ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 7. РАСПОЗНАВАНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ ПО УГЛУ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ, СКАЛЯРНОМУ ПРОИЗВЕДЕНИЮ И ПО ПРИНАДЛЕЖНОСТИ К ЗАДАННОЙ ОБЛАСТИ ПРОСТРАНСТВА Цель лабораторных занятий Приобретение и закрепление знаний, получение практических навыков работы с простейшими алгоритмами распознавания на основе представления изображений в виде точек или векторов в п-мерном векторном пространстве. Краткие сведения из теории Существует большое число различных форм представления изображений в распознающих устройствах или программах. Одной из наиболее простых и понятных является форма, использующая представление изображений в виде точек или векторов в некотором nмерном пространстве. Каждая ось такого пространства естественным образом соотносится с одним из n входов или с одним из n рецепторов распознающей системы. Каждый из рецепторов может находиться в одном из m состояний, если они дискретны, или иметь бесконечно большое число состояний, если рецепторы непрерывны. В зависимости от вида используемых рецепторов может порождаться непрерывное, дискретное или непрерывно-дискретное n-мерное пространство. В данной лабораторной работе рассматривается непрерывное n-мерное векторное пространство. Мера сходства изображений в n-мерном векторном пространстве вводится как функцию двух переменных 𝐿(𝑆𝑘 , 𝑆𝑖 ), где 𝑆𝑘 , 𝑆𝑖 ∈ 𝑆 = {𝑆1 , 𝑆2 , … 𝑆𝑛 } - конечное множество изображений в рассматриваемом пространстве. При этом функция 𝐿(𝑆𝑘 , 𝑆𝑖 ) обладает следующими свойствами: - свойством симметрии, т.е. 𝐿(𝑆𝑘 , 𝑆𝑖 ) = 𝐿(𝑆𝑖 , 𝑆𝑘 ); 1 - областью значений функции является множество неотрицательных чисел, т.е. 𝐿(𝑆𝑘 , 𝑆𝑖 ) ≥ 0, 𝑘, 𝑖 = 1,2 … , 𝑛; - мера сходства изображения с самим собой принимает экстремальное значение по сравнению с любым другим изображением, т.е. в зависимости от способа введения меры сходства выполняется одно из двух соотношений: 𝐿(𝑆𝑘 , 𝑆𝑘 ) = max(𝐿(𝑆𝑘 , 𝑆𝑖 )), 𝐿(𝑆𝑘 , 𝑆𝑘 ) = min(𝐿(𝑆𝑘 , 𝑆𝑖 )); - в случае компактных образов функция 𝐿(𝑆𝑘 , 𝑆𝑖 ) является монотонной функцией удаления точек 𝑆𝑘 и 𝑆𝑖 друг от друга в nмерном пространстве. В n-мерном пространстве мера сходства изображений может быть введена многими способами. Рассмотрим несколько из них. При этом во всех случаях будем полагать, что эталонные изображения 𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑚 m различных классов изображений или образов в n-мерном пространстве задаются в виде векторов с проекциями на оси координат: 𝑋1 = (𝑥11 , 𝑥12 , … , 𝑥1𝑛 ), 𝑋2 = (𝑥21 , 𝑥22 , … , 𝑥2𝑛 ), … , 𝑋𝑚 = (𝑥𝑚1 , 𝑥𝑚2 , … , 𝑥𝑚𝑛 ). Любое входное изображение 𝑆𝑖 ∈ 𝑆 также представляется в виде вектора 𝑆𝑖 = (𝑠𝑖1 , 𝑠𝑖2 , … , 𝑠𝑖𝑛 ) в этом пространстве. Распознавание по углу между векторами Мера близости между двумя векторами в n-мерном векторном пространстве может быть задана в виде угла. Если задано входное изображение 𝑆𝑖 = (𝑠𝑖1 , 𝑠𝑖2 , … , 𝑠𝑖𝑛 ) и векторы эталонных изображений 𝑋1 = (𝑥11 , 𝑥12 , … , 𝑥1𝑛 ), 𝑋2 = (𝑥21 , 𝑥22 , … , 𝑥2𝑛 ), … , 𝑋𝑚 = (𝑥𝑚1 , 𝑥𝑚2 , … , 𝑥𝑚𝑛 ), то мера сходства между входным и эталонными изображениями определяется выражением 𝐿(𝑆𝑖 , 𝑋𝑗 ) = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠( 𝑠𝑖1 𝑥𝑗1 + 𝑠𝑖2 𝑥𝑗2 +⋯+𝑠𝑖𝑛 𝑥𝑗𝑛 2 2 2 2 2 2 √𝑠𝑖1 +𝑠𝑖2 +⋯+𝑠𝑖𝑛 ⋅√𝑥𝑗1 +𝑥𝑗2 +⋯+𝑥𝑗𝑛 ) = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 ( ∑𝑛 𝑘=1 𝑠𝑖𝑘 𝑥𝑗𝑘 |𝑆𝑖 |∙|𝑋𝑗 | ), (1) где |𝑆𝑖 |, |𝑋𝑗 | - соответственно длины векторов. Принадлежность входного изображения 𝑆𝑖 к одному из m образов определяется с помощью решающего правила 2 𝑆𝑖 ∈ 𝑋𝑗 , если 𝐿(𝑆𝑖 , 𝑋𝑗 ) = min(𝐿(𝑆𝑖 , 𝑋𝑗 )), (2) 𝑗 При этом в решающем правиле и далее по тексту для обозначения j-го образа и эталонного изображения j-го образа применяется одно и тоже обозначение 𝑋𝑗 (𝑗 = 1, 𝑚). Распознавание произведению изображений по скалярному Мера близости изображений по углу между векторами (1) основана на скалярном произведении векторов: < 𝑆𝑖 , 𝑋𝑗 > = |𝑆𝑖 | ∙ |𝑋𝑗 | ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝛼 = ∑𝑛𝑘=1 𝑠𝑖𝑘 𝑥𝑗𝑘 . (3) Некоторые системы распознавания используют непосредственно скалярное произведение в качестве меры сходства изображений в nмерном векторном пространстве: 𝐿(𝑆𝑖 , 𝑋𝑗 ) == ∑𝑛𝑘=1 𝑠𝑖𝑘 𝑥𝑗𝑘 . (4) В этом случае принадлежность входного изображения 𝑆𝑖 к какомулибо образу определяется с помощью решающего правила 𝑆𝑖 ∈ 𝑋𝑗 , если 𝐿(𝑆𝑖 , 𝑋𝑗 ) = max(𝐿(𝑆𝑖 , 𝑋𝑗 )), 𝑗 Распознавание изображений по заданной области пространства (5) принадлежности к При этом способе распознавания все пространство изображений V разбивается на непересекающиеся области 𝑉1 , 𝑉2 , … 𝑉𝑚 , 𝑉𝑚+1 , где 𝑉1 , 𝑉2 , … 𝑉𝑚 - области, содержащие изображения только одного соответствующего образа 𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑚 ; V m+1 - область, не содержащая изображений, относящихся к указанным образам. В этом случае принадлежность входного изображения 𝑆𝑖 = (𝑠𝑖1 , 𝑠𝑖2 , … , 𝑠𝑖𝑛 ) к некоторому j-му образу (𝑗 = 1, 𝑚) определяется решающим правилом 𝑆𝑖 ∈ 𝑋𝑗 , если (𝑠𝑖1 , 𝑠𝑖2 , … , 𝑠𝑖𝑛 ) ∈ 𝑉𝑗 . (6) 3 Если области 𝑉𝑗 , (𝑗 = 1, 𝑚) заданы в евклидовом пространстве в ∗ ∗ ∗ виде шаров с центрами в точках (𝑥𝑗1 , 𝑥𝑗2 , … , 𝑥𝑗𝑛 , ) и радиусами 𝑅𝑗 то решающее правило (6) принимает вид 2 ∗ 𝑆𝑖 ∈ 𝑋𝑗 , если 𝐿(𝑆𝑖 , 𝑋𝑗 ) = √∑𝑛𝑘=1(𝑥𝑗𝑘 − 𝑠𝑖𝑘 ) ≤ 𝑅𝑗 , (7) Для конструирования областей в пространстве изображений могут использоваться любые меры сходства, например, расстояния с весовыми коэффициентами (8) - (10), расстояние по Камберру (11) и т.д. 𝐿(𝑆𝑖 , 𝑋𝑗 ) = √∑𝑛𝑘=1 𝜂𝑘 (𝑠𝑖𝑘 − 𝑥𝑗𝑘 )2 , (8) 𝜆 𝐿(𝑆𝑖 , 𝑋𝑗 ) = √∑𝑛𝑘=1 𝜂𝑘 (𝑠𝑖𝑘 − 𝑥𝑗𝑘 )𝜆 , (9) 𝐿(𝑆𝑖 , 𝑋𝑗 ) = ∑𝑛𝑘=1 𝜂𝑘 |𝑠𝑖𝑘 − 𝑥𝑗𝑘 |, 𝐿(𝑆𝑖 , 𝑋𝑗 ) = ∑𝑛𝑘=1 | 𝑠𝑖𝑘 −𝑥𝑗𝑘 𝑠𝑖𝑘 +𝑥𝑗𝑘 (10) |, (11) 𝜂𝑘 (𝑘 = 1, 𝑛) - весовые коэффициенты; 𝜆 - целое положительное число, большее двух. Решающее правило (6) для расстояний (8) - (10) принимает вид 𝑆𝑖 ∈ 𝑋𝑗 , если 𝐿(𝑆𝑖 , 𝑋𝑗 ) = 𝑅𝑖𝑗 ≤ 𝑅𝑗 , где 𝑅𝑖𝑗 - расстояние, заданное одним из выражений (8) - (11), между предъявленным изображением 𝑆𝑖 и центром шара, содержащего изображения j-го образа; 𝑅𝑗 - радиус шара, содержащего изображения jго образа. При использовании для распознавания угла между векторами непересекающиеся области 𝑉𝑗 , (𝑗 = 1, 𝑚) задаются в виде конусов, а решающее правило имеет вид 𝑆𝑖 ∈ 𝑋𝑗 , если 𝐿(𝑆𝑖 , 𝑋𝑗 ) = 𝜑𝑖𝑗 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠( 𝑠𝑖1 𝑥𝑗1 + 𝑠𝑖2 𝑥𝑗2 +⋯+𝑠𝑖𝑛 𝑥𝑗𝑛 2 2 2 2 2 2 √𝑠𝑖1 +𝑠𝑖2 +⋯+𝑠𝑖𝑛 ⋅√𝑥𝑗1 +𝑥𝑗2 +⋯+𝑥𝑗𝑛 ) ≤ 𝜑𝑗𝑚𝑎𝑥 , 4 где 𝜑𝑖𝑗 - угол между предъявленным изображением 𝑆𝑖 и эталонным изображением 𝑋𝑗 ; 𝜑𝑗𝑚𝑎𝑥 предельно допустимый угол для j-го образа между эталонным и распознаваемым изображениями. Индивидуальные задания 1. Разработайте алгоритм и программу, моделирующую распознавание различных объектов в п-мерном векторном пространстве по углу между векторами и скалярному произведению. 2. Задайтесь размерностью n-мерного векторного пространства, числом m эталонных объектов образов (п и m должны быть не менее 5) и несколькими распознаваемыми объектами. С помощью угла между векторами и скалярного произведения определите принадлежность предъявленных объектов к тому или иному образу. 3. Разработайте алгоритм и программу, моделирующую распознавание различных объектов по их принадлежности к шарообразным или конусообразным областям в n-мерном векторном пространстве. 4. Задайтесь размерностью n-мерного векторного пространства, числом m образов и несколькими распознаваемыми объектами. Определите принадлежность предъявленных объектов к тому или иному образу при шарообразных и конусообразных областях, содержащих изображения заданных образов. Содержание отчета 1. Тема лабораторных занятий. 2. Индивидуальное задание. 3. Результаты выполнения пунктов 1 - 4 индивидуального задания. 5