Тема 6. Занятие 23. Пучок прямых. Лекция № 14. Основные

Тема 6.
Занятие 23. Пучок прямых.
Лекция № 14.
Основные вопросы.
1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
2. Пучок прямых.
3. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
4. Угол между прямыми.
5. Расстояние от точки до прямой.
1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Пусть прямая задана общим уравнением Àõ  Âó  Ñ  0 . Допустим,
что оно определяет всякую прямую, но не параллельную оси 0у (В ≠ 0) . Разрешив это уравнение относительно у , получим
À
Ñ
ó õ .
Â
Â
À
Ñ
Положив   k ,   â , приведем полученное уравнение к виду
Â
Â
ó  kx  â
(12)
Выясним геометрический смысл коэффициентов k и в в уравнении (12)
а)
б)
у
в)
у
kx
у=
у
А1
+в
х
0
А

х
0

в




0

 у 2  у1

С


А
А2
х 2  х1
х
Рис. 6.6. Геометрический смысл коэффициентов k и в уравнения (12)
Пусть прямая пересекает ось 0х в точке А. Углом наклона данной прямой
к оси 0х назовем α угол 0      , на который надо повернуть против хода
часовой стрелки ось 0х до ее совмещения с этой прямой (рис. 6.6 , а) и б) ).
Возьмем две точки À1  õ1 , ó1  è À2  õ2 , ó2  на прямой, заданной уравнением ó  kx  â (рис. 6.6, в) ).
Тогда из прямоугольного  À1 À2 Ñ имеем
A C y  y1 kx 2  â  kx1  â
tg  2  2

k
(13)
A1C x 2  x1
x 2  x1
Тангенс угла наклона прямой к оси 0х называется угловым коэффициентом этой прямой.
Данная
прямая
пересекает
ось
0у
в
точке
В(0;в)
.
Коэффициент в в уравнении (12) с точностью до знака равен отрезку, отсекаемому прямой на оси 0у (при х = 0), и называется начальной ординатой .
Уравнение вида (12) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом (иногда уравнением, разрешенным относительно ординаты) при условии, что прямая не параллельна оси ординат.
5
5
Пример. 5 õ  3 ó  0; ó   õ  1; k   ; â  1 .
3
3
2. Пучок прямых.
Через одну точку М(х0 ,у0) на плоскости множество прямых, которое называется центральным пучком (или просто пучком). Точка М0 называется
центром пучка.
Пусть прямая Àõ  Âó  Ñ  0 À 2  Â 2  0 проходит через точку
(х0 ,у0) .
Тогда Àõ0  Âó0  Ñ  0 , откуда Ñ   Àõ0  Âó0 .
Подставив значение С в исходное, получим Àõ0  Âó0  Àõ0  Âó0  0
откуда À õ  õ0   Â ó  ó0   0
(14)
При различных А и В , одновременно не равных нулю, уравнение (14)
определяет различные прямые и называется уравнением пучка прямых, проходящих через точку (х0 ,у0) .
Преобразуем уравнение (14) к виду
ó  ó0  k  x  x 0  ,
(15)
À
где k  
è Â  0.
Â
Полученное уравнение (15) также называется уравнением пучка прямых
(кроме той, которая параллельна оси ординат).
Величина k  tg называется параметром пучка и характеризует направление прямой; она меняется от одной прямой пучка к другой.


Пример 3. Определить угловой коэффициент k и начальную ординату в
для прямой 5х + 3у + 3 = 0 . Составить уравнение пучка
прямых, проходящих через точку пересечения данной прямой с осью 0х .
Решение. 1) Разрешим данное уравнение относительно у :
5
5
ó   õ  1 . Итак , k   ; â  1 .
3
3
3
5
2) Центр пучка имеет координаты (  ; 0 ) . Тогда уравнение пучка будет

À õ 

3
  Âó  0
5
или
3

ó  k x   .
5

Из приведенного примера 3 видно, что центр пучка был задан точкой
пересечения прямой и оси абсцисс.
Действительно, в общем случае центр пучка М0 задается парой пересекающихся прямых
 À1õ  Â1 ó  Ñ1  0

 À2 õ  Â2 ó  Ñ2  0
(16)
Умножим первое уравнение системы (16) на произвольное число α , а
второе уравнение – произвольное число β , и сложим их :
α ( À1õ  Â1 ó  Ñ1 ) + β ( À2 õ  Â2 ó  Ñ2 ) = 0
(17)
где α и β не равны нулю одновременно.
Уравнение (17) также определяет пучок прямых с центром пучка в точке
М0 пересечения данных прямых, т.е. в точке, определяемой системой (16).
3. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
Прямая линия ℓ на плоскости (или в пространстве) полностью определена, если на ней заданы точки М0 и не нулевой вектор S , параллельный
этой прямой (рис. 6.7).
у
М
у
Мо
у0
r
S
ro

0
xo
х
х
Рис. 6.7. К выводу векторного параметрического уравнения.
Вектор S принято называть направляющим вектором прямой, а точку
М0 – начальной точкой .
Возьмем на прямой ℓ текущую точку М . Векторы M 0 M и S коллине-
арны, поэтому при любом расположении точки М на прямой будет иметь
место следующее равенство:
M 0 M  t  S (векторное параметрическое уравнение прямой).
Здесь t - числовой множитель, который может быть любым действительным числом в зависимости от положения точки М на прямой
называется параметром.
Если вектор M 0 M совпадает по направлению с вектором S , то t  0 , в
противном случае t  0 .
Пусть r  0M - радиус-вектор точки М , а r0  0M 0 - радиус-вектор
точки М0 , тогда 0M  0M 0  M 0 M или
r  r0  t  S
(18)
Уравнение (18) - параметрическое уравнение прямой в векторной форме (или векторное параметрическое уравнение прямой).
Замечание 3.
Векторное параметрическое уравнение имеет одинако2
3
вый вид и для прямой в R и для прямой в R .
Перейдем к рассмотрению параметрических уравнений прямой в координатной форме .
2
Случай R .
Обозначим координаты точек М и М0 (рис.6.7) через  x, y  и  x0 , y 0  .
Координаты направляющего вектора S обозначим m, n. Тогда, раскладывая по координатам обе части уравнения (18), получаем: параметрические уравнения прямой в координатной форме :
 x  x0  mt
(19)

 y  y 0  nt
Исключим из уравнения (19) параметр t , для чего сначала решим каждое из
уравнений относительно t :
x  x0
y  y0
t
;
t
m
n
а затем, приравняв правые части этих равенств, получим уравнение вида:
x  x0 y  y 0
(20)

m
n
2
Уравнение (20) - каноническое уравнение прямой на плоскости ( R ).
Термин «канонический» обозначает общепринятый, простейший, образцовый.
Теперь поставим задачу: составить уравнение прямой, проходящей через
две данные точки.
Пусть на плоскости даны точки Ì 1  õ1 , ó1  è Ì 2  õ2 , ó2  . Чтобы
составить уравнение прямой, проходящей через М1 и М2 , достаточно принять
точку М1 за начальную, а вектор M 1 M 2 с координатами õ2  õ1 , ó2  ó1
за направляющий вектор прямой. Этот вектор не нулевой, если точки М1 и М2
не совпадают. Тогда согласно формуле (20) получим необходимое уравнение
прямой, проходящей через две данные точки
õ  õ1
ó  ó1
(21)

õ2  õ1 ó2  ó1
Пример 4. Составить параметрические и канонические уравнения прямой ℓ1 проходящей через две точки Ì 1 1,2è Ì 2  3,4 , а
также уравнение прямой ℓ2 проходящей через точку М1 и
перпендикулярно вектору M 1 M 2 .
Решение. 1). Пусть точка М1 – начальная точка, тогда по условию
можно построить график
1
М2
М1
2
2) M 1 M 2  S - направляющий вектор прямой ℓ1 :
S   4 ; 6  m  4, n  6 ;
а) параметрические уравнения прямой ℓ1 :
 x  1  4t

 y  2  6t
б) канонические уравнения прямой ℓ1 (или уравнение прямой, проходящей через две заданные точки):
x 1 y  2
.

4
6
3) M 1M 2  n - нормаль прямой ℓ2 :
À õ  õ1   Â ó  ó1   0
n   4 ; 6  A  4  4, Â  6 ;
 4 õ  1  6 ó  2  0
 4 õ  4  6 ó  12  0
4 õ  6 ó  16  0  îáùåå óðàâíåíèå ïðÿìîé
2
4. Угол между прямыми.
Чтобы определить угол φ между двумя прямыми, следует найти их направляющие векторы (рис. 6.8) и вычислить угол между ними по формуле
cos   S1  S 2
S1  S 2
1
 S2
1

S1

M
S2
2
Рис. 6.8. Угол между прямыми.
При этом следует иметь в виду, что, если выбрать на одной из прямых
направляющий вектор, направленный в другую сторону, то тем же способом
вычислим другой угол φ1, дополняющий угол φ до π . Поэтому
cos   cos .
Следовательно, если две прямые на плоскости заданы каноническим
уравнением
1 :
õ  õ1 y  y1

, ò .å. S1  m1 , n1 
m1
n1
2 :
õ  õ2 y  y 2

, ò .å. S 2  m 2 , n 2 
m2
n2
то
cos  
m1  m2  n1  n 2
m12

n12

m22

(22)
n 22
Замечание 4. Если прямые заданы уравнениями в общем виде:
À1õ  Â1 ó  Ñ1  0 è À2 õ  Â2 ó  Ñ2  0 ,
À1  À2  Â1  Â2
cos   
À12  Â12  À22  Â22
(23)
Замечание 5. Острый угол между прямыми ó  k1 x  â1 и ó  k 2 x  â2
определяется по формуле
k  k1
tg  2
(24)
1  k1 k 2
Условия параллельности и перпендикулярности
прямых на плоскости
Для того, чтобы, например, две данные прямые были параллельны,
необходимо и достаточно, чтобы или их нормальные векторы
n1  A1 , Â1  è n 2  A2 , Â2 
или направляющие векторы S1  m1 , n1  è S 2  m2 , n2  были коллинеарны.
Условием коллинеарности векторов, а следовательно, и условием
параллельности прямых является пропорциональность их соответствующих
координат :
À1 Â1
m1 n1

èëè

À2 Â 2
m2 n2
В случае прямых ó  k1 x  â1 и ó  k 2 x  â2 условие их параллельности имеет вид k1  k 2 .
Если же прямые взаимно перпендикулярны, то нормальные векторы n1 и
n 2 или направляющие векторы S1 и S 2 этих прямых ортогональны. Как известно, условием ортогональности двух векторов является равенство нулю
их скалярного произведения.
Поэтому необходимое и достаточное условие перпендикулярности
прямых запишется в виде
À1 À2  Â1 Â2  0 или m1 m 2  n1 n 2  0
Условие перпендикулярности прямых ó  k1 x  â1 и ó  k 2 x  â2 имеет
вид
1
.
k1  
k2
5. расстояние от точки до прямой на плоскости.
При взаимном расположении точки и прямой может оказаться, что точка
расположена на прямой или быть расположена по одну или другую сторону
от прямой.
Если координаты точки М удовлетворяют уравнению прямой ℓ , то М лежит на L ; в противном случае не лежит.
Пусть требуется найти расстояние d от точки М1(х1 ,у1) до прямой на
плоскости, заданной уравнением в общем виде À õ  Â ó  Ñ  0 .
Опустим из точки М перпендикуляр М1К на данную прямую ℓ (рис. 6.9).
Расстояние d будет равно модулю вектора ÊÌ 1 . Так как вектор ÊÌ 1 и
нормальный вектор n  A, Â прямой ℓ параллельны, то скалярное произведение этих векторов будет
n  KM 1  n  KM 1 cos .
Но угол φ может быть равен 00 , в случае размещения точки М1 , как
указано на рис. 3.5, а может быть равен 1800 , в случае расположения точки
по другую сторону от прямой. Поэтому cos  1 и с учетом d  KM 1
будем иметь :
d 
n  KM1   n  d
n KM 1
n
n
y




M1x1, y1
d
К  х1 , у 0 
x
0
M1
Рис. 6.9. Расстояние от точки до прямой.
Обозначим через x 0
è
y 0 координаты точки К и выражая скалярное
произведение n  KM 1 в координатной форме, получим
Ax1  x0   Â ó1  ó0    n  d
Раскрывая в левой части этого равенства скобки, прибавляя и вычитая
величину С , будем иметь
Ax1  Âó1  C   Ax 0  Âó0  Ñ    n  d
Так как точка К(х0 у0) принадлежит данной прямой, то Ax0  Âó0  Ñ =0 .
Следовательно, расстояние от точки до прямой
Ax  Âó1  Ñ
d  1
n
или, записывая без двойного знака при помощи знака модуля и учитывая, что
n  A 2  Â 2 , получим
Ax1  Âó1  Ñ
(25)
d
2
2
À Â
Таким образом, чтобы найти расстояние от точки до прямой на плоскости, необходимо в левую часть уравнения прямой на плоскости вместо
текущих координат подставить координаты данной точки, взять это по модулю и разделить на длину нормального вектора прямой.