МОДЕЛИ МАНИПУЛЯТОРОВ ДЛЯ АВТОМАТИЗАЦИИx

МОДЕЛИ МАНИПУЛЯТОРОВ ДЛЯ АВТОМАТИЗАЦИИ
СБОРОЧНЫХ ОПЕРАЦИЙ
Кулаков Феликс Михайлович
д.т.н., профессор
Алферов Геннадий Викторович
к.ф.-м.н., доцент
ФГБОУ ВПО Санкт-Петербургский государственный университет
Аннотация
Рассматриваются
кинематические
и
динамические
модели
манипуляторов, предназначенные для силомоментного управления на
основе использования в качестве сигналов обратной связи упругих
деформаций гибких элементов манипуляторов.
Силомоментное управление роботами в автоматизации сборочных
операций, операций шлифовки и других, требующих взаимодействия
робота с механическими «связанными» предметами, к сожалению, не дало
ожидаемых результатов. Это объясняется главным образом тем, что
предлагаемые методы пока не позволяют построить системы
силомоментного управления с хорошими динамическими свойствами, что
снижает экономическую оправданность роботизации. Кроме того, эти
методы плохо работают, когда манипуляторы имеют гибкие элементы, в
частности гибкие звенья, что характерно для космических роботовманипуляторов [1-2]. В рассматриваемом методе силомоментного
управления в качестве сигналов обратной связи используют упругие
деформации гибких элементов манипулятора. Предлагаемый подход
применим к любым манипуляционным роботам, которые имеют упругую
податливость в суставах и к манипуляторам с гибкими звеньями.
Рассмотрим кинематические и динамические модели манипулятора
при наличии связей на перемещаемый объект.
Текущее положение манипулятора, снабженного управляемыми
приводами, например электродвигателями постоянного тока, определяется
суставными координатами g i (i  1,2,..., n). Они являются углами поворота
или линейного смещения одного i-звена, относительно предыдущего (i-1)-
го звена. Эти координаты можно объединить в
n-мерный вектор
суставных координат g  ( g1 , g 2 ,..., g n ).
Изменение суставных координат осуществляется с помощью
приводов, текущее состояние которых определяется n-мерным вектором
координат приводов d  (d1 , d 2 ,..., d n ) . Его компонентами являются углы
поворота валов электродвигателей.
Связь между этими векторами представляется соотношением:
g  g   , g  P(d ),
(1)
где g = (g1, g2,..., gn) = P(d) – n- мерный вектор приведенных к суставам
углов поворота валов двигателей приводов, τ = (τ1, τ2, …, τn) – n- мерный
вектор упругих деформаций редукторов, P(d) – n- мерная вектор-функция
редукционных преобразований.
Основная часть упругих деформаций редукторов приходится на их
выходные валы или другие элементы, напрямую связанных с суставами.
Будем считать, что звенья манипулятора являются упруго
деформируемыми, т.е. гибкими. Для этого в моделях, используем метод
конечных элементов, т.е аппроксимируем каждое из звеньев цепочкой из k
твердых тел, которые соединены друг с другом упругими элементами
нулевых размеров и нулевой массы, характеризуемыми только
симметрическими положительно определенными (6×6)
матрицами
жесткости и вязкого трения. Причем упругая деформация каждого звена
определяется координатами l1, l2,...,l6×k, являющимися величинами упругих
деформаций всех k упругих элементов, аппроксимирующих звено.
А деформация всех n звеньев определяется координатами всех (6×k×n)
упругих элементов аппроксимирующих эти звенья и объединенных в
вектор l = (l1, l2,..., l6×k×n). В случае, если робот-манипулятор
предназначался для работы с предметами, имеющими связи, что особенно
характерно при выполнении сборочных операций, то при традиционном
подходе в запястье манипулятора устанавливался силомоментный сенсор
для измерения контактных сил и моментов реакций, необходимых для
использования в законе управления. Упругие деформации несущей
конструкции сенсора, связанной со схватом относительно его основания,
являются шестью запястными координатами, образующими вектор w =
(w1, w2, w3, w4, w5, w6).
Таким образом, текущее состояние манипулятора характеризуется
4n+6×k×n+6 координатами, объединенными в вектор ( g , d , g ,  , l , w) .
Однако, поскольку n-мерные векторы g , g ,  , d связаны уравнениями
(1), то для описания текущего состояния манипулятора достаточно
использовать два из этих векторов, например, g и τ. Тогда вместо вектора
( g , d , g ,  , l , w) будем использовать вектор состояния манипулятора
q  (q,  , l , w)  q  (q, e) ,
(2)
где e  ( , l , w) – вектор упругих деформаций всех гибких элементов
манипулятора. Размерность вектора q равна n+m , размерность e равна m;
m = n + 6 × k × n + 6.
Связи, наложенные на перемещаемые жестко захваченные схватом
манипулятора объекты описываются r алгебраическими уравнениями (r ≤
6):
M(x)=0; X=(y1, y2, y3, θ 1, θ 2, θ 3) = L(g, e),
(3)
где M(x) – r-мерная непрерывно дифференцируемая вектор-функция, X -6-мерный вектор положения схвата, определяющий координаты y1, y2, y3
положения его характеристической точки в неподвижной системе
координат и Эйлеровы углы θ1, θ 2, θ 3 поворота координатной системы
схвата относительно неподвижной системы координат.
X = L(g, e)
(4)
Уравнения (3), (4) можно трансформировать в систему
Q(g, e) = M[L(g, e)] = 0,
(5)
являющуюся системой r уравнений голономных связей механизма.
Эта система, в принципе, позволяет в явном виде представить r
компонент вектора, объединенных в вектор gr в функции остальных n – r +
m независимых координат вектора q = (g,e)
g r  ( g ( n  r ) , e)  (q )
(6)
где g(n-r) - (n-r) - вектор, составленный из (n-r) компонент вектора g, не
вошедших в gr, q  ( g nr , e)  (n  r  m) - вектор независимых координат.
С помощью (6) вектор состояния q может быть выражен через q .
Действительно, не нарушая общности рассмотрения, можно объединить
все зависимые компоненты вектора g в группу gr и сделать так, чтобы она
предшествовала группе независимых компонент этого вектора g(n-r). Тогда
вектор q можно выразить через q следующим образом:
q  ( g r , g n r , e)  ((q ), q )
(7)
Дифференциальная форма уравнений связи имеет вид:
M 
X 0
X
где
M
– (r × 6) матрица связей ранга r;
X
X  ( y 1, y 2 , y 3 , 1 , 2 , 3 )  ( y , ).
Более удобно в (8) вместо вектора X использовать вектор
(8)
(9)
x  (u , w)
линейной и угловой скоростей схвата в системе координат схвата
v  y , w  w   ,
(10)
где α = α(g, e) - (3×3) - матрица направляющих косинусов, определяющая
поворот системы координат схвата относительно неподвижной системы
координат; ~   - вектор угловой скорости схвата в неподвижной системе
координат; γ - (3×3) - матрица связи между ~ и  , структура которой
зависит от выбора типа используемых углов Эйлера.
Из (9), (10) следует, что
x  (v, w)  X ,
где


0
0 
.
Тогда (8) примет вид:
K  x  0 ,
где
K 
(11)
M 1

X
а в нормализованной форме:
nx  0
(12)
где n  R K  - (r×6) - нормализованная матрица связей; R={R1, R2, ..., Rr} диагональная (r×r) матрица; Ri – Эвклидова норма i-й строки матрицы Kβ.
Вектор X линейных и угловых скоростей схвата
х  х r  х e
(13)
является суммой двух слагаемых.
Первое - вектор скорости перемещения схвата, порождаемый
вектором g приведенных к суставам скоростей вращения валов приводов
1
х r  Jg ,
J
х
g
(14)
где J - (6× n) матрица Якоби.
Второе - вектор, скорости перемещения схвата, порождаемый
вектором e скоростей деформаций упругих элементов манипулятора:
редуктора τ, звеньев l, запястья w
х l  J e e  J    J l l  J w w ,
(15)
Je 
х
х
х
х
; J 
; Jl 
и Jw 
e

l
w
- матрицы Якоби размеров (6×m); (6×n);
6×(6×k×n) и 6×6, соответственно.
С учетом (13-15) система уравнений (12) примет вид:
nJg  nJ e e  Sq  S I q r  S II q  0 ,
S J  J e   ( J  J   J l  J w )
(16)
(17)
S I  (nJ ) r r и S II  (nJ e ) r ( n  r  m ) - r×r и r×(n-r+m) блоки матрицы S.
Из (16) следует:
q  S I1 S II q ,
r
и, следовательно:
q  (q r , q )  Wq ,
(18)
 S 11 S II 


где W   ,
 I



I=(n-r+m)×(n-r+m) - единичная матрица.
Продифференцировав левую и правую части (18), получим для q :
q  Wq  W q
(19)
Приведенные выше выражения (5-19) являются, соответственно,
неявной и явной формами уравнений связи манипулятора, перемещающего
механически ``связанный'' объект. Эти выражения и являются его
кинематической моделью.
Динамическая модель может быть представлена двумя подсистемами
уравнений. Первая описывает поведение механической части
манипулятора
с
приводами,
вторая
электрической,
т.е.
электромагнитный контур электроприводов.
В самом общем виде в форме уравнений Лагранжа II рода первая
система имеет нижеследующий вид:
d  L  L
E (q, q , q)    
 HFa  Fdis  S T  ,
(20)
dt  q  q
H T  ( E  O),
(21)
где Fa - n-мерный вектор обобщенных управляющих сил, отнесенных к
вектору g, Fdis=KF q и STλ - (n+m) - мерные векторы обобщенных
диссипативных сил и обобщенных реакций, отнесенных к вектору q, KF (n+m)(n+m) - симметрическая положительно определенная матрица
коэффициентов трения, E (q, q , q) - Эйлеров оператор от функции Лагранжа
L = T – П, T и П - кинетическая и потенциальная энергии манипулятора с
приводами, λ – r-мерный вектор – множитель Лагранжа, HT – n×(n+m)
блочная матрица, E - n×n - единичный блок.
Вторая подсистема уравнений модели представляются следующим
образом:
U  Lm Im  Rm I m  k S d ,
(22)
fa = knIm,
(23)
где Im – n-мерный вектор тока якорей двигателей электроприводов и Lm n×n - диагональные матрицы активных сопротивлений и индуктивностей
обмоток якорей;
U и fa – n-мерные векторы напряжений, приложенных к обмоткам якорей,
которые являются управлениями; ks и kn - n×n диагональные матрицы
преобразования вектора скоростей вращения якорей двигателй в противоЭДС и вектора якоря Im в вектор fa. С помощью (2) вектор d в (22) может
P(d )
быть выражен через g как d  Z 1 g , где Z 
- n×n матрица редукции,
d
а вектор g  H T q с учетом (21) выражается через q как g  H T Wq и,
следовательно,
d  Z 1 H T Wq .
(24)
Из условия равенства работ вектора силы fa и вектора Fa на
соответствующих этим векторам элементарных перемещениях Δd и Δg:
Fa  g  f a  Z 1 g  ( Z 1 ) T f a  g
имеем для fa:
fa = ZTFa.
С учетом (24), (25) подсистема (22), (23) приводится к виду:
(25)
U  Lm K n1 Z T Fa  Rm K n1 Z T Fa  k S H T Wq .
(26)
Подсистемы (24) и (25) включают (n+m)
и
n уравнений,
соответственно. Они связывают соответственно, (n+m) и n переменных,
объединенных в векторы q и Fa.
Число уравнений и переменных в подсистеме (20) может быть
снижено до (n-r+m). С этой целью с помощью первых r уравнений
системы (20), соответствующих зависимым переменным вектора g,
объединенных в вектор gr определяется r-мерный вектор λ через вектор q
и его производные q и q . Этим выражением заменяется вектор λ,
входящий в остальные (n-r+m) уравнений подсистемы (20). Кроме того, в
них заменяются переменные q, q , q их выражениями (7), (18), (19) через
q , q , q .
В результате подсистема (20) превращаются в нижеследующие
подсистемы (n-r+m) уравнений:
d  T  T П

 

 W T E (q , q , q)  W T HFa  W T k F W q ,

dt  q  q q
(27)
где знак «-» над W, WT, E указывает, что аргументы q, q , q заменены на
q , q , q .
Примем во внимание, что вектор потенциальных сил является суммой:
П w П e
П


,
q
q
q
(28)
П w
  D - вектор сил, порожденный потенциальной энергией веса
q
П
элементов конструкции манипулятора, включая приводы,  e вектор сил
q
1
порожден потенциальной энергией П e  e Ce e упругих элементов
2
где 
конструкции манипулятора,
C
0
Ce  0
0
Cl
0
0
0 - m m - симметрическая положительно определенная
Cw
матрица жесткости манипулятора,
С , С l , С w - симметрические положительно определенные блоки матрицы
С e размеров (n  n) , (m  n  6)  (m  n  6) и (6  6) , определяющие жесткости
редукторов, звеньев и запястного сенсора, соответственно. Поскольку
q  ( g nr , e) , а П e не зависит от g nr , формально ее можно представить как
Пe 
1 
П e
q Cq , а 
 Cq ,
2
q
0 0
C
0 Ce
(29)
(30)
где C положительная полуопределенная матрица. Тогда с учетом (28), (29)
подсистема (27) в более детальной форме приводится к виду:
(31)
Aq  ( B  K )q  Cq  D  W  HFa ,
A
 2T
 W  aW ,
2
q
(32)
где a - (n  m)( n  m) - положительно определенная симметрическая матрица
инерции манипулятора с приводами, отнесенная к векторам q и q ,
соответственно,
B
dA 1 (q  A)
и W  k FW

dt 2 q
- (n  r  m)( n  r  m) - матрицы представления
центробежных и кориолисовых сил элементов манипулятора и
положительно определенная симметрическая матрица коэффициентов
трения.
Подсистема (26) после домножения всех ее слагаемых на матрицу
 1
T0 Z  k n Lm1 , где T0  Lm Rm1   - модуль матрицы электромагнитных
постоянных электроприводов, являющийся весьма малой величиной, имеет
вид:
(33)
Fa  T Fa  ktU  T (Z 1 )  kn Rm1Z 1H Wq ,
 1 1
1
где T  T0 T0 ; kt  T (Z ) Rm kn .
Введя новую переменную
q  q1 ,
(34)
1
и домножив левую и правую части подсистемы (31) на A , приведем ее,
как и (33) к разрешенному относительно первой производной от
переменной виду:
(35)
q1   A1 ( B  K )q1  A1Cq  A1D  A1WHFa .
Полученная система 2n  r  m дифференциальных уравнений (33-35)
относительно такого же количества переменных, объединенных в векторы
q и Fa , и является динамической моделью манипулятора.
Ее особенность состоит в том, что часть уравнений, входящих в нее,
а, именно уравнений подсистемы (26) имеет весьма малый по величине
скалярный множитель-параметр  , при производной от переменной Fa ,
что определяется характерной особенностью электрических приводов.
Как показал А.Н. Тихонов [3] анализ систем обыкновенных
дифференциальных уравнений подобной структуры, т.е. структуры вида:
(36)
x  1 ( x, y)
(37)
y  2 ( x, y)
может быть существенно упрощен, если они удовлетворяют ряду условий.
А, именно, решение задачи Коши для «тихоновской» системы может быть
аппроксимировано решением этой же задачи для так называемой
порождающей системы, которая имеет более низкий порядок, чем
y в
исходная. Она получается из исходной путем замены вектора
подсистеме (36) корнем y 0   ( x) , найденным из подсистемы (37) при   0 .
Ошибка аппроксимации равномерно стремится к нулю, если стремится к
нулю малый параметр  . Это, в частности, значит, что когда порождающая
система устойчива, то при удовлетворении вышеупомянутых условий и
исходная анализируемая система устойчива при любом    cr . В нашем
случае, очевидно, вектор x - аналог вектора (q , q1 ) , а вектор y – вектора Fa ,
1 ( x, y) и 2 ( x, y) аналоги правых частей подсистем (33-35) соответственно.
Для принадлежности рассматриваемой системы к «тихоновской»
должны быть выполнены два условия. Первое – наличие изолированного
корня y 0   ( x) y подсистемы (37) при   0 , т.е. в нашем случае корня
Fa0  (q , q1 ) у подсистемы (33). Второе – состоит в том, чтобы этот корень
был асимптотически устойчивой стационарной точкой для подсистемы
(37), а в нашем случае для – (33), в которой переменная x , для (q1, q )
принята параметром. Эти условия для анализируемой системы уравнений
выполнены.
Литература
1. Алферов Г.В., Кулаков Ф.М., Неокесарийский В.Н. Кинематические
и
динамические
модели
исполнительной
системы
робота//Ленинград. 1983.
2. Кулаков Ф.М. Робастное управление движением роботов с гибкими
элементами//Изв. РАН. ТиСУ. 2000. №4. С. 176-185.
3. Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие
малые параметры при производных//Мат. сб. 1952. Т. 31 (73). №3
Алферов Геннадий Викторович
198510 г.Санкт-Петербург, г. Петродворец, ул. пут. Козлова д.7, кв. 74
тел. 8 (921) 906-60-42
email: alferovgv@gmail.com