Координаты вектора

§ 7. ПОНЯТИЕ ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА
(продолжение)
4. Координаты вектора
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Коэффициенты в разложении вектора по базису
называются координатами этого вектора в данном базисе.
НАПРИМЕР.
E4
1  2
1) Матрица A  
 имеет в стандартном базисе E1 , E 2 , E 3 ,
 3 4 
пространства M (2  2, ℝ ) координаты {1;  2;  3; 4} . Действительно,
 1  2   1 1 0   2 0 1   3 0 0   4 0 0  ,

 
 
 
 

  3 4  0 0 0 0 1 0 0 1
 A  E1  2 E 2  3E 3  4 E 4 .
2) n -мерный вектор (1;  2; 0 ) имеет в стандартном базисе пространства ℝ 3 координаты {1;  2; 0}
3) Многочлен
f ( x )  x 3  2x 2  x  4
имеет в базисе
2
4
( x  1) , ( x  1) , 1 пространства ℝ [x ] координаты {1;  1;  2; 6}
( x  1)3 ,
В линейном пространстве свободных векторов координаты вектора в
декартовом прямоугольном базисе имеют простой геометрический смысл.
Чтобы указать его, необходимо дать несколько определений.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Прямую, на которой выбрано направление, называют осью.
Пусть имеется некоторая ось  и вектор AB .
Обозначим через A 1 и B 1 ортогональные проекции на ось  точек A и B соответственно. Вектор A1B1 назовем векторной проекцией вектора
AB на ось  .
B
A

A1
B1
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Проекцией (ортогональной проекцией) вектора AB
на ось  называется длина его векторной проекции A1B1 на эту ось,
взятая со знаком плюс, если вектор A1B1 и ось  сонаправлены, и со
знаком минус – если вектор A1B1 и ось  противоположно направлены.
Проекцию вектора AB на ось  обозначают: Пр  AB , Пр  AB .
1
Справедливо следующее утверждение.
ТЕОРЕМА 7. Координаты вектора a V ( 2 ) (V ( 3 ) ) в декартовом прямоугольном базисе i , j ( i , j , k ) есть проекции этого вектора на соответствующие координатные оси.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Проведем доказательство для вектора a V ( 2 ) . Для вектора пространства V (3) оно будет аналогичным.
Построим вектор OA  a (вектор, с началом в точке O и концом в
точке A , называется радиус-вектором точки A ). y
Обозначим через Ax и Ay ортогональные проекA
A
ции точки A на ось Ox и Oy соответственно.
y
Тогда
Ax
a  OA  OA x  OA y   i   j .
x
O
Так как i – вектор единичной длины, то
OA x    i   . Знак
 зависит от направления вектора OA x : если OA x ⇈ i , то   0 , если
OA x ⇅ i , то   0 (см. определение произведения вектора на число). Но
согласно определению проекции вектора на ось, это означает, что  –
проекция вектора OA на ось, сонаправленную с вектором i , т.е. на ось
Ox . Аналогично показывается, что   Пр Oy OA .
Координаты вектора – очень важная характеристика вектора любого
линейного пространства. Знание координат векторов позволяет легко выполнять с ними линейные операции, так как справедлива следующая теорема.
ТЕОРЕМА 8. 1) Если вектор a имеет в базисе e1 , e2 ,  , e n координаты {1, 2 ,, n } , а вектор b имеет в том же базисе координаты
{ 1,  2 ,,  n }, то вектор a  b будет иметь в базисе e1 , e2 ,  , e n координаты {1  1, 2   2 ,, n   n } .
2) Если вектор a имеет в базисе e1 , e2 ,  , e n коор-
динаты {1, 2 ,, n } , то для любого числа  ℝ вектор a будет
иметь в том же базисе координаты {1,  2 ,,  n } .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
По условию a  1e1   2 e2     n en , b  1e1   2 e2     n en .
Тогда
a  b  (1e1   2 e2     n en )  ( 1e1   2 e2     n en ) 
2
и
 (1  1 )e1  ( 2   2 )e2    ( n   n )en
a   (1e1   2 e2     n en )  1e1   2 e2     n en .
Из теоремы 8 вытекает справедливость следующего утверждения.
ТЕОРЕМА 9 (критерий коллинеарности свободных векторов в координатной форме). Векторы a  {1; 2 ; 3 } и b  {1; 2 ; 3 } коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты –пропорциональны, т.е.
1 2 3
k.


1 2 3
Причем, если коэффициент пропорциональности k  0 , то векторы a и
b – сонаправлены, а если k  0 – то противоположно направлены
Координаты вектора определены в данном базисе единственным образом. Но в другом базисе вектор будет иметь другие координаты. Связь
между координатами вектора в разных базисах дает следующая теорема.
ТЕОРЕМА 9. Пусть e1 , e2 ,  , e n и f1 , f 2 ,  , f n два базиса линейного пространства L . Причем имеют место равенства:
f1  11e1   21e2     n1en ,
f 2  12 e1   22 e2     n2 en ,
        
f n  1n e1   2 n e2     nn en .
Если вектор a имеет в базисе e1 , e2 ,  , e n координаты
{1, 2 ,, n } , а в базисе f1 , f 2 ,  , f n – координаты { 1,  2 ,,  n } , то
справедливо равенство
A  TB ,
 1 
 1 
 11 12  1n 
 
 

2 
 21  22   2 n 
2 



где A 
, B
, T
(матрицу T называют

    

 
 

 
 n
 n1 n2   nn 
 n
матрицей перехода от базиса e1 , e2 ,  , e n к базису f1 , f 2 , , f n ).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
a  1 f1   2 f 2     n f n .
По условию
Расписывая векторы f1 , f 2 ,  , f n по базису e1 , e2 , , e n , получим:
a  1 (11e1   21e2     n1en )   2 (12 e1   22 e2     n2 en )   
  n (1n e1   2 n e2     nn en ) .
Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые:
3
a  ( 111   212     n1n )e1 
 ( 1 21   2 22     n 2 n )e2 
  
 ( 1 n1   2 n2     n nn )en .
Так как по условию a  1e1   2 e2     n en , то из (1) получаем:
1  111   212     n1n ,
 2  1 21   2 22     n 2 n ,

 n  1 n1   2 n2     n nn ,
или в матричном виде
A  TB .
4
(1)