Элементы теории поля

Лекция 33
Элементы теории поля
Определение. Если каждой точке пространства М ставится в соответствие некоторая
скалярная величина U, то таким образом задается скалярное поле U(M). Если каждой


пространства М ставится в соответствие вектор F , то задается векторное поле F (М).
Пусть в пространстве М задана поверхность . Будем считать, что в каждой точке Р

определяется положительное направление нормали единичным вектором n (P ) .
В пространстве М зададим векторное поле, поставив в соответствие каждой точке
пространства вектор, определенный координатами:




F  P ( x , y , z ) i  Q ( x, y , z ) j  R ( x, y , z ) k
Если разбить каким – либо образом поверхность на частичные участки i и составить



сумму  ( F ( Pi )n ( Pi ))  i , где Fn - скалярное произведение, то предел этой суммы при стремлении
i
к нулю площадей частичных участков разбиения (если этот предел существует) будет
поверхностным интегралом (33.1).

F
 nd
(33.1.)

Определение. Поверхностный интеграл

 Fnd

называется потоком векторного поля F

через поверхность .
Если поверхность разбита на конечное число частичных поверхностей, то поток векторного
поля через всю поверхность будет равен сумме потоков через частичные поверхности.
Если преобразовать скалярное произведение в координатную форму, то получаем
соотношение (33.2):

F
 nd   [ P cos   Q cos   R cos ]d   Pdydz  Qdzdx  Rdxdy


(33.2)

Если на области  существует функция f(x, y, z), имеющая непрерывные частные
производные, для которых выполняются свойства (33.3):
f
f
f
 P;
 Q;
 R;
x
y
z
(33.3)

то такую функцию называют потенциальной функцией или потенциалом вектора F .

Тогда вектор F является градиентом функции f (33.4).

f  f  f 
F  gradf 
i
j k
x
y
z
(33.4)
Потенциал может быть найден по формуле (33.5):
1
x
y
z
x0
y0
z0
f ( x, y, z )   P( x, y 0 , z 0 )dx   Q( x, y, z 0 )dy   R( x, y, z )dz
(33.5)
В этой формуле x0, y0, z0 – координаты некоторой начальной точки. В качестве такой точки
удобно брать начало координат.

Теорема 33.1. Для того, чтобы поле вектора F , заданного в некоторой области, имело
потенциал, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из двух условий:

1) Интеграл от вектора F по любому кусочно-гладкому контуру, принадлежащему
области, равен нулю.
2) Интеграл по любому кусочно-гладкому пути, соединяющему две любые точки поля, не
зависит от пути интегрирования.
Формула Стокса
(Джордж Габриель Стокс (1819 – 1903) – английский математик)
Формула Стокса связывает криволинейные интегралы второго рода с поверхностными
интегралами второго рода.
Пусть в пространстве задана некоторая поверхность S. L – непрерывный кусочно-гладкий
контур поверхности S.
Рис.33.1. Поверхность S
Предположим, что функции P,Q и R непрерывны на поверхности S вместе со своими
частными производными первого порядка. Применим формулу, выражающую криволинейный
интеграл через определенный.
2

 P( x, y, z )dx  Q( x, y, z )dy  R( x, y, z )dz   [ P( x(t ), y(t ), z (t )) x(t )  Q( x(t ), y(t ), z (t )) y (t ) 

L

 z

z
 R( x(t ), y (t ), z (t )) z (t )]dt   [ Px (t )  Qy (t )  R x (t ) 
y (t ) ]dt 
y
 x







z 
z 
z 
z 

   P  R  x (t )  Q  R  y (t )dt    P  R  dx  Q  R  dy
x 
y 
x 
y 


 
L

z
z
; q ;
x
y
Применив формулу Грина – Остроградского, можно заменить криволинейный интеграл равным
ему двойным интегралом. После преобразований устанавливается следующее соответствие между
криволинейным и поверхностным интегралом:
Введем обозначения: p 
 R
Q 
 P
R 
 Q
P 
 Pdx  Qdy  Rdz    y  z dydz   z  x dzdx   x  y dxdy
L
(33.6)
S
Формула (33.6) и называется формула Стокса.

Определение. Вектор B , компоненты которого соответственно равны
R Q
P R
Q P
Bx 

; By 

; Bz 

;
y z
z x
x y





называется вихрем или ротором вектора F  Pi  Qj  Rk и обозначается: rotF
         
Определение. Символический вектор    , ,   i
называется
j
k
x
y
z
 x y z 
оператором Гамильтона. (Уильям Роуан Гамильтон (1805 – 1865) – ирландский математик)
Символ  - “набла”.

С учетом этого обозначения можно представить себе понятие ротора вектора F как

векторного произведения оператора Гамильтона на вектор F (33.7).

i
  

rotF    F 
x
P

j

y
Q

k

z
R
(33.7)
Определение. Криволинейный интеграл, представляющий собой работу векторного поля

вдоль некоторой кривой L называется линейным интегралом от вектора F по ориентированной
кривой L.
 
F
 ds   Pdx  Qdy  Rdz
L
(33.8)
L
Если кривая L представляет собой замкнутый контур, то линейный интеграл по такому

контуру называется циркуляцией векторного поля F вдоль контура L (33.9).
3
 
Ц   Fds   Pdx  Qdy  Rdz
L
(33.9)
L
В векторной форме теорему Стокса можно сформулировать так:
Циркуляция вектора вдоль контура некоторой поверхности равна потоку вихря (ротора)
через эту поверхность (33.10).
 
 
F
d
s

n

 rotFd

(33.10)

Отметим, что рассмотренная выше формула Грина – Остроградского является частным
случаем формулы Стокса.
Также при условии равенства нулю всех компонент ротора вектора, получаем, что
криволинейный интеграл по любой пространственной кривой равен нулю, т.е. криволинейный
интеграл не зависит от пути интегрирования.
P Q R
называется
дивергенцией


x y z




(дивергенцией векторной функции) F  Pi  Qj  Rk и обозначается (33.11)
Определение.
Выражение
 P Q R
divF 


x y z
вектора
(33.11)
Таким образом, формулу Гаусса – Остроградского может быть записана в виде (33.12):
 P Q R 

dxdydz
(
P
cos


Q
cos


R
cos

)
dS



S


x

y

z


V
(33.12)
Или (33.13)


 divFdv   FndS
V
(33.13)
S

т.е. интеграл от дивергенции векторного поля F по объему равен потоку вектора через
поверхность, ограниченную этим объемом.


Определение. Векторное поле F называется соленоидальным (трубчатым), если div F
=0 .
C помощью описанного выше оператора Гамильтона можно представить определенные
нами понятия следующим образом (33.14):

 
  
gradf  f ; divF  F ; rotF    F ;
(33.14)
Выражение (33.15)

2
2
2


x 2 y 2 z 2
(33.15)
называется оператором Лапласа.
4
Справедливы следующие соотношения (33.16):
div ( gradf )  f ;
 
  f  f
(33.16)
Справедливость этих равенств легко проверить непосредственной подстановкой.
Теперь рассмотрим примеры применения рассмотренных выше понятий.
    
 

  
Пример 33.1. Найти rot (r  a )  r , если r  xi  yj  zk ; a  i  j  k .
 
Найдем скалярное произведение: r  a  x  y  z;
Найдем скалярное произведение:
  
(r  a )  r  {P, Q, R}  {x 2  xy  xz, yx  y 2  yx, xz  yz  z 2 }

i
  

rot (r  a )  r 
x
P

j

y
Q

k
 R Q   R P   Q P 

  j 
 
 i 



  k 
z
 y z   x z 
 x y 
R



 i ( z  y )  j ( z  x)  k ( y  x)




Пример 33.2. Найти поток векторного поля F  ( y  x)i  ( x  y ) j  yk через сторону
треугольника S, вырезанного из плоскости x  y  z  1  0 координатными плоскостями.
1 y
1
 
П   F  nds   ( y  x)dydz  ( x  y)dxdz  ydxdy   dy  ( y  y  z  1)dz 
S
1 z
S
0
1 x
0
1
1 z

 1 y 1
z2
y 2 1 x
  dz  ( x  1  z  x)dx   dx  ydy   2 yz 
 z    x  zx   

2
2 0
0
 0 0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1


1
1
y2
x2 
2
2
  2 y  2 y   y 
 1  y dy   1  z  z  z dz     x   dx 
2
2
2
2

0
0
0
1


5
1
 3y 2

1
z 3  1  x x 2 x3  1  y3
y 1
1
  
 2 y   dy   z  z 2     
   
 y2   11 
2
2
3  0 2 2
60  2
2 0
3

0

1 1 1
1
1 3 1
    1   .
2 2 6
2
2 6 2
Пример 33.3. Найти div(grad u), если u  e x  y  z .

  
u  u  u 
i
j
k  e x y z i  j  k
x
y
z
x y  z
PQRe
;
gradu 

div ( gradu )  3e x  y  z  3u.
Пример 33.4. Определить является ли векторное поле

F  (5 x  6 yz; 5 y  6 xz; 5 z  6 xy)
и найти его потенциал.
 u u u 
gradu   , , 
 x y z 
u
u
u
P
 5 x  6 yz; Q 
 5 y  6 xz; R 
 5 z  6 xy;
x
y
z
Если поле потенциально, то должны выполняться следующие условия:
P Q

; 6 z  6 z;
y x
Q R
2)

; 6 x  6 x;
z y
P R
3)

; 6 y  6 y;
z x
Эти условия эквивалентны условию равенства нулю
Справедливость этого утверждения видна из формулы ротора.
1)
ротора
векторного
поля.
Таким образом, поле потенциальное. Потенциал находится по формуле:
x
y
z
0
0
0
u   5 xdx   5 ydy   (5 z  6 xy)dz 
5 2 5 2 5 2
x  y  z  6 xyz;
2
2
2
6