Труды №4 2013 1x - Карагандинский государственный

Раздел 4
Транспорт. Строительство
УДК 531(07)+531:004(07)
Метод конечных элементов для расчета
тонкостенных конструкций
С.К. АХМЕДИЕВ, к.т.н., профессор,
Г.Ж. ОРЫНТАЕВА, ст. преподаватель,
Б.С. ДОНЕНБАЕВ, преподаватель,
Карагандинский государственный технический университет, кафедра механики
Ключевые слова: элемент, пластина, напряженно-деформированное состояние, уравнение, изгиб,
матрица, жесткость, элемент, прогиб, система, условие, кромка.
анализа
напряженно-деформированного
Д лясостояния
(НДС) машин, зданий и сооружений, их
конструкций узлов и деталей, работающих в условиях
реальных статических и динамических воздействий,
применяются различные численные методы расчета
конструкций, такие как метод конечных элементов
(МКЭ).
Возникающий при этом большой объем
вычислений закрывается применением численных
методов и специализированных программных средств.
В данной работе предлагается для расчета
изотропных
и
ортотропных
тонкостенных
конструкций (пластин) на изгиб численный метод
конечных элементов в рамках технической теории
Кирхгофа.
Изгиб
ортотропных
пластин
описывается
известным дифференциальным уравнением [1]:
1
4 w
4 w
 4 w P ( x, y )
 2 2 2  2 4 
,
4
D
x
x y
y
где P(x, y) – интенсивность поперечной
распределенной по поверхности нагрузки;
1  2013
(1)
W = W(x, y) – функция прогибов;
h – толщина пластины.
Жесткостные
характеристики
ортотропии
материала имеют вид:
E y h3
Ex h 3
Dx 
, Dy 
,
12(1  x y )
12(1  x y )
D0  Dx y  2 Dk ,
Dk 
(2)
Dy
Gh 3
D
, 1  x ,  2 
,
12
D0
D0
где vx, vy – коэффициенты Пуассона в направлениях
ортотропии;
Ex, Ey, G – модули упругости вдоль осей х, у, а
также модуль сдвига материала пластины.
В случае изотропной пластины (η1 = 1, η2 = 1)
вместо (1) получим известное уравнение СофиЖермен-Лапласа:
4 w
4 w
 4 w P ( x, y )

2


,
D
x 4
x 2 y 2 y 4
(3)
где D – цилиндрическая жесткость изотропной
57
Раздел «Транспорт. Строительство»
пластины имеет вид:
Eh3
D
.
12(1  2 )
(4)
Уравнения (1, 3) должны сопровождаться
краевыми (граничными) условиями в виде:
а) для защемленных кромок пластины
W  0,
w
 0,
n
основной системы МКЭ);
Z  n1 – вектор неизвестных узловых
перемещений основной системы;
Rp  n1 – вектор свободных членов,
учитывающий действующую нагрузку,
создающую изгибное состояние пластины. По (10)
имеем:
(5)
Z  K 1  Rp  0,
где K
б) для свободно опертых кромок
1
(11)
– обратная матрица.
 w
(6)
 0,
n2
где n – нормаль к соответствующей кромке пластины.
Реализуем уравнения (1, 3) совместно с условиями
(5, 6) численным методом конечных элементов (МКЭ)
[1-9].
Для расчета треугольных в плане пластин
наиболее
приемлемым
является
треугольный
конечный элемент «BCIZ» с 9-ю степенями свободы
[9] (рисунок 1).
Вектор узловых перемещений в этом случае имеет
вид
W  0, M n 
2
q  W1 ;W , x1 ;W , y1 ;W2 ;W , x2 ;W , y2 ;W3 ;W , x3 ;W , y3  . (7)
Связи между усилиями и перемещениями
конечного элемента, записанные в матричной форме,
имеют вид:
S  ke  q,
где
(8)
 M x1 , M y1 , M x1 y1 , M x 2 , M y 2 , 
S 

 M x 2 y 2 , M x 3 , M y 3 , M x 3 y 3

–
вектор
Рисунок 1 – Треугольный конечный элемент
Основная система МКЭ принимается согласно
известной
процедуре
[1-9]
путем
введения
дополнительных связей, препятствующих возможным
узловым перемещениям и углам поворота (т.е.
вводятся фиктивные защемления и фиктивные опоры,
рисунок 2).
узловых усилий; ke – матрица жесткости треугольного
конечного элемента, получена на основе стандартной
процедуры МКЭ [1-9].
Элементы матрицы ke зависят от геометрических и
жесткостных характеристик заданной пластины (в том
числе и от параметров , , a рисунка 1) и приведены
в [9]:
k11
k21
k31
k12
k22
k32
k13
k 23
k33
k14
k 24
k34
k15
k 25
k35
k16
k 26
k 36
k17
k 27
k 37
k18
k 28
k 38
k19
k 29
k 39
k41
ke  k51
k61
k42
k52
k62
k 43
k53
k63
k 44
k54
k 64
k 45
k55
k 65
k 46
k56
k 66
k 47
k 57
k 67
k 48
k 58
k 68
k 49
k 59 . (9)
k 69
k71
k81
k91
k72
k82
k92
k73
k83
k93
k 74
k84
k94
k 75
k85
k95
k 76
k86
k 96
k 77
k87
k 97
k 78
k88
k 98
k 79
k89
k 99
Матрица жесткости системы, сформированная на
основе матриц жесткости отдельных элементов,
позволяет определить вектор неизвестных узловых
перемещений основной системы МКЭ, т.е.
K  Z  Rp  0,
(10)
где K(n×n) – квадратная симметричная матрица
жесткости системы (n – число расчетных узлов
1  2013
Рисунок 2 – i-й узел основной системы
где i – номер расчетного узла;
Wi – искомый прогиб;
Wxi – угол поворота относительно оси «х»;
Wyi – то же, относительно оси «у».
В качестве иллюстрируемого примера приведена
нумерация расчетных узлов и конечных элементов
(рисунок 3) треугольной пластины произвольной
формы и размеров в плане (при делении сторон
пластины на четыре части), закрепленной по контуру.
На основе вышеизложенной методики получены
результаты расчета треугольных пластин. На рисунке
58
Раздел «Транспорт. Строительство»
4 указаны расчетные точки (i = 1÷6) на поверхности
треугольных пластин, для которых получены и
приведены значения прогибов (Wi) и изгибающие
моменты (Mxi, Myi).
Рисунок 5 – Граничные условия на кромках пластины
На рисунке 6 даны значения прогибов Wi
(i = 1, 2, 3, 4) для изотропных треугольных пластин
постоянной толщины при ( = 45°) в зависимости от
изменения угла  = 30°, 45°, 60°, 75°, 90°, при
граничных условиях Б, В, Г.
Рисунок 3 – Пример нумерации элементов
и расчетных узлов
Расчетные точки (1÷6) находятся на серединах
медиан сторон треугольника m1, m2, m3, а также на
середине кромки АС, при этом: значения (, , a) –
задаются по условию задачи, H = a·c; b = H/tg = ac/tg;
sin   sin 
.
d = H / tg = ac / tg; c 
sin    
Рисунок 4 – Расчетные точки на поверхности
пластины
На рисунке 5 приведены варианты граничных
условий на кромках пластины.
1  2013
Рисунок 6 – Прогибы Wi треугольных пластин
постоянной пластины
На рисунках 7, 8 для таких же пластин при тех же
условиях даны значения Mxi, Myi, (i = 1÷6).
Анализируя рисунки 6-8, нужно отметить
следующее:
– при возрастании значения угла  величины
прогибов стабильно возрастают (рисунок 6);
– значения Mxi, Myi также стабильно возрастают
как на положительных, так и на отрицательных
величинах (рисунки 7, 8).
– полученные сравнительные результаты в данной
работе хорошо согласуются с известными в научной
литературе [1, 5-8].
Таким образом, впервые на основе численного
59
Раздел «Транспорт. Строительство»
метода получены результаты исследования для
треугольных пластин матричной формы (при  ≠ ),
разработан алгоритм автоматизированного расчета
треугольных пластин или любых значений числа
делений сторон пластин.
Рисунок 8 – Моменты Myi ( = 45°)
Рисунок 7 – Моменты Mxi ( = 45°)
1  2013
60
Раздел «Транспорт. Строительство»
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Варвак П.М., Варвак Л.П. Метод сеток в задачах расчета строительных конструкций. М.: Стройиздат, 1977. 212 с.
2. Бакиров Ж.Б., Жадрасинов Н.Т., Ахмедиев С.К. Вычислительная механика. Караганда: КарГТУ, 2004. 102 с.
3. Ахмедиев С.К., Ганюков А.А., Безкоровайный П.Г. Курсовое проектирование по вычислительной механике: Учебное
пособие. Караганда: КарГТУ, 2008. 51 с.
4. Зенкевич О. Метод конечных элементов. М.: Наука, 1975.
5. Ильин В.П. и др. Численные методы решения задач строительной механики: Справочное пособие. М.: Высшая
школа,1990.
6. Караманский Т.Д. Численные методы строительной механики. М.: Стройиздат, 1981.
7. Масленников А.М. Расчет строительных конструкций численными методами: Учебное пособие. Л.: ЛГУ, 1987.
8. Справочник по теории упругости / Под ред. Варвака П.М., Рябова А.Ф. Киев, 1971.
9. Белкин А.Е. Простейшие треугольные конечные элементы тонких пластин, рассчитываемых по теории Кирхгофа //
Вестник МВТУ. 2001. № 2. 23 с.
1  2013
61