Дискретно-аналитические аппроксимации

В.В. Пененко, д-р физ.-мат. наук
Ин-т вычислительной математики
и математической геофизики СО РАН
(Россия, 630090, Новосибирск, пр. Лаврентьева, 6,
тел.(383) 3306152, Е-mail: penenko@sscc.ru )
ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ УСВОЕНИЯ ДАННЫХ
И ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ИЗУЧЕНИЯ АТМОСФЕРЫ,
ОКЕАНА И ОКРУЖАЮЩЕЙ СРЕДЫ
Аннотация. Представлена методика совместного использования математических
моделей и данных наблюдений для изучения и прогнозирования эволюции природных
процессов
в атмосфере, океане и окружающей среде. Предусмотрен учет как
естественных, так и антропогенных факторов.
Теоретическую основу представленного подхода и методов его алгоритмической
реализации
составляют вариационные принципы для оценок функционалов,
определенных на множестве функций состояния, параметров и источников моделей
процессов. Математические модели рассматриваются как ограничения на класс функций
и как инструмент для конструирования взаимосвязей между функциями состояния,
параметрами и источниками возмущений.
Основное внимание уделяется методам вариационного усвоения данных и
обратным задачам, возникающим при исследовании природных процессов. Для этих
целей созданы методы прямого и обратного моделирования, порождаемые
вариационными принципами.
Введение. Методы
математического моделирования при совместном
использовании
моделей и данных
наблюдений являются эффективным
инструментом для изучения и прогнозирования природных процессов и для
решения на их основе научных и практических задач. Перспективным для этих
целей оказался подход, базирующийся на классическом вариационном принципе
Лагранжа с использованием сопряженных уравнений. Для решения задач
динамики атмосферы и океана сопряженные уравнения были впервые применены
в работах Г.И.Марчука [1-2].
Вариационные принципы для построения дискретных моделей, методов
прямого и обратного моделирования, теории чувствительности моделей и
функционалов к вариациям входных данных и внешних воздействий были
сформулированы и использованы для данного класса задач в работах [3-12].
Задачи усвоения данных представляют собой специфический класс обратных
задач. Существует множество подходов для их решения. Методы вариационного
усвоения данных были впервые предложены в ВЦ СО РАН СССР на основе
алгоритмов теории чувствительности с использованием сопряженных уравнений
[3-5].
Для формулировки вариационных принципов модели процессов дополняются
моделями наблюдений, представляющими описание образов наблюдаемых
величин в терминах функций состояния и параметров моделей процессов. Данные
наблюдений включаются в технологию моделирования с помощью
функционалов, выражающих степень близости измеряемых величин и их
образов, вычисляемых по моделям процессов и измерений. Причем имеется
возможность учитывать в комплексе результаты наблюдений различных типов:
прямые, косвенные,
контактные, дистанционные, наземные, космического
базирования и др.
Объединение моделей процессов и моделей наблюдений делает процедуры
усвоения данных корректными с математической точки зрения. Кроме того, их
совместное использование по существу повышает информативность наблюдений.
Действительно, сами по себе данные измерений имеют совершенно конкретную
область значимости, так как характеризуют функции состояния в том месте и в то
время, когда и где производятся наблюдения. Если же они используются
совместно с моделями процессов в режиме прямого и обратного моделирования,
информативность наблюдений значительно возрастает, поскольку с помощью
моделей становятся «видимыми» масштабы пространственно-временных
областей «влияния» наблюдений для решения обратных задач. Особенно
большие масштабы областей наблюдаемости получаются при «развертке»
интегральных по толще атмосферы дистанционных наблюдений. Мера
пространственно-временных областей информативности данных наблюдений
количественно выражается через функции чувствительности целевых
функционалов к вариациям входных данных, параметров и источников.
Следует заметить, что тематика усвоения данных наблюдений включена в
планы фундаментальных научных исследований РАН на 2008-2012 гг.
Различные аспекты представленной здесь методики разработаны в ВЦ СО АН
СССР и в ИВМ и МГ СО РАН. Следуя работам [3-12], выделим её ключевые
элементы.
Вариационные принципы. Рассматриваются постановки задач и вариационные
методы, как
со строгими, так и со слабыми ограничениями. Модели
записываются в вариационной форме с помощью интегральных тождеств [3,5].
Выбор метрики и функционалов для определения этих тождеств осуществляется
таким образом, чтобы согласовать описание процессов различных
пространственно-временных масштабов и объединить различные по содержанию
модели (например,
гидродинамические,
физические, химические,
биологические) в единый комплекс. Конструктивно вариационные принципы
определяются с использованием аддитивного представления операторов модели и
декомпозиции функционалов. В результате возможно построение параллельной
структуры численных схем и алгоритмов реализации.
Для слабой формулировки задач в вариационные принципы и модели
процессов явно вводятся функции неопределенностей (самих моделей, входных
параметров, начальных данных), которые рассматриваются как элементы
детерминированного управления
для достижения минимума целевых
функционалов. Последние строятся таким образом, чтобы они выражали
суммарную оценку величины всех неопределенностей моделей и данных.
Показано, что учет неопределенностей в такой роли вносит эффект регуляризации
в процесс решения обратных задач и усвоения данных.
Схема реализации вариационных принципов. Вариационные принципы
порождают универсальный алгоритм прямого - обратного моделирования [6-7].
Его основные элементы - решение прямых и сопряженных задач, расчет
функций чувствительности для функционалов общего вида, включая
функционалы наблюдений и ограничений, расчет функций неопределенностей по
заданному целевому функционалу и решение системы уравнений обратных связей
между
вариациями
параметров
и
функциями
чувствительности
неопределенности. Структура универсального алгоритма анализируется с позиций
предсказуемости, управляемости и наблюдаемости систем.
Обратные связи строятся в виде системы дифференциальных уравнений,
описывающих тенденции изменения параметров в зависимости от изменений
целевых функционалов и ограничений. Эта система решается в цикле алгоритма
прямого - обратного моделирования, как в режиме реального времени – на
каждом временном шаге, так и в традиционной итерационной реализации
методами градиентного спуска. По существу это и есть решение обратных задач.
Дискретно-аналитические численные схемы. Вариационный принцип
предоставляет конструктивный аппарат для построения дискретных аналогов
моделей и функционалов, согласованных на всех этапах вычислений [11].
Принципиальным элементом является гибридная структура численных схем с
использованием локальных (в пределах четырехмерных конечных объемов) и
глобальных ( по всей области определения) сопряженных задач. Этот метод дает
оптимальные численные схемы для прямых и сопряженных задач,
обеспечивающие бистационарность целевых функционалов вариационного
принципа по отношению к вариациям функций состояния и сопряженных
функций. Это позволяет непосредственно связать изменения целевых
функционалов только с изменениями параметров и входных данных, а также
количественно оценивать функции неопределенности.
Задачи адвекции-диффузии-реакции наиболее часто используются при
исследованиях процессов в атмосфере, воде и окружающей среде. Класс
оптимальных численных схем, построенных на основе вариационного принципа
для этих задач, обладает свойствами
устойчивости, монотонности и
транспортивности, необходимыми для исключения шумовых эффектов при
решении прямых и сопряженных задач, что особенно важно при усвоении данных
наблюдений и в задачах управления. В этих схемах отсутствуют процедуры
искусственной монотонизации и корректировки потоков, про которые известно,
что они сильно затрудняют построение согласованных схем для основных и
сопряженных задач.
Анализ нелинейных динамических систем и усвоение данных наблюдений.
Идея подхода состоит в том, чтобы
оперативно использовать два типа
информации. Один из них представлен базой данных, содержащих регулярные
сведения о поведении процессов на этапе анализа, а другой
содержит
разнородную, нерегулярную и
неполную
информацию, получаемую от
различных систем мониторинга для целей прогноза. Эти два типа данных
используются совместно для восстановления регулярной пространственновременной структуры полей функций состояния, описывающих изучаемые
процессы. Оперативность обеспечивает метод ортогональной декомпозиции
многомерных пространств функций состояния и функций чувствительности,
описывающих поведение нелинейных динамических систем [12]. В результате
декомпозиции получаются информативные базисные подпространства, которые
используются
для анализа
прогностических сценарных ансамблей и
восстановления структуры полей по данным измерений в процедурах усвоения
данных.
Таким способом можно существенно повысить
эффективность
вариационного усвоения данных. Метод ортогональной декомпозиции не имеет
ограничений на размерность и структуру исследуемых функций и не требует
формирования
линеаризованных версий моделей процессов, обычно
используемых для формирования информативных базисов, например,
сингулярных векторов и др.
Новый метод последовательного вариационного усвоения данных в режиме
реального времени (4D-VAR) [8,9]. Принципиально новым здесь является
использование локальных сопряженных задач, которые решаются совместно с
уравнениями базовой модели в каждом «окне усвоения» одновременно с
оценками
функций неопределённости. Вариационный принцип для цели
усвоения реализуется в рамках метода декомпозиции и расщепления. По
эффективности этот метод пока не имеет конкуренции. Это очень важно для
усвоения данных при чрезвычайных ситуациях и для реализации адаптивных
программ наблюдений.
Методика направленного адаптивного мониторинга. В дополнение к
фиксированным системам наблюдений, работающих в рутинном режиме, в
последние годы активно развиваются подвижные средства мониторинга с
программируемыми
системами наблюдений, которые могут
оперативно
направляться в динамически активные и чувствительные зоны-рецепторы.
Предлагаемая методика анализирует и выявляет такие зоны. Для этих целей
используются результаты анализа динамически активных зон, выделяемых с
помощью базисных подпространств, функций чувствительности и функций
неопределенности и оценками наблюдаемости территорий с помощью процедур
усвоения данных.
В заключение перечислим обратные задачи для климато-экологических
исследований, которые эффективно решаются с использованием представленной
здесь методики:
 восстановление пространственно-временной структуры многокомпонентных
функций состояния по данным измерений для целей диагноза и прогноза;
 уточнение параметров моделей по заданным целевым функционалам;
 оценка областей риска/уязвимости
территорий по отношению к
антропогенным воздействиям;
 районирование территорий по степени наблюдаемости с помощью систем
мониторинга и выявление динамически активных и чувствительных зон для
целей направленного мониторинга;
 обнаружение источников специфических загрязнений; оценка эмиссии по
результатам измерений концентраций примесей; усвоение химических
данных;
 управление источниками
примесей для выполнения
критериев
и
ограничений экологической безопасности;
 оптимальное проектирование природоохранной деятельности.
Работа поддержана Программами фундаментальных исследований №16
Президиума РАН и №3 Отделения математических наук РАН, РФФИ (№ 07-0500673) и Европейской Комиссией (№ 013427).
Список литературы
Марчук Г.И. Численное решения задач динамики атмосферы и океана. - Л.: Гидрометеоиздат,
1974, 303 с.
2. Марчук Г.И. Сопряженные уравнения и анализ сложных систем.- М.: Наука, 1992. 335 с.
3. Пененко В.В. Вычислительные аспекты моделирования динамики атмосферных процессов и
оценки влияния различных факторов на динамику атмосферы // Некоторые проблемы
вычислительной и прикладной математики. Новосибирск: Наука, 1975. С. 61-77.
4. Пененко В.В., Образцов Н.Н. Вариационный метод согласования полей метеорологических
элементов // Метеорология и гидрология, 1976 . №11. С. 1-11.
5. Пененко В.В. Методы численного моделирования атмосферных процессов. - Л.:
Гидрометеоиздат, 1981. 352 c.
6. Пененко В.В. Системная организация математических моделей для задач физики атмосферы,
океана и охраны окружающей среды. Препринт. ВЦ СО АН СССР (Новосибирск). 1985. №
619, 44 стр.
7. Penenko V. Some aspects of mathematical modeling using the models together with observational
data// Bull. Novos. Comp. Center, Series: Num. Model in Atmosph., etc., 1996. V. 4. P. 31-52.
8. Penenko V., Tsvetova E. Variational Fast Data Assimilation Algorithms.// In: Research Activities in
Atmospheric and Oceanic Modelling. 2002 WGNE Blue Book Web Site
http://www.cmc.ec.gc.ca/rpn/wgne 01-48.
9. Пененко В.В. Вариационное усвоение данных в реальном времени. // Вычислительные
технологии. 2005. Т.10. № 8. С.9-20.
10. Penenko V.V., Tsvetova E.A. Variational technique for environmental risk/vulnerability assessment
and control // In: Air, Water and Soil Quality Modelling for Risk and Impact Assessment. Ebel A.
and Davitashvily T. (eds.). 2007. Springer, Dordrecht, The Netherlands, 15-28.
11. Penenko V., Tsvetova E. Discrete-analytical methods for the implementation of variational principles
in environmental applications // Journal of Computational and Applied Mathematics (2008),
doi:10.1016/j.cam.2008.08.018
12. Penenko V., Tsvetova E., Orthogonal decomposition methods for inclusion of climatic data into
environmental studies// Ecological Modelling .2008. V.217. P. 279-291.
1.