2.Векторы. Прямая на плоскости.

2. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И
АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
2.1. Векторы. Основные понятия
Величины, которые полностью определяются своим
численным значением, называются скалярными. Например,
площадь, длина, работа, масса.
Величины, которые определяются не только своим
числовым значением, но и направлением, называются
векторными. Например, сила, ускорение.
Определение. Вектор – это направленный прямолинейный
отрезок, то есть отрезок, имеющий определенную длину и
определенное направление. Если точка А – начало вектора, а
точка В – его конец, то вектор обозначается символом AB или a.
Определение. Вектор BA (у него начало в точке В, а конец в
точке А) называется противоположным вектору AB . Вектор,
противоположный вектору a обозначается  a .
Определение. Расстояние между началом и концом вектора
называется его длиной или модулем и обозначается AB .
Определение. Вектор, длина которого равна нулю,
называется нулевым вектором и обозначается 0 . Нулевой вектор
не имеет определенного направления.
Определение. Вектор, длина которого равна единице,
называется единичным вектором и обозначается e . Единичный
вектор, направление которого совпадает с направлением вектора
a , называется ортом (орт) вектора a и обозначается a 0 .
Определение. Векторы a и b называются коллинеарными,
если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых,
обозначается коллинеарность a b .
62
Коллинеарные векторы могут быть сонаправлены ( a  b ) и
противоположно направлены ( a  b ).
a b, c d , n f , кроме того a  b , c  d , n  f .
Определение. Два вектора называются равными, если они
коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые
длины.
B
C
D
A
AB  DC , CB  AD.
Определение. Три вектора в пространстве называются
компланарными, если они лежат в одной плоскости или в
параллельных плоскостях.
2.2. Линейные операции над векторами
Линейными операциями над векторами называют операции
сложения, вычитания векторов и умножение вектора на число.
63
Определение. Пусть a и b - два произвольных вектора.
Возьмем произвольную точку О и построим вектор OA  a . От
точки А отложим вектор AB  b . Вектор OB , соединяющий
начало первого вектора с концом второго, называется суммой
векторов a и b : OB  a  b .
A
B
O
Это правило
треугольника.
сложения
векторов
называют
правилом
B
A
Таким образом, правило треугольника можно применять для
любого конечного числа складываемых векторов.
Сумму двух векторов можно построить и по правилу
параллелограмма.
O
O
b
Определение. Разностью векторов a
вектор c  a  b такой, что b  c  a .
64
и b
называется
O
b
Таким образом, если на векторах
a и b , отложенных из
общей точки О, построить параллелограмм ОАСВ, то вектор OC ,
совпадающий с одной диагональю, равен сумме a  b , а второй
BA , совпадающий с другой диагональю, - разности a  b .
А
С
О
В
Определение. Произведением вектора a на число (скаляр)
называется вектор
  a , который имеет
длину
a,
коллинеарен вектору a , имеет направление вектора a , если
  0 и противоположное направление, если   0 . Например,
1
если дан вектор a , то векторы 2 a и  a будут иметь вид
2
2
Из определения следует: два вектора a и b коллинеарные
тогда и только тогда, когда имеет место равенство b    a :
a b  b   a .
65
Линейные операции над векторами обладают следующими
свойствами:
1) a  b  b  a;
 
2) a  (b  c)  a  b  c;
3) a  0  a; a  (a)  0;


 
4) 1  2  a  1  2  a  2 1  a ;
5) 1  2 a  1 a  2 a;
6)  (a  b)   a  b;
7) 1 a  a; (1)a  a .
Пример 1. Отрезок АВ разделен точками С и D на три
равные части. Точка О не принадлежит отрезку АВ. Векторы
OA  a , OB  b . Выразить через a и b вектор m  3OC  2OD .
Решение. Выполним построения
A
C
D
B
O
AB  b  a; OC  OA  AC.
1
1
AC  AB, AC  AB, AC  (b  a ).
3
3
1
1
1
2
1
OC  a  (b  a), OC  a  b  a, OC  a  b,
3
3
3
3
3
3OC  2a  b.
OD  OB  BD; BD  AB , BD  
66
1
1
AB , BD   (b  a ),
3
3
1
1
1
2
1
OD  b  (b  a ), OD  b  b  a, OD  b  a,
3
3
3
3
3
4
2
2OD  b  a.
3
3
m  2a  b 
4a  b
4
2
4
1
b  a, m  a  b , m 
.
3
3
3
3
3
Пример 2. В параллелограмме ABCD OA  a , OB  b, где
О точка пересечения диагоналей. Выразить через a и b вектор
m  AB  2 AD  3CD  5BC.
Решение. Выполним построения
В
С
О
А
D
AB  AO  OB.
AO  OA,
AB  b  a.
AD  AO  OD ,
AO  a.
противоположные,
т.к.
AO  a.
Векторы
OB OD ,
AB  a  b
OB
OB  OD
и
(по
OD
или
-
свойству
диагоналей параллелограмма), OB  OD , тогда OD  OB ,
OD  b.
AD  a  b.
BC  AD, BC  a  b.
m  b  a  2(a  b)  3(a  b)  5(a  b),
m  b  a  2a  2b  3a  3b  5a  5b, m  7b  a.
2.3. Проекция вектора на ось
Пусть в пространстве задана ось l, то есть направленная
прямая.
Определение. Проекцией точки М на ось l называется
основание M 1 перпендикуляра MM 1 , опущенного из точки М на
ось.
67
M
Определение. Пусть a  0,
l
b  0 . Углом между двумя
ненулевыми векторами a и b называется наименьший угол
 (0     ) , на который надо повернуть один из векторов до его
совпадения со вторым. Векторы a и b необходимо привести к
общему началу О.
О
Определение. Углом между вектором
a
и осью l
называется угол между векторами a и l 0 - единичный вектор
(орт) оси l.
l
Пусть AB - произвольный вектор ( AB  0 ). Обозначим
через A1 и B1 проекции на ось l соответственно начала А и конца
В вектора AB . Вектор A1 B 1 называется составляющей вектора
AB по оси l и обозначается A1 B1  состl AB .
68
B
A
O
l
Определение. Проекцией вектора AB на ось l называется
положительное число A1 B1 , если вектор A1 B 1 и ось l
сонаправлены, отрицательное число  A1 B1 , если вектор A1 B 1 и
ось l противоположно направлены и 0, если AB  l .
Проекция вектора AB на ось l обозначается прl AB .
Основные свойства проекций:
1. Проекция вектора a на ось l равна произведению модуля
вектора a на косинус угла  между вектором и осью, то есть
прl a  a  cos  .
(31)
Следствие 1. Проекция вектора на ось положительна, если
вектор образует с осью острый угол, отрицательна, если этот угол
– тупой, и равна нулю, если этот угол – прямой.
Следствие 2. Проекции равных векторов на одну и ту же ось
равны между собой.
2. Проекция суммы нескольких векторов на одну и ту же ось
равна сумме их проекций на эту ось.
(32)
прl (a  b  c)  прl a  прl b  прl c.
3. При умножении вектора a на число  его проекция на
ось также умножается на это число, то есть
(33)
прl ( a)    прl a
Заметем, что проекция вектора на ось l и его составляющая
связаны соотношением
(34)
состl a  прl a  l 0
Пример 3. Вектор a образует с осью l угол   60 , длина
вектора a равна 6. Найти прl a .
69
Решение.
По
a  6,   60  ,
условию
тогда
1
. Для нахождения проекции вектора a на ось
2
1
l воспользуемся формулой (31) прl a  6   3.
2

 
3
Пример 4. Вектор d  a  b, a  3, b  4, a, l  , b, l 
.
4
4
Найти прl d .
Решение. Воспользуемся формулой (32)
прl d  npl a  npl b.
cos   cos 60  
 
 


 
2 3 2
.

2
2


3
2 
прl b  b  cos b, l , прl b  4  cos
 4
 2 2 .


4
 2 
прl a  a  cos a, l , прl a  3  cos
4
 3
 
3 2
2
2 2  
.
2
2
Пример 5. Вектор b  2a . Длина вектора a равна 5. Угол
между вектором a и осью l равен 30  . Найти прl b .
Решение. Воспользуемся формулой (33)
3 5 3

.
прl b  прl 2a  2  прl a. прl a  a cos 30   5 
2
2
5 3
прl b  2 
 5 3.
2
прl d 
 
2.4. Координаты вектора
Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему
координат Oxyz. Выделим на координатных осях Ox, Oy и Oz
единичные векторы i, j, k соответственно.
70
z
M3
M
M2
M1
y
O
N
x
Выберем произвольный вектор a пространства и совместим
его начало с началом координат:
a  OM .
Найдем проекции вектора
a на координатные оси.
Проведем через конец вектора OM плоскости, параллельные
координатным плоскостям. Точки пересечения этих плоскостей с
осями обозначим соответственно через M 1 , M 2 и M 3 .
Получим прямоугольный параллелепипед, одной из
диагоналей которого является вектор OM .
Тогда пр x a  OM 1 , пр y a  OM 2 , пр z a  OM 3 .
По определению суммы нескольких векторов находим
a  OM 1  M 1 N  NM .
Так как M 1 N  OM 2 , NM  OM 3 , то
a  OM1  OM 2  OM 3 .
OM 1  состx a, OM 2  сост y a, OM 3  состz a.
Используя формулу (34), получим
71
(35)
OM 1  пр x a  i  OM 1  i, OM 2  пр y a  j  OM 2  j ,
OM 3  пр z a  k  OM 3  k .
(36)
Обозначим OM 1  a x , OM 2  a y , OM 3  a z .
Тогда из равенств (2.5) и (2.6) получаем
a  a x  i  a y  j  a z  k.
(37)
Формула (37) является основной в векторном исчислении и
называется разложением вектора по ортам координатных осей.
Числа a x , a y , a z называются координатами вектора a , то есть
координаты вектора – это его проекции на соответствующие
координатные оси.
Равенство b  b x ; b y ; b z или b(b x ; b y ; b z ) означает, что


b  b x  i  b y  j  b z  k.
Модуль вектора (длина вектора) равен квадратному корню
из суммы квадратов координат (проекцией) этого вектора
a  a x2  a 2y  a z2 .
(38)
Если вектор a  M 1 M 2 , где M 1 ( x1 , y1 , z1 ), M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) ,
то пр x a  a x  x 2  x1 , пр y a  a y  y 2  y1 , пр z a  a z  z 2  z1 .
Тогда a  x 2  x1  i   y 2  y1  j  z 2  z1  k ,
или
ax 2  x1 ; y 2  y1 ; z 2  z1 
(39)
так выражаются координаты вектора через координаты его
начала и конца.
Из свойств проекций (координаты вектора – это его
проекции на оси координат) следует:
если a(a x ; a y ; a z ), b(b x , b y , b z ),   R , то
1) a  b тогда и только тогда, когда a x  bx , a y  b y , a z  bz ,
т.е. равные векторы имеют соответственно равные координаты;
72

2) a  b  a x  b x ; a y  b y ; a z  b z
 - при сложении векторов
соответствующие координаты складываются, при вычитании –
вычитаются;
3)   a  a x ; a y ; a z - при умножении вектора на число


его координаты умножаются на это число;
4) a b  a   b  a x  b x , a y  b y , a z  b z , то есть
ay
ax
az
 ,
 ,
  или
bx
by
bz
ax a y az
.


bx b y bz
(40)
координаты коллинеарных векторов пропорциональны.
Пусть вектор a образует с осями Ox, Oy, Oz углы  ,  , 
соответственно. По свойству проекции вектора на ось (31), имеем
a x  a  cos  , a y  a  cos  , a z  a  cos  .
Или, что то же самое,
ay
a
a
cos   x , cos  
, cos   z .
a
a
a
(41)
(42)
cos , cos  , cos называются направляющими косинусами
вектора a .
Подставим выражения (41) в равенство (38) получаем
a 
2
2
2
a  cos 2   a  cos 2   a  cos 2  ,
a  a  cos 2   cos 2    cos 2  .
Сократив на a  0 , получим соотношение
cos 2   cos 2    cos 2   1
или
(43)
cos2   cos2   cos2   1,
то есть сумма квадратов направляющих косинусов ненулевого
вектора равна единице.
73
Заметим, что координатами единичного вектора a 0
являются числа cos , cos  , cos , то есть a0 (cosα, cos β, cos γ) .
Пример 6. Известно, что
1
2
, cos  
, cos   0, a  3. Найти координаты
2
2
вектора a .
Решение. Найдем cos  , для этого воспользуемся
равенством (43)
cos  
2
2
 1   2 
 cos 2   1,
  

2
2
  

1 2
1
1
 
 .
4 4
4
2
Используя равенства (39), получаем
cos    1 
ax  3
1 3
2 3 2
3
 1
 , a y  3

, az  3      .
2 2
2
2
2
2


3 3 2 3
Таким образом, вектор a имеет координаты a ;
; .
2 2
2 

Пример 7. Может ли вектор a образовывать с осями
  3
координат углы, равные соответственно ; ;
?
3 6 4
Решение. Воспользуемся равенством (43)
cos 2

3
 cos 2

6
2
 cos 2
2
2
3  1   3  
2 
  
 

4  2   2   2 
1 3 2 6 3
    .
4 4 4 4 2
3
Так как  1 , поэтому вектор a не может образовывать с
2
осями координат указанные углы.

Пример 8. Даны векторы a(2;3;5) и b(1;3;4) . Найти
координаты вектора c  4a  3b .
74
Решение. Найдем координаты векторов 4 a и 3 b :
4a ( 4  2; 4  3; 4  5 ), 4a ( 8; 12; 20 ),
3b (3  (1); 3  3; 3  4), 3b (3; 9; 12 ).
Координаты вектора c : c (8  (3);12  9; 20  12), c (11; 3; 8) .
Пример 9. При каких значениях  и  векторы
a    i  4  j  k и b  3i  j   k коллинеарны?
Решение.
Воспользуемся
соотношением
 4 1

 .
3
1

 4

:  1  3  (4),   12 .
(2.10):
3
1
4 1
1
1

:  4    1 (1),  
,  .
1

4
4
1
Таким образом, при   12 и   данные векторы a и b
4
коллинеарны.
2.5. Деление отрезка в данном отношении
Говорят, что точка М делит отрезок M 1 M 2 в отношении
  0 , если
M 1M
  , или M 1 M    MM 2 .
MM 2
Пусть известны координаты точек M 1 и M 2 :
M 1 x1 ; y1 ; z1 , M 2 x 2 ; y 2 ; z 2  .
Найдем координаты точки M x; y; z  .
75


Векторы M 1 M и MM 2 коллинеарны M 1 M MM 2 ,
поэтому M 1 M   MM 2 .
M 1 M  x  x1 ; y  y1 ; z  z1 ,
  M 1 M   ( x  x1 );  ( y  y1 );  ( z  z1 ).
Приравнивая соответствующие координаты равных
векторов, получаем:
x  x1   x 2  x , y  y1    y 2  y , z  z1   z 2  z 
или
x
x1  x 2
y  y 2
z  z 2
, y 1
, z 1
.
1 
1 
1 
(44)
Если точка М делит отрезок M 1 M 2 пополам, то   1 , тогда
x
x1  x 2
y  y2
z z
, y 1
, z 1 2.
2
2
2
(45)
A4;1;5 ,
B4;13;1 , C 6;1;1 . Найти координаты точки пересечения
медиан этого треугольника.
Решение. Пусть AD – медиана треугольника, тогда точка D середина отрезка BC. Найдем координаты точки D, используя
4  6
13  1
11
 1, y 
7, z 
 1 , то есть
равенства (45): x 
2
2
2
D1;7;1 .
Медианы треугольника точкой пересечения Р делятся в
AP 2
 , то есть
отношении 2:1, считая от вершины, значит
PD 1
  2 . По формулам (44) найдем координаты точки Р:
4  2 1 6
1  2  7 15
5  2 1 7
x
  2, y 

 5, z 
 .
1 2
3
1 2
3
1 2
3
Таким образом, точка пересечения медианы данного
7

треугольника - P 2;5;  .
3

Пример
10.
Даны
вершины
треугольника
2.5.1. Задачи для самостоятельного решения.
76
1. Отрезок АВ точками M,N и Р разделен на четыре равные
части. Точка О не принадлежит отрезку АВ. OA  a, OB  b .
Выразить через a и b вектор m  2OM  ON  4OP .
2. Даны точки А(3;2;0), В(4;0;1), С(-5;0;2), D(-8;6;-1).
Проверьте, AB  CD или АВ  CD . Какой из векторов
длиннее и во сколько раз?
3. При каких значениях  и  векторы a   i  j  3k и
b  12i  3 j   k коллинеарны?
4. Даны три последовательные вершины параллелограмма
A1;2;3 , B3;2;1 и C 6;4;4 . Найти его четвертую вершину D.
5. Вектор длины 2 3 составляет с осями координат равные
острые углы. Найдите эти углы
6. Вектор составляет с осями Oy и Oz углы 60  и 120  .
Какой угол он составляет с осью Ox?
7. Даны две координаты вектора a : a x  4, a y  12 . Найти
его третью координату a z при условии, что a  13 .
8. На оси ОZ найдите точку, равноудаленную от А(4;-1;2) и
В(0;2;-1).
9. Покажите, что АВСD – параллелограмм, если А(0;2;-3),
В(3;1;1), С(4;-5;2), D(1;-4;-2).
10. Дан вектор a12;4;3 . Найти сумму направляющих
косинусов данного вектора.
11. Даны точки A3;1;1 и B4;5;2 . Точка С делит отрезок
АВ в отношении 2:3, считая от точки А. Найти координаты точки
С.
12. Определите координаты центра тяжести треугольника
АВС, если А(5;1;12), В(11;3;8), С(2;5;0).
13. Найдите орт вектора a  (12;-4;3) и его направляющие
косинусы. Острые или тупые углы образует вектор с осями
координат?
Ответы. 1. 2a  3b . 2. CD длиннее в 3 раза; AB  CD .
1
3. -4;-9. 4. (4;0;6). 5. arccos
. 6. 45  или 135  . 7. 3 .
3
77
20 
8
11
 17 7 7 


8.  0;0;  . 10.
. 11.  ; ;  . 12.  6;3;  .
5 5
13
3
3
 5


4 3
 12
13.  ; ; .
 13 13 13 
2.6. Скалярное произведение векторов и его свойства
Определение. Скалярным произведением двух ненулевых
векторов a и b ( a  0 , b  0 ) называется число, равное
произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
Обозначается a b , a  b.
a  b  a  b  cos  ,
  
где    a, b  .




Формулу
(46)
можно
записать
(46)
иначе.
Так
как
a  cos   прb a , b  cos   пр a b , то получаем:
ab  a  прa b  b  прb a,
(47)
то есть скалярное произведение двух векторов равно модулю
одного из них, умноженному на проекцию другого на ось,
сонаправленную с первым вектором.
Свойства скалярного произведения:
1) a  b  b  a;
   
 
3) a  b  c   a  b  a  c ;
2)   a  b   a  b  a  b ;
4) a b  0 тогда и только тогда, когда a  0 , или b  0 , или
a b;
2
5) a  a
2
- скалярный квадрат вектора равен квадрату его
длины.
78
Пусть заданы два вектора a  a x i  a y j  a z k и
b  bx i  b y j  bz k .
Тогда
a  b  a x i  a y j  a z k  b x i  b y j  b z k  по свойствам 2,3  



2
2
 a x bx i  a x b y i  j  a x bz i  k  a y bx j  i  a y b y j  a y bz j  k 
 a z b x k  i  a z b y k  j  a z b z k  по свойствам 4,5  
2
 a x bx  a y b y  a z bz .
Таким образом,
a  b  a x bx  a y b y  a z bz .
Пример 11. Даны векторы

(48)
a2;3;5, b1;3;4, c2;0;5 .

Найти скалярное произведение 2c  3a  b .
Решение. Воспользуемся свойствами 2, 3:
2c  3a  b  2 c  b  3 a  b .
Используя формулу (48), получаем:


   
c  b  2  (1)  0  3  (5)  4  2  0  20  22,
a  b  2  (1)  3  3  5  4  2  9  20  27 .


Тогда 2c  3a  b  2  (22)  3  27  44  81  37.
Пример
12.
Найти
длину
вектора
c  5a  3b ,
если

 
a  2, b  5,  a, b   .

 3


Решение. Используя свойство 5 скалярного произведения,
получаем

2
c  c 
2
b b
2
5a  3b
2
2
2
2
 25 a  30 ab  9b , но a  a
 25 , a  b  a  b  cos   2  5  cos

3
 10 
2
1
 5,
2
следовательно,
c  25  4  30  5  9  25  100  150  225  175  5 7 .
79
 4,
Пример 13. Даны векторы a   j  k , b  i  j  k . Найти
угол между векторами c  a  b и d  a  b .
Решение. Найдем координаты векторов c и d :
c  a  b   j  k  i  j  k  i  2k , то есть c1;0;2 ;
d  a  b   j  k  i  j  k  i  2 j , то есть d 1;2;0 .
  
Воспользуемся формулой (46) c  d  c  d  cos c, d  ,




тогда
   cd
cos c, d  
.

 cd


c  d  1  (1)  0  (2)  2  0  1;
c  12  0 2  2 2  1  4  5 ;
d  (1) 2  (2) 2  0 2  1  4  5 .
Следовательно
  
1
1
cos c, d  
 ;


5
5 5


тогда
  
 c, d   arccos  1     arccos 1 .


5
 5


Пример 14. Даны векторы a1;1;1 , b3;1;5 , c 2;3;4 .
Найти вектор x , если известно, что x  a, x  b и x  c  1.
Решение. Пусть искомый вектор x( x; y; z) . Из условия
x  a следует, что
x yz 0.
xa  0
или 1 x  1 y 1 z  0, то есть
xb
Из
условия
следует,
что
3  x 1 y  5  z  0 , то есть 3x 1y  5z  0 .
80
x b  0
или
Из условия x  c  1 следует, что 2  x  3  y  4  z  1 или
2  3x  4 z  1 .
Из полученных равенств составим систему линейных
уравнений, решение которой и определит координаты искомого
вектора x .
 x  y  z  0,


3x  y  5 z  0,
 2 x  3 y  4 z  1.

Решим систему уравнений методом Гаусса. Для этого
составим расширенную матрицу A системы и с помощью
элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду.
 1
1 1 0 


A   3 1  5 0  .


4  1
 2 3

Элементы первой строки матрицы умножим на (-3) и
прибавим к соответствующим элементам второй строки, затем
элементы первой строки умножим на 2 и прибавим к
соответствующим элементам третьей строки:
1 1 1 0 


A ~ 0  4  2 0  .


2  1
0 5

Элементы второй строки полученной матрицы умножим на
 1
  :
 2
 1 1 1 0 


A ~ 0 2 1 0  .


 0 5 2  1

Элементы второй строки умножим на (-5), третьей строки –
на 2, затем к полученным элементам третьей строки прибавим
соответственные полученные элементы второй строки:
81
 1 1 1 0 


A ~  0 2 1 0  .


 0 0 1  2
С помощью полученной матрицы треугольного
составим систему уравнений, равносильную системе  .
 x  z  y,

1

 y   z,
2

 z  2;
 x  y  z  0,

 2 y  z  0,

 z  2;

вида
 x  3,

 y  1,
 z  2.

Таким образом, искомый вектор x3;1;2 .
2.6.1. Задачи для самостоятельного решения.

 
 

2
1.Упростить выражение 2i  j  j  j  2k  k  i  2k .
2. Найти углы треугольника с вершинами A2;1;3 , B1;1;1 ,
C 0;0;5 .
3. Найти угол между диагоналями параллелограмма,
построенного на векторах a=(2;1;0) и b=(0;-2;1).
4. При каком значении m векторы a  mi  3 j  k и
b  2i  j  mk перпендикулярны?



 

5. Найти 3a  2b 5a  6b , если a  4 , b  6 , a, b  60  .
6. Даны точки A1;2;3 , B2;4;0 , C 1;2;3 . Найти пр AC AB
7. Найти длину вектора c  3a  2b , если a  3 , b  4 ,
a, b  120


.
8. Найти вектор
x , коллинеарный вектору a2;1;1 и
удовлетворяющий условию x  a  3 .
9. Даны векторы a  (1;1;1) , b  (3;1;5) , c  (2;3;4) .
Найти вектор x , если известно, что x  a , x  b и x  c  1 .
10. Найти проекцию вектора a  c на вектор b  c , если
a  3i  6 j  k , b  i  4 j  5k , c  3i  4 j  2k .
82
Ответы: 1. 2. 2. 45  ,45  ,90  . 3. 90. 4. 3. 5. 336. 6.6. 7.
 1 1
8. 1; ;  . 9. (3;-1;2) . 10.
 2 2
5
89
73 .
.
2.7. Векторное произведение векторов и его свойства
Три некомпланарных вектора a , b и c , взятые в указанном
порядке, образуют правую тройку, если с конца третьего вектора
c кратчайший поворот от первого вектора a ко второму вектору
b виден совершающимся против часовой стрелки, и левую, если
по часовой.
правая тройка
левая тройка
тройка
Определение. Векторным произведением вектора a на
вектор b называется вектор c , который:
1) перпендикулярен векторам a и b , то есть c  a , c  b ;

 
2) имеет длину c  a  b  sin  , где   a, b ;
3) векторы a , b и c образуют правую тройку.
Векторное произведение обозначается a  b , то есть c  a  b
Из условия (2) следует, что длина вектора c численно равна
площади параллелограмма, построенного на векторах a и b , как
на сторонах:
1
(49)
S пар  a  b , S   a  b .
2
83
Из определения векторного произведения вытекают
следующие соотношения между ортами i , j и k : i  j  k ,
j  k  i , k i  j .
z
O
y
x
Свойства векторного произведения:
1) a  b  b  a ;
   
3) a  b c  a  c  b  c ;
2)  a  b   a  b  a  (b) ;
4) a b  0 тогда и только тогда, когда a  0 , или b  0 , или
a b;
5) a  a  0 .
Из определения и свойств второго произведения следует:
i  i  j  j  k  k  0 , j  i  k , k  j  i , i  k   j .
Можно использовать таблицу векторного произведения
векторов i , j и k .
84
Пусть
i
j
k
i
0
k
- j
j
-k
0
i
k
j
-i
0
заданы
два
a  ax i  a y j  az k
вектора
и
b  b x i  b y j  b z k . Тогда векторное произведение этих векторов
может быть найдено с помощью определителя третьего порядка
i
j
k
a b  ax
ay
az .
bx
by
bz

(50)


Пример 15. Упростить выражение 3a  4b  a  3b .
Решение. Используя свойства векторного произведения,
получим
3a  4b a  3b  3a  a  4b  a  9a  b 12b  b  3  0  4b  a 
 9b  a  12  0  13b  a так как a  a  0, b  b  0, a  b  b  a .
Пример 16. Вычислить площадь параллелограмма,
построенного на векторах a  6i  3 j  2k и b  3i  2 j  6k , как
на сторонах.
Решение. Найдем векторное произведение векторов a и b
с помощью формулы (50):
i
j
k
3 2
6 2
6 3
ab  6 3  2  i
j
k

2 6
3 6
3 2
3 2 6
 (18  4)i  (36  6) j  (12  9)k  14 i  42 j  21k .
Так как модуль векторного произведения двух векторов
равен площади построенного на них параллелограмма, то
S  a  b  14 2  (42) 2  (21) 2  196  1764  441  2401  49.
85
Пример 17. Вычислить площадь параллелограмма построенного



 

на векторах a  3b и 3a  b , если a  b  1 , a, b  30  .
Решение. Найдем векторное произведение данных векторов:
a  3b 3a  b  3a  a  9b  a  a  b  3b  b  3  0  9b  a 
 b  a  3  0  8b  a.
Площадь параллелограмма
по
 
формуле
(49)
равна

S  8b  a  8 b  a  8 b  a  sin a, b ,
тогда
получим
1
 4.
2
Пример 18. Даны два вектора a  i  2 j  3k и b  2i  j  4k
S  8 11 sin 30   8 
. Вектор c  a , c  b . Найти c .
Решение. Так как вектор c  a и c  b , тогда c  a  b .
Координаты вектора a1;2;3 , вектора b2;1;4 . Найдем вектор
c , пользуясь формулой (50)
i
j k
c  1  2 3  (2)  4  i  2  3  j  1  (1)  k  2  (2)  k  3  (1)  i  1  4  j 
2 1 4

 8i  6 j  k  4k  3i  4 j  11i  10 j  3k .
Таким образом вектор c  11i  10 j  3k .
Найдем модуль вектора c
c
112  10 2  32
 121  100  9  230 .
Пример 19. Найти
2a  b  a  b , если известно, что
a  i  2 j  3k , b  3i  2 j  k .
Решение. Координаты вектора a1;2;3 , вектора b3;2;1 .
По формуле (48) найдем скалярное произведение векторов a и
b : a b  1 3  2  (2)  3 1  3  4  3  2.
Найдем векторное произведение a  b , используя формулу
(50)
86

i
j k
2 3
1 3
1 2
ab  1 2 3  i
j
k

2 1
3 1
3 2
3 2 1
 (2  6)i  (1  9) j  (2  6)k  8i  8 j  8k .
a b  8 2  8 2  8 2  64  3  8 3 . Тогда искомое выражение
2ab  a  b  2  2  8 3  4(1  2 3 ) .
2.7.1. Задачи для самостоятельного решения.




а) i  2 j  3k  k  3i  2 j ;
1. Упростить выражения:

2. Вычислить площадь
A1;1;1, B2;3;4, C 4;3;2.
 
 
б) 2a  b  c  a  b  a  c .
треугольника с вершинами
3. Найти a  b , если a  10 , b  3 , a b  18 .
4. Вычислить синус угла, образованного векторами a2;2;1
и b2;3;6 .
5. Даны точки A2;1;2, B1;2;1 и C 3;2;1.
Найти координаты векторных произведений: а) AB  BC ;


б) AB  3CB  BA .
6. Найдите площадь параллелограмма, построенного на
векторах a  (1;3;5) и b  (2;1;3) .
7. Найдите площадь параллелограмма, диагоналями которого
 

служат векторы 2m  n и 4m  5n , где m  n  1 , m , n  45  .
Ответы. 1.а) 2i  2k ; б) 2a  c . 2. 2 6 . 3. 24. 4. sin  
5. а) (6;-4;-6); б) (18;-12;-18). 6.
390 . 7. 1,5 2 .
87
5 17
.
21
2.8. Смешанное произведение векторов и его
свойства
Определение. Смешанным или векторно-скалярным
произведением трех векторов (обозначается abc ) называется
 
произведение вида a  b  c .
Пусть заданы векторы a  a x i  a y j  a z k ,
b  bx i  b y j  bz k и c  c x i  c y j  c z k .
Векторное произведение векторов a и b - это вектор,
равный
i
j
a b  ax
ay
az 
bx
by
bz
вектор
k
ay
by
c  cx i  c y j  cz k ,
az
a
i x
bz
bx
тогда
 
az
bz
j
ax
bx
скалярное
ay
k,
by
произведение
векторов a  b и c , согласно формуле (2.18) имеет вид
 
ay
ab c 
by
az
a
cx  x
bz
bx
ax
cy 
bx
bz
az
ax
ay
 c  bx
by z
cx
ay
az
by
bz
cy
cz
или
ax
ay
az
abc  b x
by
bz .
cx
cy
cz
(51)
Свойства смешанного произведения:
1. Смешанное произведение не меняется при циклической
перестановке
его
сомножителей,
то
есть
a  b  c  b  c  a  c  a  b.
2. Смешанное произведение меняет свой знак при перемене
мест любых двух векторов - сомножителей, то есть abc  acb ,
     
abc  bac , abc  cba .
3. Смешанное произведение ненулевых векторов a , b и c
равно нулю тогда и только тогда, когда они компланарны, то есть
88
ax
ay
az
abc  0  b x
by
bz  0
cx
cy
cz
(52)
векторы a , b , c компланарны ( a  0, b  0, c  0 ).
4. Смешанное произведение трех векторов с точностью до
знака равно объему параллелепипеда, построенного на этих
векторах как на ребрах. Можно записать:
V  abc .
(53)
Объем тетраэдра (треугольной пирамиды), построенного на
векторах a , b , c равен
1
(54)
V тетр  abc .
6
Пример 20. Даны векторы a  i  j  3k , b  2i  j  k и
c  3i  4 j  k . Найти смешанное произведение векторов a , b и
c.
Решение. Воспользуемся формулой (51)
1 1 3
1 1
2 1
2 1
abc  2  1 1  1 
 1
 (3)

4 1
3 1
3 4
3 4 1
 (1  4)  (2  3)  3(8  3)  3  5  3 11  2  33  31 .
Пример 21. Проверить компланарны ли векторы a2;0;1 ,
b1;1;0 и c3;2;1 .
Решение. Найдем смешанное произведение векторов a , b
и c , используя формулу (51):
2 0 1
1 0
1 0 1 1
a bc  1 1 0  2 
 0
1
 2(1  0)  0 
2 1
3 1 3 2
3 2 1
(2  3)  2  5  3.
89
Так как смешанное произведение данных векторов не равно
нулю 3  0 , тогда по условию (2.22) векторы a , b и c некомпланарны.
Пример 22. Вершинами пирамиды служат точки A(2;2;2),
B(4;3;3) , C (4;5;4) и D(5;5;6) . Найти объем пирамиды.
Решение. Найдем координаты векторов AB , AC и AD ,
совпадающих с ребрами пирамиды, исходящими из вершины А.
AB ( 4  2;3  2;3  2),
AB 2;1;1,
AC (4  2;5  2;4  2),
AC 2;3;2 ,
AD 5  2;5  2;6  2 ,
AD 3;3;4 .
Находим смешанное произведение векторов AB , AC и AD
по формуле (51)
2 1 1
AB AC AD  2 3 2  2  3  4  2  3 1  1  2  3  (3  3 1  2 1  4 
3 3 4
3  2  2  24  6  6  9  8  12  36  29  7.
Тогда объем пирамиды по формуле
1
7
V пир   7  .
6
6
(54)
равен
Пример 23. При каком значении m векторы a  mi  2 j  4k ,
b  2i  3 j  mk и c  3i  2 j  4k компланарны?
Решение. Воспользуемся необходимым и достаточным
условием компланарности трех векторов (52)
m 2 4
abc  0 , 2  3 m  0,
3 2 4
m 2 4
2  3 m  4  (3)m  2  (2)( 4)  2  3  m  3(3)( 4)  2m 2  2  2  4 

3
2
4
 12 m  16  6m  36  2m 2  16  2m 2  6m  36 .
2m 2  6m  36  0,
m 2  3m  18  0.
90

m1, 2 
3  9  4   18 
2
m1  3, m2  6.

3  81 3  9

,
2
2
Итак, при m  3 и m  6 векторы a , b и c компланарны.
2.8.1. Задачи для самостоятельного решения.
1. Найти смешанное произведение векторов a  i  j  k ,
b  i  j  k , c  2i  3 j  4k.
2. Показать, что векторы
a  7i  3 j  2k , b  3i  7 j  8k ,
c  i  j  k компланарны.
3. Доказать, что точки A1;2;1 , B0;1;5 , C (1;2;1) , D2;1;3
лежат в одной плоскости.
4. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах
a  3i  4 j, b  3 j  k , c  2 j  5k , как на ребрах.
5. Дана пирамида с вершинами О(0;0;0), А(5;2;0), В(2;5;0) и
С(1;2;4). Найдите её объем, площадь грани АВС и длину высоты,
опущенной на эту грань.
7 3
Ответы. 1. 4. 4. V  51 . 5. V  14; H 
.
3
2.9. Прямая на плоскости
Линия на плоскости рассматривается (задается) как
множество точек, обладающих некоторым, только им присущим
геометрическим свойством.
Введение на плоскости системы координат позволяет
определять положение точки плоскости заданием двух чисел - ее
координат, а положение линии на плоскости определять с
помощью уравнения (то есть равенства, связывающего
координаты точек линии).
Определение. Уравнением линии (или кривой) на плоскости
Oxy называется такое уравнение Fx; y   0 с двумя переменными,
которому удовлетворяют координаты x и y каждой точки линии и
не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой
линии.
Переменные x и у в уравнении линии называются текущими
координатами точек линии.
91
Пример 24. Лежат ли точки A1;2  и B0;3 на линии
x  2y 6  0 ?
Решение. Подставив в уравнение линии вместо x и у
координаты точки А, получим 1  2  2  6  0 . Значит точка А не
лежит на данной линии.
Подставим в уравнение линии координаты точки В вместо x
и у 0  2  3  6  0 . Следовательно, точка В лежит на данной
линии.
Простейшей из линий является прямая. Разным способам
задания прямой соответствуют в прямоугольной системе
координат разнее виды уравнений прямой.
Пусть M 0 ( x0 ; y0 ) - заданная точка прямой l. Вектор
n( A; B ) , перпендикулярный прямой l, называют нормальным
вектором прямой. Пусть M ( x; y ) - произвольная (текущая) точка
прямой. l. Тогда M 0 M ( x  x0 ; y  y 0 ), n  M 0 M .
По свойствам скалярного произведения n  M 0 M  0 , то есть
(55)
Ax  x 0   B( y  y 0 )  0 .
Полученное уравнение называется уравнением прямой,
проходящей через данную точку перпендикулярно данному
вектору.
n
l

M
M0
Раскрыв скобки и сгруппировав слагаемые в (55), получим
Обозначим
Ax  By  (  Ax0  By 0 )  0 .
 Ax0  By 0  C ,
уравнение (2.25) примет вид
Ax  By  C  0 ,
которое называется общим уравнением прямой на плоскости.
Некоторые частные случаи общего уравнения прямой:
92
(56)
1) если A  0 , B  0 , C  0 , то уравнение приводится к виду
C
y   . Это есть уравнение прямой, параллельной оси Ох;
B
2) если A  0 , B  0 , C  0 , то уравнение приводится к виду
C
x   , прямая параллельна оси Оу;
A
3) если C  0 , A  0, B  0 , то получим Ax  By  0 , прямая
проходит через начало координат;
4)если A  0 , B  0 , C  0 , уравнение прямой принимает вид
By  0 или y  0 , прямая проходит через ось Ох;
5)если A  0 , B  0 , C  0 , уравнение прямой  Ax  0 , или
х=0, прямая проходит через ось Оу.
Пусть в уравнении (56) A  0 , B  0 , C  0 , тогда перенесем
слогаемое С в правую часть и разделим на него обе части
уравнения
y
Ax By
x

 1 , или

1.
C
C
C C


A
B
C
C
Обозначив   a ,   b , получим уравнение
A
B
x y
(57)
  1,
a b
которое называется уравнением прямой в отрезках, здесь а и b
отрезки, отсекаемые прямой на осях координат.
y
l
b
а
O
x
93
Определение. Вектор S m; n , паралельный прямой,
называется направляющим вектором прямой.
l
Пусть M 0 x0 ; y0  - заданная точка на прямой l, S m; n направляющий вектор этой прямой, M x; y  - произвольная
точка прямой l.
M
l
Тогда M 0 M x  x0 ; y  y0 , M 0 M S . Используя условие
(53), получим:
x  x0
y  y0
(58)

.
m
n
Полученное уравнение (58) называется каноническим
уравнением прямой, или уравнением прямой, проходящей через
данную точку параллельно данному вектору.
В частности, если прямая l параллельна оси Ох, то ее
направляющий вектор S m;0  и уравнение (58) имеет вид
x  x0
y  y0

, или y  y 0 .
m
0
x  x0
y  y0

Если l Oy , то S 0; n и уравнение прямой
,
0
n
или x  x0 .
Если в уравнении (58) величину отношения положить равной
t
94
(t
-
параметр,
переменная
величина,
t  R ):
x  x0
 t,
m
y  y0
 t , то, выразив х и у из уравнений, получим
n
x  mt  x0 , y  nt  y 0 .
(59)
Уравнения (59) называются параметрическими уравнениями
прямой.
Пусть на прямой l заданы две точки M 1 x1 ; y 1  и
M 2 x 2 ; y 2  . Тогда вектор M 1 M 2 x 2  x1 ; y 2  y1  является
направляющим вектором прямой и, используя уравнение (58),
можно записать
x  x1
y  y1

.
x 2  x1 y 2  y1
(60)
Уравнение (60) - уравнение прямой, проходящей через две
данные точки.
Пусть M 0 x0 ; y0  - заданная точка на прямой l,  - угол

. В качестве направляющего
2
вектора прямой l возьмем единичный вектор S 0 cos ; cos   , но



   ,
cos   cos     sin  ,
тогда
то
есть
2
2

наклона прямой к оси Ох,  
Используя
уравнение
(58),
получим
S 0 cos  ; sin   .
x  x0
y  y0
sin 
x  x 0  . Обозначим
или

y  y0 
cos 
sin 
cos 
sin 
 tg  k (k - угловой коэффициент прямой), получим
cos 
уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном
направлении
y  y 0  k x  x 0  .
95
(61)
y
l
O
x
b
Выразив из (61) у: y  kx   y0  kx0  и обозначив
y0  kx0  b , получим уравнение
(62)
y  kx  b ,
которое
называется
уравнением
прямой
с
угловым
коэффициентом. В уравнении (62) b - ордината точки
пересечения прямой с осью Оу.
2.9.1.Угол между двумя прямыми и условия
параллельности и перпендикулярности двух прямых.
Пусть прямые l1 и l 2 заданы уравнениями с угловыми
коэффициентами
y  k 1 x  b1 и
y  k 2 x  b2 , где k 1  tg 1 ,
k 2  tg 2 .
Требуется найти угол  , на который надо повернуть в
положительном направлении прямую
пересечения до совпадения с прямой l 2 .
96
l1
вокруг точки их
y
O
x
 2     1 (по теореме о внешнем угле треугольника) или
   2 1 .
Если  
tg 2  tg 1
k k

 2 1 .
, то tg  tg  2   1  
2
1  tg 1  tg 2 1  k1  k 2
Таким образом
k 2  k1
.
(63)
1  k1  k 2
Если требуется вычислить острый угол между прямыми, не
учитывая, какая прямая является первой, какая - второй, то
правая часть формулы (63) берется по модулю, то есть
k 2  k1
(64)
tg 
.
1  k1  k 2
tg 
Если l1 l 2 , то   0 и tg  0 . Из формулы (63) следует, что
k 2  k 1  0 , то есть
k 2  k1 .
Если
l1  l2 , то
рассмотрим ctg : ctg 


,
2
(65)
tg
не существует. Тогда
1  k1  k 2

, ctg  0 .
k 2  k1
2
Отсюда 1  k 1  k 2  0 , то есть
97
k 1  k 2  1 (или k 2  
Если
прямые
l1 и
A1 x  B1 y  C1  0
и
l2
заданы
1
).
k1
(66)
общими
n 1  A1 ; B1  и
A2 x  B2 y  C 2  0 , где
n2  A2 ; B2  - нормальные векторы прямых, то
cos  
n1  n 2
n1  n 2
уравнениями
или
cos  
A1 A2  B1 B2
A12  B12  A22  B22
.
(67)
Если l1 l 2 , то n 1 n 2 , следовательно
A1 B1

.
A2 B2
(68)
Если l1 l 2 , то n 1 n 2 , то есть n 1  n 2  0
A1  A2  B1  B2  0 .
(69)
2.9.2. Расстояние от точки до прямой
Пусть прямая l задана уравнением Ax  By  C  0 и точка
M 0 x0 ; y0  , не принадлежащая прямой l.
Обозначим через d расстояние от точки M 0 до прямой l.
Тогда
Ax 0  By 0  C
d
.
(70)
A2  B 2
98
y
l
d
O
x
Пример 24. Дано каноническое уравнение прямой
x4 y3
. Написать: а) общее уравнение прямой;б) уравнение

2
3
прямой в отрезках; в) уравнение прямой с угловым
коэффициентом.
Решение. а) приведем данное уравнение к общему
знаменателю 3x  4   2 y  3 и преобразуем его к виду (56):
3x  12  2 y  6  0 , 3x  2 y  6  0 - общее уравнение прямой;
б) полученное общее уравнение преобразуем к виду (57):
3x 2 y
x y

 1 или
  1 - уравнение прямой в
3x  2 y  6 ,
6
6
2 3
отрезках;
в) разрешим полученное общее уравнение прямой
относительно у, получим уравнение (62): 2 y  3x  6 ,
3
3
x  3 . Здесь k   , b  3.
2
2
Пример 25. Составить уравнение прямой, проходящей через
точку A1;2  параллельно вектору S 3;2  .
x1 y 2
Решение. Используя уравнение (58), получим:
.

3
2
Здесь вектор S является направляющим вектором.
Пример 26. Составить уравнение прямой, проходящей через
точку A2;3 и отсекающей на оси ординат отрезок b  6 .
Определить угол наклона этой прямой к оси Ох.
y
99
Решение. Воспользуемся уравнением прямой в отрезках
x y
(57):
  1 . По условию b  6 . Так как искомая прямая
a b
проходит через точку A2;3 , то координаты этой точки
удовлетворяют уравнению (57). Подставляя числовые данные в
это уравнение, получим:
2 3
2 1
  1,
 , a  4 , значит искомое уравнение прямой
a 6
a 2
x y
имеет вид
  1 . Для нахождения угла между полученной
4 6
прямой и осью Ох, преобразуем это уравнение к виду (62):
3
y   x  6 . Угловой
6 x  4 y  24,
4 y  6 x  24 или
2
3
3
коэффициент k   , но k  tg , то есть tg   . Поэтому
2
2
 3
  arctg   .
 2
Пример 27. Найти прямую, проходящую через точку
пересечения прямых x  2 y  1  0 , 2 x  y  2  0 и образуют
угол 135 с осью Ох.
Решение. Найдем
прямых:
x  2 y  1  0,

2 x  y  2  0 ;
координаты точки пересечения данных
 x  1  2 y ,

2( 1  2 y )  y  2  0;
 x  1  2 y ,
 x  1  2 y ,
 x  1




4
y

y

2

2
;

3
y

0
;


 y  0.
Значит точка пересечения данных прямых A1;0  . Для
составления уравнения искомой прямой воспользуемся
уравнением (61). Здесь x0 ; y 0  - координаты точки А, k  tg135
k  1 , поэтому уравнение прямой примет вид: y  0  1x  1
или y   x  1 .
Пример 28. Даны сторона параллелограмма 3x  4 y  5  0 ,



две вершины A1;3 и C 1;2  , а также  DC , BC   45  .


100
Составить уравнения остальных сторон.
Решение. Проверим, проходит ли данная прямая через
указанные точки. Для этого подставим координаты точек А и С в
уравнение прямой.
A1;3 : 3  1  4  3  5  3  12  5  20 , 20  0 , значит прямая
3x  4 y  5  0 не проходит через точку А.
C 1;2  : 3  1  4  2  5  3  8  5  0 , 0  0 , поэтому данная прямая
проходит через вершину С. Пусть это сторона DC.
y
2
C
0
x
A
-3
Так как в параллелограмме противоположные стороны
попарно параллельны, найдем уравнение стороны, проходящей
через точку А параллельно данной прямой. Найдем угловой
коэффициент этой прямой:
3x  4 y  5  0 , 4 y  3x  5 ,
3
5
3
x  , здесь k DC  .
4
4
4
3
В силу условия (65) k DC  k AB  , тогда уравнение стороны АВ
4
3
примет вид y  3  x  1, 4 y  12  3x  1 или
4
3x  4 y 15  0.
Найдем уравнение стороны ВС, проходящей через точку С
под углом 45  к стороне DC. Угловой коэффициент прямой DC
3
k DC  . Найдем k BC , используя условие (63):
4
y
101
tg 45  
k BC 
3
4 ,
1
k BC 
3
4 ,
3
 k BC
4
3
3
3
3
k BC   1  k BC ,
k BC  k BC  1  ,
k BC  7.
4
4
4
4
Составим уравнение стороны ВС, пользуясь уравнением
(61): y  2  7 x  1 ,
y  2  7 x  7 или 7 x  y  5  0 .
Пример 29. Дан треугольник с вершинами A0;4  , B3;0  и
C 0;6  . Составить уравнение и найти длину высоты СН.
Решение. Найдем уравнение стороны АВ, используя
уравнение (60):
x 0 y  4
x y4
,

,

4 x  3 y  12, 3 y  4 x  12 или
30 0  4
3
4
4
y  x  4.
3
4
Угловой коэффициент прямой АВ k AB  .
3
1
Высота CH  AB, тогда по условию (66) k CH  
или
k AB
1
3
 k BC
4
1
3
.
4
Составим уравнение высоты СН, пользуясь уравнением (61):
3
3
или
y  6   x  0  ,
y 6   x ,
4 y  24  3x
4
4
3x  4 y  24  0 .
Длину высоты СН найдем по формуле (70), как расстояние
от точки C 0;6  до прямой АВ 4 x  3 y  12  0 :
k CH  
CH 
4  0  3  6  12
4 2   3
2

0  18  12
16  9

30
 6.
5
Таким образом, уравнение высоты СН 3x  4 y  24  0 , а
длина высоты СН равна 6.
Пример 30. При каком значении а прямые ax  6 y  7  0 и
2 x  a  1y  3  0 а) параллельны; б) перпендикулярны?
102
Решение. а) нормальный вектор прямой ax  6 y  7  0
n1 a;6  , прямой 2 x  a  1y  3  0 - n2 2; a  1 . Из условия
параллельности двух прямых (68)
1  1  4 12
a
6
,

2 a 1
aa  1  12 ,
17
 3;4
2
2
Таким образом, при a  3 и a  4 данные прямые
параллельны.
б) согласно условию перпендикулярности двух прямых (69),
получаем:
n1  n2  0 , 2a  6 a  1  0 , 2a  6 a  6  0 ,
a 2  a  12  0 , a1,2 
8a  6 , a 
Значит, при a 

3
.
4
3
данные прямые перпендикулярны.
4
2.9.3. Задачи для самостоятельного решения.
1. Можно ли уравнение прямой 20 x  21y  0 записать в
отрезках?
2. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку
К(­3;1) параллельно вектору a = (4;­1). Найдите угловой
коэффициент этой прямой и точки ее пересечения с осями
координат. Лежат ли на ней точки А(­3;1) и В(5;­1)?
3. Дана прямая х­3у+6=0. Найдите: а) ее угловой
коэффициент, б) ее нормальный вектор, в) точки пересечения с
осями координат, г) площадь треугольника, заключенного между
этой прямой и осями координат, д) точку пересечения этой
прямой с прямой 5х­2у­9=0.
4. Среди прямых: а) 4х­2у+3=0, б) х+2у­7=0, в) у=2х+5, г)
1
5х+10у+1=0, д) у=  х, е) ­6х+3у+5=0 укажите параллельные и
2
перпендикулярные.
5. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку
А(2;5) и отсекающей на оси ординат отрезок в = 7.
5 
6. Дана прямая 4 x  3 y  7  0 . Какие из точек A ;1  ,
2 
B3;2  , C 1;1 , D0;2  лежат на этой прямой?
103
7. Составить уравнения прямых, проходящих через точку

M 5;1 и образующих с прямой 2 x  y  4  0 угол .
4
8. Даны вершины треугольника АВС: A0;2, B7 ;3, и С 1;6  .
Определить BAC   .
9. Определить расстояние от точки M 2;1 до прямой,
отсекающей на осях координат отрезки a  8 , b  6 .
10. Найти прямую, проходящую через точку пересечения
 4 
прямых x  6 y  5  0 , 3 x  2 y  1  0 и через точку M   ;1  .
 5 
11. Даны уравнения высот x  y  4 и y  2 x и вершина
A1;2  треугольника. Составить уравнения сторон этого
треугольника.
12. Даны вершины треугольника A3;2  , B5;2  и C 1;4  .
Найти точку пересечения высот треугольника.
13. Составить уравнение прямой, которая проходит через
точку M 8;6  и отсекает от координатного угла треугольник с
площадью, равной 12.
14. Показать, что треугольник со сторонами x  3 y  1  0 ,
3 x  y  1  0 и x  y  10  0 равнобедренный. Найти угол при
вершине треугольника.
15. Составьте уравнения прямых, проходящих через точку
пересечения прямых 2х-у­5=0 и 3х+2у+3=0 а) параллельно оси
Ох; б) параллельные оси Оу; в) параллельно прямой 5х-2у+3=0; г)
перпендикулярно прямой 7х+3у-1=0.
16. В треугольнике с вершинами А(0;­4), В(3;0), С(0;6)
составьте уравнения стороны АВ, высоты СН, медианы BM,
биссектрисы AK, найдите длину высоты CH и расстояние от
вершины С до биссектрисы АК.
1  1
Ответы. 1. Нет, нельзя. 2. x  4 y 1  0 ; k=- ;  0;  , (1;0);
4  4
1
да. 3. а) ; б) (1;3); в) (0;2), (­6;0); г) 6; д) (3;3). 4. параллельны
3
а,в,е; б,г,д; перпендикулярны а,г; в,б. 5. x  y  7  0. 6. Точки А и
С лежат на прямой, точки В и D - не лежат. 7. x  3 y  8  0 ,
104
27
. 9. 4,4. 10. 5x  4  0 . 11. x  y  2  0 ,
11
 29 10 
x  2 y  4  0 , 2x  y  8  0 . 12.  ;  . 13. 3x  2 y 12  0 ,
 7 7
3x  y 14  0 . 8. tg 
3x  8 y  24  0 . 14. 30  .15. а) y  3 , б) x  1 , в) 5x  2 y 11  0,
г) 3x  7 y  22  0 . 16. АВ: 4x  3 y 12  0 ; СН: 3x  4 y  24  0 ;
ВМ: x  3 y  3  0 ; АК: 3x  y  4  0 ; СН=6;
105
10 .