметь изломов:
различные его участки должны иметь общую касательную в точках, где меняется
ускорение.
Примеры решения задач
Пример 1
Начальная координата точки равна нулю. По заданному
графику зависимости проекции скорости от времени (рис 9)
VX
построить графики зависимости проекции ускорения,
координаты и пути от времени.
Решение
Для построения графика зависимости проекции
ускорения от времени воспользуемся определением ускорения
и правилом проектирования вектора на ось:
 
 v  v0
v v
a
; ax  x 0 x
t
t
2
1
0 1 2 3 4
-1
-2
t
Рис. 9
В течение первой и третьей секунды ускорение равно
нулю, так как скорость точки здесь постоянна. В течение второй
секунды ускорение равно:
ax 
2 м / с  (2 м / с)
 4м / с2
1с
В течение четвёртой секунды проекция ускорения равняется:
ax 
0м / с  2м / с
 2 м / с 2
1с
По этим данным нетрудно построить график (рис.10).
aX
4
3
2
1
0 1 2 3 4
-1
-2
t
Рис. 10
Построение графика зависимости координаты от времени
проведём поэтапно. На каждом этапе движения знак проекции ускорения и знак проекции
скорости должны оставаться постоянными.
10
Пусть t1 – первая секунда движения, t2 и t3 – два последующих промежутка
по половине секунды, t4 и t5 – третья и четвёртая секунды движения соответственно.
Составим таблицу изменения знаков проекций vx и ax (таблица 1) .
Таблица 1
Время
t1
t2
t3
t4
t5
Знак VX
-
-
+
+
+
Знак ax
ax = 0
+
+
ax = 0
-
Отметим, что при отрицательном знаке проекции скорости происходит убывание
координаты, так как вектор скорости в этом случае направлен в сторону,
противоположную направлению оси X (рис.11).

V
0
x
Рис. 11
Если ускорение отлично от нуля, то движение описывается уравнением (4), и
графиком зависимости координаты от времени будет парабола. Когда проекция ускорения
отрицательна, ветви параболы направлены вниз, когда она положительна – то вверх.
Учитывая изложенное, проведём построение графика для нашего случая (рис.12).
В течение промежутка времени t1 проекция
скорости отрицательна. Значит, координата должна
убывать, а так как ax=0 (движение равномерное), то
убывание происходит линейно.
x
1
0
1 2 3 4
-1
-2
-3
t
Рис. 12
В течение t2 продолжается убывание координаты
11
(vx<0), причём по параболе, ветви которой направлены вверх (ax>0). За время t3
координата увеличивается (vx>0); графиком будет ветвь той же самой параболы,
направленной вверх (ax>0).
На протяжении t4 координата увеличивается
линейно (vx>0, ax=0). За время t5 координата продолжает
увеличиваться (vx>0), причём графиком будет парабола
ветвью вниз (ax<0). В конце этого промежутка времени
скорость обращается в 0; этому моменту на графике
соответствует вершина параболы (рис.12).
Численное значение изменения координаты легко
S
6
5
4
3
2
1
0
1 2 3 4
t
Рис. 13
определяется путём нахождения площади фигуры,
заключённой между графиком проекции скорости и осью времени, хотя, конечно, для
этой цели можно воспользоваться и уравнением (4).
При построении графика зависимости пути от времени необходимо учесть, что
путь – неубывающая функция времени. Поэтому при возрастании или убывании
координаты на определённую величину путь, пройденный точкой, всегда возрастает на
такую же величину. Для рассматриваемой задачи график зависимости пути от времени
(рис.13) легко получается из графика зависимости координаты от времени (рис. 12).
Пример 2
По заданному графику зависимости координаты от времени построить графики
зависимости проекции скорости и проекции ускорения от времени. Криволинейные
участки графика – отрезки параболы (рис.14).
x
1
0
-1
1 2 3 t
Рис. 14
Решение
Определим знаки проекции скорости и проекции ускорения в промежутках их
знакопостоянства.
12
Знак проекции скорости можно определить по наклону касательной к графику
зависимости координаты от времени: при убывании координаты проекция скорости
отрицательна, а при возрастании – положительна. Знак проекции ускорения определяется
по направлению ветвей парабол, изображающих зависимость координаты от времени:
ветви направлены вверх при положительном знаке проекции ускорения и вниз – при
отрицательном знаке.
Пусть t1 , t2 и t3 – соответственно первая, вторая и третья секунды движения.
Тогда можно составить таблицу 2 изменения знаков проекций vx и ax.
Таблица 2
Время
t1
t2
t3
Знак Vx
-
+
+
Знак ax
+
+
ax = 0
Найдём начальную скорость v0 и ускорение в течение первой секунды движения. Для
этого воспользуемся уравнениями движения (1) и (2).
Спроецируем векторы, входящие в данные уравнения, на ось, и расставим знаки в
соответствии с таблицей.
x  x0  v0t 
at 2
;
2
vx  v0  at
Из графика видно, что через время t=1 координата X = -0,5 м, а проекция скорости
vx = 0, так как угол наклона касательной к графику в этот момент равен нулю (эта точка –
вершина параболы). Подставим эти данные в уравнения.
 0,5  0  v0 
a
;
2
0  v0  a
Решая систему, находим численные значения начальной скорости и ускорения: v0 =
1 м/с; a = 1 м/с2 (по абсолютной величине).
13
Аналогичным образом можно убедиться, что в течение второй секунды движения
происходит с таким же ускорением. В течение третьей секунды координата от времени
зависит линейно, т.е. скорость постоянна, а ускорение равно нулю.
Теперь можно полностью построить графики зависимости проекции скорости и
проекции ускорения от времени (рис.15 и 16).
aX
VX
1
0
-1
1 2 3
Рис. 15
t
1
0
-1
1 2 3
t
Рис. 16
Библиографический список
1. Майер Р.В. Формирование у учащихся эмпирического базиса естественнонаучных
дисциплин // Наука и школа. – 1997.- № 6 – С. 36-40.
2. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. Изд. 14-ое. ООО «Большая
медведица» М.: АПП «Джангар» 1999.- 863 с.
3. Касьянов В.А. Физика. 11 кл.: Учебн. Для общеобразоват. Учреждений. – М.:
Дрофа, 2003. – 416 с.
14