ЛЕКЦИЯ №2 “Динамика материальной точки”

Любая С.И.
ЛЕКЦИЯ №2
Тема: “Динамика материальной точки”.
Цель лекции: дать представление об основных законах движения.
Раскрыть физический смысл таких величин, как ускорение, импульс, момент
силы.
План лекции.
1. Тангенциальное и нормальное ускорение.
2. Сила и масса. Законы Ньютона. Импульс.
3. Центр масс и уравнение его движения.
4. Закон сохранения импульса для механической системы.
5. Момент силы.
6. Кинетическая энергия. Теорема об изменении кинетической энергии.
1. Тангенциальное и нормальное ускорения.
Пусть за промежуток времени t тело переместилось из точки А в точку В.
В точке А тело имело скорость V1, в точке В – V2. Найдем приращение скорости
V
V  V 2  V 1 .
Так как
(1)
V
 a  – ускорение тела, то
t
dV
 a.
dt
(2)
Разложим вектор ускорения на 2 составляющие: тангенциальную и
нормальную. Первая составляющая направлена по касательной к траектории,
вторая – по нормали.
Численное значение полного ускорения равно
a
а а
2
2
т
n
.
(3)
Тангенциальное ускорение характеризует быстроту изменения скорости
a
т
V dV
.

t  0 t
dt
 lim
(4)
Любая С.И.
Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению
a  VR
2
n
.
(5)
2. Сила и масса. Законы Ньютона. Импульс.
Первый закон Ньютона (закон инерции): всякое тело сохраняет состояние
покоя или равномерного прямолинейного движения, пока воздействие других тел
не выведет его из этого состояния.
Наблюдения показывают, что первый закон Ньютона справедлив не по
отношению к каждой системе отсчета. Например, движущийся вагон: при
повороте нарушается закон Ньютона – покоящиеся при равномерном движении
тела, начинают падать без видимого воздействия на них других тел.
Система отсчета, относительно которой выполняется закон Ньютона,
называется инерциальной.
Второй закон Ньютона: изменение движения пропорционально
приложенной силе и происходит в том направлении, в каком действует сила.
Сила – это физическая величина, характеризующая взаимодействие тел, в
результате оторого тела приобретают ускорения или деформируются
[F]=[Н]=[
кг  м
с
2
].
Но разные тела под влиянием одинаковых сил приобретают разные
ускорения, следовательно, ускорение зависит не только от силы, но и от
собственных свойств тел. Это свойство называется массой.
Масса – это мера инертности тела [m] = [кг].
Инертность – это способность тела приобретать ускорение.
1Н – сила, сообщающая телу массой 1кг ускорение 1м/с2 в направлении
действия силы.
Запишем второй закон Ньютона
F  ma ,
но a 
dV
, следовательно,
dt
F
Подведем m под знак дифференциала
F
(6)
d (mV )
, но
dt
mdV
.
dt
(7)
Любая С.И.
mV  P
(8)
импульс (количество движения).
[Р]=[ кг
м
] направление импульса совпадает с направлением силы.
с
Перепишем второй закон Ньютона F 
dP
;
dt
F dt  d P .
второй закон Ньютона через импульс
(9)
Третий закон Ньютона дополняет содержание второго и подчеркивает, что
воздействие сил, изменяющих их состояния, носит характер взаимодействия.
Формулировка: действие всегда равно и противоположно
противодействию, то есть действия двух тел друг на друга равны по величине и
противоположны по направлению
F
1
 F 2 .
(10)
3. Центр масс и уравнение его движения.
Движение твердого тела можно охарактеризовать двумя видами:
поступательным и вращательным (из них состоит любое сложное движение).
При поступательном движении тела все его точки двигаются с
одинаковыми скоростями и ускорениями. Если мысленно разбить тело на
элементами с массами mi, то по второму закону Ньютона получим
 mi ai 
где
f
i
 Fi ,
(11)
fi – внутренняя сила (сила взаимодействия элементов тела);
Fi – внешняя сила, действующая на каждый элемент.
По третьему закону Ньютона сумма вех внутренних сил равна 0, поэтому,
суммируя выражения, получим
m a   F
i
или
i
M a  F ,
где
F   F i – векторная сумма всех внешних сил;
F – главный вектор внешних сил.
(12)
(13)
Любая С.И.
Следовательно, рассмотрение поступательного движения твердого тела
можно заменить рассмотрением движения одной материальной точки с массой,
равной массе тела, и находящейся под действием силы, равной главному вектору
внешних сил.
При сложном движении тела все его точки имеют разные скорости и
ускорения. Разобьем тело на столь малые элементы, что их скорости и ускорения
остаются постоянными
 mi ai  f  F i .
i
Суммируем это равенство
fi = 0
m a   F
i
i
i
F
(14)
главный вектор внешних сил
Однако ускорения всех элементов тела разные, поэтому введем ускорение ас,
определяемое равенством
a
где
с

m a
i
M
i
,
(15)
М – масса всего тела.
Умножим левую и правую часть равенства на М, используя F   mi ai ,
получим
(16)
M  ac  F ,
где
ас – ускорение некоторой точки С, координаты которой
X
c

 X m ;
i
M
i
Y
c

Y  m ;
i
M
i
Z
c

Z m
i
M
i
,
(17)
где С – центр масс тела или центр инерции (совпадает с центром приложения
равнодействующей сил тяже).
4. Закон сохранения импульса для механической системы.
Изолированной системой называется группа тел, взаимодействующих друг
с другом и не взаимодействующих ни с какими иными телами.
Представим себе механическую изолированную систему, состоящую из n
тел, например, упругие шары, беспорядочно движущиеся в некоторой части
пространства благодаря взаимным столкновениям.
Любая С.И.
Сталкиваясь друг с другом, тела изменяют свой импульс. Рассматривая
взаимодействие тел в течение промежутка времени t, запишем
F
F
F
1
 t  m1V 1  m1V 1 ,
2
 t  m2V 2  m2V 2 ,
i
 t  miV i  miV i ,
`
`
(18)
`
где
Fi – результирующая всех сил, действующих на тело;
mi – масса каждого тела;
Vi и Vi – скорости в начале и в конце движения в течение заданного
промежутка времени.
Складывая эти равенства почленно, получаем
n
n
i 1
i 1
n
 F it   miV i   miV i .
`
(19)
i 1
Так как система изолированная, внешние силы на нее не действуют. По
третьему закону Ньютона каждой силе соответствует равная по модулю
противодействующая сила, следовательно, при сложении эти силы взаимно
уничтожаются и левая часть равна 0, тогда
n
m V
i
i 1
`
i
n
  miV i .
(20)
i 1
Это означает, что сумма импульсов всех тел не изменяется с течением времени
mV  m V
1
1
2
2
   mnV n  const .
(21)
Закон сохранения импульса: в изолированной системе сумма импульсов всех
тел есть величина постоянная.
Закон применим не только к механическим, но и ко всяким изолированным
системам. Находит широкое отражение в природе и технике (откат орудия при
стрельбе, “непрерывная отдача” в реактивном двигателе, в природе: реактивное
движение используется кальмарами, спрутами, медузами за счет отдачи воды,
выбрасываемой из особых полостей тела; центральный удар двух неупругих
шаров).
5. Момент силы.
Любая С.И.
Момент силы – это физическая величина, характеризующая вращательное
действие силы.
Пусть дано твердое тело, имеющее неподвижную ось вращения.
Под действием силы F тело начнет вращаться
M  Fd ,
где
(22)
d – плечо силы F.
Момент силы равен произведению силы на плечо [М] = [Нм].
Плечо – кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы.
Чем больше плечо, тем меньше сила.
6. Кинетическая энергия. Теорема об изменении кинетической энергии.
Энергия – это скалярная физическая величина, являющаяся единой мерой
различных форм движения материи и перехода движения материи из одних форм
в другие.
Кинетическая энергия – это энергия механического движения системы.
Пусть на покоящееся тело массой m действует сила F, создающая
перемещение dS по некоторой траектории и совершающая работу dA
dA  FdS cos .
(23)
Эта работа приводит к изменению состояния тела. По второму закону
Ньютона
F m
dV
, тогда получим
dt
dA  m
dV
dS cos  ,
dt
(24)
отсюда видно, что
dS ` dS cos – перемещение, которое произошло в
направлении скорости. Тогда
dA  mdV
так как
dS `
,
dt
(25)
dS `
 V , то
dt
dA  mdVdV ,
(26)
интегрируем выражение
A
так как
mV
2
2
C ,
при V=0, А=0, то и С=0, получим
(27)
Любая С.И.
A
mV
2
.
2
(28)
Поскольку механическое состояние системы характеризуется скоростью, то
величину, равную
E
к

mV
2
(29)
2
тоже можно рассматривать как величину, характеризующую это состояние.
Следовательно, совершение работы А над телом приводит к изменению
некоторой величины Ек, характеризующей состояние тела, которая получила
название кинетической энергии
E
к

mV
2
2
, тогда
2
A   Eк 
Eк  Eк
1

2
mV 1
2
2

mV 2
2
.
(30)
Работа равна изменению кинетической энергии тела
A   Eк
(31)
теорема об изменении кинетической энергии тела
При выводе формулы Ек предполагалось, что движение рассматривалось в
инерциальной системе отсчета (иначе нельзя было бы использовать второй закон
Ньютона). В разных инерциальных системах V и Eк будут зависеть от системы
отсчета.