6 класс - Псковский областной центр развития одаренных детей

Государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей Псковской области
«Псковский областной центр развития одаренных детей и юношества»
Областной конкурс «Юные дарования» 2013/2014
«Юный знаток математики»
Очный тур
6 класс
1. В лесу растёт 1 000 000 ёлок. Известно, что на каждой из них не более
600 000 иголок. Докажите, что в лесу найдутся две ёлки с одинаковым числом
иголок. (2 балла)
Решение: так как ёлок гораздо больше, чем иголок на каждой из них, то на
некоторых ёлках число иголок должно быть одинаковым. Потому что если
бы количество иголок у всех ёлок было разное, то число деревьев в лесу не
превысило бы 600 001 штуки (учитываем ствол без игл).
2.Три поросёнка Ниф-Ниф, Наф-Наф и Нуф-Нуф очень непохожи друг на
друга. Каждый из них либо всегда говорит правду,
либо всегда лжёт.
Поросятам был задан вопрос: «Есть ли хотя бы
один лжец среди двух остальных?» Первый
ответил: «Нет», второй ответил: «Да». Что ответил
третий? Ответ обоснуйте. (2 балла)
Решение: так как первый и второй поросята дали
различные ответы, то один из них – лжец, а другой – говорит правду. Кроме
того, честный поросёнок не мог ответить «Нет» на предложенный ему
вопрос, так как в этом случае он бы сказал неправду (среди двух оставшихся
точно есть лжец). Следовательно, первый – лжец. Он солгал, значит, среди
двух оставшихся должен быть лжец, и им может оказаться только третий
поросёнок. Значит, третий ответил «Нет».
3. В Стране Чудес было три города: Изумрудинск (И), Сапфирополь (С) и
Рубинец (Р). Из города И в город С ведёт 6 дорог, а из города С в город Р – 4
дороги. Затем построили ещё один город – Златонецк (З) и несколько новых
дорог: две из И в З, три из З в Р. Сколькими способами путник может
добраться из Изумрудинска в Рубинец? (4 балла)
Решение: рассмотрим два случая – путь проходит через город С или через
город З. В первом случае количество маршрутов равно 24 (6х4), во втором 6
(2х3). Всего возможных путей 30 (24 + 6).
4. Вася и Петя играют в «морской бой» на поле размером 8х8 по следующим
правилам. Петя расставляет 16 одноклеточных кораблей так, чтобы они не
соприкасались (даже углами). Каждым ходом Вася называет одну из клеток
поля и, если на этой клетке стоит корабль, то корабль считается
уничтоженным. Вася уверен, что независимо от расстановки кораблей за 4
хода сможет уничтожить хотя бы один из них. Почему? (3 балла)
Решение: разделим поле для игры на 16 квадратов размером 2х2. Заметим,
что в каждом таком квадрате не может стоять более одного корабля
(иначе корабли станут соприкасаться). Так как всего кораблей 16, то в
каждом квадрате должен стоять корабль. Таким образом, Васе достаточно
полностью «расстрелять» один из этих квадратов 2х2, сделав не более
четырёх выстрелов.
5. Нарисуйте 8 точек и соедините их отрезками так, чтобы отрезки не
пересекались и из каждой точки исходили ровно 4 линии.
(2 балла)
Решение:
6. На каждом километре между домиком Ниф-Нифа и коттеджем Нуф-Нуфа
стоит столб с табличкой, на одной стороне которой написано расстояние до
домика первого поросёнка, на другой – расстояние до коттеджа второго.
Останавливаясь у каждого столба, Волк заметил, что если сложить все цифры,
записанные на обеих сторонах таблички, то получится 13. Найдите расстояние,
пройденное Волком от домика Ниф-Нифа до домика Нуф-Нуфа. (4 балла)
Решение: расстояние между домиками не может быть больше, чем 49
километров, так как тогда на одном из столбов будет написано с одной
стороны 49, а с другой – не 0, то есть, сумма цифр будет больше 13. На
первых девяти столбах с одной стороны записаны однозначные числа от 1 до
9, поэтому числа, записанные с другой стороны, также должны быть из
одного десятка (чтобы суммы цифр были одинаковы). Следовательно,
искомое расстояние выражается числом, оканчивающимся на 9. Числа 9, 19,
29 и 39 решениями не являются, так как на первом столбе сумма цифр не
будет равна 13. Таким образом, искомое расстояние равно 49 километрам.