Как делать математические доклады 1 Оглавление

Как делать математические доклады1
П.Р. Халмош
Оглавление
Апология .................................................................................................................................................... 1
Зачем нужны публичные лекции ............................................................................................................. 2
Простота ..................................................................................................................................................... 2
Детализация .............................................................................................................................................. 4
Доказательства .......................................................................................................................................... 4
Затруднения науки и тёмные пятна ........................................................................................................ 5
Организация .............................................................................................................................................. 5
Подготовка ................................................................................................................................................. 6
Краткость .................................................................................................................................................... 6
Разные советы ........................................................................................................................................... 6
Гибкость ..................................................................................................................................................... 7
О коротких докладах................................................................................................................................. 8
Заключение ................................................................................................................................................ 9
Апология
Цель этой заметки — подсказать молодому математику, что он мог бы сделать (и что ему бы не
следовало делать), чтобы преуспеть в своих первых публичных выступлениях. Под «публичным
выступлением» (или «публичной лекцией» или, далее, просто «лекцией») я понимаю что-то вроде
доклада на большом научном собрании (более-менее для всего отделения математики университета), приглашённый доклад в математическом обществе (например, в American Mathematical Society); я не имею в виду обычный урок для студентов-новичков или выступление на специализированном научном семинаре для экспертов в узкой области. Запрос на подобную статью-руководство исходил от администрации Американского математического общества. В последнее время
было всё больше жалоб на то, как делались приглашённые доклады (приходилось слышать, что
1
P.R. Halmos. How to Talk Mathematics // Notices of the AMS (1974) 21:3 155-158
Перевод английского выполнен А. Дайняком, www.dainiak.com
часто их было невозможно воспринять, а потому они были полностью бесполезны), и поэтому хорошо было бы познакомить будущих докладчиков с возможными ошибками до того, как сами докладчики споткнутся на этом.
Гении сами задают правила, но статьи-руководства вроде этой пишутся простыми смертными для
других простых смертных; Харпо Маркс, будучи одним из выдающихся арфистов, никогда не получал классического музыкального образования, и вся его техника игры была «ошибочна» с общепринятой точки зрения. Большинство советов данной статьи обладают тем свойством, что хотя бы
один из гениев им не следовал и ничуть от этого не страдал. Автор настоящей заметки знает об
этом, но в первом приближении вынужден это проигнорировать, поскольку иначе эта заметка так
и не появилась бы на свет.
Зачем нужны публичные лекции
В чём смысл публичного выступления? Ответ: для увлечения и информирования. Нам самим нравится то, чем мы занимаемся, и нам хочется поделиться своим энтузиазмом с другими, чтобы им
тоже это понравилось; и мы верим, что предмет нашей науки настолько ценен сам по себе, что
достаточно любому слушателю соприкоснуться с ним, узнать о нём побольше, как предмет этот
увлечёт слушателя. Так что, пожалуй, более точный ответ: цель публичной лекции в том, чтобы
донести до слушателей информацию, да ещё и в такой форме, чтобы их это увлекло. Феерическое
выступление без конкретного содержания, разумеется, бесполезно. Но также толку нет и в излиянии на слушателей неудобоваримого потока информации.
Вопрос можно теперь поставить так: как лучше всего описать область математики (или совершенно конкретную задачу, на которой в последнее время были сосредоточены усилия лектора)
для аудитории профессиональных математиков, большинство из которых интересуются чем-то
другим, нежели докладчик? Эта задача отличается от подготовки учебной лекции для студентов,
которым нужно рассказывать материал с необходимой степенью детализации. И также отлична
эта задача от изложения недавнего открытия экспертам в той же узкой области, в которой лектор
работает, и которым интересно, что же нового сделал автор в знакомой им науке.
Простота
Less is more.2 Если бы все лекторы помнили это высказывание архитектора Людвига Миса ван дер
Роэ, то все слушатели лекций были бы счастливее.
Вам когда-нибудь была противна лекция из-за того, что она была слишком простой? Наверняка,
кто-то из читателей положительно ответит на этот вопрос, но их будет немного. Каждый раз, когда
я задавал кому-нибудь этот вопрос, я получал в ответ «нет», и отвечающий иногда сам себе удивлялся. Публичная лекция должна быть простой и понятной, а не сложной и нагруженной техническими подробностями. Если вы готовы впредь руководствоваться правилом простоты, можете
дальше не читать этот раздел; далее в нём я лишь подробнее раскрываю это правило.
2
Чем проще, тем лучше. Дословно: «меньше — значит больше».
Когда лекция для аудитории в 500 человек начинается со слов «Рассмотрим пучок ростков голоморфных функций...» (а я бывал и на таких лекциях), многие слушатели теряются и оказываются
настроенными против доклада и докладчика. При упоминании формулы Кюннета не помешает
сказать, что, по крайней мере в том, что касается чисел Бетти, всё похоже на обычное произведение многочленов. Рассказ о функторах можно начать с слов о том, что типичным примером является формирование сопряжённых векторных пространств и сопряжённых линейных преобразований. Простота может быть достигнута путём конкретизации абстрактных идей. Слушатели с куда
большей охотой готовы выслушать недоказанный (но с указанием идеи доказательства) результат,
нежели выдержать дотошно сформулированное абстрактное утверждение и самостоятельно восстановить важнейшие частные случаи, которые скорее всего и послужили мотивацией для вводимого понятия. Осторожно: конкретика не должна доводить до того, что за деревьями перестаёт
быть виден лес. Часто бывает, что обобщение формулируется проще и оказывается более прозрачным, чем частный случай.
(Примеры: полученное Артином решение 17-й проблемы Гильберта с помощью формально действительных полей; доказательство Гельфандом теоремы Винера об абсолютно сходящихся рядах
Фурье через банаховы алгебры.) В этих примерах частный случай отлично иллюстрирует общую
идею. Лектор, по-настоящему разбирающийся в своём предмете, проиллюстрирует одновременно и общую картину, и запутанный частный случай, рассмотрев другой частный случай попроще.
Некоторые лекторы оправдывают обилие технических подробностей в лекциях, говоря, что такова
уж их наука, и с этим ничего не поделаешь. Я воспринимаю эти заявления скептически, и, больше
того, я считаю, что такие заявления показывают недостаточно глубокое понимание предмета и его
места в едином математическом здании. Любой раздел математики, заслуживающий того, чтобы
сделать по нему часовой доклад, включает в себя и относительно простые главы, — и именно они
заслуживают внимания, поскольку лежат обычно в основе предмета, подчёркивают связь со старыми и широко известными разделами математики.
Многие лекторы, особенно те, кто только начинает восходить по академической карьерной лестнице, хотят двигаться по ней быстро, и, чувствуя груз ответственности перед старшими коллегами,
желают блеснуть умом и эрудицией во время доклада. Два замечания: во-первых, лучший способ
блеснуть умом — быть проще, и, во-вторых, на само деле это просто лишнее. Фокусировка лекции
на последних достижениях докладчика может быть подходящей, но столь же подходящим может
быть и противоположный выбор. Аудитория оценивает достоинства лекции не только по количеству оригинального материала, в неё включённого; включение в лекцию последней из доказанных
докладчиком теорем может никак не улучшить отношение слушателей к докладу.
Известный совет по достижению компромисса между понятностью лекции и желанием докладчика показать собственную эрудицию: первую четверть лекции читайте так, как будто вы объясняете её своему учителю химии старших классов школы, на протяжении второй четверти представляйте перед собой аспиранта, третью часть посвятите образованному математику, работающему
в другой области, и только последнюю четверть посвятите специалисту в вашей собственной области. Я выполнил свой долг, написав об этом правиле, но я не до конца выполню долг, не сказав,
что многие с этим правилом не согласятся. Хорошая публичная лекция — это произведение искусства. Это должна быть композиция, части которой дополняют друг друга для максимально эффективной передачи информации конкретной аудитории — а не предвыборная речь, адресованная
всем на свете, и весьма вероятно, не удовлетворяющая никого.
Будьте проще — не прогадаете.
Детализация
Некоторые лекторы, из лучший побуждений, стремясь к простоте, пытаются достичь её за счёт
чрезмерной эксплицитности и детализации. Это ошибочный путь.
Под чрезмерной эксплицитностью я имею в виду дотошное проведение всех вычислений. Если
доказательство леммы сводится к вычислению произведения двух громоздких выражений, так и
скажите, и оставьте эти выражения в покое; логическая простота вычислений не означает, что их
нужно всегда полностью проводить и не придаёт этому дополнительной информативности. Как
гласит легенда, Ландау никогда не забывал ни единого 𝜀 в своих лекциях, и, тем не менее, они
были живыми и содержательными, — но это скорее исключение из правил. Если подвернётся редкий случай, когда не слишком длинное вычисление проливает свет на какую-то важную деталь,
можно его провести, но в целом правило для простых смертных гласит: не вычисляйте на публике.
Простое вычисление не делает лекцию простой.
Под чрезмерной детализацией я понимаю определения. Некоторые лекторы считают, что, обращаясь к аудитории не-экспертов, нужно начинать с самых основ, рассказать слушателям всё.
«Чтобы сформулировать доказанную мной на прошлой неделе теорему, мне потребуется 14 определений и 11 теорем, доказанных ранее моими предшественниками. Если я буду быстро писать,
то успею эти 25 пунктов рассказать за 25 минут, и тогда всё оставшееся время смогу посвятить
изложению собственного результата.» Это, конечно, честно по отношению к слушателям, и делает
лекцию самодостаточной, но приводит к тому, что лекция становится неперевариваемой, с очевидным результатом. Если кто-то за полчаса объяснит вам значение каждого иероглифа на странице китайского текста, сможете ли вы наслаждаться записанным на этой странице стихотворением в течение оставшегося получаса?
Доказательства
Некоторые лекторы считают, что правило «будьте проще» эквивалентно призыву «ничего не доказывайте». Это не совсем так. По-моему, целью публично лекции не является доказательство как
таковое, но в то же время, ничего вообще не доказывая, лектор обходит стороной неотъемлемую
часть математического творчества, которую профессионалы считают привлекательной и информативной. Я бы посоветовал каждому лектору всё-таки доказать нечто: небольшую теорему, полезную элегантную лемму, или что-нибудь, хорошо передающее дух излагаемого предмета. Если доказательство достаточно коротко, то почти не страшно, если оно, быть может, останется не до
конца понятым. Для слушателя определённую ценность будет представлять ремарка лектора о
том, что числа Бернулли находят применения в теории стабильных гомотопических групп, даже
если слушатель имеет лишь неглубокое представление о том, что такое числа Бернулли или
группы гомотопий.
Кое-что может оказаться даже полезнее, чем элегантное доказательство — а именно, идея доказательства, интуитивные предпосылки, убеждающие в том, что именно по такому пути доказательство следует проводить, внутренняя причина того, что теорема должна быть верна. Подобрать
нужные слова для описания центрального момента в доказательстве — как правило, нелёгкая задача, но она стоит того, чтобы её решить, ведь в награду за старания вы получаете лучший способ
передать словами математическую мысль.
Затруднения науки и тёмные пятна
В том же духе, неверно истолковать принцип простоты можно так: «концентрироваться только на
том, что известно и ясно для науки»; в противоположность этому, я могу порекомендовать в любой
публичной лекции затрагивать хоть что-то с переднего края науки, а на переднем крае всегда есть
нерешённые задачи и тёмные пятна. Совершенно необязательно это должны быть самые новые и
замысловатые вопросы. Не бойтесь напомнить какую-нибудь старую нерешённую проблему: в
конце концов, многие ваши слушатели не сталкивалась с вашим узким предметом с тех пор, как
окончили высшую школу (то есть давно). Кое-что они узнают даже из того факта, что одна старая
задача, не решённая в те далёкие времена, не решена и до сих пор. Обсуждение нерешённых задач — ценная часть в деле привлечения и информирования, и, как мне кажется, неизбежная часть.
Дисциплина не вполне описана, пока не описаны границы её знания; взгляд на рубежи наших знаний необходим для понимания того, как дисциплина развилась на текущий момент и что ожидает
её в будущем. Разумеется, публичная лекция должна быть простой, но ценой этому не должно
становиться опустошение, лектор не должен доводить неполноту материала до того, чтобы перестать быть честным со слушателями.
Организация
Организованность доклада — что скелет для человека. Без него всё развалится, но его присутствие
не должно выпячиваться. Организуйте, планируйте свою лекцию, тщательно готовьтесь, но затем
проведите лекцию, будто бы экспромтом, спонтанно, сообразно сложившейся в аудитории ситуации.
При подготовке лекции первое место по важности занимает знание предмета, и, с небольшим отставанием, идёт знание слушательской аудитории. В публичной лекции подстройка под уровень
слушателей играет гораздо бóльшую роль, чем при написании книги. («Подстраиваться под уровень аудитории» — не эвфемизм для «перекричать аудиторию». Не оскорбляйте слушателей, но
будьте реалистичны. Поднимаясь едва выше средней планки, совсем немного выше неё, вреда не
причинить; но поднимаясь намного выше среднего уровня, лектор может провалить лекцию.) Читатель может отложить непонятную книгу и вернуться к ней, когда будет достаточно подготовлен;
а вот настроенный против вас слушатель в сердцах вас оставит и, коль скоро речь о ваших устных
выступлениях, может никогда не вернуться. Нахождение подходящего уровня сложности доклада
— одна из целей, которую призвана достичь правильная подготовка. Самой же важной целью является, конечно, содержание. Тут я посоветую две вещи (в дополнение к «докажите нечто» и
«спросите нечто», о которых уже упоминалось): (1) обсудите три-четыре близких темы и связи
между ними вместо того, чтобы концентрироваться целиком на одной узкой теме, и (2) разбейте
каждую тему на несколько подтем, свободно добавляемых или опускаемых модулей, так, чтобы,
случись вам пропустить один из них, целостность изложения бы не нарушилась. Что касается спонтанной подаче лекции, тому есть две причины: такая лекция лучше звучит и способствует взаимодействию между лектором и слушателями. По лицам слушателей можно понять, нужно ли замедлить или ускорить тема, пояснить что-то дополнительно или что-то опустить.
Подготовка
Подготовка лекции предполагает определение набора затрагиваемых тем, последовательности их
изложения, и связей между ними, о которых лектор считает полезным упомянуть. Уж точно подготовка не означает записывание на листе бумаги всех слов, которые лектор собирается произнести, с целью их выучить наизусть (или, ещё хуже, прочитать с листа). Тем не менее, сама по себе
вовсе не плоха идея записать все основные мысли, особенно всё то, что окажется во время лекции
перенесено на доску (и тут же нужно продумать, что должно будет остаться на доске надолго, а
что можно будет почти сразу стереть). Запись всех основных мыслей и содержимого доски позволит прорепетировать доклад с хорошим пониманием того, сколько времени на что потребуется.
(Внимание: если во время репетиции вы уложитесь в час, то реальное выступление продлится,
скорее всего, полтора часа.)
Краткость
Большинство лекций подразумеваются на один час, но по общепринятому соглашению, «часовая»
лекция должна длиться минут пятьдесят. Никто не упрекнёт вас, если вы превысите порог в 45
минут, но слушатели начнут нервничать, если вы вылезете за 55 минут, и будут негодовать, если
доклад затянется до 65 минут. Задерживать аудиторию сверх отведённого времени — грубость.
Ваши теоремы и доказательства могут быть вовсе не так важны в жизни слушателей; «ещё всего
пять минут», проведённые в спешке, на бегу, расходуются впустую. Если вы не успеваете закончить, так и скажите, если угодно, выразите сожаление, но остановитесь; ваше сожаление о незаконченном доказательстве — меньшее из двух зол по сравнению с суммарным сожалением аудитории о затянувшейся лекции.
Разные советы
Обычно публичная лекция предваряется выступлением председателя сессии. Правило этикета:
дайте ему возможность полноценно вас представить. До начала лекции присядьте где-нибудь в
аудитории, в передних рядах, или в углу зала; не бегите преждевременно к доске и не нависайте
над председателем.
Хороший рецепт для преодоления первичного страха сцены — запомнить лишь одно предложение, с которого начнётся лекция. После этого ваша компетентность в любимом предмете и хорошая подготовленность к лекции сделают своё дело. Изо всех сил старайтесь избегать раздражающих привычек. Определение: под раздражающими привычками я понимаю всё, что повторяется
более чем дважды. Они могут быть вербальными (сорные слова); визуальными (заключение каждого отдельного выражения на доске в аккуратную рамочку или подчёркивание каждой формулы); или динамическими (например, постоянное расхаживание туда-сюда или подпрыгивающие движения за кафедрой).
Если у вас возникли технические накладки, поймайте взгляд председателя и, обращаясь лишь к
нему, скажите прямо «у меня кончился мел», или «не могли бы вы мне дать тряпку?». Не сосредотачивайте внимание на своём замешательстве и не рассыпайтесь в извинениях и комментариях
к сложившейся ситуации. («Ох, куда же мне записать определение, — да-а, похоже, у меня совсем
кончилось место на доске, — хотя, пожалуй, можно стереть вот эту формулу.») Примите подходящее решение и выполните соответствующее действие без лишнего шума: не следует отвлекать
внимание аудитории на вещи, не относящиеся к содержанию доклада.
Мощным инструментов докладчика являются паузы; лекторы, лучше всех знающие как говорить,
также лучше всех знают и моменты, когда нужно помолчать. Пауза в пять секунд (или, максимум,
десять) после сформулированного определения или теоремы сосредотачивает внимание аудитории и даёт возможность слушателям переварить сказанное. Не злоупотребляйте этим, но помните,
что три-четыре раза за час, в три-четыре ключевых момента лекции пауза, как ни парадоксально,
может служить ключевым средством к объяснению материала.
Говорите неспешно и громко; пишите крупными буквами и сопровождайте этот процесс речью;
пишите медленно и немного. Доска создана для хорошо подобранных сокращений, стрелок, диаграмм, а не для записи на ней художественного текста; конечная цель — помочь аудитории воспринять материал за счёт взаимодополняющего устного изложения и выписывания на доску тех
вещей, которые должны быть у слушателей перед глазами на протяжении некоторого времени.
(Пример: вместо «полупростую группу определим следующим образом» пишите на доске «полупростая группа:».) Ни при каких обстоятельствах не встречайте аудиторию тщательно подготовленной доской (или слайдом/слайдами), сплошь исписанной формулами, определениями и теоремами. (Разумным исключением служат только рисунки: если один-два рисунка хорошо проиллюстрируют ваш доклад, но рисовать их находу слишком долго, аудитория простит, если вы подготовите их заранее.) Не отнимайте у слушателей удовольствие увидеть, как презентация вырастает у неё на глазах, этот постепенный рост является важной составляющей лекции.
Гибкость
По той причине, что в реальности очень трудно спланировать время точно (вы недостаточно отрепетировали лекцию, слушатели задают вопросы по ходу лекции, лекционный зал забронирован
для другой лекции строго на 17:00, или просто вы запутались в изложении и пытаетесь выбраться
из положения), гибкость является важным ингредиентом, который нужно заложить в свою лекцию. Нужно быть готовым к пропуску или добавлению материала, и нужно быть готовым делать
это под давлением времени, на публике, исходя из сиюминутной ситуации, не подавая вида и так,
чтобы аудитория этого не заметила. Наверняка есть множество рецептов для увеличения гибкости
лекции. Я упомяну два приёма, которые пригодились мне самому. Первое — упражнения. Подготовьте пару утверждений, детальное обсуждение которых украсило бы лекцию, и умолчание которых одновременно не разрушало бы лекцию, и в нужный момент можно задать эти вопросы
слушателям в качестве «упражнения». В этой ситуации вы рискуете, что внимание более подготовленной и азартной части слушателей будет отвлечено на эти упражнения в течение оставшейся
части лекции. Зато у вас появляется возможность изящно заполнить свободное время, если оно,
конечно, неожиданно появится и если упражнения будут таковы, что решение упражнений необязательно рассказывать для целостности изложения. (Кстати, в упражнениях есть ещё один плюс:
благодаря им слушатели могут реализовать своё священное право задать вопросы докладчику.)
Второй приём для придания лекции гибкости, на котором я хочу остановиться: подготовка лекции
как набора логических модулей. Мои конспекты лекций обычно содержат около 20 абзацев текста
с сокращениями. Изложение одного параграфа занимает от 2 до 4 минут, и по меньшей мере половина (последние 10) параграфов таковы, что их можно опустить без серьёзных потерь. Эти необязательные параграфы обычно содержат милые моему сердцу вещи: чудесное доказательство,
неожиданное обобщение, трудный вопрос — но никто (кроме меня) не расстроится, если я о них
не упомяну. Зная, что у меня под рукой есть эти параграфы «на чёрный день», первую половину
лекции я читаю без забот: я уверен, что у меня не закончится неожиданно время посреди обсуждения центральной идеи, и основное, что запланировал, я расскажу. В течение же второй половины я чаще бросаю взгляд на часы, и, не подавая вида, принимаю на ходу решения о том, какие
из домашних заготовок включать в дальнейшее изложение. Ещё одна из возможных проблем:
неуклюжее завершение лекции: по истечение отведённого времени лекции можно выглядеть так,
будто вы остановились неожиданно, на полпути. Чтобы избежать скомканной концовки, подготовьте заранее заключительное слово и закончите им лекцию. Заключение может состоять в подытоживании основного содержания лекции или в перечислении нескольких важных открытых проблем в области. Заготовьте что угодно, что вы считаете нужным, и закончите лекцию именно этим.
Правило этикета: когда вы закончите выступление, сядьте. Буквально сядьте. Не стойте с потерянным видом и не спрашивайте, есть ли у аудитории вопросы; последнее суть работа председателя
сессии.
О коротких докладах
Короткий доклад сложнее подготовить и провести, чем длинный. У лектора меньше времени для
того, чтобы заложить фундамент доклада, а у аудитории меньше времени на обдумывание, и,
стало быть, слушатели вынуждены воспринимать материал в хорошем темпе.
По моему опыту, 20-минутный доклад вполне способен принести удовольствие и пользу; просто
подготовьте 10-минутный доклад и изложите его неторопливо. Самое сложное — подготовить
10-минутный доклад; рецепты, о которых уже говорилось (простота, организованность и краткость) применимы и здесь, но теперь уже нет места для ошибки. Концентрируйтесь только на
идее, и, возможно, на самом прозрачном примере её приложения, порепетируйте доклад с огляд-
кой на время, и ни в коем случае не дайте 10-минутному докладу перерасти в 45-минутный данный без приглашения экспромт. Такие случаи бывали, но они не отличались ни увлекательностью,
ни информативностью. Некоторые эксперты считают, что нужно упростить правила для 10-минутного доклада: в этом случае, как они считают, можно с самого начала окунуться в гущу событий, и
можно использовать заранее подготовленные слайды. Другие же с этим не соглашаются, принимая во внимание ограниченные способности человеческого мозга по восприятию информации.
Заключение
Мои советы сводятся к следующему: лекция должна быть простой, хорошо подготовленной и
краткой. Делайте лекцию простой (нацеленной и конкретной); не забудьте что-нибудь доказать и
оставить интересные открытые вопросы; готовьтесь тщательно, вникая в детали; организуйте материал, оглядываясь при этом на уровень аудитории; будьте кратки и, по возможности, гибки.
Помните, что цель лекции — увлечь слушателей своим предметом и передать им информацию.
И помните: less is more.