ТЕМА 3. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ механической энергии частицы

ТЕМА 3. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ
3.1. Закон сохранения импульса. Закон сохранения полной
механической энергии частицы
Механической системой называется совокупность тел, выделенных
для рассмотрения. Тела, входящие в механическую систему, могут
взаимодействовать между собой внутренними силами, и с телами, не
входящими в систему, посредством внешних сил. Если на механическую
систему не действуют внешние силы, она называется замкнутой. Для
замкнутой механической системы неизменными остаются три физические
величины: импульс, полная механическая энергия и момент импульса.
Простейшая механическая система состоит из одной частицы.
Системы, реально существующие в природе, состоят из протяженных, т.е.
макроскопических тел. Как уже отмечалось, любую из них можно
представить в виде совокупность частиц, взаимодействующих между собой.
Ранее мы получили основное уравнение динамики поступательного
движения тела (системы частиц), согласно которому быстрота изменения
импульса системы равна сумме действующих на нее внешних сил:
N
в нш
dp
 Fi .
dt
i 1
Из этого уравнения следует, что если система замкнута либо сумма внешних
сила равна нулю, то d p  0 , т.е. импульс системы не изменяется. Это
утверждение составляет сущность закона сохранения импульса: импульс
замкнутой механической системы при поступательном движении
остается неизменным при любых взаимодействиях и процессах,
протекающих в ней.
Далее рассмотрим определения некоторых физических величин,
которые необходимы для формулировки закона сохранения полной
механической энергии.
Работа силы. Элементарной работой силы F , действующей на
частицу, называется скалярная физическая величина
(3.1)
A  F dr cos  .
Здесь dr - модуль вектора элементарного перемещения,  - угол между
векторами силы и перемещения (рис.3.1). Из равенства (3.1) следует, что
единицей измерения работы в системе СИ служит 1 Н∙м = 1 Дж (Джоуль).
Если угол  острый, т.е. сила способствует движению тела, A  0 (рис.
3.1,а). Если же угол тупой, т.е. сила противодействует движению, A  0 (рис.
3.1,б). Легко видеть, что выражение (3.1) можно представить в виде
скалярного произведения:
(3.2)
A  ( F , dr ) .
1
a)

F
б)
F



dr
dr
Рис. 3.1
Мощностью называется работа силы в единицу времени:
P
A
dt
.
Очевидно, единицей измерения мощности в СИ служит 1 Дж/с = 1 Вт (Ватт).
Сделаем в последнем выражении замену (3.2):
P
d
( F , dr ) .
dt
Считая силу в течение малого (элементарного) промежутка времени dt
неизменной, получим:
P  (F ,
Поскольку
dr
 ,
dt
dr
).
dt
P  ( F , ) . По определению скалярного произведения
P  F cos . Так как F cos   F (проекция вектора силы на направление
вектора скорости), P  F .
Кинетическая энергия. Кинетической энергией частицы называется
энергия, обусловленная ее движением. Из основного уравнения динамики
частицы имеем:
d
d
(m )  F  m
F,
dt
dt
где m - масса частицы,  - ее скорость, F - действующая на нее сила.
Умножим последнее равенство скалярно на d r :
 d

m
, d r   (F , d r) .
 dt



Поскольку d r  dt , имеем:
dv
, vdt )  ( F , d r ) .
dt
Если рассматривать производную d / dt как отношение дифференциалов и
вынести за знак скалярного произведения множители 1/ dt и dt , то
m(
(mv, d v)  ( F , d r ) .
По определению скалярного произведения ( , d )  d , ( F , d r )  A . Поэтому
последнее равенство можно переписать следующим образом:
md  A .
(3.2А)
2
Легко видеть, что левую часть (3.2А) можно представить как дифференциал
функции
WК 
m 2
,
2
(3.4)
которая называется кинетической энергией частицы. Действительно,
'
 m 2 
2md
 d  dWK 
dWK  
 dWK  md .
2
 2 
Сделав в (3.2а) замену md  dWK , приходим к равенству
A  dWK ,
(3.4А)
выражающему содержание теоремы о кинетической энергии: изменение
кинетической энергии частицы равно работа внешней силы.
Консервативные силы. Консервативными называются силы, работа
которых не зависит от траектории движения частицы между двумя
определенными точками. Нетрудно показать, что работа консервативных
сил при движении по любой замкнутой траектории равна нулю. Для этого
разделим произвольно выбранную замкнутую линию,
по которой
перемещается частица, на две части точками 1 и 2 (рис. 3.3). В соответствии
F
d r'
'

M

2
dr
(1)
1

(2)
Рис. 3.3
с этим A  A12 (1)  A21( 2) . Здесь A - работа по замкнутой траектории, A12 (1) работа при перемещении частицы от точки 1 к точке 2 по верхней части,
( 2)
A21 - работа при перемещении от точки 2 к точке 1 по нижней части
траектории. Поскольку работа не зависит от формы траектории, величину
( 2)
A21
можно представить как - A12 (1) . Действительно, на верхнем участке
траектории в произвольно выбранной точке M вектор силы образует острый
угол с вектором перемещения d r (частица движется от точки 1 к точке 2).
Поэтому
A12  F d r cos   0 .
При движении по этому же участку в обратном направлении угол между
3
вектором силы и вектором перемещения d r ' в этой же точке траектории
становится тупым. Соответственно
A21  F d r cos  '  0 .
Поскольку  '  180 0   ,
A21  F d r cos(180 0   )  A21   F d r cos  , A21  A12 .
Такая же ситуация имеет место в каждой точке верхней части траектории.
Следовательно, A21( 2)   A12 (1) , а работа при движении по замкнутой
траектории A  A12 (1)  ( A12 (1) )  0 .
Силы, действующие на тела механической системы, имеют различную
природу. В одном случае тела находятся в контакте и воздействуют друг на
друга непосредственно. В других ситуациях взаимодействуют удаленные
тела, например – наша планета Земля и ее искусственный спутник. Прошли
столетия, прежде чем в физике установилась полевая интерпретация
взаимодействия удаленных тел. Иначе говоря, удаленные тела воздействуют
друг на друга посредством различных силовых полей – гравитационного,
электромагнитного и т.п. В рамках такого подхода взаимодействие можно
представить следующим образом. Одно из тел создает в окружающем
пространстве поле, действующее на второе тело. Аналогично, второе тело
также создает поле, воздействующее на первое тело. Если в каждой точке
поля сила, действующая на определенное тело, одинакова по модулю и
направлению, поле называется однородным; если сила не изменяется с
течением времени, поле называется стационарным.
Нетрудно показать, что однородное стационарное поле является
консервативным. Для этого найдем работу, совершаемую силами такого
поля, при перемещении частицы вдоль криволинейной траектории L из
L
r
2

Fi
 1
 ri
Рис. 3.4
точки 1 в точку 2 (рис. 3.4). Для вычисления работы разобьем траекторию на
n малых частей, и каждую из них заменим отрезком прямой. Иначе говоря, в
кривую L впишем ломаную. Тогда работа на i -ом участке Ai  ( F i , r i ) , а
работа, совершаемая на всей траектории, представляет собой сумму:
4
n
A   ( Fi ,  ri ) .
i 1
Поскольку в каждой точке траектории сила одинакова (поле однородно),
вектор F можно вынести за знак суммы:
n
A  ( F ,   ri ) .
(3.5)
i 1
Легко видеть, что
n
 r
i 1
i
 r .
(3.6)
Сделав в (3.5) замену (3.6), получим, что A  ( F , r ) . Это означает, что работа
сил однородного стационарного поля не зависит от формы траектории, но
определяется положением ее начальной и конечной точек. Следовательно,
однородное стационарное поле является консервативным.
В качестве примера найдем работу силы тяжести при перемещении
частицы массой m из точки 1 в точку 2 вблизи поверхности Земли (рис. 3.5).
Поскольку силовое поле однородно, работу найдем как скалярное
произведение: A12  (mg, r12 )  A12  mgr12 cos  . На рис. 3.5 видно, что
r12 cos   h1  h2 , где h1 и h2 - удаление точек 1 и 2 от поверхности Земли.
Следовательно,
A12  mg(h1  h2 )  A12  mgh1  mgh2 .
1

r12
2

(3.7)
mg
h1

h2
Рис. 3.5
Центральные силы. Силовое поле, в каждой точке которого линия
действия силы проходит через неподвижную точку (центр), а модуль
силы зависит только от расстояния до центра, называется
центральным полем. Соответственно силы, действующие на тела в
центральном поле, называются центральными силами. В качестве примера
можно упомянуть гравитационные силы, действующие на Землю и другие
планеты солнечной системы со стороны солнца. Можно показать, что
центральное силовое поле, как и однородное поле,
является
консервативным.
Потенциальная энергия частицы. Для того чтобы сформулировать
определение потенциальной энергии, необходимо дать определением
функции трех переменных и ее частных производных.
5
Переменная u называется функцией независимых переменных x, y, z,
если каждой тройке численных значений этих переменных из одного
множества поставлено в соответствие по определенному закону
единственное значение переменной u из другого множества: u  f ( x, y, z ) .
Если переменной x дать приращение x , функция получает частное
приращение  x u  u ( x  x, y, z )  u ( x, y, z ) . Конечный предел (если он
существует) отношения частного приращения  x u к приращению x
называется частной производной функции u  f ( x, y, z ) по переменной x :
lim  x u
u
.

x  0 x
x
По аналогии имеем:
lim  y u u
,

y  0 y
y
lim  z u
u
.

 z u  u( x, y, z  z)  u( x, y, z) ,
z  0 z
z
 y u  u ( x, y  y, z )  u ( x, y, z ) ,
Легко видеть, что частные производные функции u  f ( x, y, z ) характеризуют
быстроту изменения переменной u при изменении каждой их трех
независимых переменных x, y, z .
Поставим в соответствие каждой точке поля консервативных сил
значение функции WP  WP ( x, y, z) следующим образом. Произвольно
выбранной точке поля O сопоставим произвольное значение WP 0 . Значение
функции в точке 1 (WP1 ) будем полагать равным сумме:
WP1  WP 0  A10 ,
(3.7А)
где A10 - работа сил поля при перемещении частицы из точки 1 в точку O
(рис. 3.6). Аналогично значение функции в точке 2:
WP 2  WP 0  A20 .
(3.8)
Поскольку частица перемещается в поле консервативных сил,
A20   A02 .
(3.9)
Сделав в (3.8) замену (3.9), получим:
WP 2  WP 0  A02 .
Далее найдем разность:
WP1  WP 2  W0  A10  (WP 0  A02 )  WP1  WP 2  A10  A02 .
Сумма A10  A02 в правой части последнего выражения представляет собой
работу сил поля при перемещении частицы из точки 1 в 2 через точку O . Так
как поле консервативно, A10  A02  A12 ; поэтому
A12  WP1  WP 2  A12  (WP 2  W p1 ) .
(3.10)
Функция WP  WP ( x, y, z) называется потенциальной энергией частицы в
консервативном силовом поле.
6
2
1 

O
Рис. 3.6
Таким образом, работа сил поля численно равна разности значений
потенциальной энергии частицы в точках 1 и 2, либо изменению
потенциальной энергии с противоположным знаком. Сравнение выражений
(3.7) и (3.10) показывает, что потенциальную энергию частицы в
гравитационном поле Земли можно вычислять по формуле WP  mgh ,
отсчитывая h от любого произвольно выбранного уровня, на котором
энергия полагается равной нулю. Обычно за уровень с нулевой
потенциальной энергией принимается поверхность Земли.
Из выражений (3.7А) и (3.8) следует, что фактически потенциальная
энергия частицы в силовом поле определяется произвольно, поскольку
произвольно выбирается точка с нулевой энергией. Если же учесть, что при
решении задач механики в конечные выражения входит только разность
значений потенциальной энергии, используемый способ ее определения
представляется вполне корректным.
Пусть частица движется в поле консервативных сил. При переходе из
точки 1 в точку 2 совершается работа A12  WP1  WP 2 . Вместе с тем эта же
работа равна изменению кинетической энергии частицы: A12  WK 2  WK1 .
Поэтому WP1  WP 2  WK 2  WK1  WP1  WK1  WP2  WK 2 , т.е. сумма кинетической
и потенциальной энергии частицы (ее полная механическая энергия),
движущейся в поле консервативных сил, остается неизменной. Этот
вывод составляет сущность закона сохранения полной механической энергии
частицы.
Если известна зависимость потенциальной энергии частицы от ее
координат, можно найти силу, действующую на нее в поле. Для этого будем
полагать, что частица перемещается вдоль оси OX , в результате чего ее
абсцисса получает элементарное приращение dx . Сила поля при этом
совершает работу A  FX dx , где FX - проекция вектора силы на координатную
ось. Согласно (3.10) A  dWP ; поэтому
FX dx  dWP  FX  
dWP
.
dx
(3.11)
Рассматривая движение частицы по осям OY и OZ , по аналогии получим:
FY  
dWP
dW
, FZ   P .
dy
dz
(3.12)
7
Используя частные производные функции WP  WP ( x, y, z) , координаты
вектора силы, действующей на частицу, можно представить следующим
образом:
FX  
W
WP
W
, FY   P , FZ   P .
y
x
z
Соответственно вектор силы
 WP
WP
WP
F  
i
j
y
y
 x

k  .

(3.13)
Последнее выражение можно представить в более компактной форме, если
использовать оператор Гамильтона, иногда называемый оператором набла:




i
j k.
x
y
z
Для того, чтобы подействовать этим оператором на любую скалярную
функцию трех переменных, в частности – на функцию WP  WP ( x, y, z) ,
необходимо дописать ее в операторе следующим образом:
W P 
WP
WP
WP
i
j
k.
x
y
z
(3.13А)
Сделав в (3.13) замену (3.13А), получим, что F  WP .
В результате действия оператора Гамильтона на любую скалярную
функцию u  f ( x, y, z ) получается вектор, который называется градиентом
этой функции: u  gradu . Этот вектор, найденный в определенной точке
поля, указывает направление, в котором численное значение функции в этой
точке возрастает с максимальной быстротой; модуль градиента равен
быстроте возрастания.
Таким образом, сила, действующая на частицу в консервативном
силовом поле, направлена в сторону быстрейшего убывания потенциальной
энергии частицы.
3.2. Взаимная потенциальная энергия.
Закон сохранения полной механической энергии системы
Все реально существующие в природе механические системы состоят
из протяженных (макроскопических) тел, подверженных воздействию как
консервативных, так и неконсервативных внешних и внутренних сил. Любое
макроскопическое тело, как и систему тел, можно представить в виде
совокупность частиц, взаимодействующих между собой. На рис. 3.7 видно,
что векторы сил взаимодействия произвольно выбранной частицы 1
некоторого тела с соседними частицами этого же тела лежат на прямой,
проходящей
через первую частицу. Из этого следует, что силы
взаимодействия консервативны, а работа, совершаемая при перемещении
частиц друг относительно друга, приводит к изменению потенциальной
8
F21 2
3
F12
1

F31
F13
Рис. 3.7
энергии. Энергия взаимодействия всех частиц тела (и механической системы)
называется взаимной потенциальной энергией; она равна сумме энергий
взаимодействия всех пар частиц:
вз
WP 
1 n
 (WP ) ik .
2 i ,k 1,k i
Здесь (WP ) ik - энергия взаимодействия i -ой и k -ой частиц; условие
i  k означает, что i -ая частица не может взаимодействовать сама с собой.
Множитель ½ перед знаком суммы введен для того, чтобы не учитывать
энергию взаимодействия одной и той же пары частиц дважды. Понятно, что
взаимная потенциальная энергия системы частиц определяется с точностью
до произвольной постоянной. Кинетическая энергия тела равна сумме
энергий всех частиц:
m
WK   i i
2
i 1
(здесь mi , i - масса и модуль скорости i -ой частицы).
n
2
Рассмотрим механическую систему, на тела которой действуют
внешние и внутренние консервативные и неконсервативные силы. Работу
всех сил при переходе системы из положения 1 в положение 2 можно
представить следующим образом:
внш
внтр
внш
внтр
(3.14)
A12  ( A12 ) KC  A12 КС  ( A12 ) НКС  A12 НКС .
Здесь первые два слагаемые – это работа внешних и внутренних
консервативных сил, два следующие слагаемые – работа внешних и
внутренних неконсервативных сил. Согласно (3.10),
внш
(3.15)
( A12 ) КС  WP1  WP 2 ,
где WP1 и WP 2 - потенциальная энергия системы частиц во внешнем силовом
поле в положении 1 и 2, соответственно. Аналогично
(3.16)
A12внтр КС  WP1вз  WP2 вз ,
где в правой части имеется разность значений взаимной потенциальной
энергии системы в начальном и конечном положении. Сделав в (3.14) замену
(3.15) и (3.16), получим:
вз
вз
внш
внтр
A12  WP1  WP 2  WP1  WP 2  ( A12 ) НКС  A12 НКС .
С другой стороны, работа всех сил приводит к изменению кинетической
9
энергии системы. Поэтому
вз
вз
WK 2  WK1  WP1  WP 2  WP1  WP 2  ( A12
вз
вз

WP1  WP1  WK1  (WP 2  WP 2  WK 2 )   ( A12
внш
внш


) НКС  A12
) НКС  A12
внтр
внтр
 .
НКС

НКС

(3.17)
Сумма первых трех слагаемых в левой части (3.17) – это полная
механическая энергия системы в начальном положении (W1 ) , сумма трех
следующих – полная механическая энергия в конечном положении (W2 ) .
Поэтому
внш
внтр
W2  W1  ( A12 ) НКС  A12 НКС .
Таким образом, изменение полной механической энергии системы
равно работе неконсервативных сил. Если же неконсервативные силы
отсутствуют (система замкнута), либо их работа равна нулю,
W2  W1  0  W2  W1 ,
т.е. полная механическая энергия остается неизменной. Этот вывод
составляет сущность закона сохранения: полная механическая энергия
системы, находящехся под воздействием только консервативных сил,
остается неизменной. При наличии неконсервативных сил полная
механическая энергия не сохраняется. Неконсервативными, в частности,
являются силы трения и сопротивления среды. Поскольку работа этих сил
отрицательна, механическая энергия системы уменьшается, переходя во
внутреннюю энергию, что приводит к нагреванию тел. Такой процесс
называется диссипацией энергии, а силы, приводящие к диссипации –
диссипативными. Необходимо отметить, что не все неконсервативные силы
являются диссипативными. Например, сила Ампера и сила Лоренца не
консервативны, однако их действие не приводит к изменению полной
механической энергии.
3.3. Закон сохранения момента импульса
Для того чтобы сформулировать этот закон, необходимо дать
определение следующих физических величин.
Момент силы. Пусть в точке P приложена сила F (рис. 3.9). Прямая,
на которой расположен вектор F , называется линией действия силы,
точка P - точкой ее приложения. Длина перпендикуляра l , проведенного из
определенной точки O к линии действия силы, называется плечом силы
F относительно этой точки. По определению, моментом силы
F относительно точки O называется вектор M , модуль которого равен
произведению модуля силы на ее плечо: M  Fl . На рис. 3.9 видно, что
l  r sin  , где r - радиус-вектор, определяющий положение точки P
относительно точки O . Следовательно, M  Fr sin  . Направление вектора M
10
O
M

l

r
P

F
Рис. 3.9
определяется правилом правого винта: если под действием силы радиусвектор точки ее приложения поворачивается по часовой стрелке, вектор
момента направлен вдоль движения винта с правой резьбой, вращаемого
по часовой стрелке (в рассматриваемом случае вектор M направлен в
плоскость рис. 3.9). Правило вычисления модуля, а также направление
вектора момента силы дают основание представить его в виде векторного
произведения:
(3.18)
M  r, F .
 
Единицей измерения момента силы служит 1 Н∙м.
Пусть через точку O проходит ось Z (рис. 3.10), точка P вращается
вокруг нее под действием силы F . Эту силу (на рисунке она не показана)
представим в виде суммы: F  Fl  F  F . Здесь Fl и F - составляющие
силы, параллельная и перпендикулярная оси Z . Вектор F (тангенциальная
Z
Fl
F
R

M

O
MZ
F
r

Рис. 3.10
составляющая) также перпендикулярен этой оси и радиус-вектору r ,
проведенному в точку приложения силы. Моментом силы F относительно
относительно точки O : M Z  M Z . Аналогично будем обозначать далее
проекции на ось и других векторов.
 
11
Согласно (3.18), момент силы F относительно точки O равен
векторному произведению:
M  r , ( Fl  F  F ) .
По свойству векторного произведения имеем:
M  r , Fl  r , F  r , F .
Здесь первое, второе и третье слагаемые в правой части – моменты
относительно точки O составляющих Fl , F и F :
M l  r, Fl , M   r, F , M   r, F .
Поскольку векторы M l и M  перпендикулярны оси Z , их проекции на эту
ось равны нулю. Следовательно, проекция вектора M равна проекции
момента тангенциальной составляющей силы. На рис. 3.10 видно, что вектор
M  перпендикулярен плоскости, в которой расположены векторы r и F ;
поэтому M Z  F r cos  , r cos   R , M Z  F R .
Таким образом, из трех составляющих силы F лишь ее
тангенциальный компонент способен вращать точу приложения
относительно оси. Потому можно сказать, что модуль проекции момента
силы F на ось численно равна произведению модуля ее тангенциальной
составляющей на радиус окружности, описываемой точкой приложения
силы при вращении вокруг этой оси.
Пара сил. Две равные по модулю и противоположно направленные
силы называются парой сил. Расстояние между линиями действия этих
сил называется плечом пары. Момент пары сил относительно точки O (рис.
3.11) равен сумме моментов каждой из сил: M  r1 , F1  r2 , F2 . Поскольку
F2   F1 , M  r1 , F1  r2 ,F1  M  r1 , F1  r2 , F1 , M  r1  r2 , F1 . На рис. 3.11
видно, что r2  r21  r1 , т.е. r1  r2  r21 . Поэтому M  r21 , F1 . Следовательно,
момент пары сил не зависит от положения точки O и определяется взаимным
расположением точек приложения векторов F1 и F2 . Модуль момента пары
сил M  F1r21 sin  . Так как r21 sin   l (плечо пары сил), M  F1l . В данном
случае момент выражен через силу F1 . Рассуждая аналогично, можно было
бы выразить этот же момент через силу F2 .


   
 
 
 

 
  
   

 
F1

l
r21
r1
F2
r2
O

Рис. 3.11
12
Таким образом, модуль момента пары сил равен произведению модуля
любой из сил пары на плечо. Направление вектора M связано с направлением
действия сил правилом правого винта: если под действием сил точки их
приложения движутся по часовой стрелке, вектор момента направлен
вдоль перемещения винта с правой резьбой, вращаемого по часовой
стрелке.
Силы взаимодействия двух любых частиц протяженного тела образуют
пару сил с плечом, равным нулю. Поэтому суммарный момент всех
внутренних сил, действующих на любую частицу тела, также равен нулю:
внтр
(3.19)
Mi  0.
i
Следовательно, равен нулю и суммарный момент всех внутренних сил
относительно любой оси Z :
в нтр
(3.19А)
 M Z  0.
i
Момент импульса частицы. Моментом импульса частицы
относительно точки O называется вектор
(3.20)
L  r, p .
Здесь r - радиус-вектор, определяющий положение частицы относительно
этой точки, p - вектор импульса частицы. Модуль момента импульса
L  rP sin  можно представить в виде L  lp , где l  r sin  (плечо импульса).
Представим равенство (3.20) в виде L  r, m и продифференцируем
его по времени:
 
 
 
dr
 
dL d
d 

r , m   , m   r , m  .
dt dt
dt 
 dt
 
Поскольку
(3.21)
dr
  , для первого слагаемого в правой части (3.21) имеем:
dt
dr

(3.22)
 , m    , m  0
 dt



по определению векторного произведения. Так как
 

d 
r , m   r , F  M .
dt 

d
 a , ma  F ,
dt
(3.23)
Сделав в (3.21) замену (3.22) и (3.23), получим:
dL
M,
dt
(3.24)
т.е. быстрота изменения момента импульса частицы относительно точки O
равна моменту силы, действующей на частицу, относительно этой же точки.
Пусть через точку O проходит ось Z (на рис.3.13 она не показана).
Спроецируем уравнение (3.24) на эту ось:
13
dLZ
 MZ ,
dt
т.е. быстрота изменения момента импульса частицы относительно оси равна
моменту силы относительно этой оси.
Теперь рассмотрим систему частиц, на которые действуют внутренние
и внешние силы. Моментом импульса системы относительно точки
называется сумма моментов импульса всех составляющих ее частиц: L   Li .
i
Продифференцируем последнее равенство по времени:
dL
dL
 i .
dt
dt
i
d Li
dL
  M i , где M i - суммарный момент всех
 Mi ,
dt
dt
i
внутренних и внешних сил, действующих на i - ую частицу:
Поскольку
Mi  Mi
внтр
 Mi
внш
. Согласно (3.19)
M
внтр
i
 0 ; поэтому
i
в нш
dL
 Mi
,
dt
i
т.е. быстрота изменения момента импульса системы частиц относительно
точки равна суммарному моменту всех внешних сил. Спроецировав
последнее уравнение на ось Z , получим:
dLZ
внш
  M iZ .
dt
i
(3.25)
Следовательно, быстрота изменения момента импульса системы частиц
относительно оси равна суммарной проекции моментов всех внешних сил
относительно этой оси. Отсюда вытекает закон сохранения момента
импульса: если на частицы не действуют внешние силы (система
замкнута), либо суммарный момент всех внешних сил равен нулю,
момент импульса системы частиц относительно точки, как и проекция
момента импульса на ось, остаются неизменными:
dLZ
dL
 0  L  const ,
 0  LZ  const .
dt
dt
14