ТМ_термин

Термин по теоретической механике
I. Кинематика.
1. Закон движения, траектория, скорость и ускорения точки.
Скорость и ускорение точки в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат
(стр. 176-182). Проекции ускорения на оси естественного трехгранника (стр. 78-80).
Пусть x1 , x2 , x3 - независимые координаты, однозначно связанные с компонентами законом
преобразования r1  r1 ( x1 , x2 , x3 ), r2  r2 ( x1 , x2 , x3 ), r3  r3 ( x1 , x2 , x3 ) .
Величины x1 , x2 , x3 называются криволинейными координатами точки, таким образом, закон движения
r (t ) однозначно задается функциями xi (t ), i  1,3
Цилиндрические координаты:
r1   cos , r2   sin  , r3  r3
    ,   ,3  r3
w     ( )2 , w  2  
Сферические координаты:
r1   cos cos , r2   cos sin  , r3   sin 
   ,  ,   cos
Ускорение: w 
d (t ) d 2 r (t )

 v  r
dt
dt
Ускорение точки:
Запишем скорость точки через v   , где  - единичный вектор касательной к траектории, s – длина
дуги траектории, тогда ускорение можно записать следующим образом: w 
d
d
 2
.
dt
ds
 

d 
Пусть
 , где  - единичный вектор, называемый главной нормалью к траектории,  - радиус
ds 
 
кривизны в данной точке траектории. Плоскость векторов  и  называется соприкасающейся,
     
     ,  , , - естественные оси




d
2

Тогда запишем ускорение через w  w  w  w  , w   
, где w , w , w - проекции
, w 
dt




ускорения на естественные оси, но w  0 , тогда w  w  w
2
 d    
Модуль ускорения -   
   
 dt    
2
2
Закон движения твердого тела:
Для определения закона движения твердого тела достаточно задать законы движения трех его точек, не
лежащих на одной прямой
Закон произвольного движения твердого тела есть аффинное линейное преобразование вида

 

r (t )  A(t ) x  r (t ) , где x - постоянный вектор, A(t ) - ортогональный линейный оператор, зависящий от

времени, r (t ) - радиус-вектор фиксированного в теле полюса.
2. Способы задания движения твердого тела.
Группа SO(3).

 
Движение конкретной твердой точки - r (t )  A(t ) x  r (t )


Рассмотрим свойства первого преобразования: r (t )  A(t ) x - оно состоит в применении ортогонального
оператора А к векторному пространству R 3 . Множество таких операторов образуют относительно их
композиции группу O(3).
OS(3) – подгруппа ортогональных операторов в O(3) с определителем равным 1.
Теорема Эйлера о конечном повороте. Угловые координаты (углы Эйлера, углы Брайнта),
Пусть в пространстве E 3 выбран ОНБ e1 , e2 , e3 (правоориентированный). Рассмотрим движение твердого
тела, определенное оператором A  SO(3) : Ax 
3
3
i 1
i 1
 xi Aei  { Aei  ei( k )}  xiei( k ) . Таким образом
оператор А осуществляет преобразование от базиса пространства к базису, связанному с твердым телом.
Предположим, что оператор А представляет композицию операторов.
Пусть A  A(1)  A( 2)  A(3) , где матрицы соотв. операторов имеют вид:
 cos

A(1)   sin 
 0

 sin 
0
0
0 
1
 cos   sin  0 
 ( 2) 
 ( 3) 

cos 0 , A   0 cos  sin  , A   sin  cos  0  , где
 0 sin  cos 
 0
0
1 
0
1 



 - угол прецессии,  - угол нутации,  - угол собственного вращения, а матрица A(1) описывает
поворот вокруг вектора e3 , A( 2) - e1(1) , A(3) - e3( k ) . Углы  ,  ,  называются углами Эйлера
Теорема Эйлера
Существуют углы Эйлера, задающие произвольное положение твердого тела относительно начального
базиса e1 , e2 , e3
Если матрицы соотв. операторов A(1) , A( 2) , A(3) имею вид:

 cos  0 sin  
 cos   sin  0 
 ( 2) 
 ( 3) 

 sin  , A   0
1
0 , A   sin  cos  0  , где
 sin  0 cos  
 0
cos  
0
1 



описывает поворот вокруг вектора e1 , A( 2) - e2( 2) , A(3) - e3( k ) . Углы  ,  , 
0
1

A   0 cos 
 0 sin 

(1)
матрица A(1)
0
называются кардановыми углами (углами Брайнта)
Теорема
Существуют кардановы углы, задающие произвольное положение твердого тела относительно начального
базиса e1 , e2 , e3
Параметры Эйлера
Пусть радиус-векторы x и r имеют начало координат в неподвижной точке О. Построим преобразование
x r
Теорема
Преобразование вращения абсолютно твердого тела вокруг оси с направляющим вектором e на угол 


2
2
выражается формулой r  x  2q0 (  x)  2(  (  x)) , где скаляр q0  cos( ) и вектор   e sin(
Разложим вектор  по базисным векторам неподвижного репера Oe1e2e3 :   q1e1  q2e2  q3e3
Скалярные величины q0 , q1 , q2 , q3 называются параметрами Эйлера
Очевидно, что параметры Эйлера удовлетворяют условию: q02  q12  q22  q32  1 , они существуют для
любого оператора A SO(3)
Кватернионы. Изоморфизм характеристик углового движения твердого тела (стр. 81-112).
Множество кватернионов – пространство Н линейных комбинаций вида h  a  bi  cj  dk , где
a, b, c, d - действительные числа, а i, j , k - некоторые ЛНЗ символы. В пространстве Н вводится
билинейное умножение: i  j   j  i  k ; k  j  k  j  i; k  i  i  k  j; i 2  j 2  k 2  1
Кватернионы, у которых b  c  d  0 , коммутируют со всеми остальными кватернионами.
Каждому кватерниону h сопоставляется унитарная матрица
 a  bi c  di 
  aE  b 1  c 2  d 3 , где i – мнимая единица.
Q(h)  
  c  di a  bi 
Также выполняется свойство: Q(h1  h2 )  Q(h1 )  Q(h2 ) , где h1 ,h2 - кватернионы
Сопряженный кватернион (к кватерниону h) - h  a  bi  cj  dk
)
Для кватернионов h1 ,h2 справедливы следующие равенства: (h1  h2 )  h1  h2 ; (h1  h2 )  h1  h2
Норма кватерниона - | h |2  h  h  a 2  b2  c 2  d 2  det Q(h)  0
Для кватернионов h1 ,h2 справедливы следующие равенства: | h1  h2 || h1 || h2 | . Если | h | 0 , то
h 1 
h
, h  h1  1, h1  h  1
| h |2
Пусть H1 - множество кватернионов с нормой, равной 1, если h H1 , то h 1  h . Очевидно, что H1 группа по умножению. H1 изоморфна на SU ( 2) .
Q(h)  aE  b1  c 2  d 3 , q1  a, q2  b, q3  c, q4  d
Пусть H 0 - трехмерное пространство кватернионов x, для которых x   x . Метрика в этом пространстве
задается формулой: | x |2   x 2 . H 0 - изоморфно евклидовому пространству E 3
Теорема: Если | h | 1 , то преобразование x  z , задаваемое формулой z  h  x  h  h  x  h 1 , есть
вращение трехмерного евклидова пространства.
Коэффициенты кватерниона из H1 , задающего преобразование x  z , называются параметрами
Родрига - Гамильтона
Формулы Эйлера для поля скоростей (стр. 120-125) и Ривальса для поля ускорений (стр. 130-141).
Пусть S – ортонормированный репер e1, e2 , e3 с началом в точке O , который движется как твердое тело
относительно репера S0 ортонормированных векторов e1e2e3 с началом в полюсе O . Рассмотрим
движение некоторой точки М.
Движение точки М по отношению к реперу S0 называется абсолютным движением (траектория в этом
репере – абсолютная траектория).
Движение точки М по отношению к реперу S называется относительным движением (траектория в этом
репере – относительная траектория).
Движение репера S – переносное движение.
Скорость  a движения точки по абсолютной траектории – абсолютная скорость.
Скорость  r движения точки по отношению к неподвижному реперу S – относительная скорость.
В каждый конкретный момент времени t точка М совпадает с некоторой точкой M  пространства, жестко
связанного с репером S.
Скорость точки M  - переносная скорость  e точки М.
Теорема (о сложении скоростей): Абсолютная скорость точки равна векторной сумме ее переносной и
относительной скоростей:  a   e   r , где  a - вектор абсолютной скорости,  e - вектор переносной
скорости,  r - вектор относительной скорости.
Теорема (случай нескольких реперов): Допустим, что точка М совершает движение в репере S1, который
движется относительно репера S2. Репер S2 движется в репере S3 и т.д. Наконец репер Sk совершает
движение относительно репера S0. Тогда абсолютная скорость точки М выражается формулой
k
 a   r   i , где  r - скорость М относительно репера S, а  i - скорость относительно Si+1 той
i 1
точки репера Si, которая в данный момент совпадает с точкой М.
Поле скоростей твердого тела:
При поступательном движении векторы скоростей всех точек тела равны между собой. За скорость
поступательного движения принимают скорость любой точки тела.
Вращением твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое движение, при котором две точки
тела неподвижно закреплены на этой оси.
Величина скорости точки М при движении по окружности есть   R
скорость тела, R – расстояние от точки до оси вращения.
d
d
, где выражение
- угловая
dt
dt
Введем скользящий вектор:
Выберем в пространстве A3 опорную точку O , некоторую точку А. Зададим действительное число
(параметр)  и сопоставим ему точки A , B (точки A, A , B лежат на одной прямой). Тогда
OA  OA  u, OB  OA  (  1)u . Когда  принимает произвольные действительные значения,
получается множество векторов A B , которые принадлежат одному классу эквивалентности и
называются скользящим вектором. Прямая, определенная уравнением OA  OA  u называется
основанием.
Формула Эйлера:
Пусть  - скользящий вектор, основание которого совпадает с осью вращения. Полюс O расположим на
оси вращения, пусть r - радиус-вектор некоторой точки твердого тела. Тогда скорость твердого тела
может быть вычислена по формуле:     r
Поле скоростей:
Поле скоростей называется поступательным, если векторы скоростей всех точек тела совпадают.
Поле скоростей называется вращательным, если существует скользящий вектор  (вектор угловой
~
~
скорости) такой, что скорость v любой точки тела дается по формуле v    r , где r - радиус-вектор
рассматриваемой точки, имеющей начало на основании вектора  , одинакового для всех точек
тела.
Теорема Эйлера о поле скоростей твердого тела: В любой момент времени произвольного движения
твердого тела его поле скоростей может быть представлено как сумма поступательного и вращательного
~
~
поля скоростей: v  v0    r , где v0 - скорость, одинаковая во всех точках тела, r - радиус-вектор точки
тела, имеющий начало в полюсе O репера S , связанного с телом,  - скользящий вектор с основанием,
проходящим через точку O
Следствие: Проекции скоростей концов отрезка твердого тела на направление самого отрезка совпадают.
Теорема: Тройка (1 , 2 , 3 ) элементов угловой скорости образует скользящий псевдовектор  ( 
изменяет направление при изменении ориентированного базиса)
Дифференциал оператора и дифференциал вращения:

 

Любой закон движения твердого тела - r (t )  A(t ) x  r (t ) , где x - постоянный вектор, A(t )  SO(3) ,

r (t ) - радиус-вектор фиксированного в теле полюса.
Движение, при котором все точки твердого тела получают одинаковое смещение в пространстве,
называется поступательным.
Теорема: Поступательное движение реализуется тогда и только тогда, когда A – порожденный оператор.
Следствие: Произвольное движение твердого тела есть композиция вращения вокруг некоторой оси и
поступательного движения.
Теорема: Всякое перемещение твердого тела можно представить либо как результат поступательного
движения, либо как результат виннового движения, т.е. такого, при котором поступательный сдвиг
осуществляется вдоль оси вращения, определенной оператором A. Если проекция точки r  на ось
вращения отсутствует, то найдется точка твердого тела такая, что движение сводится к повороту вокруг
оси, проходящей через эту точку.
Пусть A SO(3) - дифференцируемая функция некоторого скалярного параметра  : A  A( ) , причем
A(0)  E - тождественному оператору. Изменяя  , получим различные повороты вокруг различных
в общем случае с.в. оператора A( ) , зависящих от параметра  . Выделим линейную часть матрицы
оператора A: A  E    ...
Матрица dA   определяет линейный оператор, который называется дифференциалом
оператора A.
Теорема: Дифференциалу dA оператора A SO(3) отвечает кососимметричная матрица.
Теорема: Дифференциал композиции операторов выражается суммой дифференциалов составляющих
операторов: d ( A1  A2 )  dA1  dA2 .
Следствие: d ( A1  A2 )  d ( A2  A1 )
Когда величина  , задающая дифференциалы dA  d ( A1  A2 )  , dA1  1 , dA2   2 мала, то с
точностью до членов второго порядка малости действие операторов A  A2  A1, A2 , A1 - можно
представить с помощью векторных умножений:
r  Ax  x    x, r1  A1x  x  1  x, r2  A2 x  x  2  x
Векторы r    x,r1  1  x,r2  2  x - дифференциалы вращений.
Справедливо равенство:   1  2 - это означает, что дифференциалы вращений образуют линейное
пространство относительно композиции преобразований r  r1  r2
Величина смещения: | r || x ||  | sin  , где  - угол между x и  .
Псевдовекторы и псевдоскаляр:

 
Любой закон движения твердого тела - r (t )  A(t ) x  r (t ) , A(t )  SO(3) , в репере e1 , e2 , e3 с началом в
полюсе O . Выберем другой ортонормированный репер k1 , k2 , k3 с тем же началом и с постоянной
матрицей направляющих косинусов B  (bij ) : В базисе k1 , k2 , k3 матрица угловой скорости примет вид
e1
k1 k2 k 3
b11 b12 b13
e2
e3
b21 b22 b23
b31 b32 b33
,   BT (
dA T
A )B
dt
Если:
1) det B  1. Тогда зеркальные отображения осей координат отсутствуют и, если исходный базис e1 , e2 , e3
был правоориентированным, то и базис k1 , k2 , k3 окажется правоориетированным. В новом базисе
компоненты матрицы угловой скорости получаются путем проектирования  на новые базисные
векторы.
1) det B  1 .Тогда имеется зеркальное отображение одной из осей координат.
При переходе от правоориентированного базиса к левоориентированному помимо применения правила
преобразования векторов требуется еще поменять ее знак на противоположный.
Объекты, обладающие таким свойством, называются псевдовекторами.
Скалярное произведение псевдовектора на вектор – псевдоскаляр.
Поле скоростей:
Движение называется плоскопараллельным, если скорости всех точек твердого тела в любой момент
времени параллельны некоторой неподвижной оси.
Теорема: Поле плоскопараллельного движения может быть поступательным, либо вращательным с осью,
перпендикулярной плоскости движения
Теорема: Плоскопараллельное поступательное поле скоростей есть предельный случай вращательного
поля, когда угловая скорость стремится к нулю, а ось вращения уходит в бесконечность.
P.S. Плоскопараллельное поле скоростей всегда можно привести к вращательному полю.
Аксоид:
Множество положений, которые последовательно занимает винтовая ось в неподвижном пространстве,
связанного с неподвижным репером, называется неподвижным аксоидом.
Множество положений, которые последовательно занимает винтовая ось в движущемся теле, называется
подвижным аксоидом.
Аксоиды в плоскопараллельном движении представляют собой цилиндрические поверхности,
образующие которых перпендикулярны плоскости движения. Аксоиды пересекаются с плоскостью
движения по двум кривым, называемыми подвижной и неподвижной центроидами.
Тока пересечения основания угловой скорости вращательного поля скоростей с плоскостью движения
называется мгновенным центром скоростей (мгновенным центром вращения).
Поле скоростей тела с одной неподвижной точкой
3. Поле скоростей свободного твердого тела.
Аксоиды. Мгновенный центр скоростей и центроиды (стр. 128-133).
4. Сложное движение.
Теоремы сложения скоростей (стр. 118-120) и ускорений (стр. 139-140). Ускорение точки в системе
координат, связанной с вращающейся Землей (стр. 141-145). Сложное движение твердого тела. Сложение
произвольной системы угловых скоростей (стр. 25-44, 125-128). Кинематические уравнения (уравнения
Пуассона, уравнения Эйлера, кинематические уравнения для кватернионов) (стр. 133-139).
II. Динамика системы.
1. Теория связей.
Классификация связей (стр. 305-307). Понятие первого интеграла системы уравнения движения. Критерий первого
интеграла (стр. 174-176).
2. Локальные вариационные принципы механики.
Реакции связей и виртуальные перемещения для систем с произвольными связями (стр. 332-338). Условия схода с
неудерживающей связи. Идеальные связи (стр. 338-343). Принцип Даламбера-Лагранжа (стр. 378-380). Принцип
Гаусса (стр. 418-420). Квазикоординаты. Уравнения Аппеля (стр. 421-428). Уравнения Лагранжа второго рода.
Разрешимость уравнений Лагранжа относительно старших производных. Обобщенный интеграл энергии Якоби.
Гироскопические и диссипативные силы. Циклические координаты и циклические интегралы. Метод Рауса
игнорирования цилиндрических координат (стр. 523-525, 539-559, 564-566). Приведение позиционной линейной
системы к главным координатам (стр. 572-576).
3. Общие теоремы механики системы.
3.1 Статика.
Принцип виртуальных перемещений (стр. 343-345). Условия равновесия для систем с потенциальными силами.
Принцип Торричелли (стр. 345-346). Основные теоремы статики (стр. 349-350). Условия равновесия голономных
систем (стр. 350-352). Условия равновесия твердого тела. Эквивалентность систем сил, действующих на твердое
тело. Принцип отвердевания (стр. 352-355). Приведение системы сил к точке. Приведение сил тяжести к центру масс
тела. Уравнения геометрической статики (стр. 25-44). Уравнение равновесия нити. Аналогия формы равновесия нити
и траектории движения материальной точки (стр. 364-373).
3.2 Динамика.
Понятие о внутренних и внешних силах. Теоремы об изменении количества движения. Интегралы количества
движения. Теоремы об изменении кинетического момента. Интегралы кинетического момента. Теорема об
изменении кинетической энергии. Интеграл энергии (стр. 381-392). Теоремы Кенинга о вычислении кинетического
момента, кинетической энергии и энергии ускорений системы материальных точек (стр. 397-400). Теоремы об
изменении количества движения и кинетического момента систем переменного состава. Уравнение Мещерского
(стр. 404-414). Общее уравнение теории удара. Удар о связь. Теоремы об изменении количества движения и
кинетического момента при ударе (стр. 432-436).
4. Динамика твердого тела.
Количество движения, кинетический момент и кинетическая энергия твёрдого тела (стр. 443-448). Тензор и
эллипсоид инерции. Главные оси инерции (стр. 45-50). Уравнения движения свободного твердого тела. Вращение
твердого тела вокруг неподвижной оси, определение реакций, условия отсутствия реакций при нулевых активных
силах. Физический маятник, приведенная длина центра качания, зависимость периода малых колебаний от
расстояния между точкой подвеса и центром масс маятника (стр. 448-462). Твердое тело с неподвижной точкой:
уравнения Эйлера-Пуассона и их первые интегралы. Волчок Эйлера: геометрическая интерпретация Пуансо, картина
полодий, устойчивость вращения относительно главных осей инерции, регулярная прецессия. Волчок Лагранжа:
качественное исследование движения, регулярная прецессия, спящий волчок, псевдорегулярная прецессия (стр. 464489).
Пусть  - скользящий псевдовектор. Основание  проходит через точку, определенную радиусвектором r  и любая точка прямой r  r   , где  - произвольный скаляр
(1 , 2 , 3 )