Документ 314463

МОУ «Русская гимназия»
Составитель: Батманова Л.Ф.
В методическую копилку для учителей математики.
Программа по формированию общей культуры учащихся, расширении его знаний по
математике, формированию необходимых навыков для исследовательской работы,
расширение кругозора. Школьники, изучившие данный материал смогут применять
его при решении олимпиадных, конкурсных и прикладных задач.
1. Провоцирующие задачи.
К задачам провоцирующего характера будем относить все задачи, условия которых содержат
упоминания, указания, намёки и другие побудители, подталкивающие учащихся к выбору
ошибочного пути решения.
Достоинства и недостатки:
Главное достоинство провоцирующих задач заключается в том, что совершая ошибку на
глазах учителя или учащихся ученик испытывает сильнейшее впечатление и надолго
запоминает ошибочные действия.
А главный недостаток кроется в малой изученности феномена провоцирующих задач и
отсутствие целостного описания задач и побудителей, подталкивающих к выбору
неправильного ответа.
Виды провоцирующих задач.
Полезно выделить следующие разновидности задач провоцирующего характера:
I. Задачи, условия которых навязывают неверный ответ.
II. Задачи, условия которых подсказывают неверный путь решения.
III. Задачи, вынуждающие придумывать невозможные при заданных условиях
математические объекты.
IV. Задачи, вводящие в заблуждение неоднозначной трактовкой терминов, словесных
оборотов и выражений.
V. Задачи, условия которых допускают возможность опровержения семантически верного
решения.
1. Задачи, навязывающие неверный ответ.
Их полезно делить на четыре группы, назовём их IА, IБ, IВ,IГ.
А: Задачи, навязывающие один определённый ответ.
Б: Задачи, побуждающие сделать выбор из предложенных неверных ответов.
В: Задачи, побуждающие сделать выбор из предложенных верных и неверных ответов.
Г: Задачи, указывающие на неверный ответ.
Задачи IA
1. Сколько граней имеет новый шестигранный карандаш?
Навязывается ответ: «6 граней», но он неверный, так как у карандаша ещё 2 торцевые грани.
Ответ: «8 граней»
2. Сколько цифр требуется, чтобы записать двенадцатизначное число?
Навязывается ответ: «12 цифр», но десятичная сиситема счисления обходится десятью
цифрами. Ответ: «Двенадцатизначное число можно записать одной, двумя, тремя, четырьмя,
пятью, шестью, семью, восемью, девятью, десятью цифрами»
Задачи IБ
Какое из чисел 205, 206, 207, 208, 209 является простым?
Чаще всего учащиеся называют ответы 207 или 209, но все записанные числа являются
составными. Ответ: «Никакое».
2. Какое из следующих утверждений истинно:
А) Четырёхугольник, диагонали которого делятся точкой пересечения пополам и взаимно
перпендикулярны , является прямоугольником.
Б) Четырёхугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны и равны является
ромбом.
Чаще всего учащиеся выбирают утверждение б, но оба варианта ложны. Ответ: «Никакое».
Задачи IГ
1. Какое простое число следует за числом 200?
Напрашивается ответ: 201, но это число составное. Ответ: 211
2. Какое число больше: а или 2а?
Напрашивается ответ: 2а, ведь оно в два раза больше чем а. Но число а может быть в
отрицательном значении, соответственно ответ: неизвестно.
II. Задачи, навязывающие неверный путь решения.
Их тоже полезно делить на четыре группы: IIА, IIБ, IIВ, IIГ.
А: Задачи, подталкивающие к выполнению ненужных действий.
Б: Задачи, подталкивающие к выполнению неправильных действий.
В: Задачи, подталкивающие к решению действий неверным образом.
Г: Задачи, подталкивающие к выполнению невозможных действий.
Задачи IIА
1. Тройка лошадей проскакала 15 км. Сколько проскакала каждая лошадь?
Хочется выполнить действие 15:3=5 (км), но выполнять деление не требуется. Ответ:
15км.
2. Лупа даёт четырёхкратное увеличение. Каким будет угол величиной 2,5 рассматриваемый
через лупу?
Хочется выполнить действие 2,5*4=10, но выполнять умножение не требуется. Ответ: 2,5
Задачи IIБ
1. У палки два конца. Если один из них отпилить, сколько концов получится?
Кажется, нужно выполнить вычитание 2-1=1. На самом же деле нужно находить сумму
2+2. Ответ: 4 конца
2. Стол имеет 4 угла. Если один из них отпилить сколько углов получиться?
Кажется, нужно выполнить вычитание 4-1=3. На самом деле нужно находить сумму 3+2.
Ответ: 5 углов.
Задачи IIВ
На руках 10 пальцев. Сколько пальцев на 10-ти руках?
Чаще всего учащийся выполняет умножение: 10*10. Но правильное решение: 10*(10:2)=50
2. Стальной брус весит 40кг. Сколько будет весить брус если его размер уменьшить в три
раза?
Чаще всего учащиеся выполняют деление: 40:10. Но правильное решение 40: (4*4*4)=0, 625
Задачи IIГ
1. Двое пошли, три гриба нашли. Четверо пойдут сколько грибов найдут?
Напрашивается последовательность действий: 4:2=2, 3*2=6. Но они могут вообще ничего
не найти, правильный ответ: неизвестно.
III. Задачи, вынуждающие придумывать несуществующие объекты.
1. Придумайте простое трёхзначное число, в записи которого Употребляются только
цифры 1 и 4.
Придумать такое число нельзя, так как по условию задачи оно кратно трём.
IV. Задачи, приводящие в заблуждение.
1. Чему равен угол в квадрате?
В квадрате все углы прямые!
2. На бумаге написано число 606. Какое действие следует выполнить, чтобы увеличить его в
полтора раза?
Если перевернуть лист с такой надписью, то увидишь число 909, которое в полтора раза
больше, чем число 606!
V. Задачи, допускающие опровержение верного ответа.
1. Три спички выложили на столе так, что получилось четыре. Могло ли такое быть?
(других предметов на столе не было).
Напрашивающийся отрицательный ответ опровергается записью:
Ещё задачи...
1. Сколько распилов нужно сделать в 7-ми метровом бревне, чтобы получить столбики
длиной 1м? (шесть)
2. Сколько углов в квадратной комнате? (восемь)
3. Двое играли в шашки 4 часа. Сколько играл каждый из них? (четыре)
4. Книга стоит 1 руб, и ещё половину стоимости. Сколько стоит книга? (2 руб)
31.05.2009г.
МОУ «Русская гимназия»
Составитель: Батманова Л.Ф.
В методическую копилку для учителей математики.
Программа по формированию общей культуры учащихся, расширении его знаний по
математике, формированию необходимых навыков для исследовательской работы,
расширение кругозора. Школьники, изучившие данный материал смогут применять
его при решении олимпиадных, конкурсных и прикладных задач.
2. Содержание материала.
Составление выражений. В данной теме рассматриваются задачи на арифметические
действия, на расстановку скобок, на запись определенных чисел, например 5 семерками и
подобные задачи.
Головоломки. В данной теме решаем задачи на развитие мышления.
Числовые ребусы. На данном этапе решаем ребусы, составленные из чисел и букв,
причем одинаковым числам соответствуют одинаковые буквы в записи.
Другие задачи. Рассматриваются задачи первых трех тем вместе плюс некоторые
другие типы задач на математическую смекалку.
Четность. При решении задач данного раздела требуются свойства четных и нечетных
чисел, такие как: сумма двух четных – четное число, сумма двух нечетных – нечетное число,
сумма четного и нечетного – нечетное число.
Геометрия в пространстве. В данном разделе рассматриваются геометрические
задачи на смекалку, то есть связь геометрии и логики применительно к учащимся 5-6
классов, даются начала геометрии.
Переливания. Решаем задачи на сосуды и различные емкости.
Взвешивания. Использование весов, гирь и монет при решении задач.
Логические задачи. В данной теме рассматриваются задачи на рассуждение и логику.
Задачи- шутки. В этом разделе собраны задачи, правильное решение которых чаще
всего не требует никаких дополнительных знаний ,- внимательно читайте условие задачи и
попробуйте миновать расставленные ловушки.
В худшем случае. Довольно часто в задачах, где требуется доказать какое – либо
утверждение, можно рассмотреть самый неудобный , худший случай, в котором утверждение
кажется наиболее подозрительным. Если мы докажем утверждение в этом случае, то тем
более оно будет верно и в остальных случаях.
Геометрия на клетчатой бумаге. Клетчатая бумага дает представление о том, как
можно замостить плоскость равными квадратами, на ней удобно рисовать фигуры, разрезать
фигуры. Здесь также рассматриваются игры с пентамино.
Смеси. В данном разделе многие задачи образуют цепочки, в которых метод решения
предыдущей задачи может оказаться полезным для решения последующей. Эта тема
завершающая, поэтому задачи в ней наиболее сложные и запутанные.
Составление выражений.
1. Применяя знаки арифметических действий и скобки запишите:
А). семью семерками 700
Б). восемью семерками 700
В). восемью двойками 200
Г). Десятью четверками 500
Д). десятью шестерками 600
Е). восемью восьмерками 1000
2. Используя три цифры 5, знаки арифметических действий и скобки, составьте несколько
выражений, имеющих различные значения.
3. между цифрами 1,2,3,4,5,6,7,8,9 расставьте знаки арифметических действий и скобки так,
чтобы полученное выражение имело значение 100.
4. из четырех двоек составьте выражения, значения которых равнялись бы числам
0,1,2,3,4,5,6,8,9,10
Головоломки.
1. Вырежте 16 одинаковых квадратов четырех цветов- по 4 квадрата каждого цвета.
Сложите из них квадрат 4*4 так, чтобы одинаковые цвета не повторялись:
а) ни в строчках, ни в столбцах;
б). ни в строчках, ни в столбцах, ни на диагоналях.
Зарисуйте решения в тетрадь.
Можно использовать судоку.
Числовые ребусы.
Числовые ребусы- это примеры, в которых все или некоторые цифры заменены * или
буквами. При этом одинаковые буквы заменяют одинаковые цифры.
1. Замените * цифрами:
2. Решите числовой ребус:
Другие задачи.
1.
Вася записывает последовательность чисел так, что каждое следующее число
определяется по очень простому правилу. Определите это правило и
запишите следующее число:
3,13,23,33…
11,101,1001…
1,2,3,5,8…..
2,5,11,23,47….
1,1,2,3,5…..
12,31,24,12,51….
2.
Требуется определить арифметическое действие, с помощью которого из двух
крайних чисел получено среднее, и вместо знака «?» поставить полученное число.
42(47)5
6(66)11
36(25)11
48(4)12
31(? )8
5(? )12
48(?)12
100(?)5
3.
Найдите сумму всех натуральных чисел от 1 до 100.
4. Найдите наименьшее целое число, квадрат которого начинается на 11, 111
5. Найдите наименьшее натуральное число, делящееся на 36, в записи которого участвуют
все цифры от 1 до 9?
6. Из некоторого числа вычли сумму его цифр, из полученного числа вычли сумму его цифр
и так далее. После 11 вычитания впервые получили 0. каким могло быть первое число?
Четность.
1 Можно ли заплатить без сдачи 20 семью монетами, семью монетами по 1 и 5, 25 восемью
монетами 1 и 5?
2 Записано 4 числа: 0,0,0,1. за один ход разрешается прибавить 1 к любым двум из этих
чисел. Можно ли за несколько ходов получить 4 одинаковых числа?
3 Нарисуйте замкнутую ломаную линию из 6 звеньев, пересекающую каждое свое звено
ровно один раз. Существует ли такая ломаная из 7 звеньев?
Геометрия в пространстве.
1. Из шести спичек сложите 4 треугольника со сторонами, равными длине спички.
2. Продавец тремя прямыми разрезами разделил головку сыра на 8 частей. Как он это
сделал?
3. Объем деревянного бруска 80 см3., ширина 4 см, высота 2 см. длину уменьшили на 3
см. определите объем оставшейся части.
4. Деревянный куб покрасили со всех сторон, потом распилили его на 27 одинаковых
кубиков. Сколько среди них имеют одну, две, три окрашенных грани? Сколько кубиков не
окрашено?
Переливания.
1. Имеются два сосуда емкостью 3л и 5л. Как с помощью этих сосудов налить из
водопроводного крана 4л. Воды?
2. Как с помощью 7-ми литрового ведра и 3-х литровой банки налить в кастрюлю ровно 6
литров воды.
3. В первый сосуд входит 8 литров, и он наполнен водой. Имеются еще два пустых
сосуда емкостью 5л и 8л. Как с помощью этих сосудов отмерить ровно 1 литр?
4. Имеются два типа песочных часов. Одни отмеряют 7 минут, а другие-11 минут. Как с
их помощью отмерить 15 минут, необходимых, чтобы сварить вкрутую яицо?
5. Имеются стакан кофе и стакан молока. Ложку молока перелили в кофе, полученную
смесь тщательно перемешали. Ложку смеси перелили обратно в молоко. Чего больше:
молока в кофе или кофе в молоке?
Взвешивания.
1. У хозяйки есть рычажные весы и гиря в 100 гр. Как за три взвешивания она может
отвесить 700 грамм крупы?
2. На одной чашке весов лежат 6 одинаковых яблок и три одинаковые груши, на другой
чашке- 3 таких же яблока и пять таких же груш. Весы находятся в равновесии. Что легче:
яблоко или груша?
3. Из трех монет две настоящие и одна фальшивая. Она легче остальных. Как за одно
взвешивание на чашечных весах без гарь можно определить фальшивую монету?
4. Из 9 монет одна фальшивая- она легче остальных. Как за два взвешивания на
чашечных весах без гирь можно определить фальшивую монету?
5. Из 27 монет одна фальшивая- она легче остальных. За какое наименьшее число
взвешиваний на чашечных весах без гирь можно определить фальшивую монету?
Логические задачи.
1. Встретились три подруги: Белова, Краснова и Чернова. На одной из них было черное
платье, на другой- красное, на третьей- белое. Девочка в белом платье говорит Черновой:
«нам надо поменяться платьями, а то у всех троих цвет платья не соответствует
фамилиям». Кто в каком платье был одет?
2. Коля, Боря, Вова и Юра заняли четыре первых места в соревнованиях. На вопрос, какие
места они заняли, трое из них ответили:
-Коля ни первое, ни четвертое;
- Боря второе;
- Вова не был последним.
Какое место занял каждый мальчик.
Задачи- шутки.
1. Тройка лошадей проскакала 30 км. Сколько км. Проскакала каждая лошадь?
2. у меня две монеты на общую сумму 15 копеек, одна из них не пятак. Что это за
монеты?
3. Крыша одного дома не симметрична: один скат ее составляет с горизонталью угол в 60
градусов, а другой- 70. предположим, что петух откладывает яицо на гребень крыши. В
какую сторону упадет яицо?
4. Найдите два в квадрате, три в квадрате, угол в квадрате.
5. горело 5 свечей, две погасли. Сколько свечей осталось?
6. Шел мужик в Москву и повстречал 7 богомолок. У каждой из них было по мешку , а в
каждом мешке – по коту. Сколько существ направлялось в Москву?
7. По дереву ползет гусеница. За день она поднимается на 6 метров, а за ночь опускается
на 4 метра. За сколько дней она доползет до вершины, если высота дерева 14 метров?
В худшем случае.
1. На карточках написаны двузначные числа. Сколько карточек надо взять не глядя,
чтобы по крайней мере одно из чисел делилось на 2 , на 7?
2. В ящике комода, который стоит в темной комнате, лежат 10 коричневых и 10 красных
носков одного размера. Сколько носков нужно взять из ящика комода, чтобы среди них
оказалась пара носков одного цвета?
3. Иван-царевич добыл ключи от нескольких комнат в подземелье, но не знал, какой
ключ от какой комнаты. Сколько комнат в подземелье, если в худшем случае ему
достаточно 21 пробы, чтобы выяснить, какой ключ от какой комнаты?
4. В школе 20 классов. В ближайшем доме живет 23 ученика этой школы. Можно ли
утверждать, что среди них найдутся обязательно хоты бы два одноклассника?
5. В коллекции имеется 25 монет по 1,2,3,5 копеек. Имеется ли среди них 7 монет
одинакового достоинства?
Геометрия на клетчатой бумаге.
1. Плоскость можно замостить равными прямоугольниками. Придумайте два своих
паркета из равных прямоугольников.
2. Квадрат содержит 16 клеток. Разделите его на две равные части так, чтобы линия
разреза шла по сторонам клеток (несколько способов).
3. Квадрат 6*6 разграфлен на 36 одинаковых квадратов. Найдите 6 способов разрезания
квадрата на две равные части так, чтобы линия разрезе шла по сторонам квадрата.
4. Прямоугольник 4*9 разрежьте на две части так, чтобы из них можно было сложить
квадрат.
5. Составьте все возможные фигуры тетрамино ( от греческого слова тетра- четыре)
зарисуйте полученные фигуры в тетрадь. Сколько их получилось?
6. Двенадцатью различными фигурами пентамино ( от слова пять) нужно замостить
прямоугольник 6*10. найдите несколько решений.
Смесь.
1. Как разделить 7 яблок поровну на 12 человек, чтобы не разрезать яблоко более чем на
5 частей?
2. Веревку разрезали на части. При этом сделали 6 разрезов. Сколько частей получилось?
3. Имеются бревна по 4м и по 5 метров. Сколько бревен каждого вида надо распилить,
чтобы получить 42 бревна по одному метру и сделать наименьшее число распилов.
4. Сколькими способами можно разменять 50 копеек монетами по 1,5 и 10 копеек?
5. в нашем классе 33 человека и каждый дружит ровно с 5 одноклассниками. Может ли
такое быть?
6. Три соседки готовили обед на общей плите. Первая принесла 5 поленьев дров, вторая- 4
полена, а у третьей дров не было и она угостила своих соседок, дав им 9 яблок. Как
соседки должны разделить яблоки по справедливости?
31.05.2010г.