Получить шпоры

1 Множества и отношения. Примеры.
Если X- мн-ва,то х2 = х ∗ х = {(х1, х2 )|х1, х2 ∈ Х} мн −
во всех упорядоченных пар.
х𝑛 = х ∗ х ∗…={(х1, … , х𝑛 )|х𝑖, ∈ Х}- мн-во всех наборов.
P(x)- мн-ва всех подмножеств Х.
Отношение ∆ 𝑛 − арное на множестве Х – это ∆∈ х𝑛 . Если (х1, … , х𝑛 ) ∈ ∆,
то говорят (х1, … , х𝑛 ) находится в отношении ∆.
Примеры
1. n=1 ∆∈ Х наз. Унарное(одинарное) отношение. Это означает, что
каждые элементы мн-ва выделены.
2. n=2 бинарное отношение.
1) E – мн-во точек евклидовой плоскости, L – мн-во всех прямых.
∆∈ 𝐸 ∗ 𝐿 (A, 𝑙) ∈ ∆ <=> А∈ 𝑙 - инциндентность или
принадлежность.
2) S – мн-во всех треугольников на плоскости или прстранстве.
Среди бинарных отношений выделяются отношения «эквивалентности»
которые удовлетворяют 3 свойствам: рефлексивность, симметричность,
транзитивность.
3. n=3 тенарное отношение
E - мн-во точек пространства евклида.
𝐸3 = 𝐸 ∗ 𝐸 ∗ 𝐸
1) 𝐴, 𝐵, 𝑀 – различные точки прямой
∆⊂ 𝐸 3 (A,B,M) ∈ ∆ <=> {
2) 𝑀 между 𝐴и 𝐵
4. Отображение (ф-ция)
х,у - множества
f: х -> у х->f(х)=у
∀ х ∈ Х ∃у ∈ У у = 𝑓(х)
Г𝑓 = {(х, у)|у ∈ 𝑓(х)} гр. Ф-ции.
5. Алгебраические операции определяются через отоброжения и
поэтому также явл. отношением .
𝑣 векторное пространство f: 𝑣 ∗ 𝑣 → 𝑣 ∶ 𝑓(𝑎, 𝑏) = 𝑎 𝑏 ∈ 𝑣
6. Скалярное произведение
G: 𝑣 ∗ 𝑣 → 𝑅: (𝑎, 𝑏) → 𝑔(𝑎, 𝑏) = 𝑎 𝑏 ∈ 𝑅
7. Меорина
M – пространство точек
𝑔: 𝑀 ∗ 𝑀 → 𝑅+ : (х, у) -> 𝑔(х, у) ∈ 𝑅+ - неотрицательные числа
𝑔(х, у) − расстояние между точек.
8. Откладывание вектора
E - пространство точек 𝑣 векторное пространство
𝛿: 𝐸 ∗ 𝐸 → 𝑣: (А, В) → (А, В) = А𝐵
2. Математические структуры. Примеры
Основным методом в современной математике является аксиоматический метод в теоретико-множественном понимании, тесно связанный с
понятием математической структуры.
Пусть А1,А2,А3,...,Аn - непустые множества. А1 ЧА2 ЧА3 Ч...ЧАn прямое (декартово) произведение этих множеств, т.е. множество всех
упорядоченных n-местных кортежей (a1;a2;...;an), элемент ai которых,
стоящий на i-ом месте, принадлежит множеству Ai ,i =1,2,...,n.
В теоретико-множественной записи: А1 ЧА2 ЧА3 Ч...ЧА ={(a1,a2,...,an)|ai
∈Ai}. n
Определение 1.1.1. Любое подмножество декартова произведения
множеств А1 ЧА2 ЧА3 Ч...ЧА называется n-арным (или n-местным)
отношением δ , n определенным во множествах А1,А2,А3,...,Аn .
Замечание. Из определения имеем:
1) δ ⊂А1ЧА2 ЧА3 Ч...ЧАn.
2) Элементы (a1;a2;...;an)(ai ∈Ai ,i =1,2,...,n) находятся в отношении δ , если (a1;a2;...;an)∈δ .
3) Если А1 = А2 = А3 = ...= Аn = A, то А1 ЧА2 ЧА3 Ч...ЧАn = An - n-ая декартова степень множества A.
4) Если δ ⊂An ,то гов: на множестве A определено n-арное отношение δ .
5) В случае бинарного отношения δ ⊂A1 ЧA2 вместо (a1;a2)∈δ пишут
a1δa2 - «a1 находится в отношении δ с a2». Например, отношение
равенства на множестве R всех вещественных чисел – бинарное
отношение.
6) Пусть на множестве A определена алгебраическая операция
(внутренний закон композиции) ϕ : AЧA→A. Ее можно рассматривать как
тернарное отношение δ ⊂AЧAЧA= A3 , где δ ={(a,b,c)∈A3 |ϕ(a,b) = c},
a,b,c∈A.
7) Пусть на множестве A определен внешний закон композиции f с
множеством операторов Λ: f :ΛЧA→A. Его можно рассматривать как
тернарное отношение, определенное на множествах Λ,A при помощи
подмножества δ ⊂ΛЧAЧA, т.е. δ ={(λ,a,b)∈ΛЧAЧA| f (λ,a)=b}, λ∈Λ, a,b∈A.
Рассмотрим конечную систему различных непустых множеств
А1,А2,А3,...,Аn . Пусть, например, n= 3.
7 Пусть σ ={δ1,δ2,...,δk} - некоторая система тернарных отношений, определенных на множествах А1,А2,А3 и обладающих свойствами
α1,α2,...,αt . То есть δi - это такое подмножество декартова произведения
А1ЧА2ЧА3 , которое обладает всеми свойствами α1,α2,...,αt
одновременно.
Может быть, что существует не одна, а несколько таких систем отношений σ ={δ1,δ2,...,δk}. Например, ϕ - алгебраическая операция на множе-
стве R действительных чисел: ϕ :RЧR→R (т.е. ϕ можно рассматривать
как единственное отношение δ ={(a,b,c)∈R3 |ϕ(a,b)=c}, a,b,c∈R). Пусть
отношение δ обладает свойством коммутативности
α1 :ϕ(a,b)=ϕ(b,a)∀a,b∈R. Можно указать два знчения отношения δ ,
обладающего свойством α1 (т.е. две коммутативные операции на R): δ′ сложение, δ′′- умножение, т.е.
δ′ ={(a,b,c)∈R3 |a+b=c},
δ′′ ={(a,b,c)∈R3 |a⋅b=c}.
Пусть Τ - непустое множество всех систем σ ={δ1,δ2,...,δk} отношений, каждое из которых обладает заданными свойствами α1,α2,...,αt .
Определение 1.1.2. Элемент σ∈Τ определяет на множествах А1,А2,А3
математическую структуру рода Τ .
Определение 1.1.3. Явно сформулированные свойства α1,α2,...,αt , определяющие множество Τ , называются аксиомами структуры рода Τ .
Определение 1.1.4. Множества А1,А2,А3 называются базой структуры
рода Τ .
Таким образом, математическая структура рода Т представляет собой одно или несколько множеств А1,А2,А3,...,Аn(образующих базу структуры), элементы которых произвольной природы (основные,
неопределяемые понятия данной теории) и находятся в некоторых
отношениях δ1,δ2,...,δ (называемых основными неопределяемыми
отношениями), удовлетворяющих аксиомам α1,α2,...,αt .
Аксиомы иногда характеризуют не одну с точностью до изоморфизма,
а некоторое множество математических структур. Совокупность всех структур, определенных данной системой аксиом Σ ={α1,...,αt}, называется
родом Т этих структур.
Совокупность предложений, которые можно вывести логическим путем из аксиом структуры, называется теорией структуры рода Т.
В 30-х годах ХХ в. Н. Бурбаки определил математику как науку о математических структурах. Математические структуры подразделены им
на три вида: алгебраические, порядковые и топологические. Евклидово,
псевдоевклидово, риманово, псевдориманово пространства,
пространственно-временной континуум являются примерами структур
топологического типа.
8 Рассмотрим простейшие структуры алгебраического типа. Всем структурам одного и того же рода дают специальное название: структура
группы, структура n-мерного векторного пространства и др.
Пример 1.1.1. (структура группы). Система σ ={δ1,δ2,...,δk} отношений состоит из одного тернарного отношения δ ⊂GЧGЧG=G3, соответствующего алгебраической операции: ϕ :GЧG→G
(т.е. ϕ можно рассматривать как единственное отношение
δ ={(a,b,c)∈G3 |ϕ(a,b)=c}, a,b,c∈G). База состоит из одного множества
G . Три аксиомы системы аксиом Σ ={α1,α2,α3} структуры группы:
α : ∀a,b,c∈G:ϕ(ϕ(a,b),c)=ϕ(a,ϕ(b,c)) - аксиома ассоциативности;
1 α2 : ∃e∈G∀a∈Gϕ(a,e)=ϕ(e,a)=a - существование нейтрального элемента;
α3 : ∀a∈G ∃a′∈G ϕ(a,a′)=ϕ(a′,a)=e - существование симметричного
элемента.
Пример1.1.2. (структура n-мерного векторного пространства над
заданным полем).
База состоит из двух множеств – основного множества V (его элементы векторы – основные неопределяемые понятия); вспомогательного
множества K(его элементы условно называются скалярами). Система
отношений
σ ={δ1,δ2,...,δk} состоит из двух тернарных отношений:
δ1 ⊂KЧVЧV, δ1 ={a, xr, yr | f (a, xr)= yr}, a∈K, xr, yr∈V ;
δ2 ⊂V ЧV ЧV =V3, δ2 ={(ar,br,cr)|ϕ(ar,br) = cr}, ar,br,cr∈V .
Аксиомы структуры векторного пространства V над полем K:
α1 :∀λ,μ∈K ∀ar∈V f (λ, f (μ,ar)= f (λμ,ar);
α2 :∀λ,μ∈K ∀ar∈V f (λ+μ,ar)=ϕ( f (λ,ar), f (μ,ar));
α3 :∀ar∈V f (1,ar)=ar;
α ∀r r∈ ∀λ∈ λ ϕ r r =ϕ λ r λ r ;
4 : a,b V, K f ( , (a,b)) ( f ( ,a), f ( ,b))
α5 : ∃0r∈V ∀ar∈V ϕ(0r,ar) =ϕ(ar,0r) = ar ;
α ∀ar∈V ∃ −ar ∈V ϕ ar −ar =ϕ −ar ar = r ;
6 : ( ) ( ,( )) (( ), ) 0
α7 :ϕ(ar,br)=ϕ(br,ar)∀ar,br∈V ;
α8 :ϕ(ar,ϕ(br,cr))=ϕ(ϕ(ar,br),cr)∀ar,br,cr∈V .
Таким образом, теория структур рода Т – это множество предложений (теорем), являющихся логическими следствиями аксиом структуры
рода Τ .
Предметом математики являются математические структуры. Основной метод математики – дедуктивный аксиоматический (от общих аксиом к частным следствиям из них):
- вводятся неопределяемые, первичные понятия структуры;
- вводятся основные отношения;
- структуры строятся с помощью аксиом;
- затем, используя законы логики, строится теория структур данного рода.
3.Модели. Примеры.
Модели(интерпретации)если даны 2 аксиоматические теории S(«старая»),
T(«новая»),то построить модели теории T на основе S означает
следующее:
1)первоначальное понятие Т определяется на основе S
2) «первоначальное отношение Т» определяется на основе S
3) аксиомы ξ(кси)S => ξT Другими словами аксиоматика Т док-ся как
теоремы в теории S
Если построена модель теории Т на основе S ,то можно сказать,что теория
Т как бы вкладывается в теорию S
Примеры
1)геометрическая модель векторного пр-ва . Двумерное в-рное пр-во к
аксиомам 1-8 добавл 9.dim v=2, 1-9 описывает теорию Т двумерного врного пр-ва.
S- евклидова геом пл-сть. Векторы опред-ся как направл отрезки
2) арифметич модель двумерного в-рного пр-ва
V=R2={(a1,a2)(ai€R)} мн-во всех упорядоченных пар чисел
а =(а1,а2) ,
а+в=(а1+в1,а2+в2),
к*а=(к*а1,к*а2)
а+в=(а1а2+в 1в2)=(а1+в1,а2+в2)=(в1+а1,в2+а2)=(в1,в2)+(а1,а2)
4.Изоморфизм. Примеры
Если 2 структуры 1 рода, те у них однотипные понятия и одинаковое число
однотипных отношений и мд множ-ми понятий соотв. Можно установить
взаимнооднозн соотв так, что эти соотв (отображения)сохр отношение.
Примеры!
1)G=<R+ *,°>; H=<R,(+)>
G->H:X->lnx; F(x)=Lnx; F(xy)=f(x)+f(y); ln(xy=lnx+lny)
2) (M1,p1(po)) метрическое простран-во; p1:M1xM1->R+; (M2p2)- еще одно
метрич про-во. Изоморфизм в этом случае наз изометрия f:M1->M2
взаимнооднозначное отобр (x,y)€M1; p1(x,y)=p2(f(x1)+f(x2)
3) Если v произ вектора про-во. вводится понятие линейной зависимости,
независимости, базиса и координат и размерность, затем док-ся что
произв векторное про-во размерности dimv=n изоморфно Rn={a1..an|ai€R}
если v над R изоморф структуры астр и более конкр модели
5.аксиоматические теории.Роль теории множеств.
На первом этапе “наивная” теория мн-в.,т.е. не аксиоматическая.
Обнаружились противоречия,самый известный парадокс Рассола:х=мн-во
всех таких мн-в которое не содержит себя в качестве элемента. Возникают
противоречия 1)х∈х то противоречит опр.х 2)х не принадлежит х, тогда по
опр.х должен себя содержать.Противоречие удается избежать если
описать теорию мн-в аксиоматически. 1902г итал.мат. Цермело первая
система аксиом теории мн-в., эти аксиомы самые сложные. Некоторые
аксиомы не очевидны или на первый взгляд естественны ,но приводят
если их исп. В док-х к совершенно не очевидным теоремам. Эти проблемы
логически строгого обоснования мат-ки и некоторые другие привели к
кризису обоснования мат-ки в начале 20-го века. Эти сложности
непрерывны до сих пор ,эти разногласия не определены до сих пор. Исп.
Теории множеств в современной мат-ке очень широко распространено и
без теории мн-в обойтись нельзя,но при максимально строгом
построении мат.теории все понятия в ней должны быть описаны
аксиомами и значит если мы исп. Слово мн-во то в принципе должна исп.
И сис-ма аксиом теории мн-в, но это не делается ввиду сложности этой
аксиоматики.
Все же учитывая сложности связанные с теорией мн-в некоторые авторы
употребляют понятие теории мн-в ограниченно напарим. : совершенно
исключают термины мн-во .пренадлежность в аксиомах Гильберта
“Основания геометрии ” избегают слов мн-во,пренадлежность.
6. Непротиворечивость
Поскольку использ Аристотелева двузначная ночи-ка в которой
запрещается противоречия или другое слово наличие противоречий
отличает ложность высказываний(з-н противоречия)
Противоречивые обьекты в мат-ке считаются не сущ-ми. Др словами
«Существование в матем-ке равносильно отсуствию противоречия»
(Пуанкаре)
Если есть аксиоматическая теория , то она наз внутренней, не
притворечивой, если среди её аксиом и теорем нет противоречущих друг
другу то не должно быть не двух аксиом отриц друг друга, ни аксиом и
теоремы, ни двух теорем отриц друг друга. Если аксиом теор не противор,
то её сис-ма аксиом непротиворечива. [ɣ]-описание. Поскольку вывод
новых теорем впринципе не оганич процесс , то внутреннее
непротиворечивость проверить сложно.
Более того как следует из теор К.Геделя о «неполноте» док-ть внутреннюю
непротивор достат сложно с матем теории. Напр теор N чисел впринципе
невозможно(1931 г). Есть другое понятие непротиворечивости, кот легче
проверяются.
Аксиомат теория T наз относительно непротиворечивой если можно
построить её модель T на основе теории S. Если такая теория построить , то
теория T непротиворечива S. Из аксиомы сис-мы аксиом ԐS=>ԐT=>Th1,The…
Др словами Вопрос о непротивор одной теории свод к вопросу о
непротивор другой. Для огромного количествамат теории могут быть
построены модели на основе R и это означает Т.О что эти теории на
противор напр для чего если непротивор R иди для ещё более ф-ной
теории N. Из примеров => что теория в-ного простр-ва теория действ
чисел или метод коорд, позволяющий свести геометр к числам означает
что Евклидова геометрия непротиворечива, если непротиворечива теория
дейст чисел.
7.Независимость аксеом и полнота систем аксеом.
Акс. теория дедуктивно полная.
результат доказуемости аксеом бывает трехвозможен:
1утверждение истино
2утв недоказуемо
3утв ложно
Полнота<=> катигоричность.
акс теория наз катигоричной если все ее модели изоморфны(т.е. если
между основными эл-тами этих моделей можно установить
взаимооднозн. отнош,при кот. сохраняются основные отнош)
Матем теории:1котегоричные.
2 некотегоричные:2.1топология
2.2 теория групп
Способы исследования:1исходя из системы аксеом
2 любой модели
Акс теория описана конечным списком аксеом
существует много зависимых аксеом.это проверяется с помощью моделей
:
1не Аn-отрицание
2(буква сигма штрих по Т):А1...,Аn-1, не Аn
если мы докажем то можем построить след модель:(буква сигма
поR=>буква сигма поT,буква сигма поR=>буква сигма поT )
если Аn и не Аn независ,то буква сигма по r -противоречива, т.к.
выполняется Аn и не Аn .
8. Аксиоматика Гильберта, I и II группы
Система из 20 аксиом поделена на 5 групп:
I.
Аксиоматика принадлежности
II.
Аксиомы порядка
III.
Аксиомы конгруэнтности
IV.
Аксиома параллельности
V.
Аксиомы непрерывности
I. аксиомы принадлежности:
1. Каковы бы ни были две точки A и B, существует прямая a, которой
принадлежат эти точки.
2. Каковы бы ни были две различные точки A и B, существует не более
одной прямой, которой принадлежат эти точки.
3. Каждой прямой a принадлежат по крайней мере две точки. Существуют
по крайней мере три точки, не принадлежащие одной прямой.
4. Каковы бы ни были три точки A, B и C, не принадлежащие одной прямой,
существует плоскость α, которой принадлежат эти три точки. Каждой
плоскости принадлежит хотя бы одна точка.
5. Каковы бы ни были три точки A, B и C, не принадлежащие одной прямой,
существует не более одной плоскости, которой принадлежат эти точки.
6. Если две принадлежащие прямой a различные точки A и B принадлежат
некоторой плоскости α, то каждая принадлежащая прямой a точка
принадлежит указанной плоскости.
7. Если существует одна точка A, принадлежащая двум плоскостям α и β, то
существует по крайней мере ещё одна точка B, принадлежащая обеим
этим плоскостям.
8. Существуют по крайней мере четыре точки, не принадлежащие одной
плоскости.
II. аксиомы порядка:
1. Если точка B прямой а лежит между точками А и С той же прямой, то А,
В и С — различные точки указанной прямой, причем В лежит также и
между С и А.
2. Каковы бы ни были две различные точки А и С, на определяемой ими
прямой существует по крайней мере одна точка В такая, что С лежит между
А и В.
3. Среди любых трёх точек, лежащих на одной прямой, существует не
более одной точки, лежащей между двумя другими.
4.Аксиома Паша Если прямая не проходит не через одну из сторон,
вершин и пересекает одну сторону, то она пересечёт только одну
сторону.Док-во: Пусть Р-точка пересечения АВ и L. Q-BC и L по аксеоме II3
из трёх точек P, Q,R- одна лежит между двумя другими. Q “между” и P и Q.
Треугольник APR, прямая m=BC пересекает сторону PR в точке Q, а две
другие стороны [АР] и [AR] – не пересекают, т.к. она пересекает эти
стороны в точках. Получаем противоречие.
9.Аксиоматика Гильберта III, IV, V группы.
III.Аксиомы конгруэнтности:
1)если дан отрезок АВ и в этой же плоскости или в другой луч А1М,то
существует такая точка В,принадл.полупрямой А1М, что АВ конгруэнтно
А1В1.
2)если два отрезка конгруэнтны 3-му,то они конгруэнтны между
собой.Отношение конгруэнтности явл. отношением эквивалентности на
мн-ве всех отрезков.
3)АВ и ВС,А’B’ и B’C’ на прямой,отрезки без внутренних точек.Если АВ
конгруэнтно А’B’,BC конгруэнтно B’C’  АС конгруэнтно A’C’.
4) Пусть дан ‫(ے‬h,k) в плоскости α, а также определённая относительно
прямой a' полуплоскость плоскости α', пусть h' – луч прямой a', выходящий
из точки O'. Тогда на плоскости α' существует один и только один луч k',
такой, что ‫(ے‬h,k) конгруэнтен ‫(ے‬h',k') и при этом все внутренние точки
‫(ے‬h',k') лежат в данной полуплоскости α', это записывается символически:
‫(ے‬h,k)≡‫(ے‬h',k'). Всегда ‫(ے‬h,k)≡‫(ے‬h,k) и ‫(ے‬h,k)≡‫(ے‬k,h).
Следствие. Каждый угол конгруэнтен сам себе.
5) Если для двух треугольников ABC и A'B'C' имеют место конгруэнции:
AB≡A'B', AC≡A'C', ‫ے‬BAC≡‫ے‬B'A'C', то ‫ے‬ABC≡‫ے‬A'B'C'
IV. Аксиома параллельности. Дана прямая b и точка В на прямой,тогда в
плоскости,содержащей эту прямуюи точку,существует не более одной
прямой,проходящей через В и не пересекающей b.
Эта аксиома вместе со следствием о существовании || прямых
означает,что через т-ку В не принадлежащую b проходит одна и только
одна прямая b’,не пересекающая b.
V. Аксиома непрерывности:
1) Постулат Архимеда. Пусть AB и CD – два произвольных отрезка и пусть
на луче AB с вершиной A взяты точки A1, A2, A3,…, расположенные так, что
A1 лежит между A и A2, точка A2 лежит между A1 и A3 и т. д., причём
отрезки AA1, A1A2, A2A3,… конгруэнтны отрезку CD. Тогда существует такой
номер n, что точка B лежит между A и An.
2) Принцип вложенных отрезков Кантора. Пусть на произвольной прямой a
дана бесконечная последовательность отрезков A1B1, A2B2, A3B3,…, из
которых каждый последующий лежит внутри предыдущего, пусть при этом
не существует отрезка, лежащего внутри всех отрезков данной
последовательности. Тогда на прямой a существует одна и только одна
точка M, лежащая внутри всех отрезков A1B1, A2B2, A3B3,…
10. Аксиоматика Погорелова I, II группы.
I Аксиомы принадлежности:
1) Через 2 точки проходит единственная прямая.
2) Каждая прямая содержит 2 точки и существуют 3 точки не лежащие
на одной прямой.
II Аксиомы порядка:
1) Из 3-х точек на прямой одна единственная лежит «между» двумя
другими.
2) Если прямая l в пл-ти, то прямая разбивает плоскость на 2
полуплоскости, так что если A и B в одной полупл-ти , то l не
пересекает отр АВ. Если А и В в разных полупл-тях, то l пересекает
АВ.
Следствие: Из аксиомы II2 вводится понятие треугольника АВС сост из
3-х отрезков и 3-х точек не лежащих на одной прямой.
11.Аксиоматика Погорелова, 3,4 5,6 группы.Пространственные аксиомы.
3.Аксиомы длины отрезка и меры углов:
3.1Каждый опред.отрезок имеет опред.длинну(не отриц действит.число)
|АВ|=|АМ|+|МВ|.После этого логично вывести получ.группы на
прямой.Выбираем точку О.О разбивает прямую на 2 полупрямые L
«разбивает плоскость на 2 части».Одна полупрямая обзн.положительно на
пр-р ОА, вторая ОС-отрицательной, тогда х точки, А – длинна
отрезка|ОА|,х-точки хС =-|ОС|
3.2Каждый угол имеет опр. меру 0<Q<180. Каждый угол имеет
определенную гр-ную меру.
< hl=r=Q, 0<Q<180. Если m между hиl, о <hm+< ml=< hl или α+β=γ
Свойство аддитивности:
- разверн. угол,< hl=180
A ∈h,B ∈l.Если луч не пересекает АВ, то это и означает что m «между» h и l.
В треуг. АВВ1 m пересекает АВ→ m пересечет АВ(m проходит через О и→
не пересекает BB1).m и BB1 = М2 в треуг АА1В1 m пересекает BB1
.Независимо от выбора отрезка m пересекает его.
4.Аксиома откладывания треугольника.
В плоск-ти П треуг.АВС.В П” луч А1М, с прямой L1 ,L2 разбивает по аксиоме 2
одна из полуплоскостей считается выделенной , тогда сущ. причем
единственный треуг А1 В1 С1 в плоскости П, так что(АВ)=( А1 В1) , отрезок А1 В1
С лучи А1 М1 и точка L принадл.выделенной полуплоскости.
Если отрезки равны по длинне, то они наз равными, если углы равны по
величине, то они тоже наз.равными и треуг.АВС и треуг А1 В1 С1 тоже наз
равными.Из этой аксиомы следует, что отрезки можно откладывать
ед.образом на выбранных лучах и углы на выбранном луче тоже можно
откладывать ед.образом.
5.Аксиома сущ.отрезка данной длинны:
Для любой d> 0 сущ.отрезок длинны d.Из этой аксиомы и из других
следует между точками Евклид.прямой 3.1 и 5 и мн-вом R можно
установить взаимнооднозначное соответствие
6.Аксиома параллельности:
В∈L, в одной плоскости П !! Сущ, причем единств. L1 в пересечL=пустое
мно-во, в этой плоскости В∈ L1 , L1||L, значит группы 1,2,3,4,5,6,7описывают планиметрию.Пространственные аксиомы С1 ,С2 ,С3.
С1 : на любой плоскости сущ.точки ей принадл.и не принадл.
С2:Если 2 разные пл-сти имеют общую точку, то они пересекаются по
прямой.
С3: Если 2 различные прямые пересекаются в одной точке, то сущ.причем
ед. образом плоскость проход.через эти прямые или содерж.их.
1,2,3,4,5,6,7+ 3 пространственные.
12.Непротиворечивость аксиоматики Погорелова ӏ и Vӏ группы…
Первое, что следует доказать-это непротиворечивость
.Непротиворечивость ∑𝑤 доказывается легко.Непротиворечивость
∑𝐻 доказательство в книге Ефимова М. В.Непротиворечивость
∑𝑛 доказательство довольно сложное.Во всех трёх случаях
непротиворечивость доказывается,основываясь на построении
арифметической модели.Непротиворечивость ∑𝑛:
Будем рассматривать планиметрию аксиомы 1-6.Модель строится на
основе R-теория чисел (ӏ) точки – это пары чисел (x1,y1)=A1,где x1 y1ϵR.
«Прямые»- это линейные уравнения с двумя неизвестными
ax+by+c=0..𝑎2 + 𝑏 2 ≠ 0,множество решений таких уравнений.Но
известно,что если такие уравнения пропорциональны,то они определяют
одну прямую,если (ӏӏ) A1=(x1y1)
l: ax+by+c=0, A «принадлежит» l <=> ax1+by1+c=0, т.е. (x1y1)-решение
уравнения.Проверим аксиому (ӏ),т.е. через 2 точки А1=(x1y1)…A2=(x2 y2)
𝑥−𝑥1 𝑦−𝑦1
существует l через них проходящая.
=
𝑥2−𝑥1 𝑦2−𝑦1
«единственность»
Пусть есть 2 прямые ll′, A1A2ϵl
l: ax+by+c=0
l′: a′x+b′y+c′=0
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0
{
𝑎′𝑥 + 𝑏′𝑦 + 𝑐′ = 0
Из теории линейных систем следует :
1) Ед. решение
2) ∅ решений
3) бесконечно много решений
𝑎 𝑏 𝑐
= = т.е. l и l′ совпадают.
𝑎′ 𝑏′ 𝑐′
Теорема доказана.
13.Непротиворечивость аксиоматики Погорелова 2-5 гр.
2 гр. “между”
L: ax+by+c=0
L: 1) b≠ 0 y=kx+b
L: 2) b=0 x=x0
A=(x1,y1) B=(x2,y2) M=(x,y) на C
M “между” A и B  x1<x<x2 или x2<x<x1
x-x1>0
x2-x>0
(x-x1)(x2-x)>0  M “между” A и B
A: y1=kx1+b
M:y=kx+b
B:y2=kx2+b
(y-y1)(y2-y)>0
L: x=x0 M “между” A и B
(y-y1)(y2-y)>0
2 каждая прямая разбивает плоскость на 2 части
L’: a’x+b’y+c’=0
a’x+b’y+c’>0 –П- полож. полупл.
А и В в разных полуполск. [AB] пересек. L’
A и B в одной плоскости тогда отрезок AB не пересекает L’
A=(x1y1) B=(x2y2)
L: ax+by+c=0
+
Aͼ П  a’x1+b’y1+c’>0 Bͼ П-  a’x2+b’y2+c’<0
f(M)=f(x,y)=ax+by+c
f(A)=ax1+by1+c=ax1+(kx1+b)+c>0
f(B) =ax2+by2+c=ax2+(kx2+b)+c<0
f(x)=f(x,kx+b)=ax+b(kx+b)+c  линейная ф-ия одной переменной
f(A)=f(x1)>0
На концах отрезка прин. разные знаки:
f(A)=f(x1)>0
f(A)=f(x2)<0
Ǝ!x=ξ
M(ξ,kξ+b), то f(M)=0=f(ξ1)=> MͼL
a’ξ+b’(kξ+b)+c=0
MͼL
Mͼ[AB] L∩[AB]=M что и т.д.
3гр. длина отрезка [AB]
1 A=(x1y1)
B=(x2y2)
|AB|=√ (x2-x1)2+(y2-y1)2
|AB|=√ (x2-x1)2+(y2-y1)2=(x2-x1) √1+k2
|AM|+|MB|=√ (x-x1)2+(y-y1)2+√ (x2-x)2+(y2-y)2==(x-x1) √1+k2+(x2-x) √1+k2=(x2-x1 )
√1+k2=|AB|что и т.д.
4-об откладывании треугольника Треугольник откладывается нужным
образом с помощью движений
14. Роль симметрии в евклидовой геометрии
Понятие симметрии вводится через понятие движения, т.к. люб движение
евклид геометрии и неевклид геометрии Лобачевкого есть композиция
 
осевых симметрий.Движения:1паралл. Перенос на в-р a :τ a 2.осевая симм

отн ι :Sι 3.поворот на угол φ: Rm0 4. Скользящая симметрия Каждое из
этих движений представимо в произ симметрий

P- сер [M, M  ] Q- сер [ M  , M  ] M  M  перп ι ,
a



M M  перп m , | M M  |=| a |, MM   a ,  м=> f a (М)= M  M M 
M 

τ a = S m Sl .

a ||ι, M M  -симм ι

M M  = a
f-скольз. симметрия
a
2
Q
Понятия «точки» и «прямые» могут быть определены через движения.
Ι
m

A<=> R A
ι<=> S l -ед. осевая симметрия
Евклидова и неевклид. Геометрии могут исслед из аксиом или на 
модели.При построении модели геом Лобачевского будет использ
движение для описания неевклид движений.
Все теоремы евлид и неевкл геометрий можно вывести с помощью
движений. Напр. Точки и прямые определяются через движения.
P
15. Построение евклидовой геометрии на основе симметрий
В классических метрических геометриях (евклидовых), не евклидовой
геометрии Лобочевского, сферической или элептической геометрии
Римена ключевую роль играет движение без опоры на теорию
параллельности сущ аксиоматики в которых движение входит в число
первоночальных понятий. Соответствия аксиомы двух движений в таких
аксиоматиках довольно сложные наиболее удобно вводить движения
через понятия осевой симетри . Это возможно потому что любое
движение в евклидовой геометрии и не евклидовой геометрии
Лобочевского.
Для любого движения в евклидовой плоскости:
1. Параллельный перенос на вектор а.
2. Осевая симметрия
3. Скользящая симметрия
4. R-ротер.
Покажем, что каждая из этих движений раскладывается вкомпозицию или
симметрию
Sl- осевая симметрия
RH0-поворот вокруг т M0 на угол фи.
Ta- параллельный перенос на вектор а
m∩l=M0
ϕ>0 против час стрелке, ϕ<0 по часовой стрелке |M0M’|=|M0M”|=|M0M|
a+b=4/2
угол M’OM”=2a+2b=ϕ
|M0M|=|M0M’| => Rϕ M0(M)=M” Для любых M => Rϕ M0=SmSl
Вектор MM’ перпендикулярен l M’M” перпендикулярно m
P середина [MM”], Q- сер [M’M”], [MM”] =|вектору а|, вектор
MM”=вектору а
Та=SmSl Ta(M)=M”
Ta=SMSW f=Ual=SmSnSl
F=TaSl
16 Аксиоматика Вейля
Другое наз. Точечно-векторная аксиоматика.
Структура евклидовой геометрии в аксиоматике Вейля это <𝜀, 𝑣, (+), (∗
)𝑔, 𝛿>
𝜀- пространство точек
𝑣- векторное пространство
(+)сложение векторов
(∗)умножение векторов
𝑔 -скалярное произведение
𝛿-откладывание векторов
1. Группа: аксиомы векторного пространства
А1: ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑣 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎
A2: ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑣 (𝑎 + 𝑏)+𝑐 = 𝑎 + (𝑏+𝑐)
A3: ∃ 0 ∈ 𝑣: 𝑎 + 0 = 𝑎
A4: ∀ 𝑎 ∃ −𝑎: 𝑎 + −𝑎 = 0
A5: 𝑎 ∗ 1 = 𝑎
A6: k(ℓ𝑎)= (kℓ)𝑎, kℓ ∈ 𝑅
A7: (k+ℓ)𝑎=𝑘𝑎 + ℓ𝑎
A8: 𝑘(𝑎 + 𝑏) = 𝑘𝑎 + 𝑘𝑏
2. Группа: dim v=n
n=1 - прямая
n=2 -плоскость
n=3 –трехмерное пространство
Размерность равномерно и означает, что в 𝑣 существует и линейнонезависимых векторов и ∀ (𝑛 + 1)вектор линейно-независимый
3. Группы скалярного произведения
𝑔: 𝑣 ∗ 𝑣 → 𝑅 (𝑎, 𝑏) → 𝑔(𝑎, 𝑏) = 𝑎 ∗ 𝑏
A10: 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎
A11: 𝑘(𝑎 𝑏)= (𝑘𝑎 )𝑏
A12: 𝑎 ∗ (𝑏+𝑐)= 𝑎 𝑏 + 𝑎 𝑐
A13: 𝑎2 = 𝑎 ∗ 𝑎 ≥ 0
4. Группа
𝛿: 𝐸 ∗ 𝐸 → 𝑣: (А, В) → 𝛿(А, В) = А𝐵
A, B –точки ∈ 𝐸
A14: Единственность откладывания вектора
∀𝐴 ∈ 𝐸 ∀ 𝑎 ∃! 𝐵 𝐴𝐵 = 𝑎
A15: Основное свойство сложения векторов 𝐴𝐵+ 𝐵С= 𝐴С
17. Аксиоматика Вейля. Простейшие следствия.
В аксиоматике Вейля два неопределяемых понятия:
точка – элемент множества Т,
вектор – элемент множества V,
четыре основных отношения:
сумма векторов,
произведение вектора на действительное число,
скалярное произведение векторов,
откладывание вектора от точки,
и пять групп аксиом:
I. Аксиомы сложения векторов;
II. Аксиомы умножения вектора на число;
III. Аксиомы размерности;
IV. Аксиомы скалярного произведения векторов;
V. Аксиомы откладывания векторов [2].
I. Аксиомы сложения векторов
Первая группа аксиом описывает отображение , называемое операцией
сложения векторов, позволяющая любым двум векторам и отнести
третий вектор – их сумму так, что выполняются аксиомы:
I1: Сложение векторов коммутативно .
I2: Сложение векторов ассоциативно .
I3: Существует нулевой вектор такой, что для справедливо равенство .
I4: Для существует противоположный вектор такой, что [2].
II. Аксиомы умножения вектора на число
Вторая группа аксиом описывает отображение , называемое операцией
умножения вектора на число, при этом каждому вектору и числу
однозначно отнести вектор , называемый произведением вектора на
число , так что выполняются аксиомы:
II1: Операция умножения дистрибутивна по отношению к сложению
векторов .
II2: Операция умножения дистрибутивна по отношению к сложению чисел
.
II3: Операция умножения вектора на число ассоциативна .
II4: Операция умножения вектора на единицу не меняет вектора [2].
Теорема 1.5. Произведение любого вектора на число 0 равняется
нулевому вектору.
Доказательство. С одной стороны, имеем . С другой стороны, прибавляя
почленно к обеим частям полученного равенства вектор ,
противоположный к вектору , мы получим .
Таким образом, , т.е. ■
Теорема 1.6. Противоположный вектор для вектора равен , т.е. .
Теорема 1.7. Произведение вещественного числа на нулевой вектор
равняется нулевому вектору, т.е. .
Система векторов называется линейно зависимой, если равенство
выполняется для некоторых постоянных , причем [2].
III. Аксиомы размерности
III1: Существует три линейно независимых вектора , т.е. если
.
III2: Любые четыре вектора линейно зависимы, т.е. если .
Всякая система трех линейно независимых векторов называется базисом
данного трехмерного векторного пространства.
Теорема: Всякий вектор векторного пространства можно разложить, и
притом единственным образом, по векторам базиса.
Числа x1,x2,x3 называются координатами вектора в базисе [2].
IV. Аксиомы скалярного произведения векторов
Четвертая группа аксиом описывает отображение , называемое
операцией скалярного умножения векторов, при этом любым двум
векторам и однозначно сопоставляется число , называемое скалярным
произведением двух векторов, так что выполняются аксиомы:
IV1: Скалярное произведение векторов коммутативно .
IV2: Скалярное произведение векторов линейно
IV3: и .
Скалярное произведение векторов позволяет определить число
называемое скалярным квадратом вектора .
Корень квадратный из этого числа называется длиной вектора и
обозначается .
Углом между векторами и называется число φ определяемое
равенством
[2].
V. Аксиомы откладывания векторов
Пятая группа аксиом описывает операцию откладывания вектора от точки,
при этом любым упорядоченным двум точкам А и В однозначно
сопоставляется вектор : , причем точка А называется начальной точкой
вектора , а В – конечной. Для операции откладывания вектора от точки
выполняются следующие аксиомы:
V1: Для каждой фиксированной точки А и каждого вектора существует
единственная точка В такая, что .
V2: Для любых трех точек А, В, С справедливо равенство [5].
Любая математическая система требует аксиоматического обоснования.
Например, аксиоматика Гильберта. Примером другого аксиоматического
построения геометрии является аксиоматика Вейля. Она также
удовлетворяет всем требованиям предъявляемым к системам аксиом.
18 Прямые в аксиоматике Вейля
(9)L(A,a)={M|AM=ta,t€R} A€E,
(10)[AB]={M|AM=tab,0<t<1}
(9)-совпадает векторным параметрич уравнением прямой
Теорема1: Если B€L,b=qa,e=|B,b|=L
Теорема2 сущ L=|AB| постулат 1 Евклида
Покажем,что в геометрии опред ξw вып-ся аксиома параллельности
Евклида
B не принадл L
Теорема 4(сущ-ние параллельности прямой) L*∩L=0
Пусть L=(A,a), L*=(B,a)
Д-во: от противного. Предп,что L∩L*=q,тогда Q€L=>AQ=t1a. Q€L*=>BQ=t2a
Тогда AB=AQ+QB AQ-BQ=(t1-t2)a B€L-противоречие с условием теоремы.
Плоскость в аксиоматике ξw также опред-ся через параметрич уравн
Если а=кaa*||a коллинеарны , если не сущ к:а*=ка,то пл-сть
проходящая через А с направляющ базисными в-рами а,в
П={M|AM=sa+tb} направл в-ры пл-сти П а,в можно заменить на пару
c,d,если c не параллельна d и они выраж через а и в
c=c1a+c1b
d=d1a+d1b
c1 c2 ≠0
d1 d2
П=П*=(В,с,d),если В€П
19. Непротиворечивость аксиоматики Вейля
Непротиворечивость Gw аксиоматики Вейля подходит для метода
координат и арифметическая модель Gw основывается на методе
координат
Для простоты возьмём планиметрию n=2
IR – теория действ. чисел
U - теория на которой строится модель
E=IR2={(x,y)|x,y ͼ IR}
U=IR2={(a1a2)|a1a2 ͼ IR}
(+) (a1a2)+(b1b2)=(a1+b1,a2+b2)
A1: a+b=(a1,a2)+(b1b2)=(a1+b1,a2+b2)= (b1+a1, b2+a2)=(b1b2)+ (a1a2)
0=(0,0); -a=(-a1,-a2)
(.) ka=k(a1a2)= (ka1ka2)
A8: k(a+b)=k[(a1a2)+ (b1b2)]=k(a1+b1,a2+b2)=(ka1+kb1,ka2+kb2)=(ka1ka2)+(kb1kb2)=
k(a1a2)+ k(b1b2)=ka+kb
Vгр.
L1=(1,0)
L2=(0,1)
тогда любой вектор a =(a1,a2)=a1(1,0)+a2(0,1)= a1L1+ a2L2
k1L1+ k2L2=0
0=k1L1+ k2L2= k1(1,0)+k2(0,1)= (k1,0)+(0, k2)=( k1 k2)=(0,0)=0  k1=0 и k2=0 в
баз.( L1 L2)
dim U=1
a=(a1,a2)
b=(b1b2)
a+b=def= a1b1+a2b2
aa=((a1,a2) (a1,a2))=a12+ a22≥0
a12+ a22=0  a1=a2=0
a=(0,0)
ч.т.д
A=(x1y1) B=(x2y2)
G(A,B)=AB=(x2-x1,y2-y1)
A14:
A=(x1y1) , a=(a1,a2)
Ǝ! B=( x1+ a1, y2+ a2)
AB=a
C=( x3y3)
AB+BC=(x2-x1,y2-y1)+ (x3-x2,y3-y2)= (x2-x1+ x3-x2,y2-y1+ y3-y2)= (x3-x1,y3-y1)=AC
Таким образом построена модель Gw Евклидовой плоскости на основе
теории IR. Это означает, что аксиомы Gw непротиворечивы, если не
противоречива теория IR.
20.”начала ” Евклида,v постулат и эквивалентные ему утверждения
“начала ” Евклида(III в.до н.э.)”начала” (элементы) в этой книге была
изложена геометрия Огромный вклад в геометрию
(Египта,Вавилона,Др.Греции).Самое важное достижении Евклида это
использование аксиоматического метода,т.е. построение научной теории
по след. Схеме: 1.выделение некоторых понятий и отношений в качестве
первоначальных.2.составление списка аксиом,т.е. некоторого числа
основополагающих св-в (применяемых без док-ва).3.вывод новых
понятий,отношений ,теорем из первоначальных строго логическим
способом. При этом логика которая исп.при развитии теории это
Аристотелева логика или формальная , или двузначная, построенная
Аристотелем.
Основные з-ны Аристотелевой логики след. : 1.з-н тождества А=А,
означающий,что понятия и отношения которые исп. данной теорией
неизменны. 2.з-н противоречий ,т.е. все высказывания могут быть либо
истины либо ложны.Это означает двузначность этой логики. 3. З-н
исключенного третьего( третьего не дано) (был поставлен под сомнение)
Евклид некоторым основным понятиям дает обязательное
определение,наприм. Опр.точка – это то что не имеет частей. С
современной точки зрения эти опр. Не строгие и излишние. И у самого
Евклида эти опр.не исп. существенным образом. Гораздо существеннее то
что некоторое отношение исп. сущ. При док-ве никак не описано. Наприм.
Отношенпе между для трех точек на прямой.В док-х признаков рав-во
треугольников существенно исп. движение.Сами аксиомы двух
видов:постулаты и аксиомы.
Постулат v. Если две прямые пересечь третьей так что внутреннее
односторонние углы меньше двух прямых углов, то эти две прямые
пересекаются и с той стороны с которой сумма углов меньше двух
прямых.(подразумевается, что все прямее в одной плоскости) Несмотря на
логические недостатки с современной точки зрения ошибок и
неправильных утверждений нет. На протяжении дальнейших веков
геометрия развивалась и изучалась по книгам Евклида.Начало Евклида
было первой вообще книгой которая была переведена на все языки
(основные). Развитие геометрии шло в нескольких направлениях :
1)добавлялись новые аксиомы 2)доказывались новые теоремы 3)делались
попытки док-ва пятого постулата. Исследования связанные с пятым
постулатом привели к открытию геом. Лобачевского(1826г) Окончательное
основание неевклидовой геом. Связано с построением модели геометрии
Лобачевского.(вторая половина 19 века) в это же время была построена
строгая теория действ. Чисел ,открыта теория множеств,были заложены
основы мат.логики.
21. Геометрия Лобачевского. Сумма углов треугол.
Сущ 3 класса метрических геометрий
1.Евклидова геометрия
2. Сферическая геометрия( в другом варианте эллиптич геом Римана)
3. Неевклидова геометрия Лобачевского.
Евклидова геом (Начала Евклида 3001 до н.э) Позднее было описание сфер
геом. Исследование 5 постулата на основании аксиом Евклида. На ходе эти
док-ва содержали ошибки, тем не менее они фактически способствовали
открытию некоторых фак-в неевкл геом лобачевского.
Практически все крупнейшие мат-ки средних веков и нового времени
занимались док-вом 5 постулата, имели след причину:неверно исп
утверждения как бы очевидное но эквиволентное постулату
Примеры. Утвержд экв 5 постулату.
1)Если 2 прямые на пл-ти не пересек, то расстояние от точки одной прямой
до второй(длины периода) постоянна или ограничены в совркупности.Рис
1.l1∩l=пустому мн-ву. А1А перпендикулярно l ро(А1А)=|А1А|=ро(А1l)
1.1 p(А1,l)=const; |p(А1l )|<k для любых А1
2) Сумма углов в треугол (любого) равна 180.
Док-во. Аксиома паралельности(через В сущ l1||l)=> в треугол АВС сумма
углов=180 или пи.
l1∩l=пустому множеству.
Из единственности паралел прямых => l/=l//, следов α+β+γ=180 как
развернутый угол сумма углов в треуг АВС
3)Рис.Сумма углов в треугол постоянная=>сумма углов =180.
Система: Ԑ1+Ԑ2=п
f1+f2=п по предположению α+β+γ=α+Ԑ1+f1 (**)
Сумма EFBC: β+γ+ Ԑ2+ Ԑ1+f2 (***)
Из (*)=> Ԑ1+Ԑ2+ f1+f2=2п
(**)=>β+γ+ Ԑ2+f2=2п
4) Рис.Сущ прямоугол и квадраты 4-х угольники Ламберта
Угол А=углу В=углу С=п/2; δ=углу Д=1
1.δ<=п/2(δ>=п/2 не может быть.
2.δ=п/2 евклидова геометрия
3.δ<п/2
Гипотеза острого угла.Предпологая, что выполняется гипотеза он
предпологал найти противоречие. Он заметил, что между фор-ми неевкл
геом и фор-ми сферич геом есть сходство.Он предпологал, что это геом
выпол на какой-то мнимой сфере.
5) Площади треугольников неограничены в совокупности т.е сущ
треугольники неограниченно большой площади
Рис. δ1<δ2<δ3. Строго возрастаем мб предел ≠0.
Рис. Кси-аюсолют. Uvt- предельный треугол. Площадь любого треугол
будет < предельного, поэтому ограничены
6)Через любые 3 неколлинеарные точки можно провести окружность(в
неевклид геом лобач кроме прямых и окр есть орициклы и эквидистанты)
7) Сущ подобные, но неравные треугол. В неевкл геом имеет место 4-ый
признак равенства: если углы треугол соотв равны, то треугол равны. На
сфере мы выйдем на сферу др радиуса.
Замечание. Все евкл геом данной размерностиизоморфны (изометричны)
Сферы могут быть произвол радиуса. В неевкл геом сущ пл-ти для любого
радиуса
8) Через точку вне прямой можно провести не более одной прямой в этой
же пло-ти паралельно l.
1826 г Лобач сделал доклад о сущ неевкл геом в которой выпол все
аксиомы евкл геом за одним источникам:вместо аксиомы паралельности
Евклида выпол акс паралельности Лобач:через точку вне прямой в данной
пл-ти проходят по крайней мере 2 прямые не пересекающие данную.
Рисунок. Из этой акс след, что через точку Апрох бесконечно много прямых
пересек данную и сущ 2 положения таких прямых мд которыми все
остальные прямые находятся. l1∩l=пустому множеству. L2∩l=пустому
множеству.Рис. Отрезок [BD1] разбив на 2 x1ᴗx2=[BD1] . Если E1€x1 , то AE1
пересекает l. Если D2€x2, то AD2 не пересекает l. По св-ву дейст чисел сущ
граничная точка F, кот разделяет х1 и х2 т.е если берем точку выше F-не
пересекает, если ниже-пересекает c l. Покажем. Что F€x2,,AF пересекает l.
Предпол, что AF∩l=F/ , x1∩ x2=пустому мн-ву. Рисунок. F€x1, AF∩l=пустому
мн-ву. F1(справа от F/), AF1/∩BD1=F1, AF1/∩BD=F1, F1€x2(т.к F граничная
точка,AF1 перес l => против)
Прямая AF-предельное положение среди всех прямых перес l,
симметрично относ AB сущ предельно полож AC. Эти 2 прямые наз
паралельными l справа и слева остальные прямые m1 m2 не пересек l
назыв расходящимися с l .
Рис. α Зависит от x(α=п(х) , x=|AB)-|угол паралельности. В Евкл геом геом
α=п/2/ α=П(х)=2arctgl –x/R гео Лобач где R-радиус кривизны пл-ти лоб; Rбольшое, то x/R прибл=0, αприбл=п/2.
При больших радиусах кривизны угол паралел-ти не отличен от прямого.
Отличие ральной геом от Евкл может выразится в сумме углов треугол.
Если оно меньше п, то геом неЕвкл . ЛОбач предпол изменить углы треугол
с вершинами наход в звездах. В конце 20 в было установлено что расшир
вселенная в различных постр этого расширения(замедл, пост, ускор) соотв
3 классич геом. Вариант ускорения расширения вселенной соотв гипербол
гео Лобач, на небольшом расстоянии различны Евкл.,неевкл геом не могут
быть измерены
22.Классические геометрии.
Наиб. общими пр-вами явл. топологические и метрические пр-ва.
Вводится Риманова метрика
2
2
2
ds =g11 dx +2g12dxdy +g22dy
Далее вычисляется кривизна К многообразия
л=0-евклидова геометрия
к<0- геометрия Лабочевского
к>0- сферич или элиптич геометрия Римана
Различия:
2
Сферич геом в любойточке к=1/R >0
Сферич прямые представимы в виде окр
Евклидова геом и сферич геом исследованы
Неевкл геом Лобачевского содержит много проблем и она сложнее
евклидовой и сферич,но между ними есть зависимость.
Пл-сть Лобочевского и евклидова пл_ть гомоморфичны.
в трехмерное евклидово пр-во помещена и двумерная сфера , а пл-ть
Лобачевского нет.
Смысл геом. Лобачевского:
1в трехмерном евклидовом пр-ве сущ поверхности,на кот сущ
сферичечкая геометрия
2Евклидова геометрия орисфере
3 двумерная геом Лобачевского на эквидистанной поверхности
Виды классич. геом.:
1евклидова
2 Лобачевского
3 сферич и эллиптич Римана
23. Угол параллельности.Взаимное расположение прямых на плоскости
Лобачевского
1) Пересечение l1 и l2
2) Параллельные l1 и l2
3) l1 и l2 расходящиеся
А
А- угол параллельности в евклидовой
геометрии
Всегда α=
𝜋
2
24.Непротиворечивость геометрии Лобачевского. Модель Клейна.
Возьмем в качестве аксиоматики пл.Лобачевского ∑П,аксиоматику
Погарелова в которой аксиома 2 Евклида заменена на 4 аксиому
Лобачевского.
Построим модель,в которой ∑П вып. Модель Клейна
При построении этой модели и при ее исп. нужно основыв. на
проективную геометрию,но если прямым способом задать формулы
неевклидовой длины и опр. непосредственно неевклидовы движения,то
эта модель будет основ. только на Евклидовой геометрии и тогда
существование модели Клейна означает,что геометрия Лобачевского
непротиворечива.
ξ –окр. и εLπ=k𝑝2
1.Точки А2 – внутр. точки ξ –окр.
2.Прямые А2 (неевклидовы прямые) это l ×А2,
l-евклидова прямая.
Неевклидовы прямые это хорды без концов.
Отношения
1.Принадлежность
2.Непрерывность
Опр.так же в А2 через соотв. Евклидовы отношения отрезок и угол опред.
обычным образом.
Длина отрезка и мера угла отличаются от Евклидовой
(1) Р(А,В)=R/2|ln(AB,uv)|- двойное отношение четырех точек. R- радиус
кривизны.
(1’)Если на Евклидовой пл-ти ввести систему к-т,то (AB,uv) можно
ввести через четыре определения без ссылок на проективную
геометрию.
(AB,uv)= (ВА,uv)-1 Р(А,В)=|ln(AB,uv)|
Если М между А и В
(AB,uv)= (uv,АВ)=uv1A/uv1B=λ/μ (uv,R)= λ
Далее опр. неевклидовы движения в А2 .Удобно опр. неевклид.
движения через
Проективные преобразованеия «гиперб.гомологии».
f(A)=A’,p-центр гомологии, l-ось гомологии.
25. Модель Клейна. Проверка аксиомы III(2-я аксиома), IV, V и VI групп.
Неевклидовы симметрии в модели Клейна.
III2. Данное определение неевклидовой геометрии Л2:
Удобно определять неевклид движения через преобразования
(проективные, гиперболические, гомологии).
F(A|→A) – l-ось гомологии, Р – центр. \
Строим образ.
Р€АА|, Р€BB|, ۷A,B Если точка М=АА ∩l, то (РМ,АА´)=1 ↔ f2=id или f=f-1, f
– инволюция.
Гиперболические гомологии f2=id получаются, если l и Р – поляра и
полюс относительно овала ξ. ABCD – полный 4-хугольник, вписанный в
овал.
A,B,C,D - вершины
P,Q,R’ – диагональные точки
PR=l, (MN,RQ)=-1, (LL’,RQ)=-1
PL=m, PL’=m’ – касательные
PQR – автополярный треугольник, каждая сторона которого, явл
полярой противоположной вершины.
Все неевклид движения 1-го рода явл композицией симметрий.
Sl=f
26.Элементы геометрии Лобачевского в модели Клейна
1.L-поляра Р
f=SL –неевклид.симметрия
f(А)= А1
А А1 =m
Полюс m и точка Q ∈ L(по т.взаимости проект геометрии)
g=Sm (неевклидова симметрия)
то g(U)=U! =V
Cледовательно, <AO1 U< AO1 V , AO1 ∈ m.Следов. g(О)=О! , по опр.меры
углов, если одни перех. В другой, то неевклид.мера угла <AO1 U и< AO1 V
равны,( они смежные), их сумма равна 180, тогда получается, что каждый
из углов прямой.Следов, m перпендик.L
2.U1P,V1P-касательные кси. O1Р-биссектриса неевклидова.
Если О=О1, то евклидова и неевклидова биссектрисы совпадут,
И преобразуют один угол в другой и учитывая что касательные
переходят в касательные будет следов., что O1Р-неевкл.биссектриса.
3. Если f=SL-неевклид.симметрия,
R∈C f(R)= R, f(М)= М! =N
(из св-в полного 4-х верш. И гомологии)
[MR][NR].Следов., неевклид длинны этих отрезков равны,
R-неевклидова середина [MN].
4.Если треуг.АВС в модели Клейна продолжить
Сторону до пересечения с абсолютом и построим
биссектрисы углов А,В, С,тогда из т. Брианшона
следует,что неевклид.биссектриссы пересек
в одной точке
5.АР,ВР,СР перпенд.L.тогда все перпендикуляры к L
пересек.в полюсе Р.Следов, все перпенд между собой расх.
6. L1||L, m перпендик.L, L1 должна проходить через
Р и Q,т.е. m включ в PQ(проект прямая). т.к.PQ касат.
к кси, то PQ в пересе с L2= пустое множество.
Следов., общего перпенд к 2-м параллельным
прямым нет.
7. L1иL-расход, пересек в точкеР, тогда общий перпенд .m к L1иL
должен принадлежать RQ.Следов.,он сущ и единств.,m пересек с L2.
8.1) если АВ и СD параллельны, то к ним общего перпенд нет.
2) если АВ и СD расход, то общий перпенд к ним только один.Или
АD перпенд. АВ, СД, или ВС перпенд АВ, СД.Следов.,4-ник не
Может быть прямоугольником, т.е. в плоскости Лобачевского
не существует прямоугольников.
27 Модели Пуанкаре плоскости Лобачевского
Рассматривается Е=С – плоскость комплексных чисел.
С=С ∪ {∞}=СP-1- комплексная проективная прямая.На С каждая точка
проходит через точку ∞ и становится замкнутой как окружность.
Расширенные прямые 𝑙=l ∪ {∞} и окружности входят в один класс линий
окружности на С.
Модель Пуанкаре в круге.
ƺ-окружность.U- внутренность круга неевклид.прямые двух видов.
L1-диаметр ƺ.
L2=S ∩ U, где S⊥ƺ
Обе модели Пуанкаре явл. конформными,т.е. евклидовы и неевклидовы
величины углов совпадают.