(Класс 11, модуль X, урок 1) Урок 1. Первообразная План урока 1.1. Определение первообразной 1.2. Признак постоянства функции 1.3. Основное свойство первообразных 1.4. Первообразная функции, определенной на нескольких промежутках 1.5. Таблица первообразных 1.6. Определение неопределенного интеграла Тесты Домашнее задание Цели урока: определить понятие первообразной данной функции, доказать, что все первообразные данной функции на промежутке отличаются друг от друга на постоянную функцию, определить понятие неопределенного интеграла и познакомиться с таблицей основных интегралов. 1.1. Определение первообразной Многие задачи естествознания и техники сводятся к нахождению функции F ( x) по ее производной f ( x) F ( x) Например, пусть материальная точка движется прямолинейно с постоянной скоростью v и требуется найти закон движения этой точки, то есть функцию S (t ) выражающую зависимость пройденного пути S от времени t Так как v s(t ) , то в данном примере по известной производной требуется найти функцию S (t ) Заметим, что эта задача имеет бесконечное множество решений. Например, функции vt vt 1 vt 12 vt 3 …, являются решениями, так как 1 (vt ) (vt 1) vt (vt 3) … v 2 Введем следующее определение. Функция F ( x) называется первообразной для функции f ( x) на заданном промежутке, если для всех x из этого промежутка выполняется равенство F ( x) f ( x) В предыдущем примере функции vt , vt 1, vt 12 являются первообразными для f (t ) v на промежутке () . Вопрос. Как проверить, что функция F ( x) x5 есть первообразная 5 для функции f ( x) x 4 на интервале () ? 1.2. Признак постоянства функции При нахождении первообразных важную роль играет следующий признак постоянства функции. Теорема. Если F ( x) 0 на некотором промежутке, то функция F ( x ) — постоянная на этом промежутке. Доказательство. Выберем какое-нибудь число a из промежутка. Тогда по теореме Лагранжа для любого другого числа x из промежутка найдется такое число c , заключенное между x и a , что F ( x) F (a) F (c)( x a) Так как число c принадлежит промежутку, то F (c) 0 . Следовательно, F ( x) F (a) 0 Таким образом, F ( x) F (a ) , то есть функция F сохраняет постоянное значение. Вопрос. Верно ли утверждение, обратное к теореме этого пункта? 1.3. Основное свойство первообразных В этом пункте рассмотрим основное свойство первообразных. Теорема. Любые две первообразные F1 ( x) и F2 ( x) к одной и той же f ( x ) , определенной на некотором промежутке, функции отличаются друг от друга на этом промежутке на постоянную функцию. Доказательство. По условию F1 ( x) f ( x) и F2 ( x) f ( x) . Отсюда ( F1 ( x) F2 ( x)) F1 ( x) F2 ( x) f ( x) f ( x) 0 В силу признака постоянства функции разность F1 ( x) F2 ( x) C – постоянная величина на промежутке. Отсюда F1 ( x) F2 ( x) C Обратно, если F ( x) — первообразная функция для функции f ( x) и C — произвольная постоянная, то функция ( x) F ( x) C также является первообразной для функции f ( x) . Действительно, ( x) ( F ( x) C ) F ( x) f ( x) Таким образом, зная на некотором промежутке какую-либо одну первообразную функцию F ( x) для функции f ( x) , мы можем найти любую другую первообразную функцию ( x) для f ( x) по формуле ( x) F ( x) C где C — произвольная постоянная. Нахождение всех первообразных для данной функции называется интегрированием. Произвольная постоянная C в формуле ( x) F ( x) C называется постоянной или константой интегрирования. Интегрирование является операцией, обратной к операции дифференцирования. Вопрос. Как записать общий вид функции S (t ) в примере из пункта 1.1? 1.4. Первообразная функции, определенной на нескольких промежутках Заметим, что иногда рассматривают функцию f ( x) , заданную на двух или нескольких промежутках. В этом случае на каждом из промежутков можно находить некоторую первообразную для функции f ( x) и тем самым получить функцию F ( x) , определенную на том же множестве, на котором определена функция f ( x) . 1 рассматривается на промежутках ( 0) x2 1 и (0 ) Нетрудно проверить, что если F ( x) при x 0 , то x 1 1 1 F ( x) 2 . При этом равенство F ( x) 2 верно как при x 0 так x x x 1 и при x 0 Поэтому функцию F ( x) также называют первообразной x 1 функции f ( x) 2 на всей области определения. Из предыдущего пункта x 1 следует, что тогда функция ( x) F ( x) C C также будет x 1 первообразной для функции f ( x) 2 на промежутке (0) при любом x выборе числа C и на промежутке ( 0) при любом выборе числа C Однако, в этом случае на разных промежутках можно выбирать разные 1 значения C Например, пусть ( x) F ( x) 3 3 при x 0 и x 1 1 ( x) F ( x) 1 1 при x 0 Тогда ( x ) 2 как при x 0 так и при x x x 0 Следовательно, заданная указанным способом функция ( x) есть 1 первообразная для функции f ( x) 2 на всей области определения. x 1 Таким образом, при интегрировании функции f ( x) 2 на всей x области определения, мы также получаем первообразные вида Пример 1. Пусть f ( x) 1 ( x) C где C — постоянная. При этом предполагается, что на x каждом из промежутков области определения значения постоянной можно выбирать разные. Вопрос. Как проверить, что функции вида F ( x) первообразными для функции f ( x) 1 C являются 5 x5 1 ? x6 1.5. Таблица первообразных При нахождении первообразных пользуются следующей таблицей. Функция 1. f ( x) k (постоянная) Множество первообразных kx C 2. f ( x) x n x n 1 C n 1 ln x C 3. f ( x ) 4. f ( x) (n R n 1) 1 x 1 5. f ( x) e 2 x C x ex C x 6. f ( x) a x (a 0 a 1) 7. f ( x) sin x 8. f ( x) cos x 1 9. f ( x) cos 2 x 1 10. f ( x ) sin 2 x 1 11. f ( x) 1 x2 1 12. f ( x) 1 x2 ax C ln a cos x C sin x C tg x C ctg x C arctg x C arcsin x C При этом предполагается, что первообразная определена при тех же значениях x , при которых определена и сама функция. Пример 2. Покажем, что функция F ( x) ln x , определенная при 1 x 0 , есть первообразная для функции f ( x ) . x Действительно, если x 0 то x x и (ln x ) (ln x ) Если же x 0 то x x и (ln x ) (ln( x)) 1 . x 1 1 (1) . ( x) x Вопрос. Как проверить, что x C есть множество первообразных для 1 функции f ( x) , определенной при x n , где n Z ? 2 cos x 2 1.6. Определение неопределенного интеграла Множество всех первообразных для функции f ( x ) определенной на некотором промежутке, называется неопределенным интегралом от функции f ( x) и записывается в виде f ( x) dx (читается: "неопределенный интеграл эф от икс дэ икс"). Если известна какая-либо одна из первообразных функций F ( x) для функции f ( x ) то по определению неопределенного интеграла имеем: f ( x) dx F ( x) C где C — произвольная постоянная. Иногда для краткости неопределенный интеграл называют интегралом, когда из текста ясно, что речь идет о неопределенных интегралах. x3 Вопрос. Как проверить, что x 2 dx C 3 Мини-исследование. 1) Найдите производную функции ln x x 2 . 2) Чему равен неопределенный интеграл 1 x 2 dx ? Добавьте полученную первообразную в таблицу из пункта 1.5. Проверь себя. Первообразная Задание 1. Укажите правильный вариант ответа. Следующая функция является первообразной функции f ( x) 1. tg x ; 2. ctg x ; 3. tg x ; 4. ctg x . (Правильный вариант: 1) 1 : cos 2 x Множество всех первообразных функции f ( x) 1 задается следующей x формулой: 1. x C ; 2. 2 x C ; 3. x C ; 4. 2 x C . (Правильный вариант: 2) Множество всех первообразных функции f ( x) 1 задается следующей x2 формулой: 1. 1 C ; 2. 1 C ; 3. 1 3 C ; 4. 33 C . x x 3x x (Правильный вариант: 1) Неопределенный интеграл от функции f ( x) cos 2 x задается следующей формулой: 1. x 1 sin 2 x C ; 2. x 1 sin 2 x C ; 2 4 2 4 3. x 1 cos 2 x C ; 4. x 1 cos2 x C . 2 4 2 4 (Правильный вариант: 2) Проверь себя. Первообразная Задание 2. Укажите все правильные варианты ответа. Первообразной функции f ( x) 1 является функция F ( x) : 1 x2 1. F ( x) arctg x ; 2. F ( x) arcctg x ; 2 3. F ( x) arcctg x ; 4. F ( x) arctg x . 2 (Правильные варианты: 1, 2, 4) Первообразной функции f ( x) 2 1 1 x2 является функция F ( x) : 1. F ( x) arctg x ; 2. F ( x) arccos x ; 2 3. F ( x) arcsin x ; 4. F ( x) arcsin x . 2 (Правильные варианты: 2, 3, 4) Укажите, график какой первообразной функции f ( x) Oy в точке с ординатой 1: 1 пересекает ось 2x 1. F ( x) log 2 e 1 log 2 2e ; 2. F ( x) 1 ln 2 ; 2x 2 x ln 2 2x 1 1 ; 4. F ( x) 1 ln 2 . x ln 2 2 ln 2 (Правильные варианты: 1, 4) 3. F ( x) Укажите, график какой первообразной функции f ( x) cos x пересекает ось Oy под углом 45 : 1. F ( x) 5 sin x ; 2. F ( x) sin x 1 ; 3. F ( x) sin x ; 4. F ( x) sin x 1 . (Правильные варианты: 1, 2, 3, 4) Домашнее задание 1. Докажите, что на промежутке () функция F ( x) есть первообразная для функции f ( x) , если: f ( x) 1; а) F ( x) x, б) F ( x) x 2 , в) F ( x) x6 , г) F ( x) 1 sin 3x, 2 д) F ( x) sin 2 x, f ( x) 2 x; f ( x) 6 x 5 ; f ( x) cos 2 x; f ( x) 2 cos 2 x; е) F ( x) sin 2 x, f ( x) sin 2 x. 2. Докажите, что на указанном промежутке функция F ( x) есть первообразная для функции f ( x) , если: а) F ( x) 2 x f ( x) 1 , x (0; ); x f ( x) 12 , x (0; ); б) F ( x) 1 x x x (; 0); в) F ( x) 2 f ( x) 22 , x x г) F ( x) tg x f ( x) 12 , x ; ; 2 2 cos x д) F ( x) ctg x f ( x) 12 , x (0; ); sin x x (0; ); е) F ( x) 13 f ( x) 34 , x x f ( x) 2e2 x , x (; ); ж) F ( x) e2 x x з) F ( x) 2 x f ( x) 2 , x (; ). ln 2 3. Найдите первообразную для функции f ( x) e x график которой пересекает ось Ox в точке x 1 4. Для функции f ( x) найдите первообразную, график которой проходит через заданную точку M , если: а) f ( x) x3 M (2 1) ; 1 б) f ( x) 3 , M ( 1 3) ; 2 x в) f ( x) cos x M ( 0) . 2 5*. Докажите равенство: а) dx x C ; б) 12 dx 1 C; x x x в) 1 dx 2 C; г) 12 dx tg x C; x ln 2 cos x 2 Словарь терминов Первообразная – функция F ( x) называется первообразной для функции f ( x) на заданном промежутке, если для всех x из этого промежутка выполняется равенство F ( x) f ( x) Иногда рассматривают функцию f ( x) , заданную на двух или нескольких промежутках. В этом случае на каждом из промежутков можно находить некоторую первообразную для функции f ( x) и тем самым получить функцию F ( x) , определенную на том же множестве, на котором определена функция f ( x) . Признак постоянства функции. Если F ( x) 0 на некотором промежутке, то функция F ( x) — постоянная на этом промежутке. Интегрирование – нахождение всех первообразных для данной функции. Произвольная постоянная C в формуле ( x) F ( x) C называется постоянной или константой интегрирования. Неопределенный интеграл. Множество всех первообразных для функции f ( x ) определенной на некотором промежутке, называется неопределенным интегралом от функции f ( x) и записывается в виде f ( x) dx . Если известна какая-либо одна из первообразных функций F ( x) для функции f ( x ) то по определению неопределенного интеграла имеем: f ( x) dx F ( x) C где C — произвольная постоянная.