50. Графы-3. Напомним некоторые определения и формулировки: Цепь линия на графе, не проходящая ни по какому ребру более одного раза. Замкнутая цепь называется циклом. Ориентированный граф граф, на котором указано направление каждого его ребра. Граф, который можно нарисовать, не отрывая карандаш от бумаги и проводя каждое ребро ровно один раз, называется эйлеровым; он имеет не более двух нечетных вершин. Достаточное условие эйлеровости графа: Связный граф, степени вершин которого четны является эйлеровым. Задачи 5-7 оформляются при помощи метода математической индукции. В данном случае индукционную базу составляет число вершин графа. Теория и методические замечания к теме, задачи [10,с.167], [31,с.16,19,26] и др. Литература Задача 1. В некоторой стране есть столица и еще 100 городов. Некоторые города (в том числе и столица) соединены дорогами с односторонним движением. Из каждого нестоличного города выходит 20 дорог, и в каждый такой город входит 21 дорога. Докажите, что в столицу нельзя проехать ни из одного города. Доказательство. Пусть в столицу входит а дорог. Тогда общее число “входящих дорог равно 21100+а, а общее количество “выходящих” дорог не больше 20·100+(100а). Поэтому 21·100+а 20·100+(100а), т.е. 2а 0. Т.о., а = 0. D k i h g C Е l m n p A e Рис.1 В a b d f o c Задача 2. Можно ли совершить прогулку по городу, план которого показан на рис.1, пройдя только один раз по каждому из мостов? Возвращаться в начальную точку пути не обязательно. F Решение: Задача 3. Докажите, что на ребрах связного графа можно так расставить стрелки, чтобы из некоторой вершины можно было добраться по стрелкам до любой другой. Решение: Задача 4. На ребрах связного графа расставлены стрелки так, что для каждой вершины числа входящих и выходящих ребер равны. Докажите, что, двигаясь по стрелкам, можно добраться от любой вершины до любой другой. Доказательство: Задача 5. Дано п точек, п>4. Докажите, что можно соединить их стрелками так, чтобы из каждой точки в каждую можно было попасть, пройдя либо по одной стрелке, либо по двум, либо по трем (каждые две точки можно соединить стрелками только в одном направлении; идти по стрелке можно только в указанном направлении). Доказательство. По индукции. Для п=3, п=5 и п=6 требуемые системы изображены на рис.2. А1 А2 а) б) Аn в) Рис.2 Рис.3 На рис.3 показан один из способов, позволяющих из системы п точек А1, А2,…, Ап, соединенных нужным образом, получить требуемую систему с п+2 точками А1, А2, А3,…, Ап, Ап+1, Ап+2. Для этого, к уже имеющимся стрелкам добавить стрелки, идущие из Ап+1 по всем точкам А1, А2, А3,…, Ап; из каждой точки А1, А2, А3,…, Ап проведем стрелку в Ап+2; наконец, из Ап+2 стрелку в точку Ап+1. В силу принципа полной индукции, утверждение задачи справедливо при всех нечетных п3, и всех четных п6. Для п=4 требуемой системы не существует. Задача 6. В некоторой стране каждый город соединен с каждым дорогой с односторонним движением. Докажите, что найдется город, из которого можно добраться в любой другой. Доказательство: Задача 7. Несколько команд сыграли между собой круговой турнир по волейболу. Будем говорить, что команда А сильнее команды В, если либо А выиграла у В, либо существует команда С такая, что А выиграла у С, а С у В. а) Докажите, что есть команда, которая сильнее всех. б) Докажите, что команда, выигравшая турнир, сильнее всех. Доказательство: Содержание: