1. Графики функций 1.1 Что такое графики функций

1. Графики функций
1.1 Что такое графики функций
Графиком
прямоугольные
функции
называется
координаты
которых
совокупность
х
и
у
всех
точек
удовлетворяют
на
плоскости,
уравнению
y=f(x).
Горизонтальную ось Ох называют осью абсцисс, вертикальную ось Оу - осью ординат.
Графическое изображение функции имеет важное значение для её изучения. На графике
функции часто непосредственно видны такие её особенности, которые можно было бы
установить лишь путём длительных вычислений. Если между величинами х и у
существует функциональная связь, то безразлично, какую из этих величин считать
аргументом, а какую - функцией.
1.2 Преобразование графиков функций
1.2.1 Преобразование графика Y=f(x)+k
Рисунок 1. Преобразование графика Y=f(x)+k
Данное преобразование рассмотрим на примере графика функций: у=х²-3. График
данной функции образован от графика функции у=х² параллельным переносом вдоль оси
Оу на 3 единицы вниз. Направление параллельного переноса зависит от знака числа К,
если К>0 , то параллельный перенос вдоль оси Оу на К единиц вверх, а если K<0 , то на К
единиц вниз.
1.2.2 Преобразование графиков Y=af(x)
Рисунок 2. Преобразование графиков Y=af(x)
График функции af(x) получается растяжением графика f(x) вдоль оси Оу в а раз
1
при а>1 и сжатием вдоль этой оси в а раз при 0<a<1
1
Построим два графика функций у=2|x| и у=2|x|.
У=2|x| так как а=2 , то расстояние от оси х должно увеличиться в два раза, а если
1
у=2|x| то расстояние от оси х должно уменьшится в два раза.
Здесь показано преобразование графиков с помощью умножения «х» переменной
на какое-либо число в данном случае я беру у=|x| - это график под номером 1 и умножаю в
этом уравнении х вдвое тогда: у=2|x| тогда он вытягивается вдоль оси у как на чертеже
номер 2, а если у=|x| умножить на ½ , то график будет вытягиваться вдоль оси х как на
графике номер 3. Из этого следует вывод что если функцию умножить на число x>1 то
график будет вытягиваться вдоль оси у, а если 0<x<1, то график будет вытягиваться вдоль
оси х.
1.2.3 Преобразование графиков Y=-f(x)
Рисунок 3. Преобразование графиков Y=-f(x)
График функций Y=-f(x) получается симметричным отображением графика f(x)
относительно оси Ох. Ясно, что при а<0, а≠-1 нужно осуществлять два преобразования:
у=f(x)→у=a1f(x)→у=-а1f(x), где а=-а1
1.2.4. Преобразование графиков Y=f(-x)
Рисунок 4. Преобразование графиков Y=f(-x)
График функций Y=f(-x) получается симметричным отображением графика Y=f(x)
относительно оси Оу. То есть представим что мы только что на оси координат начертили
желтыми красками график y=Sin x и краска еще не высохла, а мы «сгибаем»
координатную плоскость вдоль оси Оу и если мы потом «раскроем» её то увидим, что
график отпечатался так же как чертеже выше. Желтая
нарисованная, а
черная
«отпечатанная».
1.2.5. Преобразование графиков Y=f(x+c)
Рисунок 5 Преобразование графиков Y=f(x+c)
У=f(x+c) – график функции, получившийся параллельным переносом графика f(x)в
отрицательном направлении оси Ох на |c| при с>0и в положительном направлении при с<0
Рассмотрим на примере графика функций у=3|x+2|-1
Чертим первый график:
1)
y=|x|
Чертим второй график:
2)
y=|x+2|
Чертим третий график:
3)
y=3|x+2|
Чертим четвертый график:
4)
y=3|x+2|-1
1.2.6. Все преобразования графиков
Рассмотрим функцию: f(x)=x²+2x+4– квадратичная функция, ветви
вверх т. к.
−𝑏
а=1>0, вершина в точке (х₀; у₀), где Х₀= 2𝑎 , значит
Х₀=-2/2=-1 , тогда
У₀=1-2+4=3, поэтому
(-1;3) – вершина параболы
образованная от графика у=x²
Параллельным переносом вдоль оси Ох на 1 единицу влево и параллельным
переносом вдоль оси у на 3 единицы вверх.
f(x)=x²+2x+4
f(x)=-f(x-1)-3
1)
F(x)=x²
2)
F(x)=-x²
3)
F(x)=-(x-1) ²
4)
F(x)=-(x-1) ²-3
Рисунок 6. Все преобразования графиков
1.2.7. Построение графиков функций, содержащих модули.
Построение графиков, содержащих модули Y=|f(x)|
График функции Y=|f(x)| получается от графика Y=f(x) следующим образом: часть
графика Y=f(x), лежащая над осью Ох сохраняется; часть его, лежащая под осью Ох,
отображается симметрично относительно оси Ох.
У=|-2(x-3)²+4|
Y=-2(x-3)²+4 – квадратичная функция, график – парабола ветви вниз а=-2<0
Образован от у=х² параллельным переносом вдоль оси Ох на 3 единицы вправо и
вдоль оси Оу на 4 единицы вверх. Т.к. уравнение задающее данную функцию содержит
часть графика, лежащая над осью Ох отображается симметрично относительно оси Ох.
См. рис№7.
Рисунок 7. Построение графиков, содержащих модули Y=|f(x)|
Построение графиков, содержащих модули Y=f(|х|)
График функции
Y=f(|х|) получается из графика функции у=f(x) следующим
образом: часть графика где
х>0
у=f(x) сохраняется, и эта же часть симметрично
отражается относительно оси Оу.
Рисунок 8. Построение графиков, содержащих модули Y=f(|х|)
Построение графиков, содержащих модули |Y|=f(x)
Построим: |y|=|2|x|-3|-1
1)
Y=|x|
2)
Y=2|x| – растяжение вдоль оси у в 2 раза
3)
Y=2|x|-3 – сдвиг вниз на 3 по оси Оу
4)
Y=|2|x|-3|
-
симметрия
точек
графика,
для
которых
2|x|<0
относительно оси х
5)
Y=|2|x|-3|-1 – параллельный перенос вдоль оси у на 1 единицу вниз
6)
Y=||2|x|-3|-1| - симметрия точек, для которых |2|x|-3|-1>0 относительно
оси х
(Окончательный результат Рис.№9)
Рисунок 9. Построение графиков содержащих модули |Y|=f(x)
1.2.8. График кусочно-заданных функций
Построим график:
=-х+3
f(x)
=
при x≤-3
=|x²-3|
1
x
при-3≤x≤2,2
при x≥2,2
Рисунок 10. График кусочно-заданных функций
Я взяла не полностью графики функций а только их части например x≤-3, то есть
от -3 и до минус бесконечности и так из каждого графика взяла по куску, а потом их
соединила и получила кусочную функцию.