x

Олимпиада им. И.В.Савельева, 2015, Математика, 9 класс
Задание
1. При каких x выражение x 2 (3x  2)2  2 x(3x  2)  3 принимает минимальное значение?
2. Арифметическая прогрессия an имеет разность d a  3 , арифметическая прогрессия bn имеет
разность db  4 и b1  3 . Доказать, что последовательность cn  abn также арифметическая прогрессия.
Найти ее разность и наибольшее значение суммы n ее членов, если a1  36 .
3. Четырехзначное число делится на 9, а сумма его цифр тысяч и сотен равна сумме цифр десятков и
единиц. Сколько существует чисел, удовлетворяющих этим условиям? Найти минимальное такое
число.
4. При каких значениях a справедливо неравенство
x1 x2 14

 , где x1 и x2 - действительные
x2 x1 9
корни уравнения 4 x 2  4a  2x  7a  4  0 ?
5. Точка M расположена на стороне AD прямоугольника ABCD так, что в четырехугольник BCDM
можно вписать окружность. Найти отношение площади четырехугольника BCDM к площади
прямоугольника, если отношение длин сторон прямоугольника равно 2 .
Решения
1. Введем новую переменную t  3 x 2  2 x . Тогда выражение
x 2 (3x  2)2  2 x(3x  2)  3 можно
переписать в виде t 2  2t  3 . Квадратный трехчлен t 2  2t  3 принимает минимальное значение в
вершине t  1, т.е. 3 x 2  2 x  1. Решая это квадратное уравнение, находим x  1 и x  1/ 3 .
2. Запишем cn  abn  a1  3(bn  1)  a1  3  3(3  4(n  1))  a1  6  12(n  1).
Таким образом,
cn  арифметическая прогрессия с первым членом c1  a1  6  30 и разностью
dc  12 . Вычислим c2  30  12  18, c3  18  12  6, c4  6  12  6. Так как c4  0, то сумма n ее
членов максимальна при n  3 и равна 30 18  6  54.
3. Пусть x, y, z и u - цифры такого числа, x  1. Тогда по условию x  y  z  u  9k , k  1, 2,3, 4 и
x  y  z  u , поэтому 2( x  y )  9k , т.е. x  y делится на 9, а k  четное число, которое может
принимать одно из двух значений 2 или 4.
Случай 1
k  2 . Тогда x  y  9 и z  u  9 . Вариантов выбора ( x, y ) , удовлетворяющих первому
условию и x  1всего 9 , вариантов выбора ( z, u ) , удовлетворяющих второму условию – 10. Таким
образом, в случае 1 имеется 90 чисел удовлетворяющих условию задачи. Наименьшее среди них 1809.
Случай 2. k  4 . Тогда x  y  18  x  9, y  9 и z  u  18  z  9, u  9 . В этом случае только одно
число 9999. Всего получаем 91 чисел.
4. Сначала найдем значения параметра a , при которых уравнения 4 x 2  4a  2x  7a  4  0 имеет
действительные корни: D / 4  4(a  2)2  4(7a  4)  4a(a  3)  0  a   ;0  3;   .
Преобразуем левую часть рассматриваемого неравенства
x1 x2 x12  x22  x1  x2   2 x1 x2 4  a  2 
 


 2.
x2 x1
x1 x2
x1 x2
7a  4
2
Мы воспользовались теоремой Виета: x1 x2 
2
7a  4
, x1  x2    a  2 . В результате неравенство
4
4  a  2
14
принимает вид
 2  . Решим его методом интервалов
7a  4
9
2
4  a  2
4  a  2  32
14
9a 2  20a  4
(a  2)(9a  2)
2 

0
0
 0.
7a  4
9
7a  4
9
7a  4
7a  4
2
Отсюда
2
a   4 / 7;2 / 9   2;   .
находим
С
учетом
условия
существования
корней
a   ;0  3;   , получим окончательный ответ a   4 / 7;0  3;   .
5. Пусть AD − большая сторона. Обозначим длину стороны AB через b , тогда длина a стороны
AD равна 2b . По условию задачи точка M расположена на стороне AD прямоугольника ABCD так,
что в четырехугольник BCDM можно вписать окружность (см. рис).
Обозначим AM  x , тогда BM  b  a  (a  x)  BM  2a  b  x . Рассмотрим
ABM :
b 2  x 2    2a  b   x    2a  b   2(2a  b) x  x 2  2(2a  b) x   2a  b   b 2  x 
2
2
2
2(a  b)  a
.
2a  b
С учетом a  2b , находим x 
Площадь прямоугольника
S BCDM 
4b
3b
, MD  a  x  .
3
3
S ABCD
равна
ab  2b 2 .
Вычислим площадь трапеции
2b
2
2
4b 2
2
3  b  8b  4b . Тогда S
 .
BCDM : S ABCD 
2
2
6
3
3  2b
3
a
Как видно из рисунка, случай, когда AD − меньшая сторона, невозможен.
BCDM :