1.

1. Цели автоматизации
Основными целями автоматизации являются:
Повышение эффективности производственного процесса.
Повышение безремонтного пробега оборудования
Повышение безопасности.
Облегчение работы персоналу;
Повышение экологии производства.
Повышение экономичности (в том числе сокращение численности).
Цели достигаются посредством решения следующих задач автоматизации технологического процесса:
Регулированием с оптимальным качеством
Обеспечения согласованного взаимодействия подсистем управления
Обеспечения гарантированного срабатывания технологических защит и блокировок
Обеспечение достоверности информации о технологическом процессе
Перенос пультов управления в места с нормальными условиями работы
Повышение времени безотказной работы оборудования
Улучшение эргономики труда операторов процесса
Организацией длительного хранения и обработке информации о процессах и аварийных ситуациях
Типовые фикции Разработчика систем автоматического регулирования:
1.Постановка задачи.
2.Комплексное проектирование.
3.Заказ оборудования.
4.Шеф-монтаж оборудования на объекте.
5.Наладка и введение оборудования в эксплуатацию.
Цель подсказывает Средства.
Разные специалисты ставят высшие приоритеты разным целям, и значит, и решают их разными средствами.
Это субъективная составляющая. Различная степень опасности и ущерба в аварийных ситуациях и
требования к качеству объективно определяют выбор средств автоматики и способы решения задач.
Поэтому на практике работают сильно отличающиеся друг от друга системы контроля и управления. Разное
число работников, различная степень технологических защит и блокировок, различный уровень
автоматизации.
1.2 Основные понятия теории автоматического управления.
Любая система управления (ручного, автоматического или автоматизированного) в обязательном
порядке содержит четыре элемента (или четыре множества элементов), объединенных в замкнутый
контур передачи воздействий (см. рисунок 1.2):
- объект управления,
- управляющая часть,
- датчик (датчики),
- регулирующие и исполнительные устройства.
Физические величины, определяющие ход технологического процесса, называются параметрами
технологического процесса. Например, температура, давление, расход, напряжение, состав и т.д.
Параметр технологического процесса, который необходимо поддерживается нашими устройствами
постоянным или меняется по определенному нами закону, называется регулируемой переменной
(параметром). Значение регулируемой величины в данный момент времени называется мгновенным
значением. Значение регулируемой величины, полученное в данный момент времени на основании
измерений, называется ее измеренным значением.
Входное воздействие (U) оно же регулирующая переменная – материальный поток, изменение которого
вызывает изменение параметра технологического процесса. Например, количество пара.
Объект управления (объект регулирования) – система, требуемый режим выходных параметров которой
должен изменяться или поддерживаться управляющими воздействиями.
Управляемые переменные (параметры) - параметры технологического процесса, которые нужно
поддерживать в заданных границах. Являются частью наблюдаемых параметров.
Возмущающее воздействие (v) – ненаблюдаемое или неизменяемое случайное воздействие, которое
изменяет состояние объекта управления и приводит к изменению выходных параметров. Например,
температура окружающей среды или внутренние возмущения в объекте управления .
Наблюдаемые переменные (параметры) (Y)
- Измеряемые и непрерывно рассчитываемые
технологические параметры в потоках или аппаратах, которые однозначно характеризуют состояние
объекта управления.
Шумы измерений (Возмущение Vm) – дополнительное воздействие внешних сигналов
измерений, преобразований и расчётов. Она искажают оценку протекания процессов.
Более детальное представление объекта управления:
на систему
Переменные состояния - в настоящее время процессы моделируют набором связанных между собой
дифференциальных и обычных уравнений (баланс энергии, массы, компонентов масс, сил и моментов).
Состоянием объекта называется набор всех переменных, производные которых входят в систему
дифференциальных уравнений. Состояние представляют вектор – столбцом из переменных.
Датчик (Д) – устройство или комплекс устройств, преобразующих измеряемый параметр технологического
процесса в вид, удобный для дальнейшей передачи и использования. Технологические параметры
невозможно контролировать (наблюдать, выводить на пульт оператора, вводить в приборы и т.д.) без
дополнительных технических средств. Например, для получения температуру объекта используют разного
рода преобразователи, которые преобразуют интенсивность температуры
в наблюдаемые или
стандартные сигналы для другим приборам.
Система регулирования содержит регуляторы
и
исполнительные механизмы (ИУ, ИМ). Их
предназначение - воздействовать на технологический процесс и изменять состояние объекта управления.
Исполнительные устройства представляют собой преобразователи. На вход механизма обычно подается
управляющий стандартный сигнал. Он превращается в движение штока клапана или поворот заслонки.
Исполнительные механизмы устанавливаются на трубопроводах сырья, материалов или энергоносителей.
В результате изменяется состояние технологического объекта, что и означает регулирование.
Важные дополнительные определения:
Управление – формирование управляющих воздействий (чаще всего –энергетических потоков),
обеспечивающих требуемый режим работы объекта управления (ОУ).
Регулирование – частный вид управления, когда задачей является обеспечение постоянства какой-либо
выходной величины ОУ.
Регулятор или Управляющее устройство (Р) - устройство или программа, осуществляющее расчёт
управляющего воздействия с целью обеспечения требуемого режима работы.
Автоматическое управление – управление, осуществляемое без непосредственного участия человека.
Задание - Значение параметра (воздействия) указывающее его желаемую величину или закон изменения
этой регулируемой величины.
1.3. Некоторые вопросы проектирования
Каждый датчик и преобразователь имеет ограничения применения по средам и диапазонам измерения и,
соответственно, по шкалам измерения. Поэтому при выборе датчика следует очень внимательно
рассматривать его характеристики и возможности. На производстве много проблем с несоответствием
приобретённых приборов для контроля с реальными параметрами среды. Например, вихревые датчики
расхода с ограничением по нижней границе вызывали остановки установки дистилляции на VKG.
Прежде всего, нужно свести в единую систему все единицы измерений и технологических параметров в
контролируемом и управляемом технологическом процессе. Для этого нужно разбираться в единицах
измерения технологических параметров, в характеристиках коррозионной устойчивости, взрывоопасности
и пожароопасности. Требуется увязывать требования к монтажу и возможности установке на месте
измерения.
Датчики преобразователи и исполнительные механизмы характеризуются типами входного сигнала
(электрический, оптический, механический, пневматический и др.) и границами его изменения.
Исполнительные механизмы в зависимости от источников питания бывают разных типов: электрические,
пневматические, гидравлические. В настоящее время в качестве исполнительных механизмов широко
используются электрические двигатели с управляемой частотой вращения. Это наиболее экономичный
способ регулирования.
Исполнительные механизмы:
Заслонки регулирующие и запорно-регулирующие. Заслонка представляет собой корпус цилиндрической
формы (редко - квадратной), по внешнему виду напоминающий короткий отрезок трубы. Внутри корпуса
расположена ось, на которой закреплен затвор. Затвор движется вращательно, поворачиваясь на 90
градусов. Управление затвором обычно осуществляется при помощи привода. При передаче движения от
привода, затвор поворачивается вокруг оси, открывая, таким образом, проход корпуса, через который
проходит рабочая среда. См. рисунок Zasl;nka.
Клапана односедельные и двухседельные, в которых используется система затвор – седло. Затвор (шток)
перекрывает седло(выемка), меняя диаметр прохода для среды.
Управляющая часть зависит от того какую роль предусмотрена человеку, оператору процесса. В любом
случае имеется устройство (прибор) для визуализации ( показаний значения) сигнала датчика.
Вариант 1ый. Оператор анализирует ситуацию и с ручного задатчика на пульте или штурвалом на вентиле
(«мартышка» в помощь) меняет положение исполнительного устройства. Например, увеличивая расход
пара на объект. Это – ручное управление. Кроме прибора для показаний есть устройство воздействия на ИУ.
Оператор самостоятельно поддерживает нужное значение параметра.
Вариант 2. Сигнал от датчика приходит на регулирующий прибор. Обычно прибор содержит устройство
показаний значения параметра. Главная его часть прибора– вычислительный комплекс, аналоговый или
числовой, который по разности между требуемым значением параметра и реальным текущим значением
изменяет положения исполнительного механизма. Очень часто таким устройством является электропривод
(actuator). Это режим автоматического регулирования параметра. Оператор следит за параметром и
меняет задание
Вариант 3. Система такая же, как в варианте 2, но задание задает не оператор, а другие устройства,
координирующие взаимодействие различных контуров регулирования. Такая программная система –
система автоматизированного управления.
2.1 Обратная связь
Обязательным взаимодействием в системах автоматического управления является обратная связь
параметра характеризующего состояние элемента (выходной параметр элемента) и исполнительным
механизмом, действующим на данный объект. Такая идея была сознательно сформулирована в 19 веке на
основании обобщения ряда технических решений реализованных в процессе промышленной революции.
Новизна заключалась в идее рассматривать объект управления и обратную связь как единую систему.
Такая система имеет другие свойства, чем сам объект регулирования.
Обратная связь может быть положительной и отрицательной. При положительной связи
значение
выходного параметра накладывается на задание. При отрицательной обратной связи задание сравнивается
(вычитание) со значением выходного параметра. Отрицательная связь позволяет создавать устойчивые
системы.
После формулировки основополагающего решения заключающего в использование обратной связи по
измеряемым выходным параметрам был определен математический принцип использования этой связи.
Он гласит, что для регулирования технологического параметра требуется величину управляющего сигнала
рассчитывать и устанавливать пропорционально величине изменения
регулируемого выходного
параметра. Применение этих простых и понятных вызвало революцию в управлении технологическими
процессами.
Потребовался математический аппарат для однотипного описания свойств объектов управления, обратной
связи и управляющих устройств. Такой математикой стали преобразования Лапласа. В свою очередь,
частотная теория позволила разработать математические основы создания алгоритмов для модулей
регулирования. Для реализации математических решений были разработаны аппаратные средства регуляторы. Они показали высокую эффективность. Без них стало нельзя обходиться. В конкурентной
борьбе аппаратные регуляторы помогали фирмам выигрывать. Автоматика стала наукой и модной
дисциплиной.
Регуляторы работают по принципу отрицательной обратной связи. В сумматоре определяется величина
рассогласования - отклонения. Изменение величины управляющего сигнала происходит на основании
значения рассогласования по заложенным уравнениям.
сумматор
Z
e
f
Р
u
ОУ
y
Рис 2.1 Схема контура управления с обратной связью.
На рисунке Z – заданное значение технологического параметра, е – рассогласование, Р –
регулирующий блок, U- сигнал на исполнительный механизм, f – внешние возмущения, ОУ – объект
управления, Y – регулируемый параметр состояния объекта. Сумматор вычитает из задания сигнал
обратной связи. Принцип функционирования регулирующей системы. В сумматоре постоянно
происходит сравнение (вычитание) текущего значения регулируемой величины у с заданным
значением Z, определяя отклонение е = z – у. Изменение управляющего сигнала на выходе
регулятора зависит от изменения отклонения. Если текущее значение равно заданному значению,
то регулятор не меняет управляющее воздействие (система работает в установившемся режиме). В
противном случае управляющее воздействие на объект u изменяется в соответствии с величиной
отклонения по алгоритмам, заложенным в регулятор. Чем больше отклонение регулирования (и
дольше оно наблюдается), тем больше изменение управляющего воздействия и тем больше
соответствующее изменение энергобаланса в объекте регулирования.
2.2 Классификация систем управления
Системы управления используются и проектируются для неисчислимого разнообразия процессов. В
зависимости от основной цели задачи управления классифицируются следующим образом:,
системы стабилизации- система - алгоритм функционирования которой содержит предписание
поддерживать регулируемую величину на постоянном значении (x = const);
система программного управления алгоритм функционирования которой содержит предписание
изменять регулируемую величину в соответствии с заданной функцией x(t), функция времени;
следящие системы - система, алгоритм функционирования которой содержит предписание
изменять регулируемую величину в зависимости от изменения величины на входе значения
которой изменяются и заранее незвестны.
От количества контуров:
одноконтурные - содержащие один контур регулирования (одну обратную связь по
регулируемому параметру),
многоконтурные - содержащие несколько контуров регулирования (несколько обратных
связей, например, по нескольким параметрам, по скорости/ускорению изменения параметра и
т.д.).
По качеству управления : устойчивые, оптимальные, улучшенного качества
По характеру сигналов:
непрерывные,
дискретные (релейные, импульсные), цифровые. В
импульсных системах в зависимости от вида импульсной модуляции различают системы с амплитудной,
широтной и частотной импульсной модуляцией.
По виду математических моделей: линейные, с постоянными коэффициентами уравнений и принципом
суперпозиции; нелинейные , когда хотя бы в одном элементе нарушена линейная зависимость.
По принципу регулирования: по отклонению, по возмущению, комбинированные, адаптивные.
Адаптивные системы делятся на самонастраивающиеся и самоорганизующиеся.
По виду используемой энергии:
•
пневматические,
•
•
•
•
гидравлические,
электрические,
механические
комбинированные
3.3 Подходы к моделированию систем
Классический подход
В 1876 году появилась работа, оказавшая большое влияние на науку о регулировании - труд профессора
И.А. Вышнеградского "Об общей теории регуляторов". В этой работе было выведено условие устойчивости
для линейных систем третьего порядка и даны конкретные указания о том, как влияют конструктивные
параметры на устойчивость. И.А. Вышнеградский явился основоположником классической теории
регулирования. В 1866 году выходит в свет статья Максвелла "О регуляторах". Швейцарский математик А.
Гурвиц в 1895 году ввел алгебраические условия устойчивости для линейных систем любого порядка.
Долгое время оставалась неизвестной инженерам аналогичная работа Рауса, выполненная им еще в 1877
году по просьбе Максвелла. В 1932 году американец шведского происхождения Гарри
Активно развивалась использование частотного описания технологических процессов, появились десятки
вариаций анализа частотных характеристик. Появились понятия амплитудно-частотных характеристик,
фазо-частотных и амплитудно-фазовых характеристик. Строились их годографы (кривые) для
визуального определения сколько раз годограф охватывает точку (-1, 0j). Передаточные функции стали
основным инструментом работы инженеров автоматчиков. Разрабатывались методы синтеза
многомерных и многосвязных систем регулирования на базе передаточных функций. Анализировалась
точность и грубость систем управления. Во всех этих разработках объект рассматривался как черный
ящик, описываемый только соотношением входных и выходных сигналов.
3.1. Частотное описание систем управления. Классическая теория.
Исследование АСР существенно упрощается при использовании математических методов операционного
исчисления, поскольку позволяет от решения дифференциальных уравнений перейти к решению
алгебраических уравнений.
Весьма удобно исследовать линейные системы с постоянными параметрами с помощью преобразования
Фурье и Лапласа. Идея была простая – вместо функций во времени использовать их представление в виде
суммы гармонических колебаний, т.е. синусоид и косинусоид. Фиксируем входные и выходные функции в
виде числовых последовательностей.
Математик переводит их в частотное представление путем преобразования Фурье или Лапласа Xвх(s) и
Xвых(s).
С полученным описанием в дальнейшем (при математической обработке) работаем
алгебраическими методами линейной алгебры и геометрии. Никаких дифференциальных уравнений.
Передаточные функции динамического звена в этом случае представляют в следующем виде:
Эти функции (спектры) в теории автоматического управления представляют графически, изображая
отдельно их действительную и мнимую части:
Исторически теория автоматического управления (ТАУ) построена на использовании анализ функций
комплексной переменной - преобразований Фурье и Лапласа. В этом подходе главные элементы передаточные функции, функциональные блок-схемы, частотные преобразования входа/выхода, анализ
нулей и полюсов. Для таких методов разработаны простые способы получения описаний ОУ. Обычно в
частотных методах описывается только связь между входными и выходными сигналами. Часть внутренних
переменных и связи между ними остаются скрытыми. Но теряется глубина понимания процессов. Говорят
даже о «Черном ящике». Такая модель называется внешним описанием
противоположность уравнению состояния.
3.1.1 В основе лежат формулы Эйлера
представлении соотношение
Функция угловой частоты
функции
и cos ωt = (e+
, в
jω
+ e- jω)/. В интегральном
называют прямым преобразованием Фурье.
–
называется Фурье-изображением или частотным спектром
Эти функции (спектры) в теории автоматического управления представляют графически, изображая
отдельно их действительную и мнимую части:
На рис. представлено типичное изображение спектра непериодического сигнала. Заметим, что
временная функция имеет преобразование Фурье тогда и только тогда, когда: функция однозначна,
содержит конечное число максимумов, минимумов и разрывов; функция абсолютно интегрируема.
Поэтому нет спектра единичной ступенчатой функции импульсной функции и ряда других важных
функций.
Из-за этих ограничений чаще используют преобразование с более сложной переменной S = σ + jω. Во
первых это комплексная переменная, во вторых S включает в себя действительную переменную σ и
мнимую частотную составляющую jω. ω - угловая частота. Соотношение
называют прямым преобразованием Лапласа. Операция определения изображения
по оригиналу сокращенно записывается , где
- символ прямого преобразования
Лапласа.
Преобразование Лапласа обратимо, то есть, зная изображение по Лапласу, можно определить
оригинал, используя соотношение обратного преобразования
или
, где
- символ обратного преобразования Лапласа.
Для дифференциального уравнения порядка n
преобразование Лапласа будет иметь вид:
где Y(s) и U(s) преобразование Лапласа
функций Y(t) и U(t). Это алгебраическое уравнение и работать с ним требуется методами линейной
алгебры с учетом того что это комплексные выражения т. к.
S = σ + jω. Начальные значения
предполагаются нулевыми. Переход от одной модели к другой прост и заключается в замене знаков
дифференциалов на операторы s, знаков интегралов на множители , а самих u(t) и y(t) - изображениями
U(s) и Y(s).
Связь между выходными Хвых = Y и управляющими (входными) Хвх = U величинами линейной
системы выражается передаточной функцией W(s)
изображениями Лапласа выхода и управления.
W(s) = Хвых/Хвх =
, которая есть отношение между
.
Практически любые функции времени в Теории Автоматического Управления имеют преобразование
Лапласа. На практике для выполнения прямого и обратного преобразований Лапласа используются таблицы
преобразований, фрагмент которой показан в таблице. Все исходные функции – есть функции времени.
Таблица 1.
1
Для преобразований Фурье и Лапласа справедливы следующие правила:
1.
2.
3.
Линейность: Если складываются две частотные функции, то можно складывать две обратные им
функции во времени.
Чтобы продифференцировать частотную функцию, полученную преобразованием Лапласа, нужно
умножить ее на комплексную переменную S. Для получения второй производной нужно еще раз
умножить на эту же комплексную переменную S. И так далее.
Для получения интеграла частотной функции нужно разделить ее на комплексную переменную S.
3.2 Передаточные функции.
Напоминаем, что отношение изображений выходного и входного сигналов исследуемого объекта
называют передаточной функцией динамического звена
. (4.1)
Суть передаточной функция связана с понятием импульсной функции. Импульсной характеристикой
динамического звена называют реакцию звена на импульсное воздействие
При этом схема эксперимента имеет вид
Рассмотрим динамическое звено с передаточной функцией
входе дельта функция
, обозначая ее как
.
после преобразования Лапласа.. На
, ее значение по Лапласу рано 1.
Имеем:
Таким образом, получаем что
передаточная функция звена – это изображение по Лапласу импульсной характеристики динамического
звена (т. е. выхода с объекта при подаче импульсного сигнала). Это комплексная величина т. к. есть
мнимая часть jω.
В свою очередь, импульсная характеристика может быть определена по передаточной функции
.
3.3 Частотные характеристики:
Функция комплексной частотной переменной представляется как сумма действительной и мнимой частей
для каждой частоты в следующем виде –
Здесь:
модуль,
– действительная (вещественная) часть,
– мнимая часть. Еще раз отметим, что
– модуль (амплитуда) передаточной функции
– фаза аргумент ω
.
Амплитуда, фаза, действительная и мнимая части частотной характеристики являются функциями
частоты, и представляется графически частотная характеристика. в виде частотных характеристик.
1.
1.
Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ), которая определяется как годограф (след
движения конца) вектора
0 до .
, построенный на комплексной плоскости при изменении частоты от
2.
Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) –
3.
Фазочастотная характеристика (ФЧХ) –
4.Вещественная частотная характеристика (ВЧХ) –
.
.
5. Мнимая частотная характеристика (МЧХ) –
.
Эти формулы и графики передаточной функции представляют собой полное математическое описание
объекта управления и используются для исследования и синтеза систем управления.
4
Описание объекта управления. Моделирование технологических процессов и систем управления.
При анализе начинать нужно с описания объекта управления. Стратегия управления базируется на
понимании, как физический процесс реагирует на входной сигнал. Если есть модель из линейных
дифференциальных уравнений, то можно получить решение из этой системы. Обычно готовых моделей
нет. Тогда нужно проводить эксперименты, подавая разные типы входных сигналов. Базой для получения
характеристик объекта управления является обработка реакции и изменений объекта при подаче на него
стандартных воздействий.
Входные воздействия переменные во времени, и реакции объекта управления
(переходные
характеристики) также будут функциями времени. Они различны для разных видов воздействий. Для
простоты анализа систем входные воздействия приводят к одному из типовых видов сигналов (см. рис 2.4).
4.1 При подаче на вход объекта синусоидального сигнала на выходе, как правило, в установившемся
режиме получается также синусоидальный сигнал, но с другой амплитудой и фазой: y = Aвых*sin(*t + ),
где Aвых - амплитуда,  - частота сигнала,  - фаза. Эти пользуются при описании технологического звена.
Простой алгоритм экспериментального определения частотных характеристик линейного
динамического звена, объекта или системы управления
1.
2.
3.
4.
Подать на вход объекта синусоидальный сигнал частоты
и постоянной амплитуды.
Дождаться затухания свободной составляющей переходного процесса.
Измерить амплитуду выходного сигнала и сдвиг его по фазе относительно входного сигнала.
Отношение амплитуды выходного установившегося сигнала к амплитуде входного сигнала
5.
определит модуль частотной характеристики при частоте
.
Сдвиг фазы выходного сигнала относительно входного сигнала определит угол (аргумент)
частотной характеристики при частоте
.
Умножение значения модуля на cos(угла) даст значение вещественной части характеристики, а
умножение значения модуля sin(угла) даст значение мнимой части характеристики.
Применяя данный алгоритм для частот от нуля до бесконечности, можно экспериментальным путем
определить частотную характеристику конкретного устройства. Затем строим все типы частотных
характеристик и получаем математическое описание объекта.
Частотные характеристики показывают,
во сколько раз объект (динамическое звено или устройство), работающее в установившемся режиме,
изменяет амплитуду входной синусоиды частоты , и на какой угол сдвигает входную синусоиду по фазе.
6.
4.2 Способ моделирования с использованием типового апериодического звена:
Апериодическое звено первого порядка —
звено, которое можно описать дифференциальным
уравнением:
.
К стандартному виду приводится делением на
правой и левой части уравнения:
, где:

— выходная величина;
— входная величина;
— коэффициент усиления
звена;
— постоянная времени, характеризующая инерционность звена. Чем больше
постоянная времени, тем дольше длится переходный процесс.
Передаточная функция апериодического звена 1-го порядка
дифференциальному уравнению преобразования Лапласа:
получается путем применения к
,
.
Комплексная передаточная функция получается при подстановки вместо
переменой
. Чтобы
разделить на мнимую и действительную часть необходимо домножить числитель и знаменатель на
комплексно-сопряженное число
:
Обратное преобразование Лапласа апериодического звена дает следующие выражения для
временных характеристик: импульсная функция -
,
Переходная характеристика h(t) (т.е. реакция на единичное ступенчатое воздействие):
,
.
Частотные характеристики представлены ниже. Следует обратить внимание на то, что точки
перегиба этих кривых связаны со значением величины Т. Особенно заметно это на годографе мнимой
частотной характеристике (МЧХ).
.
В целом считается, что почти любой объект управления в первом приближении, грубо, можно описать
апериодическим звеном 1-го порядка. Это верно т. к. много законов физики описываются этими
уравнениями. Например:
1. При движении твердого тела в жидкой или газообразной среде на него действует сила сопротивления
(или вязкого трения). При таком режиме движения второй закон Ньютона записывается в виде следующего
дифференциального уравнения:
2. Для ‘электрической RLC цепочки получаем следующее дифференциальное уравнение:
3 Согласно закону охлаждения Ньютона, скорость изменения температуры тела, т.е. производная dT/dt ,
пропорциональна разности температур тела и окружающей среды - dT/dt = T – a , где а - const.
4 Скорость радиоактивного распада (количество ежесекундно испускаемых частиц, равное числу
ежесекундно распадающихся ядер) прямо пропорциональна только наличному в данный момент
количеству радиоактивных ядер.
dN/dt = -λN(t). (где: N(t),см-3 - ядерная концентрация радиоактивных ядер в рассматриваемый момент
времени t; dN/dt,см-3с-1 – количество распадающихся в 1 см3 ядер за 1 с (в данный момент времени);
Можно значительно продолжить этот список математического выражения законов физики и соответственно
технологических процессов, которые их реализуют.
4.3.1 Пример идентификации апериодического объекта по переходной кривой
Так как объект в первом приближении описывается апериодическим звеном, рассмотрим
обработку переходной характеристики такого объекта. Переходной характеристикой h(t)
называется реакция объекта на единичное ступенчатое воздействие (сигнал) при нулевых
начальных условиях, т.е. при х(0) = 0 и у(0) = 0.
Процесс получения передаточной функции объекта, исходя из данных о переходном процессе, называется
идентификацией объекта.
Предположим, что при подаче на вход некоторого объекта
ступенчатого воздействия была получена переходная
характеристика (см. рисунок 1.31). Требуется определить
параметры передаточной функции.
у
ууст
Передаточная функция апериодического звена имеет вид
д

t
T
W(s) 
K  s
e
Ts  1
(инерционное звено с запаздыванием).
Параметры передаточной функции: К - коэффициент усиления, Т - постоянная времени,  запаздывание. Они определяются из характеристик кривой разгона рисунка 1.31
Коэффициентом усиления К называется величина, показывающая, во сколько раз данное звено усиливает
входной сигнал (в установившемся режиме), и равная отношению выходной величины у ко входной
величине х:
K
у уст
х
,
Установившееся значение величины ууст - это значение у при t  .
Постоянная времени Т -Для рассматриваемой передаточной функции 1-го порядка Т определяется просто:
сначала проводится касательная к точке перегиба, затем находятся точки пересечения с осью
времени и асимптотой yуст; время Т определяется как интервал времени между этими точками.
Запаздыванием  называется промежуток времени от момента изменения входной величины х до
начала изменения выходной величины у.
Передаточная функция звена запаздывания: W(s) = e- Ƭ s.
4.3 Типы процессов – реакций на воздействия:
 Статические процессы, у которых имеется однозначная зависимость между входным и выходным
состояние статики. Примером является любой тепловой объект. Например, если на вход нагревателя
подать некоторое постоянный тепловой поток, то с течением времени его температура установится на
повышенном значении. При этом установившаяся температура будет зависеть от величины поданного
напряжения.
 астатические - у которых эта зависимость отсутствует. То есть, при постоянном входном воздействии
амплитуда сигнала на выходе непрерывно растет с постоянной скоростью, ускорением и т.д. Пример:
Зависимость угла поворота ротора электродвигателя от приложенного напряжения. При подаче
напряжения угол поворота будет постоянно возрастать, поэтому однозначной зависимости у него нет
(пример см. на рисунке 1.8, б).
, рад.
Т, °С
Туст
t
t
4.4 Критерии устойчивости
Устойчивость является одним из необходимых условий, обеспечивающих нормальное функционирование
автоматических систем. Поэтому чрезвычайно важно выяснить те условия, которые обеспечивают
принципиальную работоспособность системы, ее устойчивость.
На комплексной плоскости корней корни с отрицательными вещественными частями располагаются на
левой полуплоскости и называются левыми, а корни, расположенные в правой полуплоскости,
называются правыми. Необходимое и достаточное условие устойчивости линейной системы может быть
сформулировано так: линейная система устойчива, если все корни ее характеристического уравнения
являются левыми (отрицательными). Чтобы понять, скажем, почему для устойчивости линейной
системы дифференциальных уравнений х° = Ах
требуется отрицательность действительных частей
собственных значений матрицы А, естественно обратиться напрямую к записи решения этого
дифференциального решения.
Если λ больше 0 решение Х будет бесконечным.
Для оценки устойчивости системы в классической теории практически не требуется находить корней ее
характеристического уравнения в связи с тем, что разработаны косвенные признаки, по которым можно
судить о знаках действительных частей этих корней и тем самым об устойчивости системы, не решая самого
характеристического уравнения. Эти косвенные признаки называются критериями устойчивости.
По этим выражениям получим логарифмические характеристики:
(5)
ЛАЧХ –
(6)
ЛФЧХ –
Таким образом, логарифмические частотные характеристики САУ могут быть определены, как сумма
логарифмических частотных характеристик последовательно включенных составляющих САУ звеньев.
Логарифмические масштабы и использование асимптот позволяет суммирование вместо умножения, в том
числе графическое суммирование годографов ЛАЧХ. Широкое распространение вычислительной техники
позволяет переложить все расчетные функции на компьютеры, и ручная графическая работа и действия с
годографом используются все меньше.
4.1 Критерии устойчивости
Устойчивость является одним из необходимых условий, обеспечивающих нормальное функционирование
автоматических систем. Поэтому чрезвычайно важно выяснить те условия, которые обеспечивают
принципиальную работоспособность системы, ее устойчивость.
На комплексной плоскости корней корни с отрицательными вещественными частями располагаются на
левой полуплоскости и называются левыми, а корни, расположенные в правой полуплоскости,
называются правыми. Необходимое и достаточное условие устойчивости линейной системы может быть
сформулировано так: линейная система устойчива, если все корни ее характеристического уравнения
являются левыми (отрицательными). Чтобы понять, скажем, почему для устойчивости линейной
системы дифференциальных уравнений х° = Ах
требуется отрицательность действительных частей
собственных значений матрицы А, естественно обратиться напрямую к записи решения этого
дифференциального решения.
Если λ больше 0 решение Х будет бесконечным.
Для оценки устойчивости системы в классической теории практически не требуется находить корней ее
характеристического уравнения в связи с тем, что разработаны косвенные признаки, по которым можно
судить о знаках действительных частей этих корней и тем самым об устойчивости системы, не решая самого
характеристического уравнения. Эти косвенные признаки называются критериями устойчивости.
Критерий устойчивости Михайлова предназначен для оценки устойчивости системы по его
характеристическому уравнению. Устойчивая система содержит только левые корни, т. е.
. И, т. е.
для устойчивости системы характеристический частотный вектор должен пройти последовательно
(поочередно) в положительном направлении (против часовой стрелки)
движение при
с положительной вещественной оси.
квадрантов. Вектор начинает
Порядок расчета устойчивости по критерию Михайлова:
1. Записывается характеристическое уравнение замкнутой системы:
Производится замена
и выделяются вещественная
координат
,п
,при изменении
вектор (годограф Михайлова).
от
и мнимая
до
слагаемые. В осях
, строят характеристический частотный
Рис. 5.3. Годографы Михайлова для систем: а - устойчивых, б – неустойчивых
По виду годографа Михайлова судят об устойчивости системы. Устойчивые годографы проходят поочередно
квадрантов. На границе устойчивости годограф проходит через начало координат.
При оценке устойчивости систем одного факта устойчивости недостаточно. Необходимо еще оценить
величину запаса устойчивости, т. е. степени удаленности системы от границы устойчивости. Система,
которая теоретически является устойчивой, но находится очень близко к границе устойчивости, практически
при ее реализации может оказаться неустойчивой как вследствие неточности математического описания
системы, использованного при оценке устойчивости, так и из-за изменения во времени параметров
системы. Основное распространение в качестве меры запаса устойчивости получили вытекающие из
критерия Найквиста две величины – запас устойчивости по фазе
и запас устойчивости по амплитуде
в логарифмическом масштабе.
Критерий Найквиста
Этот критерий позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по амплитудно-фазовой частотной
характеристике (а.ф.х.)
разомкнутой системы. Условие устойчивости замкнутой системы сводится
к требованию, чтобы а.ф.х. разомкнутой системы не охватывала точку
. На рис. а
характеристики 1 и 4 соответствуют устойчивым системам, характеристика 3 – неустойчивой, а
характеристика 2 – нахождению системы на границе устойчивости. Если, например, уменьшить
коэффициент передачи в неустойчивой системе 2, то ее а.ф.х. сожмется к началу координат, в результате
чего система станет устойчивой. Наоборот, при увеличении коэффициента передачи характеристика
устойчивой системы, в конце концов охватит точку
и система потеряет устойчивость.
В соответствии с критерием Найквиста, об устойчивости можно судить не только по а.ф ч.х., но и
совместно по амплитудно-частотной и фазово-частотной характеристикам. Обычно при этом пользуются
логарифмическими характеристиками, что представляет большое удобство в силу простоты их построения.
Согласно критерию Найквиста, для системы, устойчивой в разомкнутом состоянии, условием устойчивости
ее в замкнутом состоянии является не охват а.ф.х. W(jω) точки (-1, j0).
Последнее имеет место, если при частоте, на которой A(ω) =1, фаза меньше 180°. На рис. 5.4 б. показаны
логарифмические характеристики, Здесь изображены одна логарифмическая амплитудная частотная
характеристика L(ω) и четыре варианта логарифмической фазной характеристики ϕ(ω) . Если учесть при
этом, что значению А = 1 соответствует L = 20lg1=0, критерий устойчивости Найквиста для систем,
устойчивых в разомкнутом состоянии, сводится к тому, что л.а.ч.х. должна пересечь ось абсцисс раньше,
чем фаза окончательно перейдет за значение -180°. Или иными словами, на частоте среза ωср величина
фазы должна быть меньше 180°. Изложенное иллюстрируется рис. 5.4, б. В случае л.ф.х. 1 и 4 замкнутая
система устойчива. Л.ф.х. 2 соответствует нахождению замкнутой системы на границе устойчивости, а л.ф.х.
3 – неустойчивой замкнутой системе.
Для астатических систем и систем, неустойчивых в разомкнутом состоянии, условием устойчивости в
замкнутом состоянии является следующее: при положительной л.а.ч.х. число пересечений л.ф.х. уровня 180° снизу вверх должно быть на k/2 раз больше числа пересечений в обратном направлении.
При оценке устойчивости систем одного факта устойчивости недостаточно. Необходимо еще оценить
величину запаса устойчивости, т. е. степени удаленности системы от границы устойчивости. Система,
которая теоретически является устойчивой, но находится очень близко к границе устойчивости, практически
при ее реализации может оказаться неустойчивой как вследствие неточности математического описания
системы, использованного при оценке устойчивости, так и из-за изменения во времени параметров
системы.
Основное распространение в качестве меры запаса устойчивости получили вытекающие из
критерия Найквиста две величины – запас устойчивости по фазе Δϕ и запас устойчивости по амплитуде ΔL в
логарифмическом масштабе. Эти величины показаны на рис. 5.4, б для системы с л.ф.х., представленной
кривой 1. Запас устойчивости по амплитуде определяется величиной допустимого подъема л.а.ч.х., при
котором система окажется на границе устойчивости. Запас устойчивости по фазе определяется величиной
по фазе, которую остается до частоты среза, чтобы система оказалась на границе устойчивости.
Рекомендуется выбирать запас устойчивости по фазе больше 30° , а запас устойчивости по амплитуде
больше 6 дБ. Последнее соответствует примерно двойному запасу коэффициента передачи по
устойчивости.
5 Законы регулирования и регуляторы
Разработка математических описаний объектов, сначала разомкнутых, а затем замкнутых, с анализом
устойчивости таких систем привела к пониманию необходимости добавки корректирующих звеньев в
систему управления. Этим занимается в теории автоматического управления раздел синтеза
автоматических систем. Корректирующие звенья исправляют амплитудно-частотные и фазовые
характеристики автоматической системы так, чтобы выполнялись требованиям по критериям устойчивости.
В настоящее время разработаны и повсюду применяются стандартные корректирующие звенья –
регуляторы. Каждый регулятор в свою очередь состоит из нескольких простых звеньев. Обычно это звено
линейного усиления, интегрирующее звено и дифференциальное звено. Мы рассмотрим работу
регуляторов, как с математической точки зрения, так и с анализа их частотных характеристик.
Передаточная функция замкнутой системы имеет вид: W(p) = K(p)Wo(p) /(1+K(p)Wo(p)). Процесс подбора
передаточных функций звеньев называется синтезом. Основные этапы синтеза системы:
1) Задаться желаемой передаточной функцией замкнутой системы Фжел(p), при которой обеспечивается
желаемая переходная функция системы.
2) Определить желаемую передаточную функцию разомкнутой системы по формуле:
G жел (p) 
Ф жел (р)
1  Ф жел (р)
3) Найти передаточную функцию корректирующего устройства.
Wк (p) 
G жел (р)
Wo (p)
Наиболее важным является первый этап – этап выбора Фжел(p). Её определение осуществляется на основе
корневого метода, который заключается в том, что корни характеристического уравнения системы
помещаются в заданные положения на комплексной плоскости, что обеспечивает желаемое
быстродействие и желаемый вид переходных процессов.
Примем вид желаемой ПФ замкнутой системы.
Ф жел (p) 
1
a 0 p n  a 1p n 1  ...  a n 1p  a n
. Выберем аn =1
Обозначим корни характеристического уравнения p1, p2, … pn и введем понятие среднегеометрического
p1p 2 ...p n . Т = 1/А – базовая постоянная времени системы
корня характеристического уравнения: A=
(величина обратная среднегеометрическому корню). Среднегеометрический корень связан с
n
n
коэффициентом a0 по формуле: A
=1/a0. Коэффициенты Ск = ак Аn-k ,
k=1…n–1.
Аn
Ф жел (р)
G жел (p) 
1  Ф жел (р) = p n  c1Ap n 1  c 2 A 2 p n 2  ...  c n 1A n 1p =

1
T n p n  c1T n 1p n 1  ...  c n 1Tp
, где Т = 1/А – базовая постоянная времени системы (величина
обратная среднегеометрическому корню). Коэффициенты Ск = ак Аn-k , k=1…n–1.
Чтобы выбрать желаемую передаточную функцию системы необходимо
1)
Определить порядок n желаемой передаточной функции системы.
2) Выбрать определенный способ распределения корней характеристического уравнения на комплексной
плоскости. Выбор стандартного распределения сразу определяет стандартную формулу передаточной
функции.
3)
Определить коэффициенты ск (для типовых способов распределения корней они приводятся в
справочниках).
4) Определить величину среднегеометрического корня А (или базовой постоянной времени Т), исходя из
требуемого быстродействия системы (времени переходного процесса).
Пример типового распределения корней (биномиального): Все корни характеристического уравнения
выбираются одинаковыми, действительными и равными (–А).
j
–А
Тогда желаемая передаточная функция системы:
An
Ф жел (p) 
( p  A) n
Знаменатель данной функции представляет собой бином Ньютона. Запишем желаемые передаточные
функции для различных порядков системы.
n
Ф жел (р)
1
A
pA
2
А2
p 2  2Aр  A 2
3
А3
p 3  3Aр 2  3A 2 р  А 3
4
А4
p 4  4Aр 3  6A 2 р 2  4А 3 р  А 4
При выборе биномиальной функции для любого n переходные процессы получаются монотонными.
Биномиальное распределение корней применяют в тех случаях, когда перерегулирование недопустимо.
Для каждого порядка системы будет свое относительное время переходного процесса τпп
n
1
2
3
4
τпп, о.е.
3
4,75
6,3
7,8
Если прядок системы n выбран и задано желаемое
среднегеометрический корень определяется по формуле:
А
время
переходного
процесса
tпп,
то
 пп
t пп
Рассмотрим переходные функции системы при биномиальном распределении корней. Эти переходные
функции будем рассматривать в относительном времени τ=А·t. Такие переходные функции будут
универсальными, поскольку они подходят для любого значения А.
τ
Таким образом, чем более высокое быстродействие требуется (чем меньше tпп), тем больше по модулю
должен быть среднегеометрический корень.
5.2 Стандартные корректирующие звенья:
В настоящее время разработан и повсюду применяются набор стандартных корректирующих звеньев,
объединенных в общую систему, которая называется регулятором. Каждый регулятор содержит
нескольких простых звеньев. Обычно это звено линейного усиления, интегрирующее звено и
дифференциальное звено. Они в свою очередь соединены параллельно, что приводит к сложению их
передаточных функций.
Эти звенья вырабатывают управляющее воздействие U(t). Мы рассмотрим работу регуляторов, как с
математической точки зрения, так и с анализа их частотных характеристик.
Усилительное звено
(пропорциональное регулирование).
П-закон.
Для пропорционального
регулирования управляющее воздействие должно быть пропорционально входного сигнала (величине
рассогласования). Если регулируемый параметр отклоняется от заданного значения, требуется увеличивать
воздействие на объект. Коэффициент пропорциональности обозначают как K1: u = K1.e.
Передаточная функция П-регулятора имеет вид:
.
Если
величина
ошибки равна, например, единице, то управляющее воздействие станет равным K1 (см. рисунок).
Интегрирующее звено (интегральное регулирование).
И-закон Управляющее воздействие пропорционально интегралу от ошибки. То есть чем дольше существует
отклонение регулируемого параметра от заданного значения, тем больше управляющее воздействие:
u  K 0  e( t )dt . К = 1/Т.
0
Передаточная функция звена:
Временные характеристики
Интегральное звено запоминает значение импульса и складывает импульсы приходящие один за
другим . При возникновении отклонения управляющее воздействие начинает увеличиваться со
скоростью, пропорциональной величине рассогласования. Например, при е = 1 скорость роста
управляющего воздействия будет равна 1/Т. Частотные характеристики звена:
Достоинство данного принципа регулирования в отсутствии статической ошибки, т.е. при возникновении
ошибки регулятор будет увеличивать управляющее воздействие, пока не добьется заданного значения
регулируемой величины. Недостаток – содействует неустойчивости процесса из-за отставания по фазе.
Дифференцирующее звено (дифференциальное регулирование).
Д-закон. Регулирование ведется по величине скорости изменения регулируемой величины:
u  K2
de( t )
dt .
К2 = Т. Передаточная функция
Частотные характеристики:
Временные характеристики: Импульсная функция w =Т •dδ/dt, Переходная функция h = Т •δ
При использовании дифференцирующего звена быстрый рост регулируемой величины вызовет большее
управляющее воздействие. При медленном росте – меньшее воздействие. Регулятор генерирует
управляющее воздействие только при изменении регулируемой величины. Например, если ошибка имеет
вид ступенчатого сигнала е = 1, то на выходе такого регулятора будет наблюдаться один импульс (функция). При быстром отклонении регулирующей величины управляющее воздействие по модулю будет
больше. При медленном – меньше.
На практике типовые П-, И- и Д-законы регулирования редко используются в чистом виде. Чаще они
комбинируются и реализуются в виде ПИ-регуляторов и ПИД-регуляторов. Регулирующие звенья
объединяются параллельно, их выходные сигналы складываются. Эти звенья относятся к элементарным.
Промышленная реализация их не сложна и не очень трудоемка. Широкий диапазон изменения
коэффициентов и постоянных времени позволяет корректировать и заметно менять частотные
характеристики объектов управления.
Регуляторы по физической реализации можно разделить на аналоговые, цифровые и дискретные.
К дискретным регуляторам относятся позиционные и релейные. Наибольшее распространение среди
аналоговых получили Пропорционально-Интегрально-Дифференциальные регуляторы, сокращенно ПИД
регуляторы, реализующие типовые законы регулирования. Такие же законы реализуют цифровые ПИД
регуляторы, которые можно создавать каждому программисту. Цифровые регуляторы не только повторяют
алгоритмы аналоговых, но и позволяют реализовывать сложные алгоритмы, недоступные для аналоговой
техники. Простые формы регуляторов уже заложены в стандартное обеспечение контроллеров и SCADA
систем.
Релейные (позиционные) регуляторы это простые и надежные регуляторы, у которых выходное
значение принимает всего два значения. Используются в системах управления уровнем, дозировки,
технологической защиты и так далее. Для них U = Umax, если е ≧0 и U = Umin если е≦ 0, где е=U-Y.
5.2.1 Комбинированный ПИ-регулятор (пропорционально-интегральный регулятор):
Представляет собой два параллельно работающих звена - Пропорционального и Интегрального. Данное
соединение сочетает в себе достоинства обоих звеньев: быстродействие и отсутствие статической ошибки.
ПИ-закон регулирования описывается уравнением
u  K 0  e( t )dt  K1  e( t )
е
и передаточной функцией
П
u
И
WПИ(s) = K1 + К0/s.
ПИ-регулятор имеет два независимых параметра (настройки): Kи – коэффициент интегральной части и Kп –
коэффициент пропорциональной.
При возникновении рассогласования е = 1 управляющее воздействие изменяется, как показано на
рисунке
u(t)
е(t)
K1
1
t
 = arctg K0
t
Общую структурную схему замкнутого контура управления для ПИ – регулятора можно представить в
виде:
5.2.2 ПИД-регулятор (пропорционально-интегрально-дифференциальный регулятор) можно представить
как соединение трех параллельно работающих регулирующих звеньев.
u  K 0  e( t )dt K1  e( t )  K 2
Закон ПИД-регулирования описывается уравнением:
de( t )
dt
и передаточной функцией
WПИД(s) = K0/s + K1 + K2 s. ПИД-регулятор имеет три коэффициента настройки:
K0, K1 и K2.
ПИД-регулятор является самым распространённым типовым регулятором , поскольку он сочетает в
себе достоинства всех трех элементарных корректирующих звеньев. Мгновенная реакция такого регулятора
на единичное ступенчатое изменение рассогласования показана на рисунке:
Приобретая промышленный ПИ или ПИД регулятор, вы не имеете гарантий, что с помощью трех типовых
элементарных звеньев сможете изменить характеристики результирующего объекта управления и
добьётесь устойчивости замкнутой системы. Чтобы повысить вероятность достижения этого результата,
изготовитель обеспечивает возможность менять частотные и временные характеристики каждого из
звеньев в очень широких пределах. Учитывайте возможности и диапазон параметров регулятора при его
выборе для работы.
5.3 . Математическое описание ПИД регулятора.
Согласно принципу обратной связи входным сигналом, как для аналогового, так и для цифрового
регулятора является величина отклонения, которая определяется как разность между заданным и текущим
значением регулируемого параметра (e = z – у). Выходным сигналом регулятора является величина
воздействия (управляющего u), подаваемая на исполнительный механизм. В настоящее время входы и
выходы реализуется в виде стандартных сигналов. В некоторых случаях выход регулятора представляет
собой последовательность импульсов для исполнительного механизма, например, шагового двигателя.
Уравнение классического ПИД регулятора в его классическом математическом выражении имеет вид:
ПИД регулятор вырабатывает управляющий сигнал как сумму трех составляющих. Кроме того
можно задавать начальное значение выходного сигнала - UО. Первая составляющая Up пропорциональна
рассогласованию e(t) (напомним, е это разница выходного сигнала и задания), вторая составляющая Ui
равна интегралу (сумме) по времени отклонений всех e(t), а третья часть суммы равна производной
отклонения e(t). Совместно действуют три корректирующих элементарных звена - пропорционального
интегрального и регулирования по производной.
Базовый сигнал UО, будет на выходе регулятора в начале процесса регулирования. Кроме того он
играет роль поправочного значение, а также смещения. Параметр К – коэффициент усиления регулятора. Ti
– постоянная времени регулирования, Td – постоянная времени дифференцирования. Эти параметры
используются для настройки системы управления и изменения качества регулирования. Усиление
регулятора – К - безразмерная величина. Постоянные времени выражаются в секундах. Выход реального
регулятора всегда ограничен некоторыми пределами Umax и Umin.
Интегральная часть важна для устранения статической ошибки. Она накапливает и запоминает
значение своего выхода для каждого момента времени. Если замкнутая система регулирования достигла
заданного значения величины e(t) и Uр(t) станут равны 0, но допустить, чтобы u(t) на выходе регулятора
стала равна 0 нельзя. При нулевом выходном сигнале регулятора исполнительные механизмы закроются и
технологический процесс прекратится. И тут на помощь приходит интегральная часть, которая помнит свой
выходной сигнал Ui на момент, соответствующий достижения заданного значения. На выходе регулятора
останется эта величина сигнал Ui.
Соответственно, если снова начнет меняется величина e(t), то начнут изменяться все выходы
корректирующих звеньев, включая Ui, который будет накапливать и запоминать свой выход на пути к
заданному значению.
Дифференциальная часть следит за скоростью изменения параметра и прогнозирует величину
следующего отклонения от задания. В зависимости от прогноза она воздействует на управляющий сигнал,
тормозя или ускоряя его рост.
5.3.1 Реализация ПИД регулятора в контроллерах и компьютерах.
Разработчикам приходится реализовывать ПИД-регулятор на устройствах вычислительной техники в
дискретном числовом виде. Выражение, которое нужно запрограммировать имеет вид:
ΔU(i) = U(i) - U(i-1) = ΔUp(i) + ΔUi(i) + ΔUD(i) где
ΔUp(i) = К• e(i)
ΔUi(i) = Ui(i-1) + Ki • e(i)
Ki = K • h/ Ti
Ui(0) = UО
ΔUD(i) = KD • (Y(i) - Y(i-1))
Здесь учитывается то, что все действия в компьютерах (контроллерах) осуществляются пошагово.
U(i) и e(i) – это значения выхода регулятора и величины рассогласования на (i) шаге. U(i-1) – это значение
выхода регулятора на прошлом (i-1) шаге. Y(i) и Y(i-1) – значение регулируемой величины на текущем и
прошлом шаге.
Регулятор на каждом шаге рассчитывает величину приращения управляющего сигнала ΔU(i),
который добавляется (или вычитается) к предыдущему сигналу на исполнительный механизм.
U(i) = U(i-1) + ΔU(i). (i), (i-1) – номера шагов управления. Контроллер (компьютер) выдает на
исполнительный механизм значение U(i).
Начальное значение UО включено в состав интегральной части как ее значение на первом шаге и далее в
явном виде не проявляется. При изменении свойств объекта управления
регулятор сам будет
подстраиваться под объект путем подбора нового значения Ui при достигнутом заданном режиме.
В вычислительном плане алгоритм чрезвычайно прост. Требуется:
ввести коэффициенты К, Ki, KD и величину UО в программу;
запомнить значение выходного сигнала с регулятора U(i-1);
получить значения e(i) = Y(i) - Y(i-1);
рассчитать значения ΔUp(i), ΔUi(i), ΔUD(i) по указанным выше формулам;
рассчитать значение ΔU(i);
найти значение U(i) = U(i-1) + ΔU(i) и выдать его на исполнительный механизм;
продолжить эту последовательность действий, начиная со второго пункта;
5.3.2 Устойчивость системы
Важным показателем АСР является устойчивость, поскольку основное ее назначение заключается в
поддержании заданного постоянного значения регулируемого параметра или изменении его по
определенному закону. Регулятор воздействует на систему таким образом, что ликвидирует это
отклонение. Если система в результате этого воздействия возвращается в исходное состояние или
переходит в другое равновесное состояние, то такая система называется устойчивой. Если же возникают
колебания со все возрастающей амплитудой или происходит монотонное увеличение ошибки е, то система
называется неустойчивой.
Пусть выходной сигнал звена или системы y(t) рассматривается как сумма двух составляющих y(t) = yуст +
уп(t),
где
y уст  lim y(t )
t 
- и уп(t) – переходная составляющая, равная
уп(t) = y(t) – yуст.
Необходимое и достаточное условие устойчивости формулируется следующим образом: Звено или
система называются устойчивыми, если переходная составляющая с течением времени стремится к нулю:
lim yп (t )  0
t 
. (То есть весь переходный процесс стремится к установившемуся состоянию). Если уп(t) с
течением времени стремится к бесконечности, звено или система называются неустойчивыми.
Примеры переходных процессов для каждого случая приведены на рисунках
5.3.3 Прямые показатели качества
К ним относятся: степень затухания , перерегулирование , статическая ошибка ест, время регулирования
tp и другие. Рассмотрим их, использую нижеприведенный рисунок переходного процесса
По нему можно понять все определение для установившегося значения выходной сигнала.
y уст  lim y(t )
t 
.
Степень затухания  определяется по формуле
  1
A3
A 1 , где А1 и А3 - соответственно 1-я и 3-я амплитуды переходной кривой.
y max  y уст
A1

y уст
y уст
Перерегулирование  =
где ymax - максимум переходной кривой.
Статическая ошибка ест = х - ууст, где х - заданная величина.
Время достижения первого максимума tм - определяется по графику.
Время регулирования tp определяется следующим образом: определяется допустимое отклонение  и
строится «коридор» шириной 2. Время tp соответствует последней точке пересечения y(t) с данной
границей. Это есть время, после которого колебания регулируемой величины перестают превышать
допустимого отклонения от установившегося значения.
Оптимальные значения времени регулирования, времени достижения первого максимума,
перерегулирования и статической ошибки соответствуют минимальным значениям (чем меньше, тем
лучше). Степень затухания, наоборот, должна быть максимально большой (максимум  равен 1).
6
Современный подход - пространство состояний.
Работу системы управления можно описать словесно. Словесное описание помогает понять
принцип действия системы, ее назначение, особенности функционирования и т.д. Однако, оно не дает
количественных оценок качества управления, поэтому не пригодно для на хождения характеристик и
синтеза систем автоматизированного управления.
Исторически теория автоматического управления (ТАУ) построена на использовании анализ
функций комплексной переменной - преобразований Лапласа. Обычно в частотных методах описывается
только связь между входными и выходными сигналами. Часть внутренних переменных и связи между ними
остаются скрытыми. Описания ОУ имеют меньшую размерность и меньшее число параметров.
Но теряется глубина понимания процессов. Говорят даже о «Черном ящике». Такая модель называется
внешним описанием
, в противоположность уравнению состояния.
В настоящее время
процессы часто моделируют набором
связанных между собой
дифференциальных уравнений для баланса энергии, массы, компонентов масс, сил и моментов.
Состоянием называется набор всех переменных, производные которых входят в систему
дифференциальных уравнений. Если известны текущие значения переменных состояния ( Х 0 ) и
управляющие сигналы, то можно описать дальнейшее поведение системы. Состояние это вектор – столбец
из переменных состояния.
Непосредственно измерить все переменные состояния обычно не удается.
Существуют переменные, которые непосредственно не измеряются. Описание в пространстве состояний
называют внутренним описанием
.
4.1 Математические модели в пространстве состояний
Линейная система дифференциальных уравнений для переменных состояния записывается в виде:
Основу математической модели многомерной системы во временной области составляет векторноматричная форма записи системы дифференциальных уравнений первого порядка, которая носит название
уравнения состояния. Уравнение состояния имеет вид –
(
1)
где
— вектор состояния размерности
однозначно определяющие его состояние,
, который включает в себя переменные объекта,
— вектор управления или входа размерности
действующие на систему извне,
, который включает в себя сигналы,
— матрицы параметров, включающие в себя параметры системы, размерность которых
соответственно
,
— порядок системы.
Иногда уравнение состояния (1) записывают в развернутой форме –
.
Уравнение состояния и структура полностью описывают объект управления, вектор состояния
содержит переменные объекта, которые однозначно описывают его состояние.
В реальных системах многие компоненты состояния не могут быть измерены или наблюдаемы с
помощью датчиков. Эту ситуацию разрешает введение дополнительного уравнения выхода, которое
определяет те переменные, которые доступны для наблюдения (на выходе системы) –
(
2)
где
наблюдения,
— вектор выхода размерности
— матрица параметров размерности
, который содержит переменные объекта, доступные для
–
в системах управления
Уравнение выхода (2) также можно записать в развернутой форме
Выходные величины – измерения, обозначаются через Y1, Y2,…Yp и составляют вектор столбец
. Выходные переменные величины классической теории остались, но с состояниями
они связаны своей системой уравнений.
Графически уравнение состояния и уравнение выхода могут быть представлены в виде, показанном на рис.
Обычно число измеряемых величин Р меньше числа переменных состояния N и требуется творчески
исследовать ОУ для нахождения для дополнительной информации.
Управляющие входные сигналы, которые влияют на переменные состояния и которые может
изменять человек - оператор процесса. Это переменные управления U .
.
. Отдельно рассмотрим объект управления:
Обычно число управляющих величин R меньше, чем переменных состояния N
Возмущения (изменения нагрузки, внутренние шумы) которые влияют на переменные состояния,
обозначаются V:
формула, связывающая передаточную функцию с параметрами уравнения состояния объекта.
5.2 Пример описание линейных многомерных процессов
Часто
можно использовать информацию материального баланса и законов физики.
смесительного бака посмотрим методологию такого моделирования.
На примере
Рассмотрим смесительный бак, схема которого представлена на рис. 1.З Бак наполняется с
помощью двух потоков, имеющих переменные мгновенные расходы F1(t) и F2(t). Оба входных потока
содержат растворимое вещество с постоянными величинами концентрации c1 и с2. Выходной поток имеет
массовую скорость истечения F(t). Предполагается, что содержимое бака перемешивается так, что
концентрация выходного потока равна концентрации c(t) в баке. Вентили позволяют менять расходы F1(t) и
F2(t). Выходной поток F(t) неуправляемый, самотек, и зависит от высоты жидкости h в емкости. Этот расход
определяется законами физики и рассчитывается согласно формуле 1.30. В сою очередь, высоту можно
определять как объем деленный на площадь поперечного сечения бака. Поскольку в баке работает
мешалка, происходит активное перемешивание и концентрация практически мгновенно усредняется по
всему объему. Концентрация на выходе из бака будет равна концентрации в нем. Первое уравнение это
уравнения баланса масс. Второе уравнение это уравнение баланса массы компонента – растворимого
вещества, например, кислоты.. При дифференцировании этого уравнения мы должны будем использовать
правило дифференцирования произведения переменных.
Установившееся значение процесса используется как заданный уровень, относительно которого
справедливы дифференциальные уравнения. Значения этого режима являются начальными значениями
для дифуравнений.
Связь переменных состояния и входных переменных, описанная в уравнениях будет представлена системой
линейных уравнений. Величина Θ есть время заполнения бака.
В матричном виде с матрица С, связывающая измеряемые величины с параметрами состояния, имеет вид:
Мы добились соответствия нашей системы общему виду.
Если численные значения расходов, концентраций и объема в установившемся режиме будут, например:
то система уравнений после подстановки численных значений выглядит так:
В общем случае решение для Х(t) систем с постоянными параметрами записывается
Где Ʌi
собственные значения (полюса) характеристического уравнения матрицы А,
еi
-
-
соответствующие им собственные вектора, ʍi – коэффициенты с учётом начальных значений Х0.
6. Свойства и параметры систем управления
Анализ свойств матричной системы методами линейной алгебры позволяет оценивать такие
свойства системы как Управляемость объекта и Восстанавливаемость (наблюдаемость) системы.
В свою очередь для наблюдаемых систем
x°(t) = A (t) x(t) + B (t) u (t)
y(t)=C(t)• X(t)
с помощью восстановителя состояния
x˄° (t)=A (t)x˄ (t) + B(t) u(t) + K(t) [y (t) -C(t)x ˄ (t) ]
получают x ˄ - оценки параметров состояния Х, в том числе и неизменяемых величин.
Наблюдатель использует принцип обратной связи и сравнивает оценку измерений, полученную с
использованием оценки состояния, со значением, полученным непосредственно от датчиков.
Восстановители состояния реализуются на вычислительных
контроллерах.
устройствах – компьютерах и
7 Заземление и экранирование
Сигналы, вырабатываемые датчиками, имеют низкий уровень напряжения и импеданса. Уровни
сигнала датчика, кабеля, входного устройства должны соответствовать друг другу. Достижение
указанного соответствия называется согласованием сигнала.
Импеданс - полное сопротивление цепи (активные и реактивные элементы).
Чтобы добиться максимальной мощности информационного сигнала, нужно, чтобы входное
сопротивление приемника совпадало с выходным сопротивлением передатчика. Для
согласования уровней сигнала и импеданса используются устройства усиления, например
операционные усилители. Операционный усилитель имеет высокий входной импеданс
(несколько Мом) и низкий выходной импеданс (ниже 100 Ом). На базе операционных усилителей
строятся схемы согласования сигнала.
Если длинна линии такова, что время распространения сигнала
соизмеримо с периодом сигнала, возникают побочные эффекты,
сигналов.
между концами линии
в том числе отражение
Отражение сигнала при несогласовании импеданса.
Коэффициент отражения равен
. В идеальном случае импеданс нагрузки должен быть равен
импедансу линии. Импульсы в несогласованной линии перемещаются туда и обратно с затухающей
амплитудой. Такое движение вносит помехи и искажает информационные сигналы.
Согласованность линии повышается применением кабелей типа «витая пара», где каждая пара проводов
симметрично переплетены между собой. Такие пары проводов меньше чувствительны к внешним
электромагнитным воздействиям и излучают меньшую энергию во внешнее пространство.
Электромагнитные помехи имеют различную природу. Индукционные и емкостные помехи и связи
зависят от частоты помех. Помехи резистивные не зависят от частоты возмущающего сигнала. Серьезные
проблемы с помехами возникают, когда проводники с сигналами от датчиков находятся вблизи силовых
кабелей. Емкостные помехи возникают из за того переменное напряжение индуцирует переменный ток по
выражению:
, где С – емкость линии. Способ устранения емкостных помех – защитный
электростатический экран. Экран должен быть заземлен, что бы потенциал был равен 0. Экран
изготовляется из медной сетки и фольги.
Индуктивные помехи возникают из за того переменный ток индуцирует магнитное поле, а оно наводит в
другом проводнике переменное напряжение. Если проводник является частью замкнутого контура, то в нем
циркулирует ток. Магнитные поля ослабляются защитным экранированием. Для уменьшения мощности
помех источники экранируется защитными сферами и стенами. Кабели должны прокладывается так, чтобы
поля помех распространялись вдоль них. Высоковольтные и низковольтные сигналы должны пересекаться
под прямым углом. Расстояние до источников помех должно быть максимально.
Для сброса электромагнитных помех на землю все носители помех и случайных токов должны быть
заземлены. Заземление это физическое соединение нескольких цепей к общему потенциалу.
Информационное (сигнальное) заземление должно быть собрано и подключено в общей точке нулевого
потенциала. Если существует несколько точек заземления с разными потенциалами, то между ними
существует ток утечки и дополнительные помехи.
Заземление экранов кабелей - важное защитное мероприятие. Чтобы уменьшить токи утечки, экраны
кабелей соединяют с общим единым общим потенциалам («землей») только в одной точке. В сложных
системах имеется отдельные заземления для датчиков, отдельные заземления для силовых элементов, для
защитных экранов. Но эти отдельные заземления связаны с общей
на схеме:
точкой заземления, что представлено
Заземление для различных компонентов системы.
Еще одно правило заземления: Цифровые и аналоговые цепи должны прокладываться и заземлятся
раздельно так как, когда цифровая система меняет свое логическое состояние, то на заземлении
появляются значительные всплески напряжения.