Магнитное поле в вакууме

ТЕМА 8. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ
8.1. Индукция магнитного поля
Опыты показывают, что вокруг проводника с током существует поле,
действующее на другие проводники с током и на заряженные частицы,
движущиеся вне проводника. Это поле называется магнитным; оно создается
не только проводниками с током, но и движущимися заряженными
частицами, а также конвекционными токами. Например, лента транспортера
в процессе движения электризуется, создает конвекционный ток и,
соответственно, магнитное поле. Движущийся поляризованный диэлектрик,
на поверхности которого находятся связанные заряды, также создает
магнитное поле.
В природе существуют вещества, создающие магнитное поле, которые
называются постоянными магнитами (магнетиками). Согласно гипотезе,
высказанной французским физиком Ампером, поле постоянных магнитов
обусловлено циркулирующими в них микротоками. Эта гипотеза является
поистине гениальной, поскольку в те времена физики ничего не знали о
строении атома. Лишь после того, как было открыто существование
электрона и Э. Резерфорд сформулировал ядерную модель атома, стало ясно,
что предвидение Ампера полностью оправдалось: микротоки,
циркулирующие в магнетиках, есть не что иное, как токи, создаваемые
электронами, движущимися вокруг ядер по замкнутым орбитам.
Из школьной физики известно, что все постоянные магниты обладают
двумя магнитными полюсами – северным ( N ) и южным ( S ). Наша планета
Земля также подобна постоянному магниту. Ее южный магнитный полюс
находится вблизи северного географического полюса, а северный магнитный
– вблизи южного географического. Магнитный и географический полюса не
совпадают; между осью вращения Земли и прямой, на которой находятся
магнитные полюса, имеется угол в 110. Согласно современным
представлениям, магнитные свойства Земли обусловлены конвекционными
токами, циркулирующими в ее жидком ядре.
Силовой характеристикой магнитного поля является вектор магнитной
индукции. Подобно тому, как для исследования электрического поля
используется пробный заряд, для изучения магнитного поля применяется т.н.
пробный контур – замкнутый проводник малых размеров с током.
Ориентация пробного контура в пространстве определяется единичным
вектором нормали к нему, направление вектора нормали связано с
направлением тока правилом правого винта (буравчика). Поместив пробный
контур в магнитное поле, мы увидим, что он установится в строго
определенном положении. Если попытаться отклонить контур из этого
положения, возникает момент сил, стремящихся вернуть его в прежнее
состояние. Направление, указываемое вектором нормали в положении
устойчивого равновесия контура, принимается за направление вектора
магнитной индукции в данной точке поля. Численное значение момента сил,
1
возникающих при отклонении контура из положения равновесия, зависит от
угла  между нормалью и вектором индукции, достигая наибольшего
значения, когда угол составляет 900. Кроме того, момент сил пропорционален
силе тока и площади контура, но не зависит от его формы. В связи с этим в
качестве характеристики контура с током используется произведение силы
тока и площади, им охватываемой. Умножив это произведение на вектор
единичной нормали, получим физическую величину, которая называется
магнитным моментом контура с током:
Pm  Isn .
Понятно, что единица измерения модуля магнитного момента – 1 А∙м2.
На различные пробные контуры в одной и той же точке поля действуют
разные моменты сил ( M ), однако отношение M / Pm при фиксированном
значении угла  одинаково для всех контуров. Отношение максимального
момента сил, действующих на контур, к его магнитному моменту
принимается за модуль вектора магнитной индукции:
B
M max
.
Pm
Из определения следует, что единица измерения этой физической величины –
1 Н/(А∙м), т.е. 1 Тесла (Тл). Модуль и направление вектора магнитной
индукции можно также найти, используя закон Ампера.
8.2. Закон Био-Савара-Лапласа
Этот закон определяет модуль и направление вектора магнитной
индукции поля, создаваемого проводником с током произвольной формы.
Согласно принципу суперпозиции, магнитное поле проводника с током в
определенной точке пространства можно найти как суперпозицию полей,
создаваемых отдельными элементами этого проводника:
dB 
0 I  dl , r 
.
4 r 3
(8.1)
Здесь  0 – магнитная постоянная, в системе СИ равная 4  10 7 Гн/м, I – сила
тока в проводнике, dl – вектор элемента проводника, направленный вдоль
тока, r – радиус-вектор, проведенный от элемента dl в рассматриваемую
точку поля (точку наблюдения).
В качестве примера найдем индукцию магнитного поля, создаваемого
длинным прямолинейным проводником с током в точке, удаленной от него
на расстояние b . Согласно равенству (8.1),
dB 
 0 Idl sin 
,
4
r2
вектор dB в точке наблюдения направлен в плоскость рис. 8.1. На этом же
рисунке видно, что
r
 I
b
rd 
bd 
, dl 

, dB  0 sin d  .
2
sin 
sin  sin 
4b
2
b
d

dl

r
Рис. 8.1
Поскольку для всех элементов проводника бесконечной длины угол 
изменяется от нуля до  , имеем:

 I
 I
B  0  sin d   0 .
4b 0
2b
По аналогии с линиями напряженности электрического поля, для
графического изображения стационарных магнитных полей используются
линии индукции. Они проводятся так, что касательная к линии в
определенной точке указывает направление вектора магнитной индукции, а
густота линий пропорционально его модулю. Поскольку источником
магнитного поля являются токи, линии индукции всегда замкнуты; именно
поэтому магнитное поле относится к вихревым (соленоидальным) полям.
Магнитное поле называется однородным, если в каждой его точке
вектор магнитной индукции имеет одинаковый модуль и направление. Как и
в случае однородного электростатического поля, линии индукции
однородного магнитного поля представляют собой параллельные
равноотстоящие линии. Согласно закону Био-Савара-Лапласа линии
индукции магнитного поля прямолинейного проводника с током
представляют собой концентрические окружности, центры которых
расположены на проводнике.
8.3. Закон Ампера
Согласно закону, установленному Ампером, на элемент проводника dl
с током в магнитном поле действует сила
dF  I  dl , B  .
(8.2)
Модуль силы dF  IBdl sin  , где  – угол между векторами dl и B .
Направление вектора dF перпендикулярно плоскости, в которой
расположены векторы dl и B , и определяется правилом правого винта либо
правилом левой руки.
Найдем силу магнитного взаимодействия двух длинных параллельных
проводников с током в вакууме. Если расстояние между проводниками
обозначить b , то элемент второго проводника dl2 с током I 2 находится в
3
стационарном магнитном поле первого проводника с током I1 , индукция
которого
 0 2 I1
.
4 b
Поскольку угол между векторами B1 и dl2 равен 900, модуль силы,
B1 
действующей на единицу длины второго проводника,
dF2  0 2 I1 I 2
.

dl2 4 b
Можно показать, что сила, действующая на единицу длины первого
проводника в магнитном поле, создаваемом вторым проводникам, по модулю
будет такой же. Легко видеть, что при одинаковом направлении тока
проводники будут притягиваться, при различных направлениях –
отталкиваться друг от друга. Если считать, что расстояние между
проводниками равно 1 м, а сила тока в них составляет 1 А, то
dF2
 2 10 7 Н/м.
dl2
Исходя из этого результата определяется единица измерения силы тока: 1А –
это сила постоянного тока, при котором на каждый метр длины
параллельных длинных проводников малого поперечного сечения в вакууме
действует сила 2 107 Н/м.
8.4. Поток и циркуляция вектора магнитной индукции
Согласно современным представлениям, магнитное поле создается
движущимися электрическими зарядами (токами). Поэтому линии индукции
всегда замкнуты – они не имеют ни начала, ни конца. Иначе говоря, в
природе не существует т.н. магнитных зарядов, которые являлись бы
источниками магнитного поля подобно тому, как электрические заряды
порождают электрическое поле.
По определению, поток любого вектора через поверхность – это
алгебраическая величина. Представим себе замкнутую поверхность S ,
находящуюся в магнитном поле. На рис. 8.2 видно, что угол между вектором
элементарной поверхности ds и линией индукции в месте ее входа в
поверхность S – тупой. В соответствии с этим поток вектора B через
элементарную поверхность ds отрицателен: d   Bds cos   0 . В месте выхода
этой же линии индукции из рассматриваемой поверхности cos  '  0 , поэтому
поток через элементарную поверхность ds ' положителен: d  '  Bds 'cos  '  0 .
Основываясь на таких рассуждениях, можно строго показать, что поток
вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен
нулю. Это утверждение представляет собой теорему Гаусса для магнитного
поля в интегральной форме:
(8.6)
 Bds  0 .
S
4
Преобразуем левую часть последнего равенства по теореме
Остроградского:
ds
B
B
ds '
Рис. 8.2
 Bds   divBdv .
S
V
С учетом (8.6) имеем:
 divBdv  0  divB  0 .
(8.7)
V
Мы пришли к утверждению, которое называется теоремой Гаусса для
магнитного поля в дифференциальной форме. По определению, численное
значение дивергенции вектора B в заданной точке поля равно потоку
магнитной индукции из единицы объема в этой точке. Отсюда следует
физический смысл уравнения (8.7): магнитное поле не имеет точечных
источников наподобие электрических зарядов, которые являются
источниками электрического поля.
Далее рассмотрим циркуляцию магнитной индукции, которая по
определению равна криволинейному интегралу второго рода от вектора B
вдоль заданного контура. Поскольку магнитное поле является вихревым (не
потенциальным), циркуляция вектора B , в отличие от циркуляции вектора
напряженности электрического поля, вообще говоря, не равна нулю. В этом
легко убедиться на примере поля, создаваемого прямолинейным
проводником с током. Согласно закону Био-Савара-Лапласа, линии индукции
такого поля представляют собой концентрические окружности с центром на
проводнике. Поскольку во всех точках, находящихся на удалении r от
проводника,
B
0 I
,
2r
для вычисления циркуляции в качестве контура интегрирования
целесообразно использовать одну из линий индукции. В таком случае
0 I
 Bdl  2r  B  2r  2r   I ,
0
L
т.е. циркуляция вектора B численно равна произведению магнитной
постоянной на силу тока, охватываемого контуром интегрирования. Можно
5
строго показать, что этот результат справедлив для проводника с током
произвольной формы, причем контур интегрирования также может быть
произвольным.
Следует помнить, что циркуляция вектора – величина алгебраическая.
Пусть теперь контур интегрирования охватывает несколько проводников с
токами. Согласно принципу суперпозиции, B   Bi (здесь Bi – вектор
i
индукции поля, создаваемого i -ым проводником). Поэтому
 Bdl    B dl    B dl    I
i
L
L
i
i
i
0
i
.
i
L
Следовательно, циркуляция вектора индукции результирующего поля
численно равна произведению магнитной постоянной и алгебраической
суммы токов внутри контура интегрирования. Необходимо отметить, что это
справедливо для магнитного поля в вакууме в отсутствие переменных
электрических полей.
8.5. Магнитное поле соленоида и тороида
В качестве иллюстрации применения теоремы о циркуляции вектора B
найдем индукцию магнитного поля внутри соленоида – провода, плотно
навитого на длинный цилиндрический каркас, изготовленный из
диэлектрика. Из закона Био-Савара-Лапласа и соображений симметрии
следует, что магнитное поле внутри соленоида, длина которого значительно
больше диаметра каркаса, однородно; линии индукции направлены вдоль
оси, при этом направление вектора B связано с направлением тока правилом
правого винта.
Вначале выберем контур интегрирования L ' прямоугольной формы
вне соленоида. Поскольку этот контур не охватывает токов,  Bdl  0  B  0 ,
L
т.е. магнитное поле вне соленоида отсутствует. Далее найдем циркуляцию
вектора B вдоль контура L (рис. 8.3). Поскольку вне соленоида B  0 , и
проекция этого вектора на направление участков 1-2 и 3-4 контура
интегрирования также равна нулю, при выбранном направлении тока и
2
3
L
1
4
l
Рис. 8.3
обхода контура (по часовой стрелке) имеем:
 Bdl  Bl . Контур
L
охватывает
L
N витков провода, в каждом из которых течет ток силой I . Поэтому
6
Bl   0 NI  B 
 0 NI
.
l
Если участь, что N  nl (здесь n – количество витков на единицу длины
соленоида), то B  0 nI .
Тороидом называется провод, плотно навитый на диэлектрический
каркас, имеющий форму пустотелого кольца (рис. 8.4). Легко показать, что
индукция поля вне тороида равна нулю. Линии индукции внутри обмотки
представляют собой концентрические окружности, центры которых
расположены в центре каркаса. Поскольку вектор B в каждой точке линии
B
r
Рис. 8.4
индукции одинаков по модулю и направлен по касательной, в качестве
контура интегрирования при вычислении циркуляции целесообразно выбрать
одну из таких линий радиуса r . В этом случае  Bdl  2rB . Контур
L
интегрирования охватывает суммарный ток силой NI ; поэтому
2rB   0 NI  B 
 0 NI
.
2r
Поскольку N  2Rn (здесь n – количество витков на единицу длины
обмотки),
R
B   0 nI   .
r
8.6. Контур с током в магнитном поле
Предположим, в магнитном поле находится контур с током
произвольной формы. Согласно закону Ампера на каждый элемент контура
dl действует сила dF  I  dl , B  . Сила, приложенная ко всему проводнику,
выражается интегралом:
F  I   dl , B  .
L
Если магнитное поле однородно,


F  I   dl , B  . Поскольку
L

 dl  0 , сила
L
также равна нулю.
7
Таким образом, сила, действующая на контур с током в однородном
магнитном поле, равна нулю. Далее найдем момент сил, приложенных к
контуру. Вначале рассмотрим плоский прямоугольный контур в однородном
поле (рис. 8.5) При выбранном направлении линий индукции и тока на
сторону 1-2 контура действует сила, ориентированная в плоскость рисунка,
модуль которой F1  aIB . На сторону 3-4 действует такая же по модулю сила
F2 , направленная противоположно силе F1 . Обе силы
I
2
3
B
F1
 F
2
a
b
1
4
M
Рис. 8.5
образуют пару с плечом b и моментом M , по модулю равным abIB  IBs
(здесь s – площадь контура). Понятно, что на рис. 8.5 вектор M направлен
вниз вдоль оси вращения. Поскольку Is  Pm (модуль магнитного момента
контура), M  Pm B . В соответствии с правилом правого винта вектор Pm
направлен в плоскость рисунка 8.5, т.е. он образует с линиями индукции
угол 900. Несложно убедиться в том, что в более общем случае, когда этот
угол равен  , M  Pm B sin  . Учитывая взаимную ориентацию векторов
Pm , B и M , имеем: M   Pm , B  . Можно показать, что это равенство
справедливо для плоских контуров произвольной формы.
Предположим, под действием внешней силы угол  между
единичным вектором нормали контура и линией индукции увеличивается на
d . При этом внешняя сила совершает работу dA  Md  , которая приводит к
увеличению потенциальной энергии контура: dW  Pm B sin d  . В результате
W   Pm B cos   C . Полагая, что при B  0
интегрирования имеем:
потенциальная энергия контура также равна нулю, находим, что C  0 .
Поэтому W    Pm , B  . Если   0 , потенциальная энергия минимальна и
равна  Pm B (это соответствует положению устойчивого равновесия контура).
Если же   1800 , потенциальная энергия имеет максимальное значение Pm B ,
что характерно для положения неустойчивого равновесия.
Далее рассмотрим плоский круговой контур в неоднородном
осесимметричном поле (ось симметрии совпадает с осью OX ). Сила Ампера,
действующая на элемент контура dl , перпендикулярна линии индукции и
выбранному элементу. На рис. 8.6 видно, что эта сила имеет горизонтальную
8
составляющую, которая стремится втянуть контур в область более сильного
поля. Если изменить направление тока, горизонтальная составляющая будет
выталкивать контур в область более слабого поля. Используя соотношение
dF
dl
B
O
X
Pm
Рис. 8.6
F  W , можно найти проекцию на ось OX силы, действующей на контур:
FX  
dW
dB
, FX  Pm
cos  .
dx
dx
Если, например, dB / dx  0 и   0 (вектор магнитного момента направлен
вдоль оси), Fx  0 , т.е. контур втягивается в область более сильного поля.
Если же dB / dx  0 , но   1800 , Fx  0 , контур выталкивается в область более
слабого поля.
8.7. Работа силы Ампера при перемещении проводника с током
Как уже отмечалось, на каждый элемент dl проводника с током в
магнитном поле действует сила
dF  I  dl , B  .
(8.8)
Работа, совершаемая силой Ампера при перемещении элемента dl
проводника в стационарном магнитном поле, A   dF , dr  ,
где dr – вектор элементарного перемещения. В результате замены (8.8) в
последнем равенстве имеем: A  I dl , B  , dr  I B, dl , dr  . На рис. 8.7 видно,




 dl , dr   ds , где ds численно равно площади поверхности,


«прочерченной» вектором dl при перемещении dr . Поэтому
что


A  I B, ds , A  Id  (здесь d – поток магнитной индукции через
9
поверхность ds ). Если сила тока в проводнике поддерживается постоянной,
то работа сил Ампера при его перемещении из положения 1 в положение 2
A12  I  , где  – поток магнитной индукции через соответствующую
поверхность.
B
dl
dr
Рис. 8.7
Теперь поместим в стационарное магнитное поле замкнутый
проводник с током. При выбранном направлении тока и линий индукции
векторы силы Ампера, действующей на различные элементы участка 1-2-3
контура, образуют тупые углы с вектором перемещения (рис. 8.8). Поэтому
работа магнитной силы при перемещении этого участка контура в указанном
направлении из начального в конечное положение отрицательна:
A123   I ( н   0 ) (здесь  н и  0 – магнитный поток через поверхность,
B
dF
3
dl
4
2
dr
н
dF
0
к
1
Рис. 8.8
прочерченную участком 1-2-3). Сила Ампера, действующая на элементы
участка 3-4-1 контура, образует острые углы с направлением перемещения;
соответствующая работа получается положительной: A341  I ( 0   к ) .
Работа при перемещении всего контура: A  A123  A341 , A  I ( к   н ) .
Эта формула получена для поступательного движения контура в
стационарном магнитном поле, перпендикулярном плоскости контура.
Можно показать, что она справедлива и при произвольном движении
контура, в том числе и при повороте его относительно некоторой оси. Если
же контур движется поступательно в однородном магнитном поле, то работа
магнитных сил равна нулю, поскольку  н   к .
10