ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ТАЙНЫ КОРИОЛИСОВОЙ СИЛЫ Канарёв Ф.М. kanarevfm@mail.ru Анонс. Кориолисово ускорение и кориолисова сила инерции – самые сложные для понимания физические характеристики точки при её сложном движении. Представляем анализ кинематического и меходинамического процессов формирования указанных характеристик. 1. Кинематика сложного движения материальной точки Во многих задачах механики целесообразно, а иногда и необходимо рассматривать движение точки сразу относительно двух систем отсчета, одна из которых X 0Y0 Z 0 неподвижна, а вторая XYZ движется относительно первой определенным образом (рис. 1) [1]. Рис. 1. К описанию сложного движения точки М при поступательном переносном движении подвижной системы отсчета Движение точки М по отношению к подвижным осям координат XYZ называется относительным, траектория этого движения - относительной траекторией, скорость V r относительной скоростью, и ускорение a r - относительным ускорением. Движение, совершаемое подвижной системой отсчета XYZ и неизменно связанной с ней точкой М по отношению к неподвижной системе X 0Y0 Z 0 является для точки М переносным движением. Скорость точки М , неизменно связанной с подвижными осями XYZ , называется переносной скоростью V e , а ускорение - переносным ускорением a e . Движение, совершаемое точкой М по отношению к неподвижной системе отсчета, называется абсолютным движением, скорость - абсолютной скоростью V , а ускорение абсолютным ускорением a . Рассмотрим вначале самый простой случай, когда подвижная система отсчета XYZ движется поступательно (рис. 1). Движение подвижной системы отсчета считается переносным движением, данном случае - поступательным переносным движением [1]. 2 Теорема сложения скоростей при поступательном переносном движении подвижной системы отсчета Теорема: При поступательном переносном движении абсолютная скорость V точки М равна геометрической сумме переносной V e и относительной V r скоростей [1]. V V e V r (1) Из векторного треугольника O0 OM на рис. 1 для радиуса – вектора точки М относительно неподвижной системы отсчёта имеем ra re rr . (2) Разложим вектор r r на составляющие по осям, имеем r a r e xi y j z k . (3) Так как оси XYZ параллельны осям X 0Y0 Z 0 то, дифференцируя составляющие этого уравнения, характеризующие поступательное движение, по времени, имеем [1] d r a d r e dx dy dz i j k. dt dt dt dt dt (4) В этой формуле: dra V ; dt dre Ve; dt dx dy dz i j k V r. dt dt dt Подставляя результаты в уравнение (4), получим V V e V r (1). Теорема доказана. Теорема сложения ускорений при поступательном переносном движении подвижной системы отсчета Теорема: При поступательном переносном движении подвижной системы отсчета абсолютное ускорение a точки М равно геометрической сумме переносного a e и относительного a r ускорений [1]. (5) a ae ar . Дифференцируя уравнение (4) второй раз, имеем d 2 ra d 2 re d 2x d2y d 2z i j k. dt 2 dt 2 dt 2 dt 2 dt 2 В этой формуле: d 2ra a ; dt 2 d 2re ae ; dt 2 d 2x d2y d 2z i j k ar . dt 2 dt 2 dt 2 (6) 3 Подставляя результаты дифференцирования в исходное уравнение (4), имеем a a e a r (5). Теорема доказана. Теорема сложения скоростей при непоступательном переносном движении подвижной сиситемы отсчета Теорема: при непоступательном переносном движении абсолютная скорость V точки М равна геометрической сумме переносной V e и относительной V r скоростей V V e V r . Из векторного треугольника O0 OM (рис. 2) имеем [1] ra re rr . (7) Так как переносное движение непоступательное, то единичные векторы i, j , k также переменные величины [1]. r a r e xi y j z k . (8) Рис. 2. К описанию сложного движения точки М при непоступательном переносном движении подвижной системы отсчета Обратим внимание на уравнение (8). Оно представляет собой сложную функцию с независимыми переменными r e , x, y, z, i, j , k которые являются функциями времени t . Поэтому при дифференцировании уравнения (8) необходимо определять частные производные. Однако, чтобы упростить процедуру дифференцирования, будем считать функцию r a суммой переменных, зависимых от t и будем определять не частные, а обычные производные [1]. После дифференцирования уравнения (8) с учетом того факта, что в этом случае i, j , k - величины также переменные, имеем dra dre di dj d k dx dy dz x y z i j k. dt dt dt dt dt dt dt dt (9) В этой формуле dra V -абсолютная скорость. dt (10) 4 Переносную скорость V e движения подвижной системы отсчета определят: производная, фиксирующая движение начала О подвижной системы отсчета. Это производные от орт i, j , k , фиксирующие вращение этой системы в пространстве Ve dre di dj dk . x y z dt dt dt dt (11) Производные по времени от координат x, y, z подвижной системы отсчета дают относительную скорость V r . dx dy dz i j k V r. dt dt dt (12) После подстановки полученных данных в исходное уравнение (8), имеем V V e V r теорема доказана [1]. Теорема сложения ускорений при непоступательном переносном движении подвижной системы отсчета Теорема: При непоступательном переносном движении подвижной системы отсчета абсолютное ускорение a точки М равно геометрической сумме переносного a e , относительного a r и кориолисова a k ускорений a ae ar ak . (13) Учитывая, что x, y, z и i, j , k - величины в этом случае переменные, и дифференцируя уравнение (9) по времени второй раз последовательно: вначале переменные r e , i, j , k , которые характеризуют переносное движение в каждом слагаемом, а затем - переменные x, y, z , которые характеризуют относительное движение, имеем d 2ra d 2re d 2i d2 j d2k x y z dt 2 dt 2 dt 2 dt 2 dt 2 dx d i dy d j dz d k dx d i dy d j dz d k dt dt dt dt dt dt dt dt dt dt dt dt d 2x d2y d 2z 2 i 2 j 2 k. dt dt dt (14) В этой формуле: d 2ra ; dt 2 (15) d 2 re d 2i d2 j d2k x y z; dt 2 dt 2 dt 2 dt 2 (16) a ae ar d 2x d2y d 2z i j k; dt 2 dt 2 dt 2 (17) 5 dx d i dy d j dz d k . a k 2 dt dt dt dt dt dt (18) Подставляя результаты дифференцирования в исходное уравнение (14), окончательно получим (19) a ae ar ak . Здесь: a k - ускорение, установленное французским профессором механиком Кориолисом и названное в его честь кориолисовым ускорением. Придерживаясь принципа последовательности, видим, что в выражении dx d i dy d j dz d k a k 2 dt dt dt dt dt dt (20) для наблюдателя, находящегося в неподвижной системе отсчета X 0Y0 Z 0 , важны в первую очередь те составляющие, которые характеризуют переносную часть движения. Это составляющие: di d j d k (21) , , . dt dt dt В них заложен механический смысл, соответствующий вращению подвижной системы отсчета XYZ в пространстве. Следовательно, эти составляющие мы можем заменить вектором угловой переносной скорости e , с которой вращается подвижная система отсчета. Составляющие же dx dy dz , , , (22) dt dt dt соответствуют вектору относительной скорости V r точки М . Учитывая это и опуская преобразования в скобке выражения (20), можем записать его так a k 2( e V r ). (23) Это и есть кориолисово ускорение. Оно характеризует одновременное изменение направления вектора переносной угловой скорости e (ввиду того, что орты i, j , k , входящие в выражение (20), переменны по направлению), а также изменение модуля и направления вектора относительной скорости V r точки М . Обратим внимание на то, что в процессе вывода (14-22) формулы кориолисова ускорения (23) физический смысл появления множителя 2 в формуле (23) остался в тумане – не до конца понятным [1]. 2. Определение модуля и направления кориолисова ускорения a k 2( e V r ). (24) Известно, что модуль векторного произведения двух векторов равен a k 2eVr sin( e V r ). (25) 6 Если ( e V r ) то a k 2eVr sin . (26) Для определения направления вектора кориолисова ускорения a k надо спроектировать вектор V r относительной скорости точки М на плоскость, перпендикулярную вектору e (оси переносного вращения), и полученную проекцию повернуть в сторону этого вращения на 90 0 . Полученное таким образом направление совпадает с направлением вектора a k (рис. 2, 3 и 4). Если точка М движется в плоскости, перпендикулярной оси переносного вращения (вектору e , то sin sin 90 0 1 и формула (26) становится такой (27) ak 2eVr . Рис. 3. К определению направления вектора кориолисова ускорения при движении точки в пространстве Кориолисово ускорение обращается в нуль, если: 1. e - переносное движение поступательно или когда в данный момент e 0. 2. Vr 0 - относительная скорость в данный момент равна нулю. 3. Когда 0 или 180 0 , то есть когда вектор V r параллелен вектору e . А теперь рассмотрим фазы движения материальной точки вдоль горизонтально вращающегося стержня и покажем, что при совпадении вектров V e и a k кориолисово ускорение выполняет функции ускорения, а когда эти векторы противоположны, то оно выполняет функции замедления b k (рис. 4). Вариации возможных сочетаний направления вектров переносной V e и относительной скоростей V r материальной точки, движущейся вдоль вращающегося стержня, представлены на рис. 4. Рис. 4. Примеры определения направления векторов a k и b k для точки М 7 3. Механодинамика сложного движения материальной точки Итак, из кинематики известно (13), что в общем случае абсолютное ускорение точки равно (рис. 5) [1] a ae ar ak , (28) где a e , a r , a k - переносное, относительное и кориолисово ускорения точки M соответственно (рис. 5). Рис. 5. Схема сил, действующих на ползун М Однако, надо иметь в виду, что кинематическое уравнение (28) получено без учета массы точки и сил, действующих на неё, поэтому при рассмотрении механодинамики сложного движения точки, это уравнение (28) становится неполным, так как не учитывает замедления, генерируемые силами инерции [2]. С учетом изложенного необходимо к ускорениям, действующим на точку при её сложном движении, добавить замедления движения точки, которые будут формироваться силами инерции. Замедления b , также как и ускорения a , - величины векторные. Переносное ускорение a e будет формировать переносную силу инерции F ie , которая будет замедлять движение точки в её переносном движении. Обозначим это замедление так bie . Относительное ускорение a r будет формировать относительную силу инерции F ir . Она тоже будет замедлять относительное движение точки. Обозначим это замедление символом bir . Так как кориолисова сила F имеет инерциальную природу, то она тоже формиik рует замедление b ik , направление которого совпадает с направлением вектора кориолисовой силы. Из этого следует ошибочность существовавшего до этого представления о том, что кориолисова сила инерции F равна произведению массы точки на кориолисово ik ускорение a k и направлена противоположно этому ускорению. Из изложенного следует, что кориолисово ускорение a k и кориолисово замедление b ik направлены в противоположные стороны. Кроме перечисленных сил, на точку в сложном движении действуют другие силы сопротивления, которые также формируют замедление её движению. Обозначим резуль- 8 тирующую этих сил так F C , а результирующее замедление, формируемое другими силами сопротивления, через bC . Тогда уравнение ускорений и замедлений, действующих на материальную точку в её сложном движении, в общем виде запишется так [2] a a e bie a r bir bik bc . (29) Обратим внимание на то, что в правой части этой формулы все ускорения и замедления поставлены со знаками плюс (+). Эта условность обусловлена сложностью определения направлений относительных и переносных ускорений и замедлений в общем случае. Знаки у этих составляющих появляются лишь в их проекциях на оси координат и мы увидим их в последующих формулах. Уравнение сил, действующих на материальную точку в её сложном движении, принимает вид (30) ma ma e mbie ma r mbir mbik mbc . Из этого следует F F e F ie F r F ir F ik F c . (31) Тогда общее уравнение механодинамики движения материальной точки относительно подвижной системы отсчёта становится таким (рис. 5) F r m a r F ir F e F ie F ik F c (32) Итак, общие уравнения сил, действующих на материальную точку при её сложном (31) и относительном (32) движениях, составлены. Учитывая, что проекции относительного ускорения a r точки на подвижные оси координат равны: a rx d 2x ; dt 2 d 2z dt 2 (33) Firx Fex Feix Fikx Fcx ; (34) Firy Fey Feiy Fiky Fcy ; (35) Firz Fez Feiz Fikz Fcz ; (36) ary d2y ; dt 2 arz и проектируя векторное уравнение (32) на эти оси, имеем: m m d 2x dt 2 d2y dt 2 m d 2z dt 2 Это дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки в координатной форме. Следующий этап – использование этого уравнения для частных случаев относительного движения материальной точки. Таких случаев может быть несколько, но мы не будет составлять уравнения для каждого из них, а лишь перечислим эти случаи (рис. 5). 1-ускоренные переносное и относительное движения точки; 2-ускоренное переносное и равномерное относительное движение точки; 3-ускоренное переносное и замедленное относительное движение материальной точки; 9 4-равномерное переносное движение и ускоренное относительное движение материальной точки; 5-равномерное переносное и равномерное относительное движение материальной точки; 6-рвномерное переносное и замедленное относительное движение материальной точки; 7-замедленное переносное движение и ускоренное относительное движение материальной точки; 8-замедленное переносное и равномерное относительное движение материальной точки; 9-замедленное переносное и замедленное относительное движение материальной точки. Кроме этого подвижная система отсчёта может двигаться поступательно или криволинейно. Каждый из указанных случаев описывается отдельным уравнением (рис. 5): 1- подвижная система XOY движется поступательно. В этом случае a 0 и k F 0 , поэтому в общем виде имеем ik F r m a r F ir F e F er F c (37) 2 - подвижная система XOY движется поступательно, прямолинейно и равномерно. В этом случае: a e 0 и F e 0 , поэтому F r m a r F ir F c (38) 3) если точка под действием приложенных к ней сил находится в покое относительно подвижной системы отсчета, то уравнение сил, действующих на точку относительно неподвижной (абсолютной) системы отсчёта запишется так F F e F ie F c 0 . (39) Составим уравнения сил, действующих на ползун, движущийся по вращающемуся стержню в горизонтальной плоскости так, как показано на схеме (рис. 5). Прежде чем приступать к схематическому показу сил, действующих на ползун (рис. 5), обратим внимание на связь между вращательным (переносным) движением и линейным (относительным) движением ползуна вдоль стержня. Совокупность этих движений значительно отличается от перемещения, например, пассажира вдоль движущегося трамвая. Пассажир может менять свою относительную скорость Vr произвольно, а ползун лишён такой возможности. Его переносная Ve и относительная Vr скорости также связаны друг с другом. Такая же связь и у сил, действующих на ползун. Поэтому, составляя схему сил, действующих на ползун, обязательно надо учитывать указанную взаимосвязь между его переносным и относительным движениями (рис. 5) [2]. С учётом изложенного, тщательный анализ процесса движения ползуна (рис. 5) показывает, что на него действуют следующие силы: переносная сила F e , вектор которой направлен по нормали к стержню в сторону движения и равен нормальной реакции N стержня на ползун; сила трения F T направлена противоположно движению ползуна относительно стержня и связана с нормальной реакцией N через угол трения T и коэффициент трения FT fN . Результирующая сила R T силы трения F T и нормальной реакции N образуют угол трения T (рис. 5) [2]. Известно, что ползун начнёт ускоренное движение вдоль стержня (вдоль оси OX ) лишь тогда, когда вектор результирующей силы R T отклонится от нормали N на угол немного больший угла трения T в сторону относительного движения ползуна. Превышение угла отклонения результирующей R T от угла трения T (рис. 5) настолько незначи- 10 тельно, что отклонение результирующей R T от нормали N в момент начала ускоренного движения ползуна можно принимать равным углу трения T . Направление абсолютного ускорения a , совпадает с направлением вектора результирующей силы R T . Далее, надо учесть существование предельно большой величины силы трения F T соответствующей коэффициенту трения f , который связан с углом трения зависимостью f tgT . При ускоренной фазе вращения стержня с угловым ускорением e результирующая сила достигнет предельно большой величины, определяемой силой трения. Обозначим её через R T (рис. 5). Но как только ползун начнёт движение вдоль стержня, увеличение силы трения F T прекратится, но увеличение результирующей силы, которую мы обозначили символом R T , продолжится за счёт продолжающегося увеличения переносного и относительного ускорений, поэтому результирующую силу, независящую от силы трения, обозначим символом R (рис. 5). Её проекция Fr на ось ОХ является активной относительной силой, формирующей относительное ускорение ar . А теперь обратим внимание на две причины ускоренного движения ползуна. Первая обусловлена увеличением угловой скорости e от нуля до постоянной величины e const , вторая – увеличением радиуса, равного переменной координате x . Так как в этом случае две переменные e и x , то математическая модель для определения полного относительного ускорения имеет вид ar dVr d (e x ) de dx x e e x eVr . dt dt dt dt (41) Таким образом, из формулы (41) следует, что при ускоренном вращении стержня полное относительное ускорение ползуна состоит из двух составляющих ar a1r a2r . Первая составляющая a1r e x - генерируется переменной угловой скоростью e , а вторая a2r eVr - переменной угловой скоростью и переменной относительной скоростью. Обратим внимание на то, что вторая составляющая a2r eVr равна половине так называемого кориолисова ускорения ( ak 2eVr ). При постоянной угловой скорости e const полное относительное ускорение ar также увеличивается по мере удаления ползуна от центра вращения (О) за счёт увеличения радиуса вращения, то есть - координаты x . Действие стержня на ползун передаётся через нормальную реакцию N стержня, которая равна активной переносной силе F e . Кроме этого, переменная величина F e формирует переносную силу инерции, направленную противоположно. Это – кориолисова сила инерции F ik (рис. 5). Так как любая сила инерции формирует замедление движения тела, совпадающее с направлением самой силы инерции, то кориолисова сила инерции также формирует замедление b переносного k движения ползуна, которое совпадает по направлению с вектором кориолисовой силы F ik инерции (рис. 5). Так как кориолисову силу инерции формирует только активная переносная сила F e и не формирует реакция связи N , то модуль кориолисова замедления равен половине модуля полного относительного ускорения (41). bk eVr . (42) 11 Обратим внимание на то, что математическая модель бывшего кориолисова ускорения записывается так (43) a 2eVr . k Это в два раза больше замедления (42). Возникает законный вопрос: какая из математических моделей (42) или (43) точнее отражает реальность? Чтобы получить ответ на этот вопрос надо вернуться к принципу причинности, согласно которому сила первична, а ускорение вторично. Поэтому надо составить уравнения сил, действующих на ползун, и из этих уравнений должен следовать ответ на поставленный вопрос. При ускоренном движении материальных точек и тел сила инерции F ir направлена противоположно движению и формирует относительное замедление b r этого движения. Поскольку в соответствии с главным принципом механодинамики в каждый данный момент времени сумма активных сил, сил сопротивления движению и сил инерции, действующих на ползун, равна нулю, то векторное уравнение сил в этом сложном движении ползуна имеет вид R R i F T 0 ma mb f N 0 . (44) Проектируя силы, приложенные к ползуну, на оси ОХ и ОУ, имеем: Fx Fr Fir FT 0 mar mbr fmeVr ; (45) Fy Fe N Fik 0 meVr meVr mbk . (46) Преобразуем уравнение (46) таким образом Fy Fe N Fik 0 meVr meVr mbk . 2meVr mbk . (47) Итак, сумма проекций сил на ось ОУ (47), действующих на ползун, состоит из двух составляющих. Первая составляющая 2meVr равна сумме переносной активной силы Fe , действующей на ползун в переносном движении, и равной ей нормальной реакции N стержня на ползун. Это две силы, приложенные к ползуну в переносном движении. Обращаем внимание на то, что суммарное переносное ускорение, генерируемое этими силами, равно 2eVr , что полностью совпадает с давно используемым кориолисовым ускорением (43). Далее, направление вектора суммы 2eVr ускорений, генерируемых переносной активной силой Fe и нормальной реакцией N стержня на ползун, совпадает с давно принятым направлением вектора, так называемого, кориолисова ускорения (43). Напомним, что в данном случае направление вектора бывшего кориолисова ускорения (43) определяется поворотом вектора относительной скорости V r в сторону вращения (рис. 4). Давно условились силы инерции направлять противоположно ускорениям. На рис. 5 кориолисова сила инерции F направлена противоположно нормальной реакции N , а ik значит и противоположно ускорению 2eVr , которое фактически не является кориолисовым ускорением. Это сумма ускорений, формируемых силами Fe и N . Она не имеет никакого отношения к кориолисовой силе инерции, которая формирует не ускорение 12 движения ползуна, а его замедление b , вектор которого совпадает с направлением коk риолисовой силы инерции F (рис. 5). ik Таким образом, мы оказались в противоречивой ситуации. С одной стороны суммарное ускорение 2eVr генерируется активной силой Fe и реакцией связи N , приложенными к ползуну и направленными в сторону его переносного движения, а с другой стороны - сумма этих ускорений 2eVr давно названа кориолисовым ускорением, яко бы принадлежащим кориолисовой силе инерции, которая по своей природе генерирует не ускорение, а замедление материальных точек и тел при их ускоренном движении. Из этого следует, что направление действия кориолисовой силы инерции определяется правильно (рис. 5), но модуль его вычисляется неправильно. Произведение массы m ползуна на ускорение его движения 2eVr равно не кориолисовой силе инерции F (рис. 5), а сумik марной силе ( Fe N ), действующей на ползун в переносном движении. Модуль кориолисовой силы инерции F , замедляющей переносное движение ползуна, равен произвеik дению массы m ползуна на замедление b , генерируемое кориолисовой силой инерции k F mb meVr , направленной противоположно переносному движению ползуна ik k (рис. 5). Конечно, в изложенном выше трудно понимать причину сложения активной переносной силы Fe и реакции связи N . Но без этого не появляется двойка в выражении (43) бывшего кориолисова ускорения. Однако, если представить, что ползун удаляется от центра на удлиняющейся гибкой нити, вращающейся относительно центра, то в такой схеме будет отсутствовать реакция N стержня на ползун и останется одна активная переносная сила Fe . Этот пример позволяет считать, что при движении ползуна по жёсткому стержню на него действуют в переносном движении две силы ( Fe N ). В этом случае численная величина бывшего кориолисова ускорения (43) остаётся прежней. Если же убрать силу N , то численная величина бывшего кориолисова ускорения будет в два раза меньше. Этот факт подтверждается величиной второй составляющей полного относительного ускорения (41). А теперь возвратимся к анализу кинематических уравнений (1-20) и увидим, как в аналитическом выводе бывшего кориолисова ускорения (23) и (24) прояснился физический смысл множителя 2 [2]. Это стало возможным только благодаря новым законам механодинамики [2]. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Новый тщательный анализ кинематического процесса вывода математической модели бывшего кориолисова ускорения показывает, что в рамках новых законов механодинамики это полное переносное ускорение, формируемое переносной активной силой и переносной реакцией связи точки с подвижной системой отсчёта. Оно не имеет никакого отношения к кориолисовому ускорению, так как кориолисова сила инерции, направление вектора которой определялось правильно, формирует не ускорение, а замедление, направленное противоположно бывшему кориолисовому ускорению и имеющего модуль в два раза меньший модуля бывшего кориолисова ускорения. Источники информации 1. Канарёв Ф.М. Новая кинематика. http://www.micro-world.su/index.php/2012-02-28-12-12-13/734-2012-11-19-16-26-39 2. Канарёв Ф.М. Новая механодинамика. http://www.micro-world.su/index.php/2012-02-28-12-12-13/739-2012-11-24-06-28-03