Проводники в электростатическом поле

ТЕМА 3. ПРОВОДНИКИ В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ
3.1. Электростатическая индукция
В металлическом проводнике имеются свободные электроны, которые
могут перемещаться под действием внешнего электрического поля. В его
отсутствие свободные электроны так распределены между положительно
заряженными ионами кристаллической решетки, что суммарный заряд
любого малого объема внутри проводника равен нулю. Соответственно, по
теореме Гаусса равна нулю и напряженность электрического поля внутри
проводника. При наличии внешнего поля свободные электроны смещаются
навстречу линиям напряженности; в результате этого на одной стороне
проводника появляется избыточный отрицательный заряд, на
противоположной стороне – некомпенсированный положительный заряд
(рис. 3.1). Опыт показывает, что такое перераспределение электронов








Рис. 3.1
происходит до тех пор, пока поле, созданное этими зарядами, не
компенсирует полностью внешнее поле внутри проводника. Иначе говоря,
свободные электроны перемещаются, пока суммарная напряженность поля
внутри проводника не станет равной нулю.
Явление перераспределения свободных электронов в металлическом
проводнике, помещенном во внешнее электрическое поле, называется
электростатической индукцией, а возникающие при этом на поверхности
проводника заряды – индуцированными зарядами. Ниже перечислены
некоторые свойства проводников, обусловленные электростатической
индукцией.
Нетрудно показать, что вектор напряженности поля у поверхности
проводника после завершения перераспределения направлен по нормали к
ней, а поверхность проводника – эквипотенциальна. Действительно, если бы
это было не так, то тангенциальная составляющая вектора напряженности
вызывала бы дальнейшее перемещение электронов. Понятно, что
аналогичное перемещение имело бы место и в том случае, когда в разных
точках поверхности потенциалы были бы неодинаковы.
Легко видеть, что индуцированные заряды располагаются только на
поверхности проводника. В самом деле, из теоремы Гаусса следует, что если
1
напряженность поля внутри проводника равна нулю, равен нулю поток
вектора E через любую замкнутую поверхность и, соответственно, равен
нулю заряд внутри этой поверхности.
Как уже отмечалось, поверхность проводника эквипотенциальна, а
потенциал внутри проводника в каждой точке одинаков и равен потенциалу
на его поверхности. Это следует из соотношения E   . Действительно,
если E  0 , то   0    const .
Далее найдем соотношение между напряженностью поля вблизи
поверхности проводника и плотностью индуцированных на ней зарядов. Для
этого воспользуемся теоремой Гаусса, а в качестве гауссовой поверхности
используем прямой круговой цилиндр с основаниями площадью ds ,
параллельными участку поверхности (рис. 3.2). Высота цилиндра мала
E
ds
Рис. 3.2
настолько, что поле внутри него можно считать однородным. Поскольку
внутри проводника E  0 , поток вектора напряженности через нижнее
основание равен нулю. Так как линии напряженности перпендикулярны
выбранному участку проводника, поток через верхнее основание цилиндра
равен Eds , а через его боковую поверхность – ноль. По теореме Гаусса
имеем:
Eds 
ds

E
0
0
(здесь  – поверхностная плотность индуцированных зарядов).
Опыт показывает, что поверхностная плотность зарядов на различных
участках проводника неодинакова: она близка к нулю в углублениях и
максимальна на заострениях. Поэтому и напряженность поля у поверхности
такого проводника неодинакова: она максимальна вблизи заострений и
минимальна в углублениях. В этом заключается причина явления, которое
называется «стеканием» заряда с металлических заострений. Проявляется
оно в том, что заряд на острие уменьшается, а изолированные металлические
предметы, находящиеся вблизи острия, приобретают заряд того же знака.
Если же вблизи предварительно заряженной металлической пластинки
поместить заземленное острие, то пластинка разряжается.
Причина этих явлений заключается в большой напряженности
электрического поля вблизи острия. В самом деле, когда напряженность
достаточно велика, происходит ионизация молекул атмосферного воздуха с
образованием электронов и положительно заряженных ионов. Оторвавшиеся
2
электроны могут присоединяться к нейтральным молекулам, что приводит к
появлению отрицательно заряженных ионов. Ионы с зарядом того же знака,
что и заряда острия, удаляются от него, ионы противоположного знака
оседают на острие и уменьшают его заряд. Ионы, движущиеся от острия,
увлекают за собой нейтральные молекулы, в результате чего возникает
направленное движение воздуха от острия (т.н. электрический ветер). Его
можно обнаружить, если поднести к острию зажженную свечу: пламя
отклонится от острия и даже может погаснуть. Для предотвращения
подобных явлений при изготовлении устройств, работающих под высоким
напряжением, по возможности избегают деталей с заострениями.
Выше уже говорилось о том, что в результате электростатической
индукции напряженность электрического поля внутри металлических
проводников, в том числе полых, равна нулю. Этим широко пользуются на
практике для защиты (экранирования) различных устройств от
возмущающего действия внешних электрических полей. Следует
подчеркнуть, что полый металлический проводник экранирует только
внешнее поле, создаваемое зарядами вне этого проводника.
3.2. Электроемкость уединенного проводника
Уединенным называется проводник, находящийся от других тел
настолько далеко, что их влиянием на него можно пренебречь.
Найдем потенциал на поверхности уединенного проводника, на
котором находится заряд q . Для этого выберем любую точку на его
поверхности (она эквипотенциальна); поверхность же разобьем на n частей,
малых настолько, что заряд на каждой из них можно считать точечным
(внутреннюю часть проводника можно не учитывать, поскольку заряд
расположен только на его поверхности). Потенциал поля, создаваемого в
выбранной точке i -ой частью поверхности:
 i 
qi
40 ri
(здесь q i – заряд на i -ой части, ri – расстояние от нее до выбранной точки).
Поскольку qi   i si (  i – поверхностная плотность заряда на i -ой части
поверхности, si – ее площадь),
 i 
 i si
.
40 ri
Согласно принципу суперпозиции потенциал в выбранной точке,
создаваемый всей поверхностью проводника, равен сумме:
n

i 1
 i si
.
40 ri
Эта сумма тем точнее соответствует истинному значению потенциала, чем
меньше площадь каждой из n частей. В пределе мы приходим к интегралу
по поверхности проводника:
3
  lim
 i si
n
si 0
ds
 4 r   4 r .
i 1
0 i
s
(3.1)
0
Для вычисления этого интеграла необходимо знать зависимость
поверхностной плотности заряда от координат точек поверхности. Вместе с
тем характер распределения заряда по поверхности зависит только от ее
формы (вблизи заострений плотность максимальна, вблизи углублений –
минимальна). Поэтому каждая новая порция заряда, сообщаемая проводнику,
распределяется по его поверхности подобно предыдущей, а величина
поверхностной плотности пропорциональна заряду:
(3.2)
  q .
С учетом этого равенства интеграл (3.1) преобразуется:

s
qds
q
ds
.


40 r 40 s r
Поскольку значение интеграла зависит только от формы поверхности,
 1
  
 40

s
ds 
q .
r 
(3.3)
Выражение в скобках, которое определяется только геометрией проводника,
играет роль коэффициента пропорциональности между потенциалом и
зарядом, и представляет собой величину, обратную электроемкости
проводника:
1
ds 1
 .

40 s r
C
(3.4)
Сделав в равенстве (3.3) замену (3.4), имеем:

q
q
C  .
C

(3.5)
Таким образом, электроемкостью проводника называется скалярная
физическая величина, равная отношению заряда проводника к его
потенциалу. Вместе с тем из равенства (3.5) вовсе не следует, что если q  0 ,
то C  0 . Как только что отмечалось, электроемкость определяется
исключительно геометрией проводника и не зависит от наличия на нем
электрического заряда. Однако если проводнику сообщать заряд, то каждый
раз отношение заряда к потенциалу будет равно его электроемкости.
Понятно, что размерность электроемкости – 1 Кл/В=1 Фарад (Ф). На
практике обычно используются дольные единицы: 1 мФ, 1 мкФ, 1 нФ, 1 пФ.
Далее получим формулу для электроемкости проводящего шара
радиуса R , помещенного в однородную диэлектрическую среду с
проницаемостью  . Если заряд шара равен q , то напряженность
создаваемого им поля
E
Поскольку E  
q
, r  R.
40 r 2
d
 d   Edr , в результате интегрирования получим:
dr
4

q
 Const .
40 r
Если r   ,   0  Const  0 . Поэтому на поверхности шара

q
40 R
 q  40 R   .
Учитывая, что q  C , имеем: C  40 R . Легко видеть, что электроемкость
шара действительно определяется только его радиусом и диэлектрической
проницаемостью среды, в которую он помещен.
3.3. Конденсаторы
Выясним, как изменяется электроемкость уединенного проводника,
если к нему приблизить другой проводник. Для упрощения рассуждений
предположим, что уединенный проводник A обладает положительным
зарядом, к нему приближается незаряженный проводник B . Вследствие
электростатической индукции на проводнике B появятся индуцированные
заряды, причем ближе к проводнику A окажется отрицательный заряд.
Вследствие этого потенциал проводника A уменьшится, а его
электроемкость – увеличится:  A '   A 
q
A
'

q
.
A
Таким образом, электроемкость системы проводников всегда больше
электроемкости уединенного проводника. Это обстоятельство используется
на практике для создания конденсаторов – устройств, которые способны
накапливать значительные электрические заряды при сравнительно
небольших потенциалах.
Простейший конденсатор представляет собой систему двух
проводников (обкладок), разделенных диэлектриком. Если конденсатор
подключить к источнику постоянного тока, на его обкладках появятся
равные по модулю и противоположные по знаку заряды. Подобно тому, как
потенциал уединенного проводника пропорционален его заряду, разность
потенциалов между обкладками конденсатора также пропорциональна
модулю заряда на них. В качестве коэффициента пропорциональности
используется величина 1 / C , где C – электроемкость конденсатора:
1   2 
q
.
C
Из этого равенства следует, что единица измерения электроемкости
конденсатора, как и уединенного проводника, равна 1 Кл/В=1 Ф.
Особый практический интерес представляют конденсаторы, у которых
электрическое поле, создаваемое заряженными обкладками, целиком
сосредоточено между ними. К числу таковых относится плоский,
цилиндрический и сферический конденсаторы.
Плоский конденсатор представляет собой две металлические
пластины, расположенные параллельно на расстоянии, значительно меньшем
их размеров; пространство между ними заполнено диэлектриком с
5
проницаемостью  . Электрическое поле между пластинами можно считать
однородным, E   /  0  (  – поверхностная плотность заряда). Если
пластины расположены так, как показано на рис. 3.3,а, то
d
E
 d   Edx,
dx
2
x2
1
x1
 d   E  dx  
1
  2  E x2  x1   Ed ,
где d  x2  x1 . По определению электроемкости конденсатора имеем:
C
q
s  0 s
.


1   2 Ed
d
Сферический конденсатор состоит из двух концентрических
проводящих обкладок радиусами R1 и R2 , разделенных диэлектриком с
проницаемостью  (рис. 3.3,б). Электрическое поле целиком сосредоточено
между обкладками, причем
а)
1
E
q
. Имеем следующее:
40 r 2
б)
2

R1
O
O
x1
r
X
x2
R2
Рис. 3.3
E
d
 d   Edr ;
dr
C
2
q
q  1
1
 
dr  1   2 
2
40   R1 R2
R1 40 r
R2
 d   
1

 ;

40 R1 R2
q

.
1   2
R2  R1
Цилиндрический конденсатор состоит из двух соосных
тонкостенных проводящих цилиндров с радиусами оснований R1 , R2 и
высотой h ; пространство между ними заполнено диэлектриком с
проницаемостью  . Если h  R1 , R2 , то электрическое поле между
цилиндрами такое же, как и в случае соосных цилиндров бесконечной длины:
E

.
20 r
Учитывая, что   q / h – линейная плотность электрического заряда, q –
модуль заряда на обкладках конденсатора, имеем:
q
d
E
, E    d   Edr ,
dr
20 hr
2
qdr
 d   2 hr  
1
1
0
 2 
R
q
ln 2 ,
20 h R1
6
C
20 h
q
.

R2
1   2
ln
R1
Помимо электроемкости конденсаторы характеризуются напряжением
пробоя – максимальным напряжением, которое может быть между
обкладками конденсатора без разрушения диэлектрика. Пробой наступает в
результате того, что валентные электроны атомов под действием внешнего
электрического поля отрываются от ядер и движутся, как в проводнике. Если
напряжение пробоя меньше рабочего, применяют последовательное
соединение нескольких конденсаторов в батарею (рис. 3.4). Несложно
показать, что в этом случае 1   2  U1  U 2  ...  U n . В самом деле, пусть
заряд q ' перемещается под действием электрического поля между точками с
a

1
C1
b
C1
Cn

2
Рис. 3.4
n
потенциалами 1 и  2 . Работа кулоновских сил: q ' (1   2 )  q '  Ei d i
i 1
(здесь Ei , d i – напряженность однородного поля и расстояние между
обкладками i -ого конденсатора). Поскольку Ei d i  U i , из последнего
n
равенства имеем: 1   2  U   U i .
i 1
При последовательном соединении ближайшие обкладки двух
соседних конденсаторов (например, обкладки a и b на рис. 3.4)
представляют собой фактически один и тот же проводник; поэтому заряды на
них равны по модулю, противоположны по знаку и одинаковы на всех
конденсаторах. Поэтому напряжение, подаваемое на батарею, распределяется
между конденсаторами обратно пропорционально их электроемкостям:
U1 
q
q
q
, U2 
, ..., U n  n .
C1
C2
Cn
Поскольку напряжение на батарее можно представить в виде U  q / C0 , где
C0 – ее электроемкость, имеем:
n
n
q
1
1
1
 q 
  . Если же необходимо
C0
C0 i 1 Ci
i 1 Ci
получить конденсатор большой электроемкости, несколько конденсаторов
соединяют в батарею параллельно. При этом одна из обкладок каждого
конденсатора имеет потенциал 1 , вторая обкладка – потенциал  2 . Модуль
заряда на батарее равен сумме зарядов на всех конденсаторах:
n
n
i 1
i 1
q   Ci (1   2 ) . Поскольку этот же заряд q  C0 (1   2 ) , имеем: C 0   C1 .
7