Ченцов

УДК 539.37
Е.П. Ченцов, e-mail: chencov.evg@gmail.com
*В.М. Садовский, e-mail: sadov@icm.krasn.ru
Институт вычислительного моделирования СО РАН, г. Красноярск
*Институт вычислительного моделирования СО РАН, г. Красноярск
АНАЛИЗ РЕЗОНАНСНЫХ ЧАСТОТ В БЛОЧНЫХ СРЕДАХ
НА ОСНОВЕ ДИСКРЕТНЫХ МОДЕЛЕЙ
Аннотация. В рамках дискретных и непрерывных моделей исследуются резонансные
процессы в структурно неоднородных материалах со слоистой и блочной микроструктурой.
Вычислены собственные частоты продольного и вращательно–поперечного движения частиц в
линейной моноатомной цепочке, имитирующей слоистую среду, с различными типами
граничных условий. Показано, что при предельном переходе от модели моноатомной цепочки с
упругими связями, учитывающей сопротивление вращению частиц, к модели моментного
континуума выделяется характерная резонансная частота вращательного движения, не
зависящая от длины цепочки.
Ключевые слова: спектральный портрет, упругость, резонанс, дискретная цепочка,
вращательное движение.
Общая постановка. Процесс распространения упругих волн бесконечно малой
амплитуды в дискретных механических системах можно описать с помощью системы
дифференциальных уравнений
(1)
AU  BU = F ,
где A – симметричная положительно определенная матрица обобщенных масс, U – вектор
обобщенных координат, B – симметричная неотрицательно определенная матрица, F – вектор
внешних сил.
Для системы (1) верно уравнение E = FU , характеризующее изменение полной энергии:
E = (UAU  UBU )/2 . В случае, если вектор внешних сил зависит от времени периодически с
частотой  ( F = Fˆe it ) , то периодическим будет и вектор обобщенных координат U = Uˆe it ,
при этом ( B   2 A)Uˆ = Fˆ . Исключением являются только резонансные частоты, для которых
нарушается условие периодичности U . Квадраты частот  2 =  являются корнями
характеристического уравнения det ( B  A) = 0 . Поскольку матрицы A и B симметричные и
знакоопределенные, корни данного уравнения - действительные, а их число с учетом кратности
равно размерности системы (1).
Для нерезонансных частот Uˆ =  R( 2 ) A1 Fˆ , где R( ) = (E  A1B) 1 – резольвента, E –
единичная матрица. Для исследования поведения системы в окрестности собственных частот
используется спектральный портрет матрицы A1B [4]. С помощью спектрального портрета
можно визуально отделить резонансные частоты и отследить изменение вектора Û в их
окрестности.
Исследованы случаи продольных и вращательно-поперечных колебаний. В обоих
случаях рассмотрена линейная дискретная цепочка из n материальных точек массы m,
соединенных между собой пружинами жесткости k. Расстояние между материальными точками
равно h, длина цепочки в целом l = ( n  1) h .
Продольные колебания. В данном случае к массам цепочки в продольном направлении
приложены возмущающие силы P j , в результате которых массы получают перемещения u j ,
зависящие от времени. Схема колебаний цепочки представлена на рис. 1.
Рис. 1. Схема продольных колебаний цепочки
Уравнения движения в форме Лагранжа принимают вид
d L L
m n
k n 1

= Pj ,
T = u 2j ,
 = (u j 1  u j ) 2 .
dt u j u j
2 j =1
2 j =1
Здесь L = T   – функция действия, T – кинетическая энергия,  – потенциальная энергия
цепочки. Данные уравнения приводятся к системе (1), причем матрицы A и B – якобиевы.
Соответствующее характеристическое уравнение решается в явном виде [3]. Для этого строятся
собственные векторы с компонентами Z j 1 = sin ( j   ) , которые выражаются через параметры
 и  . Система уравнений для собственных векторов автоматически выполняется, если
4k

sin 
s
 = sin 2 ,
tg  =
,
= ,
( s = 0,..., n  1).
m
2
cos   1
n
Показано, что при увеличении числа элементов в линейной цепочке резонансные частоты
стремятся к собственным частотам продольных колебаний однородного упругого стержня с
граничными условиями, соответствующими способу закрепления концов цепочки [1,2].
Вращательно–поперечные колебания. Пусть на элементы цепочки действуют
поперечные силы Q j и вращательные моменты R j , в результате чего элементы поворачиваются
на малые углы  j и получают в поперечном направлении малые перемещения u j . Схема
колебаний цепочки представлена на рис. 2.
Рис. 2. Схема вращательно-поперечных колебаний цепочки
Граничные условия представим в виде
u1  u0 = 0,
u n1  u n = 0,
1   0 = 0,
 n1   n = 0
(2)
после введения в цепочку двух дополнительных элементов с индексами j = 0 и j = n  1 .
Уравнения Лагранжа принимают следующий вид:
mu j = a
J j = a
u j 1  u j 1
2h
u j 1  2u j  u j 1
h
a
2
a
 j 1  2 j   j 1
4
 j 1   j 1
2h
b
 Qj ,
 j 1  2 j   j 1
h2
(3)
 Rj.
Уравнения (3) также можно представить в виде системы (1) с симметричными и
знакоопределенными матрицами. Подстановка в однородные уравнения выражений
1
1
s
u j = uˆ eit sin ( j  ) ,
 j = ˆ eit cos( j  ) ,
=
,
( s = 1,2,..., n)
2
2
n 1
которые автоматически удовлетворяют граничным условиям, приводит к системе линейных
уравнений для амплитуд û и ̂ . Условие равенства нулю определителя системы,
представляющее собой условие существования нетривиальных решений, позволяет получить
биквадратное уравнение для определения собственных частот цепочки:
ab


Ja  mb 2 
mJ 4  C 2  16 4 sin 4 = 0,
C = ma cos2  4
sin .
h
2
2
h2
2
Отсюда
(4)
C D

Ja  mb 2
( Ja  mb) 2
4
2 =
,
D = (ma) 2 cos4  2ma


16
.
sin
sin
2mJ
2
h2
h4
2
Собственные частоты при естественных ограничениях на параметры цепочки всегда
действительные и различные для разных s. Если номер s зафиксировать, то при заданной длине
цепочки l существуют конечные пределы
4
1
 2s2
2
2
= ,
= 2 ,
lim 2 sin
lim 2 sin  =  ,
h 0 h
h 0 h
2
l
а с помощью этих пределов коэффициенты формулы (4) для квадрата частоты бесконечной
цепочки упрощаются. Устремляя теперь l   , то есть   0 , можно установить, что
0 = a/J . Это единственная собственная частота в бесконечной цепочке бесконечной длины,
которая связана с вращательным движением элементов. Других резонансных частот нет.
На рис. 3 изображен матричный портрет для дискретной цепочки из 9 элементов. По
размеру пятен на этом рисунке можно судить о том, что при приближении к частоте 0
амплитуды колебаний нарастают примерно в такой же степени, как и при приближении к
остальным резонансным частотам.
Уравнения (3) в пределе для бесконечной цепочки длины l переходят в одномерные
дифференциальные уравнения континуума Коссера:
(5)
0u = a0 (u xx   x )  q( x, t ),
J 0 = a0 (u x   )  b0 xx  r ( x, t )
с граничными условиями u (0) = u (l ) = 0,  x (0) =  x (l ) = 0. Коэффициенты уравнений
пересчитываются через механические параметры дискретной модели из соображений
сохранения полной массы и суммарного момента инерции, а собственные частоты континуума
вычисляются по формулам, которые могут быть получены предельным переходом в формулах
для частот собственных колебаний конечной цепочки. Резонансные свойства континуума
Коссера на основе моделей пространственного напряженно-деформированного состояния
изучались в монографии [5]. Было установлено, что в моментной среде существует резонансная
частота, связанная с вращательным движением частиц, не зависящая от размеров области и от
типа граничных условий на ее границе.
Рис. 3. Спектральный портрет матрицы, n = 9
Таким образом, показано, что при поперечных и вращательных колебаниях дискретной
цепочки возникает система резонансных частот, зависящих от числа элементов и длины
цепочки. Наряду с ней существует единственная резонансная частота вращательного движения,
которая определяется только значениями механических параметров модели.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 14-01-00130).
Список литературы
1. Биргер, И.А. Сопротивление материалов / А. Биргер, Р.Р. Мавлютов. – М.: Наука, Гл. ред.
ФИЗМАТЛИТ, 1986. – 560 с.
2. Биргер, И.А. Прочность. Устойчивость. Колебания. Справочник в 3 томах / И.А. Биргер, Я.Г.
Пановко. – Т. 3 – М.: Машиностроение, 1968. – 567 с.
3. Воеводин, В.В. Матрицы и вычисления / В.В. Воеводин, Ю.А. Кузнецов. – М.:
ФИЗМАТЛИТ, 1984. – 320 с.
4. Годунов, С.К. Современные аспекты линейной алгебры / С.К. Годунов. – Новосибирск:
Научная книга, 1997. – 284 с.
5. Sadovskaya, O. Mathematical Modeling in Mechanics of Granular Materials / O. Sadovskaya, V.
Sadovskii. – Ser.: Advanced Structured Materials, V. 21 – Springer: Heidelberg – New York –
Dordrecht – London, 2012. – 390 p.