о влиянии геометрических параметров системы

О ВЛИЯНИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ СИСТЕМЫ
ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКОГО ПОДВЕСА НА СИЛОВЫЕ
ХАРАКТЕРИСТИКИ
Кочубей Т. В., Майборода А. О.
В работе методом компьютерного моделирования выполнен анализ влияния геометрических параметров
и расположения магнитов относительно проводящей направляющей кругового профиля на силовые
характеристики электродинамического подвеса при гиперзвуковых скоростях перемещения несущего
магнита относительно направляющего проводника (1000-16000 м/с).
Введение
В настоящее время происходит активное освоение космоса и актуальной задачей
развития космонавтики является радикальное снижение затрат на доставку грузов в
космос. На данный момент доставка осуществляется при использовании космических
летательных аппаратов (КЛА). Однако, двигательные установки КЛА должны иметь
высокий уровень удельной мощности, работая при этом на пределе прочности. Поэтому
стоимость единицы массы конструкции получается чрезвычайно высокой.
Одним из направлений удешевления КЛА является сокращение нынешней высокой
удельной мощности двигательных установок (ДУ) за счет отказа от технического
совершенствования конструкции, в том числе замены турбонасосной системы подачи
топлива в двигатели вытеснительной системой. В этом случае стоимость двигательной
установки снижается в 50-100 раз. Однако, такой вариант удешевления КЛА и повышения
ресурса их работы может применяться только в межорбитальных операциях, но не при
выводе КЛА с Земли в космос. Это связано с дополнительными гравитационными
потерями ракеты при использовании тяжелых термохимических двигателей и топливных
баков с вытеснительной подачей топлива в процессе разгона до орбитальной скорости в
условиях старта в земном гравитационном поле. Данную проблему можно решить, если
поместить КЛА (на время разгона) на специальную опорную поверхность, которая
проходит вне плотных слоев атмосферы и в несколько раз увеличить время разгона с
пропорциональным сокращением тяги двигателя и, соответственно, массы. Подобной
заатмосферной опорой могут быть различные варианты орбитальных тросовых систем,
которые ориентированы вдоль траекторий своего движения и движения разгоняемых на
них КЛА. В общем виде они представляют собой орбитальную платформу с
электроракетными двигателями (ЭРД), которая тянет за собой монорельсовую опорную
поверхность. Тяга ЭРД уравновешивает силу аэродинамического торможения тросамонорельса в верхних слоях атмосферы и при условии превышения сил торможения над
локальными силами микрогравитации, действующими на трос, движение монорельса
стабилизируется. Стабилизации движения троса вдоль самого себя по низкой круговой
орбите тем эффективнее, чем больше отношение силы торможения к силе
микрогравитации. Тросовый монорельс может быть создан непосредственно на орбите,
путем непрерывной формовки из запасов алюминиевого сырья, недорогая доставка
которого на орбиту теперь возможна благодаря системе космических аппаратовнакопителей сырья (патент RU 2398717).
Такие тросовые системы представляют собой гибкие стержни, в форме
тонкостенных труб, движущиеся вдоль самих себя по круговой орбите, и носят название
орбитальной путевой структуры (ОПС). Необходимо учесть, что относительная скорость
КЛА и ОПС варьируется от первоначальной 8000 м/с до финишных 800-500 м/с и при
этом должен быть исключен механический контакт между КЛА и ОПС. Данное условие
может быть реализовано на основе магнитного подвеса КЛА над или под ОПС.
Перспективным видом подвеса является электродинамический подвес на основе
постоянных магнитов КЛА, движущихся над направляющим проводником ОПС.
Принцип работы электродинамического подвеса основан на левитации (свободном
парении) твердых тел в магнитном поле. Когда тело, несущее ток, перемещается над
направляющим проводником, то в проводнике появляются вихревые токи с собственным
электромагнитным полем. Это поле, взаимодействуя с первичным источником, создает
подъемную силу, направленную вверх, и тормозящую силу, используемую для разгона
КЛА. Чтобы конструкция подвеса отвечала поставленным задачам и имела оправданную
стоимость, важно знать зависимости упомянутых сил от геометрических параметров
подвеса и расположения магнита относительно проводника. Для этого необходимо
рассчитать упомянутые выше вихревые токи.
В данной работе предлагается модель расчета для вихревых токов, возбуждаемых в
направляющем проводнике электродинамического подвеса, в виде интегродифференциального уравнения второго рода. Для решения уравнения используется метод
преобразований Фурье. С помощью полученного решения выполняется анализ влияния
геометрических параметров и расположения магнитов относительно направляющего
проводника на силовые характеристики электродинамического подвеса.
1.Постановка задачи
Рассмотрим электродинамический подвес, состоящий из направляющего
проводника и движущегося вдоль него несущего магнита. Длина проводника много
больше его диаметра, поэтому можно пренебречь концевым эффектом и рассматривать
проводник как бесконечно длинную цилиндрическую оболочку, выполненную из
однородного материала с проводимостью  . Поперечное сечение проводника
представлено на рис. 1. На рисунке отмечены направления компонент Fx , F , Fr вектора
силы, действующей на несущий магнит со стороны проводника, а также гравитационной
силы FG , действующей на груз. Магнит движется вдоль проводника с постоянной
скоростью v .
FG
v
Fr

Fx
F
2

M
x
O
1
M
n
R
Рис. 1 Поперечное сечение направляющего проводника (1)
и несущего магнита (2)
На рисунках изображена конструкция с одной парой магнитов, хотя на самом деле
их может быть больше как по направлению x , так и по направлению  . Их вклад легко
учитывается с помощью принципа суперпозиции, поэтому особое внимание этому уделять
не будем.
Для расчета магнитного поля и силовых характеристик подвеса необходимо
выполнить расчет вихревых токов направляющего проводника. Сделаем еще одно
допущение: будем полагать проводник тонким (толщина проводника h много меньше его
диаметра 2R и электрического клиренса  ) и перейдем к идеализированной (бесконечно
тонкой) оболочке. Причем под проводимостью  и линейной плотностью σ
поверхностных вихревых токов можно понимать произведение соответствующих величин
в объеме на толщину рассматриваемого проводника, если поверхностный эффект мал.
Способ учета этого эффекта будет указан ниже.
Запишем уравнения Максвелла, материальные уравнения и граничные условия для
системы подвеса с учетом принятых идеализаций:
rot H  0 , rot E  0 , div B  0 ,
B  0 H  M ,
B   B  , n    0σ на S ,
B  M  
0 ,
M 
σ~
 E  v, B на S ,
(0.1)
div σ  0 , σn  0 на S ,
где знаками «+» и «–» отмечены предельные значения поля со стороны положительного и
отрицательного направлений нормали n , соответственно; S – срединная поверхность
проводника; v  ve x , v  const . Стоит заметить, что данную задачу удобно рассматривать
в цилиндрической системе координат O, x, , r .
Индукцию поля B можно представить в виде:
 σQ 
BM   B0 M   rot 0 
dSQ ,
4 S rQM
(0.2)
где B0 – индукция магнитного поля, создаваемого магнитами, расчет которого будет
описан ниже, а индукция поля магнитной реакции поверхности S по закону Био-СаварраЛапласа [1] выражена через плотность вихревых токов σ .
Введем скалярную функцию тока  , связанную с плотностью σ следующим
равенством:
(0.3)
σ  grad , n .
Такое представление возможно в силу соленоидальности поля σ . Тогда (0.2) можно
преобразовать к виду

 1
B  M   B0  M   grad M 0    Q 
dSQ .
4 S
nQ rQM
Применяя операцию rot к закону Ома из векторной задачи (0.1) и используя (0.3),
получим интегро-дифференциальное уравнение относительно функции потока 
Bn0 v 0  
 1
 S   v

 Q 
dSQ на S ,
(0.4)

x
4 x nM S
nQ rQM
где  S  
2 1 2

– поверхностный лапласиан функции  .
x 2 R 2  2
2.Численное решение уравнения
Решить уравнение (0.4) можно несколькими методами, одним из которых является
метод интегрального преобразования Фурье [2]. Это преобразование раскладывает
искомую функцию в интегральную сумму тригонометрических гармоник, круговая
частота которых принимает непрерывные значения от  до  и называется
параметром преобразования.
Формально преобразование Фурье задается следующими правилами:

f ( m) 
e
jmx
f ( x)dx

и

1
f ( x) 
e jmx f (m)dm ,

2 
устанавливающими соответствия между оригиналом f  x  и его Фурье образом f  m  .
Это прямое и обратное преобразования Фурье соответственно. Здесь m – параметр
преобразования.
С помощью первого правила задача для искомой функции преобразуется в задачу
для ее Фурье-образа. Поскольку последняя обычно оказывается проще, ее решают и
находят Фурье-образ ответа. Остается применить к нему обратное преобразование и
получить оригинал. Однако, в некоторых случаях необходимость в обратном
преобразовании отсутствует. Например, если искомая функция необходима только для
вычисления интегральных характеристик. В этом случае удобно использовать равенство
Планшереля [2]


1
(0.5)
f
x

x
dx






 f  m    m  dm .
2 

Знак «  » в формуле означает комплексное сопряжение.
Выполним преобразование Фурье по координате x с параметром преобразования
m , а также разложим функцию   m,   в тригонометрический ряд Фурье
  m,   

   m, n  e
jn
.
n 
После этого уравнение (0.4) можно записать в виде

jmv0 R 

 S   m, n    jmvBn0  m, n, r  
  m, n 
K 0  m QM  d  Q на S ,

2
nM 
nQ
где

n2 
 S   m, n     m2  2    m, n  ;
R 

K 0  m QM 
– функция Макдональда, получившаяся в результате использования
табличного интеграла [3].
Применив теорему сложения для функции Макдональда [4], получим
 S   m, n    jmv Bn0  m, n, r   0 Rm2   m, n  K n  m R1  I n  m r  ,


(0.6)
где «′» обозначает производную по всему аргументу.
Раннее отмечалось, что под  можно понимать произведение  на толщину
проводника. Однако, в этом случае мы не учитываем явление поверхностного эффекта.
Для его учета [5] под  следует понимать комплексную величину
2 ph
  th
,
p
2
n2
где p  m  2  jmv 0 , h – толщина проводника.
R
С учетом всех преобразований, можно записать аналитическое решение
уравнения (0.6). А именно,
2
(m, n)  jmv
Bn0  m, n, R  / Rm2 K n  m R1  I n  m r 
m2  n 2 / R 2
 jmv0 
Rm2 K n  m R1  I n  m r 
.
(0.7)
Остается нерешенным вопрос о способах задания и расчета поля, создаваемого несущим
магнитом. Рассмотрим его далее.
3. Расчет поля несущего магнита
На практике магниты изготавливают из магнитотвердых материалов, например из
сплава самария и кобальта, которые в условиях эксплуатации практически сохраняют
неизменным вектор намагниченности. Это делает возможным их эквивалентную замену
токовым слоем с плотностью J , связанной с вектором намагниченности M (рис. 2)
следующим образом:
1
J   ν, M  .
0
Здесь ν – внешняя нормаль к поверхности магнита.
v
2b
M
2
1
O
x
Рис. 2 Геометрия и расположение несущего магнита
относительно направляющего проводника
Рассмотрим прямоугольный виток L с током J (рис.3). Индукция магнитного поля
такого витка вычисляется по формуле
 J
1
b 0 M   0 rot 
dl Q .
4
r
L QM
n
J
2b
S1
L
2
R1
1
O
S
x
Рис. 3 Геометрия и расположение витка с током
относительно направляющего проводника
Для расчета требуется нормальная компонента индукции, которая может быть
вычислена следующим образом
 J 
 1
bn0  M    0
dSQ .
(0.8)

4 nM S nQ rQM
1
Применяя к обеим частям равенства (3.1) преобразование Фурье по координате x ,
а затем теорему сложения для функции Макдональда, получим
4 J 0 Rm

   1 
 1   2 
 1   2  
bn0  m, n, r  
K n  m R1  I n  m r  sin  n 2
 sin mb  cos  n
  j sin  n

n
2 
2 
2  




r  R1 .
При рассмотрении пары витков с током, расположенных симметрично
относительно оси   0 , возможны две ситуации, представленные на рис. 4.
J
J

x
O
а)
J

x
O
б)
Рис. 4 Расположение и варианты полярности витков с током
а) одинаковая полярность, б) чередующаяся полярность
J
На рис.4а токи в витках однонаправлены, а на рис. 4б – имеют противоположные
полярности. Формулы для расчета Фурье-образа bn0 в этих случаях имеют вид
8 J  0 Rm
    2    2  1 
K n  m R1  I n  m r  cos  n 1
 sin  n
 sin mb, r  R1 ,
n
2  
2 

8 J 0 Rm
    2    2  1 
б) bn0  m, n, r  
K n  m R1  I n  m r  sin  n 1
 sin  n
 sin mb, r  R1 .
n
2  
2 

а) bn0  m, n, r  
Для учета толщины магнита, чтобы получить индукции Bn0 , Bn0  и Bn0  , остается
проинтегрировать по толщине магнита величины bn0 , bn0  и bn0  соответственно.
4. Расчет силовых характеристик электродинамического подвеса
При конструировании электродинамического подвеса важно знать зависимости его
силовых характеристик от различных величин (радиуса и толщины проводника, высоты
подвеса, расположения и массы магнита). Исследование этих зависимостей позволяет
минимизировать затраты на его изготовление, например, за счет снижения расхода
материала. При этом подвес будет обладать необходимыми силовыми характеристиками.
Формула для вычисления электромагнитной силы, действующей на несущие
магниты подвеса со стороны направляющего проводника, имеет вид
F    σ, B0  dS .
S
С учетом представления (0.3), тождеств векторного анализа [6] и соленоидальности
магнитной индукции B0 получим, что
(0.9)
F     grad Bn0 dS .
S
Используя равенство Планшереля (0.5), окончательно получим


0
R
F
dm    m,   grad B n  m, , r  d  

2  

 R 

   m, n  grad B  m, n, r dm,
0
n
 n 
jn 
f

где grad f  m, n, r    jme x  e  f  e r .
R 
r

Сделаем важное замечание, необходимое для дальнейших расчетов. А именно,
обратим внимание, что вещественная часть Фурье-образа всякого вещественного
оригинала обладает четной симметрией относительно начала оси параметра m и имеет
своим оригиналом функцию, обладающую четной симметрией относительно начала оси
координат x . Аналогично, мнимая часть обладает нечетной симметрией, а ее оригинал
сохраняет эту симметрию на оси координат x . Данное свойство является очень важным
при численных расчетах, так как позволяет упростить и существенно сократить объем
вычислений. Из него следует, что интеграл в симметричных пределах от произведения
вещественной части одного из сомножителей в (0.9) на мнимую часть другого
сомножителя равен нулю, а интеграл в тех же пределах от одноименных частей
сомножителей, благодаря четной симметрии подынтегральной функции, равен
удвоенному интегралу на половине интервала интегрирования. Таким образом,
компоненты Fx , F , Fr электромагнитной силы, действующей на магниты, могут быть
вычислены по формулам:




0
F

4
R
m
Im

m
,
0
Re
B
m
,
0,
R

2
а) x
  Im   m, n  Re Bn0  m, n, R  dm ,
0    n 
n 1

 
F  8  n Re   m, n  Im Bn0  m, n, R  dm ,
0 n 1






Fr  4 R  m Re   m, 0   Re Bn0  m, 0, R    2 Re   m, n   Re Bn0  m, n, R    dm ;
r
r
n 1


0




0
F

4
R
m
Im

m
,
0
Im
B
m
,
0,
R

2
б) x
  Im   m, n  Im Bn0  m, n, R  dm ,
0    n 
n 1

 
F  8  n Re   m, n  Re Bn0  m, n, R  dm ,
0 n 1






Fr  4 R  m Re   m, 0   Im Bn0  m, 0, R    2 Re   m, n   Im Bn0  m, n, R    dm .
r
r
n 1


0
0
Здесь при вычислении   m, n  в формуле (0.7) в качестве Bn необходимо подставить
значение Bn0  или Bn0  для случая а) и б) соответственно.
В качестве силовых характеристик электродинамического подвеса можно
использовать зависимости сил левитации FL и торможения FT , действующие на несущие
магниты, от геометрических и физических параметров. Значения этих сил выражаются
следующим образом
   2 
   2 
FL   sin  1
 F  cos 1
 Fr , FT  Fx .
 2 
 2 
Рассмотрим электродинамический подвес, удовлетворяющий нашим идеализациям.
Направляющий проводник подвеса выполнен из материала с удельной проводимостью
1
  3.1107  Ом×м  . Радиус проводника R  0.05 м. Конструкция имеет одну пару
магнитов, соответствующих случаю а), со следующими геометрическими параметрами:
толщина магнита – 0.02 м, b  0.025 м. Магниты движутся вдоль проводника со
скоростью v , M  1.4 Тл. На рис. 5 и 6 изображены результаты расчетов сил левитации и
торможения в зависимости от высоты подвеса  и толщины проводника h
соответственно при фиксированных значениях скорости. Здесь и далее графики 1, 2, 3, 4, 5
и 6 рассчитаны для значений скорости равных 1, 4, 7, 10, 13 и 16 км/с соответственно.
Рис.5 Зависимость сил левитации FL и торможения FT от высоты подвеса 
(толщина проводника h  0.0002 м)
Рис.6 Зависимость сил левитации FL и торможения FT от толщины проводника h
(высота подвеса   0.01 м)
Выполнив анализ этих графиков можно найти оптимальную конфигурацию
электродинамического подвеса, отвечающего необходимым условиям. Например, из рис.5
видно, что увеличение высоты подвеса приводит к уменьшению как силы торможения, так
и силы левитации.
Еще одной характеристикой системы является отношение FM / FG , где FM –
подъемная сила, а FG – сила тяжести, действующая на магнит. Ниже на рис.7 приведена
зависимость этого отношения от скорости при толщине проводника h  0.0002 м и высоте
подвеса   0.01 м, а на рис.8 – зависимость от массы m магнита, которая изменяется
путем увеличения его толщины, при тех же условиях.
Рис.7 Зависимость отношения FM / FG от скорости v
Рис.8 Зависимость отношения FM / FG от массы магнита
Из рис. 8 видно, что, начиная с определенного момента, увеличение массы магнита
приводит к ухудшению качественных характеристик электродинамического подвеса. Это
особенно заметно для малых скоростей (1-4 км/с).
Таким образом, учет свойств электродинамического подвеса и исследование его
силовых характеристик позволяют создавать конструкции с параметрами, необходимыми
для выполнения поставленных задач и имеющие при этом оптимальную стоимость.
Литература
1. Шимони К. Теоретическая электротехника /Пер. с нем. М.: Мир, 1964. 773 с.
2. Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье / Пер. с англ. М.: ОГИЗ
3. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. / М.: Наука,
1973. 228 с.
4. B. G. Korenev Bessel Functions and their Applications, Taylor&Francis, London, 2002.
276 p.
5. Астахов В.И. Математическое моделирование инженерных задач в электротехнике
/ Учебное пособие. Новочеркасск: НГТУ, 1994. 192 с.
6. Кочин Н.Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. М.: Изд. АН СССР,
1961. 425 с.