Документ 313565

ЗАЧЕТНАЯ РАБОТА №1
Вариант 1
1.Для функции f(x) найдите общий вид ее первообразных F(x):
6
а) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 4𝑥 − 12
в) 𝑓(𝑥) =
б) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛𝑥 − 2𝑐𝑜𝑠𝑥
г)𝑓(𝑥) = (2𝑥 − 2)4
𝑥2
2.Дана функция f(x)=sin3x. Найдите ее первообразную F(x), если F(π)=2
3.Вычислите
2
а) ∫−1(𝑥 2 + 6𝑥 + 9)𝑑𝑥
𝜋
𝑥
б) ∫0 sin ( ) 𝑑𝑥
3
4.Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=-𝑥 2 +3x+4 и
прямой y=0
5.Точка движется вдоль координатной прямой по закону мгновенной
скорости U(t)=2t-3.Найдите координату точки через 5с после начала
движения, если через 2с ее координата была равна 3.
Вариант 2
1. Для функции g(x) найдите общий вид ее первообразных G(x):
а)𝑔(𝑥) = 𝑥 3 − 6𝑥 2 + 9𝑥 − 5
б)𝑔(𝑥) =
5
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
− 3𝑠𝑖𝑛𝑥
в)𝑔(𝑥) = √𝑥
𝑥
г)𝑔(𝑥) = ( + 4)3
2
2.Дана функция f(x)=2x-1.Найдите ее первообразную F(x), если F(2)=0.5
3.Вычислите:
3
а) ∫1 (4𝑥 − 𝑥 2 )𝑑𝑥
3π
б) ∫5π cos0.5dx
3
4.Вычислите площадь фигуры, которая ограничена графиком функции y=sinx ,
x=π/2 и y=0
5.Точка движется по координатной прямой по закону S(t), причем U(t)=6𝑡 2 −
1 .Найдите S(2) если S(1)=3
Вариант 3
1.Для функции f(x) найдите общий вид ее первообразных F(x):
а) 𝑓(𝑥) = −2𝑥 2 + 6𝑥 − 3
б)𝑓(𝑥) =
3
𝑠𝑖𝑛2 𝑥
в)𝑓(𝑥) =
+ 4𝑐𝑜𝑠𝑥
2
𝑥3
г)𝑓(𝑥) = √6𝑥 − 5
2.Дана функция t(x)=3𝑥 2 − 4𝑥.Найдите ее первообразную T(x), если T(-2)=-10
3.Вычислите:
3𝜋
1
а) ∫−2(−𝑥 2 + 2𝑥 − 1)𝑑𝑥
б) ∫04 2sin4x dx
4.Вычислите площадь фигуры, которая ограничена линиями y=−𝑥 2 + 4𝑥 + 1
y=1.
𝑏 1+2𝑥
5.При каком значении b выполняется равенство∫𝑏
4
2
𝑑𝑥 = 2.5
Вариант 4
1.Для функции g(x) найдите общий вид ее первообразных G(x):
𝑎)𝑔(𝑥) =
𝑥2
в)𝑔(𝑥) = (1 − 1.5𝑥)2
− 5𝑥 + 2
2
б)𝑔(𝑥) = 5𝑐𝑜𝑠𝑥 − 3𝑠𝑖𝑛𝑥
г)𝑔(𝑥) =
3
𝑐𝑜𝑠 2 6𝑥
2.Дана функция f(x)=3√𝑥 + 𝑥.Найдите ее первообразную F(x), если F(4)=-1
3.Вычислите
2
9 2
а) ∫−1(6𝑥 2 − 3𝑥 + 5)𝑑𝑥
б) ∫1
√𝑥
𝑑𝑥
4.Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=−𝑥 2 + 6𝑥5 и прямой y=x-1.
𝑎 1−2𝑥
5.При каком значении a выполняется равенство ∫𝑎
2
3
𝑑𝑥 = −
4
3
Вариант 5
1. Для функции f(x) найдите общий вид ее первообразных F(x):
а)𝑓(𝑥) = −
𝑥2
2
+ 3 √𝑥 −
4
𝑥2
+5
б)𝑓(𝑥) = 6𝑐𝑜𝑠𝑥 − 3sinx
в)𝑓(𝑥) =
4
𝑥
г)𝑓(𝑥) = (3 − )3
sin2 x
3
2.Дана функция f(x)=
3
√𝑥
.Найдите ее первообразную F(x), если F(4)=15
3.Вычислите
3
2𝜋
а) ∫−2(−𝑥 3 + 4𝑥 − 2)𝑑𝑥
𝑥
б) ∫0 𝑐𝑜𝑠 𝑑𝑥
3
4.Найдите площадь фигуры, которая ограничена графиками функций y=𝑥 3 −
1 y=0 и x=2.
5.Является ли функция t(x)=√𝑥(4𝑥 − 3) − 2 первообразной для функции
g(x)=6√𝑥 −
1.5
√𝑥
на промежутке (0;+∞)
Вариант 6
1.Для функции f(x) найдите общий вид ее первообразных F(x):
а)𝑓(𝑥) =
4𝑥 2 +5𝑥
𝑥
в)𝑓(𝑥) = √ − 1
2
2
𝜋
б)𝑓(𝑥) = sin( − 2𝑥)
г)𝑓(𝑥) =
4
2.Найдите для функции f(x)=
1
𝑥2
4
𝑐𝑜𝑠 2 3𝑥
− 2𝑥 ее первообразную F(x) если график
первообразной проходит через точку А(-1;5).
3.Вычислите
3
а) ∫−2(𝑥 3 − 6𝑥 2 )𝑑𝑥
3
б) ∫1 √4𝑥 − 3𝑑𝑥
4.Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции 𝑦 = −𝑥 2 +
2𝑥 + 2,касательной к этому графику в точке с абсциссой 𝑥0 =2 и прямой x=0
1
5.Используя геометрический смысл интеграла, вычислите ∫−2 √2𝑥 − 𝑥 2 + 8𝑑𝑥
Вариант 7
1.Найдите общий вид первообразных для функции f(x)
а)𝑓(𝑥) =
𝑥 2 −4𝑥
3
в)𝑓(𝑥) =
1
√4𝑥+3
𝜋
𝑥
3
2
б)𝑓(𝑥) = 4cos( + )
г)𝑓(𝑥) =
6
(3𝑥−5)2
2.График функции f(x)=2x+3 является касательной к ее первообразной
F(x).Найдите функцию F(X)
3.Точка движется вдоль координатной прямой по закону S(t), причем
ускорение a(t)=2. Найдите S(2) если U(1)=4 и S(1)=6
4.Найдите площадь фигуры, которая ограничена графиком функции
y=√𝑥 + 2, касательной к нему в точке с абсциссой 𝑥0 = 2 и прямой y=0
2а
5.Найдите наименьшее положительное число, при котором ∫а 𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑑𝑥 =
1
2
Вариант 8
1.Найдите общий вид первообразных для функции g(x):
а)𝑔(𝑥) =
𝑥2
2
−
3
𝑥3
б)𝑔(𝑥) = 5𝑥 − 4)3
− 4 √𝑥 + 5
в)𝑔(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥
г)𝑔(𝑥) =
6
𝑠𝑖𝑛2 𝑥
2.Дана функция f(x)=3𝑥 2 − 4𝑥 − 1.Решите неравенство F(x)>0, где F(x)- она из
первообразных f(x), причем F(1)=0
3.При каких значениях а верно равенствоМесто для формулы.
𝜋
∫
0
3
𝑑𝑥 = 4
(2𝑥 − 3)2
4.Найдите площадь фигуры, которая ограничена графиками функций y=5-𝑥 2
и y=(𝑥 − 1)2 .
5.Дана функция f(x)=3𝑐𝑜𝑠
3𝑥
4
а)запишите общий вид первообразной F(x)+C
б)Запишите наибольшее возможное значение числа С при котором графики
функций f(x) и F(x)+C имеют общие точки
Вариант 9
1.Найдите общий вид первообразных для функции f(x):
а)𝑓(𝑥) =
6
√𝑥
−
𝑥3
2
+𝜋
в)𝑓(𝑥) = 6√2𝑥 − 5
𝑥
б)𝑓(𝑥) = 4𝑠𝑖𝑛𝑥 − 3𝑐𝑜𝑠𝑥
г)𝑓(𝑥) = 5cos( − 1)
3
1
2.Дана функция f(x)= 2, F(x)+C-ее первообразная. При каких значениях С
𝑥
графики функций f(x) и F(x)+C не пересекаются?
𝜋
3.Вычислите ∫0
3
𝜋
𝑐𝑜𝑠 2 (0.5− )
4
𝑑𝑥
4.График функции f(x)=4x пересекает график своей первообразной F(x) в двух
точках, координаты одной из которых (-1;-40). Найдите площадь фигуры,
ограниченной графиками функций f(x) и F(x)
5.Точка движется по координатной прямой по закону изменения координаты
S(t).Известно, что ее ускорение а(t)=2t-4 U(t)=3 S(t)=15. Найдите S(6).
Вариант 10
1.Найдите общий вид первообразных для функции g(x):
а)𝑔(𝑥) =
𝑥+3
−
2
𝑥 2 −1
𝑥
в)𝑔(𝑥) = (1 − )4
3
б)𝑔(𝑥) = 2𝑐𝑜𝑠𝑥 −
3
1
г)𝑔(𝑥) =
𝑠𝑖𝑛2 𝑥
2.Дана функция 𝑓(𝑥) =
1
√2−𝑥
2
(𝑥+1)3
.Укажите график ее первообразной, если он
проходит через точку А(2;0)
4
3.Вычислите ∫0 √2𝑥 + 1 𝑑𝑥
4.Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками функций y=sinx и
𝜋
y=cosx и прямыми x= и x=π
4
5.Докажите что функция g(x)=(2𝑥 + 3)√𝑥 является первообразной для
6𝑥+3
функции f(x)=
2√𝑥
Вариант11
1.Найдите общий вид первообразных для функции f(x)
3
а)𝑓(𝑥) = √𝑥
б)𝑓(𝑥) =
𝑥 3 −3𝑥−2
𝑥+1
в)𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛2 𝑥
г)𝑓(𝑥) =
2.Дана функция f(x)=
1
√1−𝑥 2
𝑥−1
𝑥3
. Найдите ее первообразную, если график
1 π
первообразной проходит через точку A( ; )
2 2
3.Вычислите
𝜋
4
4 𝑥 √𝑥
а) ∫1 3 𝑑𝑥
𝑥
б) ∫0 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑠𝑖𝑛3𝑥𝑑𝑥
4.Найдите площадь фигуры, которая ограничена графиком функции y=−𝑥 2 +
6𝑥 − 5, касательной к нему в точке с абсциссой 𝑥0 = 2 и прямой y=0
5
5.Используя геометрический смысл интеграла, найдите ∫1 |2𝑥 − 5|𝑑𝑥
Вариант 12
1.Найдите общий вид первообразных для функции g(x):
4
а)𝑔(𝑥) = √𝑥
б)𝑔(𝑥) =
в)𝑔(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
г)𝑔(𝑥) =
2.Дана функция f(x)=
1
1+𝑥 2
𝑥 4 −4𝑥+3
𝑥−1
1+𝑥 3
𝑥2
.Найдите ее первообразную, если график
первообразной проходит через точку B(-1;π)
3.Вычислите:
4 𝑥 3 √𝑥
а) ∫1
𝑥2
𝜋
𝑑𝑥
б) ∫03 𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥
4.Найдите площадь фигуры, точки которой удовлетворяют неравенству
|𝑦 − 1| ≤ −𝑥 2 + 6𝑥 − 5.
4
5.Используя геометрический смысл интеграла найдите ∫−7(3 − |𝑥 + 2|)𝑑𝑥
Вариант 13
1.Найдите общий вид первообразных f(x):
а)𝑓(𝑥) =
√𝑥−1
√𝑥
в)𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛3 𝑥
б)𝑓(𝑥) =
г)𝑓(𝑥) =
𝑥 5 −1
𝑥−1
1
𝑥 3 −6𝑥 2 +12𝑥−8
2.Дана функция f(x)=𝑥 2 + 2𝑥 − 2, общий вид первообразной F(x)+C.Найдите
значения С, при которых график функции f(x) и график ее первообразной
пересекаются в трех точках.
3.Назовите наименьшее целое положительное значение t при котором
𝑡+1
∫𝑡
𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑑𝑥 < 0
4.Найдите площадь фигуры, которая ограничена графиком уравнения x=2 −
√𝑦 + 3 и прямыми 2x-y=7 и x+y=5
3
5.Используя геометрический смысл интеграла, вычислите ∫1 √3 + 2𝑥 − 𝑥 2 𝑑𝑥.
Вариант 14
1.Найдите общий вид первообразных для функции f(x)
а)𝑓(𝑥) =
3𝑥−2√𝑥
√𝑥
б)𝑓(𝑥) =
в)𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥
г)𝑓(𝑥) =
𝑥 4 +2𝑥 3 +1
𝑥+1
1
8𝑥 3 −12𝑥 2 +6𝑥−1
2.Дана функция t(x)=𝑥 2 − 2𝑥 + 𝑚. Постройте график ее первообразной T(x)+C
,если у этой первообразной x(max)=-1, а y(max)=0
3.Вычислите
2
а) ∫1
1
𝑑𝑥
2
√1−𝑥
4
9 𝑥+1
б) ∫1
√𝑥
𝑑𝑥
4.Найдите площадь фигуры, которая ограничена графиком функции f(x)=2-𝑥 2
и касательными к этом графику, которые проходят через точку А(-1;2).
5.Точка движется по координатной прямой по закону S(t), заданным
многочленом с целыми коэффициентами, причем в любой момент времени
координата этой точки положительна. Сколько таких многочленов можно
составить, если ускорение точки в любой момент времени равно 2ед/с^2 и
сумма коэффициентов не более двух.
Вариант 15
1.Найдите общий вид первообразных для функции g(x):
а)𝑔(𝑥) = √𝑥 + 2√𝑥 − 1
в)𝑔(𝑥) =
√𝑥+1
√𝑥 2 −1
б)𝑔(𝑥) =
5
г)𝑔(𝑥) =
1+4𝑥 2
𝑥 3 −2𝑥 2 +𝑥+1
𝑥 2 −2𝑥+1
𝜋
2.Для функции f(x)=(𝑡𝑔𝑥 + 𝑐𝑡𝑔𝑥)−1 найдите первообразную F(x), если F( )=-2
3
3.Вычислите
𝜋
2
𝜋
6
а) ∫ 𝑠𝑖𝑛2 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥
4
б) ∫1
1
√𝑥−3−√𝑥
𝑑𝑥