Вопросы для подготовки к экзамену по дисциплине «Линейная алгебра» 1. Матрицы. Виды матриц. Операции над матрицами и их свойства. 2. Перестановка. Определитель n-го порядка и его свойства. 3. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по элементам любой строки (или столбца). 4. Определитель произведения матриц. Определение обратной матрицы. Доказать теорему существования и единственности обратной матрицы. 5. Алгоритм нахождения обратной матрицы. Матричные уравнения АХ=В, YA=B. 6. Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия. Матричная запись. Правило Крамера. 7. Ранг матрицы. Элементарные преобразования матрицы. Методы нахождения ранга матрицы. 8. Понятие о линейной зависимости строк и столбцов матрицы. Теорема о ранге матрицы. 9. Теорема Кронекера — Капелли. 10. Однородные системы уравнений. Теорема о существовании ненулевых решений. Фундаментальная система решений. 11. Структура общего решения однородной и неоднородной системы линейных алгебраических уравнений. 12. Линейные пространства. Определение. Примеры. 13. Линейная зависимость и независимость векторов линейного пространства. Свойства. 14. Размерность линейного пространства. Базис. 15. Координаты вектора в данном базисе. Линейные операции над векторами в координатной форме. 16. Матрица перехода от одного базиса к другому. Связь между координатами вектора в разных базисах. 17. Подпространства линейных пространств. Примеры. Теорема о размерности подпространства. 18. Матрица линейного преобразования. Связь между матрицами и линейными преобразованиями. 19. Сложение линейных преобразований. 20. Умножение линейного преобразования на число. 21. Умножение линейных преобразований. 22. Связь между матрицами линейного преобразования в разных базисах. 23. Обратные преобразования. 24. Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования. Теорема о приведении линейного преобразования к диагональному виду. 25. Теорема о линейной независимости собственных векторов линейного преобразования. 26. Нахождение собственных векторов и собственных значений линейного преобразования. 27. Инвариантность характеристического многочлена линейного преобразования. 28. Теорема о приведении матрицы линейного преобразования к диагональному виду в случае простого спектра. 29. Векторы. Линейные операции над векторами. 30. Базис. Координаты вектора. Линейные операции в координатной форме. 31. Линейная зависимость и независимость векторов. Геометрический смысл линейной зависимости. 32. Системы координат на прямой, на плоскости и в пространстве. Прямоугольная система координат. 33. Выражение координат вектора через координаты начала и конца. Деление отрезка в данном отношении. 34. Скалярное произведение, его свойства. Условие перпендикулярности двух векторов. 35. Скалярное произведение двух векторов в координатной форме. Расстояние между двумя точками. Длина вектора. Угол между векторами. 36. Векторное произведение двух векторов. Его свойства. Условие коллинеарности двух векторов. 37. Векторное произведение двух векторов в координатной форме. 38. Смешанное произведение трех векторов. Геометрический смысл, свойства. 39. Смешанное произведение в координатной форме (трех векторов). Условие компланарности трех векторов. 40. Преобразование прямоугольной системы координат на плоскости. Перенос начала. Полярная система координат и ее связь с прямоугольной системой. 41. Понятие об уравнениях линий и поверхностей. Уравнение окружности и сферы. 42. Различные виды уравнений прямых на плоскости: общее, с угловым коэффициентом, по точке и угловому коэффициенту, по двум точкам, в отрезках. 43. Нормальное уравнение прямой на плоскости. Приведение общего уравнения прямой к нормальному виду. Расстояние от точки до прямой. 44. Угол между двумя прямыми на плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности. 45. Векторно-параметрическое уравнение плоскости. Параметрические уравнения плоскости. 46. Плоскость как поверхность 1-го порядка. Нормальное уравнение плоскости. 47. Общее уравнение плоскости, приведение общего уравнения к нормальному виду. 48. Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору, векторное уравнение плоскости. Связка плоскостей. 49. Уравнение плоскости, проходящей через 3 заданные точки. Уравнение плоскости в отрезках. 50. Угол между двумя плоскостями. Условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. 51. Векторно-параметрическое уравнение прямой в пространств. Каноническое уравнение прямой. 52. Общее уравнение прямой в пространстве. Приведение общего уравнения прямой к каноническому виду. 53. Угол между двумя прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности 2-х прямых. 54. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности прямой и плоскости. 55. Условие принадлежности 2-х прямых одной плоскости. Точка пересечения прямой и плоскости. 56. Канонические уравнения эллипса и параболы. Исследование их форм. 57. Каноническое уравнение гиперболы, исследование ее формы, асимптоты. 58. Цилиндрические и конические поверхности. 59. Эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды. 60. Поверхности вращения.