Научная работа - Лицей № 8 &quot

Содержание
Введение……………………………………………………………………………2
Глава 1. История возникновения иррациональных
чисел………………………………………………………………………………..4
Глава 2. Преобразование иррациональных выражений
2.1 Квадратный корень из числа……………………………………………8
2. 2 Вычисление квадратных корней……………………………………….9
2.3 Основные тождества для квадратных уравнений…………………...11
2. 4 Извлечение квадратного корня из произведения, дроби и
степени…………………………………………………………………………….12
2.5 Преобразование выражений……………………………………………13
2.6 Правила извлечения квадратного корня из натурального
числа………………………………………………………………………………...14
2.7 Сравнение корней…………………………………………………………..17
Глава 3. Практика решения уравнений, содержащих переменную под
знаком корня.
3.1 Решение иррациональных равнений………………………………………..19
3.2 Преобразование графика функции ó  f (õ) в график функции
ó
1
…………………………………………………………………………..20
f ( õ)
3.3 Два способа решения иррациональных уравнений: аналитический и
графический……………………………………………………………………..22
Выводы………………………………………………………………………….28
Список использованной литературы…………………………………………..29
1
Введение
Совокупность цифр – это бескрайняя азбука весьма выразительного языка
математики – вот уже тысячелетиями поражает воображение человечества.
Традиция интереса к очень крупным числам восходит, по крайней мере, к
Архимеду, который, решив определить, сколько песчинок может поместиться
во Вселенной, разработал
систему классов и порядков арифметических
величин. Он даже предложил принципы, с помощью которых можно
«придумывать» названия сколько угодно больших чисел.
Математика – наука, изучающая соотношения между числами, между
пространственными конфигурациями и абстрактными структурами. Понимание
самостоятельного положения математики как особой науки возникло в Древней
Греции в VI -V в.в. до н. э. Математика объединяет комплекс дисциплин:
арифметика, алгебра, геометрия, теория вероятности, математический анализ.
В каждой из этих дисциплин есть ключевые понятия. В алгебре одним из
важнейших понятий является корень. Введение квадратных корней – не
прихоть математиков, а объективная необходимость: в реальной жизни
встречаются ситуации, математические модели которых содержат операцию
извлечения квадратного корня. Однако интерес к квадратному корню из двух,
видимо, возник ещё раньше. Учёные по-разному предлагают решать
квадратные уравнения. Возникает спор о надобности использования формул
квадратного уравнения с использованием
. В этом мы видим актуальность
нашей темы.
Объект исследования: теория числовых множеств.
Предмет исследования: решение проблемы иррациональности в алгебре.
Цель работы: провести анализ введения и использования иррациональных
чисел.
Задачи:
1. Рассмотреть историю возникновения иррациональных чисел.
2. Сопоставить определение корня разными учеными.
3. Проанализировать и описать способы извлечения корня.
2
4. Исследовать применение иррациональных выражений при решении
иррациональных уравнений.
5. Исследовать решение иррациональных уравнений графическим методом
с использованием дробно-линейной функции.
Методы
исследования:
описательный,
сопоставительный,
анализ
литературы, поисковый.
Структура работы: работа состоит из введения, трех глав, выводов, списка
использованной литературы, приложений.
3
Глава 1. История возникновения иррациональных чисел.
Потребность в действиях возведения в степень и извлечения корня была
вызвана, как и другие четыре арифметических действия, практической жизнью.
Так, наряду с задачей вычисления площади квадрата, сторона которого а
известна, с давних пор встречалась обратная задача: «Какую длину должна
иметь сторона квадрата, чтобы его площадь равнялась в?»
В собрании Вавилонских исторических ценностей, хранящемся в
Йельском университете, есть круглая глиняная табличка, относящаяся к 1750 г.
до н.э. На ней изображён рассечённый диагоналями квадрат и чёткими
клинописными знаками выписаны три цифры. Когда их прочли, стало ясно. Что
без малого 4000 тысячи лет назад в Вавилоне умели определять диагональ
квадрата по его стороне, умножая, его длину на квадратный корень из двух.
Невольно хочется повторить: это подсчитано в 18 веке до н.э.!
За пять столетий до нашей эры школа Пифагора сделала одно из величайших
математических открытий. Пифагорейцы пытались доказать, что любое число
может быть выведено путём сложения, вычитания, умножения и деления
положительных целых чисел. А корень квадратный из двух – число
иррациональное и конечным числом таких операций не получается. Это и было
обнаружено последователями Пифагора. Однако они любили всяческую
секретность и «законспирировали» своё открытие на многие годы.
Его доказательство впервые появилось в «Началах» Евклида около 300 г. до
н.э. А затем примерно в 140 г. н. э. Теону из Смирны удалось разработать
интереснейший алгоритм вычисления корня из двух. Этот алгоритм стал
истоком всей методики использования
непрерывных дробей. В 19 в.
Математик Бурман довёл вычисление квадратного корня из двух до 486-ог
десятичного знака. Его победа, добытая «голыми руками», омрачается тем, что
в 316-ом знаке Бурман допустил ошибку. И далее его вычисления неверны.
В последнее время интерес к подобным операциям стал не только данью
традиции. «Неупорядоченные» величины, вроде корня квадратного из двух
могут служить для моделирования случайно происходящих массовых явлений.
4
Всё это входит в круг математической теории с прозаическим названием
«теория массового обслуживания».
Математикам
величине
необходимо знать, появляются ли где-либо в этой
такие последовательности, как, например, 7,7,7,7,7 или
2
1,2,3,4,5,6,7,8,9. подобные события теория пока предсказать не в силах, так что
приходится
добиваться
ответа
эмпирически,
путем
приближения
и
приближения к истине. Поэтому с момента появления скоростных
электронных вычислительных машин математики не жалели сил и довели
вычисление
2
до стотысячного знака. Недавним достижением была
титаническая
работа
сотрудника
Отдела
математических
методов
в
инженерном деле при Колумбийском университете профессора Жака Дутки
(Нью-Йорк). Он специально разработал совершенно новый алгоритм и
подсчитал величину названного корня до миллион восемьдесят второго
десятичного знака! Это наиболее длинная из всех вычислительных величин за
всю историю математики.
Хотя алгоритм профессора Дутки и рассчитан на эффективное и быстрое
вычисление, мощная ЭВМ «ИБМ 360 – 91» потратила на эту работу сорок семь
с половиной часов машинного времени. А ведь обычно решение даже
сравнительно сложных задач отнимает у современной ЭВМ если не секунды, то
лишь минуту. К этому нужно добавить сотни часов, ушедших у группы
специалистов, составлявших программу для вычислений. В напечатанном виде
результат работы Дутки занимает книгу в 201 страницу сжатого текста – 5000
десятичных знаков на каждой странице.
Теперь Дутка и его сотрудники
намерены заняться
числами π-
отношением длины окружности к диаметру – и е- основанием натурального
логарифма. Эти «орешки» будут ещё труднее, чем корень квадратный из двух,
но к π математики испытывают прямо-таки «историческую нежность», а е –
одна из важнейших констант во всей системе исчисления, во всей высшей
математике.
5
Ныне применяемый знак корня произошел от обозначения, которое
применяли немецкие математики 15-16 в.в., называвшие алгебру «Косс», а
алгебраистами «косстистами». Неизвестные числа с 17 века стали обозначать
последними буквами латинского алфавита x, y, z. Однако долго
ещё
неизвестное в уравнении писали буквой R (от «Radix» - « корень»), а квадрат
его – буквой q (« quadratus»). Это объяснение не является общепринятым. В
самых старых рукописях перед числом, из которого нужно извлечь корень,
ставилась точка, а позднее точка или узкий ромбик с черточкой, направленной
вправо и вверх. Так образовался знак 2 .
«Источником алгебраических иррациональностей является двузначность
или многозначность задачи; ибо было бы невозможно выразить одним и тем же
вычислением многие значения, удовлетворяющие одной и той же задаче, иначе,
чем при помощи корней…; они же разве только в частных случаях могут быть
сведены к рациональностям» - Лейбниц Г.
Одной из конкретных причин появления математических теорий явилось
открытие
иррациональностей.
Вначале
это
произошло
в
пределах
геометрических изысканий в виде установления факта несоизмеримости двух
отрезков прямой. Значение этого открытия в математике трудно переоценить.
Математики Индии, Ближнего и Среднего Востока, развивая алгебру,
тригонометрию и астрономию, не могли обойтись без иррациональных
величин, которые, однако, длительное время не признавали за числа. Греки
называли иррациональную величину, например, корень из квадратного числа,
«алогос»- невыразимое словами. Позже европейские переводчики с арабского
языка на латынь перевели это слово латинским словом surdus- глухой. В Европе
этот термин впервые появился в середине 12в. У Геродота Кремонского,
известного переводчика математических произведений с арабского на латынь,
вплоть
до
18в.
Позже,
математик
Симон
Стевин
считали
понятие
иррационального числа равноправным с рациональным.
В математику, едва ли не впервые, вошла сложная теоретическая
абстракция, не имеющая аналога в донаучном общечеловеческом опыте.
6
Вероятно,
самой
иррациональностью,
открытой
древнегреческими
математиками, было число.
Можно с определённой уверенностью считать, что исходным пунктом
этого открытия были попытки найти общую меру с помощью алгоритма
попеременного вычитания, известного сейчас как алгоритм Евклида.
7
Глава 2. Преобразование иррациональных выражений
2.1 Квадратный корень из числа
Зная время t , можно найти путь при свободном падении по формуле:
S  4, 9t 2 . Решим обратную задачу.
Задача.
Сколько секунд будет падать камень, сброшенный с высоты
122,5 м?
Решение: Чтобы найти ответ, нужно решить уравнение 4, 9t 2  122, 5. Из
него находим, что t 2  25. Теперь осталось найти такое положительное число t,
что его квадрат равняется 25. Этим числом является 5, так как 52  25. Значит,
камень будет падать 5 с.
Искать положительное число по его квадрату приходится и при решении
других задач, например при отыскании длины стороны квадрата по его
площади. Введем следующее определение:
Определение.
Неотрицательное
число,
квадрат
которого
равен
неотрицательному числу а, называется квадратным корнем из а.
Это число обозначают
à
. Таким образом ( а ) 2  а и а  0.
Пример. Так как
02  0, 12  1, 22  4, 32  9, то
0  0,
1  1,
4  2,
9  3.
Из отрицательных чисел нельзя извлекать квадратные корни, так как
квадрат любого числа или положителен, или равен нулю. Например, выражение
25 не имеет числового значения.
В записи а знак
называют знаком радикала (от латинского "радикс" -
корень), а число а - подкоренным числом. Например, в записи 25 подкоренное
число равно 25. Так как (10 n. ) 2  102n , то 102n  10 n . Это означает, что квадратный
корень из числа, записанного единицей и 2n нулями, равен числу,
записываемому единицей и n нулями:
1000...0  100...0 .
2 n í óëåé
n í óëåé
8
Аналогично доказывается, что
0, 00...0...01  0, 0...01
n í óëåé
2 n í óëåé
Например,
10000  100,
0, 0001  0, 01,
1000000  1000,
0, 000001  0, 001.
2. 2 Вычисление квадратных корней
Мы знаем, что не существует рационального числа, квадрат которого
равен 2. Это означает, что
2 не может быть рациональным числом. Он
является иррациональным числом, т.е. записывается в виде непериодической
бесконечной десятичной дроби, причем первые десятичные знаки этой дроби
имеют вид 1,414... Чтобы найти следующий десятичный знак, надо взять число
1.414х, где х может принимать значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, возвести по
порядку эти числа в квадрат и найти такое значение х, при котором квадрат
меньше, чем 2, но следующий за ним квадрат больше, чем 2. Таким значением
является х=2. Далее повторяем то же самое с числами вида 1,4142х. Продолжая
этот процесс, получаем одну за другой цифры бесконечной десятичной дроби,
равной
2.
Аналогично доказывается существование квадратного корня из любого
положительного
действительного
числа.
Разумеется,
последовательное
возведение в квадрат весьма трудоемкое занятие, и потому существуют
способы быстрее находить десятичные знаки квадратного корня. С помощью
микрокалькулятора можно найти значение
а с восемью верными цифрами.
Для этого достаточно ввести в микрокалькулятор число а>0 и нажать клавишу
- на экране высветится 8 цифр значения
а.
В некоторых случаях
приходится использовать свойства квадратных корней, которые мы укажем
ниже.
Если точность, даваемая микрокалькулятором, недостаточна, можно
воспользоваться способом уточнения значения корня, даваемым следующей
теоремой:
9
Теорема. Если а - положительное число и х 1 - приближенное значение
для а по избытку, то - приближенное значение для а по недостатку.
Доказательство:
По условию x1>
а и потому х1
2
 а 2
а
а
а2


>a, 2 <1. Но   = 2 = a 2 . Т.к.
х1
х1
х1
 х1 
2
 а 
а
а
a 2 <a. Значит,  2   а и - приближенное значение для
х1
х1
 х1 
а
<1, то
х12
а по
недостатку.
Аналогично доказывается, что если х 1 - приближенное значение для
недостатку, то
а
- приближенное значение
х1
Поскольку х 1 и
а
х1
а по
а по избытку.
являются приближенными значениями для
а по
избытку и по недостатку, то в качестве лучшего приближения для
а естественно выбрать среднее арифметическое этих чисел, т. е. число
х2 =
1
2

а
 х1   .
х1 

А чтобы получить еще более точное значение для
надо взять среднее арифметическое чисел х 2 и
х3 =
1
2

а
 х2   .
х2 

а
, т. е. число
х2
Так вычисляются одно за другим все лучшие и лучшие
приближенные значения для
а . Приближения ведут до тех пор, пока два
полученных значения х n и х n1 не совпадут в пределах заданной
Можно
а,
доказать,
что
каждое
точности.
приближение примерно удваивает число
верных десятичных знаков.
Пример 1. Уточним по формуле x2 =
x1 = 1,414 для
1
а
 х1  
2
х1 
приближение
2.
В нашем случае а=2. Поэтому
x1
=
1
2  1
1,414 
  (1,414 + 1,4144271) + 1,4142135…
2
1,414  2
10
Выполнив еще одно приближение, мы убедимся, что все выписанные
знаки полученного ответа верны, т. е. число верных знаков удвоилось.
Пример 2. Найдем приближенное значение для 5 с точностью до 0,0001.
Выберем за первое приближение для
приближение вычисляется так: x2 =
1
2
Далее имеем x3 =  2,25 
5
число 2. Тогда второе
1
5
 2   = 2,25
2
2
5 
1
5 
 = 2,2361, x4 =  2,2361 
 =2,2361.
2,25 
2
2,2361 
Значит, с точностью до 0,0001 имеем 5 =2,2361.
2.3 Основные тождества для квадратных корней
Из определения квадратного корня вытекает, что равенство
à  x , где
a  0 , верно в том и только в том случае, когда x 2  a , причем x  0 . Заменяя в
равенстве x 2  a переменную x на а , получаем тождество
 à
2
 à,
(1)
верное для всех a  0 . Заменяя в равенстве
а = x переменную a на x 2 ,
получаем тождества, которое верно для всех x  0
х2 = x ,
(2) .
Например,
 25 2 = 25;  8  2 = 8; 
0,11
2 = 0,11;
6 2 = 6;
0,24 2 =0,24.
Формулы 1 и 2 показывают, что для неотрицательных чисел операции
возведения в квадрат и извлечения квадратного корня взаимообратным.
Т.е. если выполнить над каким-нибудь неотрицательным числом сначала
одну из этих операций, а потом другую, то число не изменится.
Если а – отрицательное число, то равенство 1 неверно, так как
имеет числового значения. При отрицательных значениях
а не
х неверно и
равенство 2 . Например,  5 2 = 25 =5, а не –5. Так как х2 =  х  2, а при х < 0
имеем – х> 0, то при х< 0 верно равенство
 x, åñëè x  0;
 x, åñëè x  0.
Итак, x 2  
Но мы знаем, что
х2 =
 х  2 = - х
(3)
 x, åñëè x  0;
x 
 x, åñëè x  0.
11
Поэтому для всех чисел х верно равенство
х2 = х .
(4)
Например, 8 2 = 8 =8,  12 2 =  12 = 12.
Пример 1. Упростим выражение

3+ 2

2 +
3-
2
 2.
 3  2 = 3,  2 2 = 2, то  3 + 2  2 +  3 - 2  2 =  3  2 +
2 +  2 2 +  3  2 – 2 3 ∙ 2 +  2 2 =2·  3  2 + 2 ·  2 2 = 2 · 3 + 2 · 2 = =10.
Так как
2 3·
Пример 2. Найдем значения выражения а  в 2 , при а = 2,1; b = 3,6 .
При любом значении х выполняется равенство
а  b =
2
х 2 = х . Поэтому
а  b . Но 2,1  3,6 =  1,5 = 1,5. Значит, при а =
2,1; b =3,6 имеем а  b =1,5.
2
2.4 Извлечение квадратного корня из произведения, дроби и степени
Выражения
деле,
9 = 3,
9· 4 и
имеют одно и то же значение 6. В самом
94
36 = 6, поэтому
2 = 2,
9· 4= 3 · 2 = 6 и
9  4 = = 36 = 6.
Равенство 9 · 4 = 9  4 - частный случай общего утверждения:
Теорема.
Квадратный
корень
из
произведения
двух
неотрицательных чисел равен произведению квадратных корней из этих
чисел, т.е. при а  0, b  0 имеем
à b =
a ·
(1)
b
Доказательство:
Пусть число а и b неотрицательны. Тогда по правилу возведения в
степень имеем

Кроме того,
а ·
b
а ·
неотрицательных чисел
2 =
 a
2
·
 b  = а · b.
2
b - неотрицательное число как произведение двух
а и
b . Поэтому
a ·
Пример 1. Найдем значения выражения
b=
à b
625  256  0,0001
Мы имеем 625 = 25, 256 = 16, 0,001 = 0,01,
и потому 625  256  0,0001 = 25·16·0,01= 4.
Аналогично доказывается, что
а
=
в
а
в
(2)
12
2.5 Преобразование выражений
При
преобразовании
выражении,
содержащих
квадратные
корни,
оказывается полезной следующая формула
А В =
А  А2  В

2
А  А2  В
,
2
где А2  В (в обеих частях равенства одновременно берутся знаки “ плюс “
и “ минус “). Чтобы доказать это равенство, заметим, во-первых, что и
левая,
и
правая
его части
являются
при А  0, В  0, А2 – В  0
неотрицательными числами. Возведем теперь обе части равенства 1 в
квадрат. В левой части имеем А 
В , в правой части по формуле
квадрата суммы или разности получаем
А  А2  В
А  А2  В

 2
2
2
=А  2
=А  2
Таким

А 
А  А2  В
А  А2  В
+
=
2
2

А2  В А  А2  В
А2 
=А  2
4


А2  А2  В
В
=А  2
=А 
4
4
образом, квадраты

А2  В
4

2
=
В.
обеих
частей
равенства
1 оказались
одинаковыми, а поскольку эти части – неотрицательные числа, то равенство
1 доказано.
Пример 1. Упростим выражение
5  21 .
1-й способ. В одном случае имеем А = 5, В = 21, А2 – В =
= 52 – 21 = 4, и поэтому по формуле 1
5  21 =
5 4
2
5 4
=
2
7
2
3
.
2
2-й способ. Приведем подкоренное выражение к полному квадрату:
5 - 21 =






1
1
1
1
10  2 21 =
10  2 7  3 = 7  3  2 7  3 =
2
2
2
2
2
2
 7  3
 .
= 

2


Поэтому
5  21 =
 7  3

 =


2


7 3
2

7 3

2
=
.
13
Пример 2. Упростим выражение
12  63
1-й способ:
12  63 =
12  12 2  63
+
2
12  9
+
2
12  12 2  63
=
2
12  9
=
2
21  3
2
.
2
1
2-й способ:  12  63  = 24  2 63  =

=



1
1
21  2 21  3  3 = 
2
2 
Поэтому
 21
2
21  3
12  63 =
2
2
 2 21  3 
 3   = 12 
2
21  3

2
.
Пример 3. Доказать, что 28  10 3  28  10 3 = 10.
2
 28  10 3  = 28 – 10 3 = 25 – 10 3 +3 = 52 – 10 3 


 3  = 5  3  .
2
2
Поэтому  28  10 3  2 = 5 – 3 .



2

 28  10 3  = 28 + 10 3 = 25 + 10 3 + 3 = 5  3 2 .


Поэтому  28  10 3  = 5 + 3

=5–


28  10 3  28  10 3 =
3  5  3 = 5 + 5 = 10.
2.6 Правила извлечения квадратного корня из натурального
числа
Пусть нужно извлечь квадратный корень из натурального числа m. Чтобы
найти результат можно воспользоваться следующим правилом:
1. Разобьем число m на грани (справа налево, начиная с последней цифры),
включив в каждую грань по две рядом стоящие цифры. При этом следует
учесть, что если m состоит из четного числа цифр, то в первой грани
(слева) будет две цифры; если же число m состоит из нечетного числа
цифр, то первая грань состоит из одной цифры. Количество граней
показывает количество цифр результата.
14
2. Подбираем наибольшую цифру, такую, что ее квадрат не превосходит
числа, находящегося в первой грани; эта цифра – первая цифра
результата.
3. Возведем первую цифру результата в квадрат, вычтем полученное число
из первой грани, припишем к найденной разности справа вторую грань.
Получится некоторое число A. Удвоив имеющуюся часть результата,
получим число a. Теперь подберем такую наибольшую цифру x, чтобы
произведение числа ax на x не превосходило числа A. Цифра x – вторая
цифра результата.
4. Произведение числа ax на x вычтем из числа A, припишем к данной
разности справа третью грань, получится некоторое число В. Удвоив
имеющуюся часть результата, получим число b. Теперь подберем такую
наибольшую цифру у, чтобы произведение числа b у на у не превосходило
числа В. Цифра у – третья цифра результата.
Следующий шаг правила повторяет 4-й шаг. Это продолжается до тех пор, пока
не используется последняя грань.
Пример 1. Вычислить 138384 .
Решение. Разобьем число на грани: 13^83^84 – их три, значит, в результате
должно получиться трехзначное число. Первая цифра результата 3, так как
32<13, тогда как 42>13. Вычтя 9 из 13, получим 4. Приписав к 4 следующую
грань, получим A =483. Удвоив имеющуюся часть результата, то есть
число 3, получим
a =6. Подберем теперь такую цифру х, чтобы
произведение двузначного числа ax на x было меньше числа 483. Такой
цифрой будет 7, так как 67  7  469 - это меньше 483, тогда как 68  8  544 это больше 483. Итак, вторая цифра результата 7. Вычтя 469 из 483,
получим 14. Приписав к этому числу справа последнюю грань, получим В
= 1484. Удвоив имеющуюся часть результата, то есть число 37, получим b
=74. Подберем теперь такую наибольшую цифру у, чтобы произведение
трехзначного числа
bу на у не превосходило 1484. Такой цифрой будет 2,
15
так как 742  2  1484 . Цифра 2 – последняя цифра результата. В ответе
получили 372.
13^83^84 =372
32=9
*67
-483
7 469
*742
-1484
2
1484
0
Пример 2. Вычислить 294849 .
29^48^49 =543
52=25
*104
4
*1083
3
1^51^ 29 =123
12=1
*22
-51
2 44
* 243
-729
3
729
0
-448
416
-3249
3249
0
Пример 4. Вычислить 1597696 .
1^59^76^96 =1264
12=1
*22
2
*246
6
*2524
4
Пример 3. Вычислить 15129 .
Пример 5. Вычислить 12460900 .
12^ 46^09^00 =3530
-59
44
-1576
1476
-10096
10096
0
32=9
*65
5
*703
3
-346
325
-2109
2109
0
Если корень не извлекается, то после последней цифры заданного числа
ставят запятую и образуют дальнейшие грани, каждая из которых имеет
вид 00. В этом случае процесс извлечения корня бесконечен; он
прекращается, когда достигается требуемая точность
Пример 1. Вычислить 7 с точностью до 0,01.
7,00^00^00... =2,645
16
4
*46 -300
6 276
*524
-2400
4 2096
*5285 -30400
5 26425
3975
.....
2.7 Сравнение корней
Для того чтобы сравнить квадратный корень из иррационального числа с
квадратным
корнем
из
другого
числа
или
любым
другим
числом
(рациональным, иррациональным, целым или натуральным), необходимо найти
его приблизительное значение.
Пример 1. Сравнить 6  10 и 5  11 .
Выберем за первое приближение для
число 2. Тогда следующие
6
приближения вычисляется так:
x2 =
1
2 
2
6
 = 2,5
2
x3 =
1
6 
1
6 
 2,5 
 = 2,45 x4 =  2,45 
 = 2,4494
2
2,5 
2
2,45 
Итак 6  2,4494...
Выберем за первое приближение для
10
число 3. Тогда следующие
приближения вычисляется так:
x2 =
1  10 
1
10 
 = 3,1622. Итак
 3   = 3,1666 x3 =  3,16 
2
3
2
3,16 
Окончательно
10  3,1662...
6  10  3,1662  2,4494  5,61606...
Выберем за первое приближение для
приближение вычисляется так: x2 =
1
2
Далее имеем x3 =  2,25 
1
2 
2
число 2. Тогда второе
5
 = 2,25.
2
5 
 = 2,2361. Итак
2,25 
Выберем за первое приближение для
приближение вычисляется так: x2 =
5
5  2,2361...
11 число
3. Тогда второе
1
11 
 3   = 3,33.
2
3
17
1
2
Далее имеем x3 =  3,33 
11 
 = 3,316. Итак
3,33 
11  3,316...
Окончательно 11  5  3,316  2,236  5,552...
Ответ
6  10 = 11  5  5,584...
Пример 2. Сравнить 3 7  2 и 0.
Решение: 1) 7  2,1234...  3 7  3  2,1234...  6.3702... 2) 2  1.1234...
3) 3 7  2  6.3702...  1.1234...  7.4936... Итак 3 7  2 >0
Пример 3. Сравнить 3.5(2( 5  2 )) и 11  2 3
Решение: 1) 2  1.1234... 2) 5  2,1123... 3) 11  3,1123... 4) 3  1,1234...
5) 3.5(2( 5  2 ))  7 5  7 2  7  2,1123...  7  1,1234...  22,6499
6) 11  2 3  3,1123...  2  1,1234...  5,591
3.5( 2( 5  2 ))  7 5  7 2  7  2,1123...  7  1,1234...  22,6499 > 11  2 3
 3,1123...  2  1,1234...  5,591
18
Глава 3. Практика решения уравнений содержащих переменную
под знаком корня
3.1 Решение иррациональных уравнений
Иррациональным
называется
уравнение,
в
котором
переменная
содержится под знаком корня.
Рассмотрим два метода решения иррациональных уравнений: метод
возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень и метод введения
новых переменных.
Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень состоит
в следующем:
а)
преобразуют
f õ  n
n
заданное
иррациональное
уравнение
к
виду
g õ ;
б) возводят обе части полученного уравнения в n-ю степень:


в) учитывая, что  à  , получают уравнение
n
 
f õ 
n
n
g õ ;
n
n
n
f(х) = g(х);
г) решают уравнение и делают проверку, так как возведение обеих частей
уравнения в одну и ту же четную степень может привести к появлению
посторонних корней. Эта проверка чаще всего осуществляется с
помощью подстановки найденных значений переменной в исходное
уравнение.
Пример 1.
õ2  5õ  1  1  2 x  0
Решение. Данное уравнение содержит всего один радикал; оставим его в левой
части, а все остальные члены уравнения перенесём в правую часть, получим
õ2  5õ  1 =2х-1; возведем обе части в квадрат: х²+5х+1=(2х-1)²,
х²+5х+1=4х²-4х+1; после переноса всех членов в левую часть и приведения
подобных членов имеем
х(х-3)=0  х1=0 или х2=3.
Проверка. Если х1=0, то
0 2  5  0  1 + 1 - 2∙0≠0. Следовательно, первый корень
х=0 не удовлетворяет уравнению. Второй корень х=3 удовлетворяет данному
уравнению. Ответ: 3.
19
Пример 2. 2 õ  3 = õ  2
Решение. Возведём обе части в квадрат и получим 2х-3=х-2, откуда х=1.
Проверка показывает, что этот корень посторонний (при х=1 обе части
уравнения не имеют смысла). Заметим, что проверку можно выполнить так:
областью определения уравнения служит луч [2;+∞), и так как 1 не
õ2
2õ  3 =
принадлежит данному лучу, то х=1 – посторонний корень.
Ответ: нет корней.
Метод введения новой переменной объясним на примере.
õ 1
õ 2 3

 .
õ 2
õ 1 2
Пример 3.
Решение.1) Введем новую переменную
ó
1
ó

õ 1
 ó , тогда уравнение примет вид:
õ2
3
. Умножим обе части уравнения на
2
ó , получим ó  1 
Возведем обе части уравнения в квадрат: ó2  2 ó  1 
3 ó
.
2
9ó
. Помножив, обе части
4
уравнения на 4 получим квадратное уравнение: 4 ó 2  17 ó  4  0  у1 = 4; у2 =
2) Так как
1
.
4
õ 1
õ 1
õ 1 1
 ó , то получаем два уравнения:
4 и
 
õ2
õ2
õ2 4
 корни уравнений õ  3 и õ  2 .
3) Выполним проверку: пусть õ  3 
3 3
 . Пусть
2 2
õ  2
 
3 1
3 2 3
 2 1
22 3

 и

 
3 2
3 1 2
22
 2 1 2
3 3
 ( õ  2 посторонний
2 2
корень)
Ответ: 3.
3.2 Преобразование графика функции
ó
ó  f (õ)
в график функции
1
f ( õ)
Пример 1. Построить график функции ó 
1) ó  õ
1
õ
, зная ó  õ .
2) ó 
1
õ
20
Составим таблицу значений:
Составим таблицу значений:
Х
1
4
9
16
25
Х
1
4
16
25
0,01
0,0001
У
1
2
3
4
5
У
1
0,5
0,25
0,2
10
100
Сравнивая таблицы значений, видим, что при нахождении соответствующих
координат для построения второго графика функции увеличивая значения
координаты х значения координаты у уменьшаются, а, уменьшая значения
координаты х значения координаты у увеличиваются. Таким образом, ветвь
параболы преобразуется в ветвь гиперболы.
Пример 2. Построить график функции ó 
ó
õ4
, зная график функции
õ4
Пример 3. Построить график функции ó 
ó
1
1
õ5
, зная график функции
õ5
21
3.3 Два способа решения иррациональных уравнений:
аналитический и графический
Пример 1.
а) õ  2  4  õ
Первый способ.
1) Возведем обе части уравнения в квадрат: õ  2  16  8 õ  õ 2 . Получим
квадратное уравнение: õ 2  9 õ  14  0  õ1  7; õ2  2.
2) Выполним проверку: пусть õ  7  7  2  4  7  3  3. ( õ  7 посторонний
корень)
Пусть õ  2 
Ответ:
2  2  4  2  2  2.
õ  2.
Второй способ.
Ответ:
õ  2.
б) Составим дробно-рациональное уравнение:
22
1
õ 2

1
.
4 õ
Первый способ.
1) Возведем обе части в квадрат:
1
1

õ  2 16  8 õ  õ 2
. Приведем дроби
к общему знаменателю:
16  8 õ  õ 2  õ  2
õ 2  9 õ  14

0
0

( õ  2)(16  8 õ  õ 2 )
( õ  2)(16  8 õ  õ 2 )


õ2  9 õ  14  0,
( õ  2)( õ2  8 õ  16)  0;
Ответ:
õ  2,
õ  2
и
õ  4.
õ  2.
Второй способ.
Ответ:
õ  2.
Пример 2.
а)
õ  6  õ.
1) Возведем обе части уравнения в квадрат:
õ  6  õ2  õ2  õ  6  0 
D < 0  уравнение не имеет корней.
Ответ: нет корней.
23
Второй способ.
Ответ: нет корней.
б) Составим дробно-рациональное уравнение:
1
õ6

1
.
õ
Первый способ.
1) Возведем обе части уравнения в квадрат:
дроби к общему знаменателю и получим:

õ2  õ  6  0, 
1
1
 2.
õ6 õ
Приведем
õ2  õ  6
 0.
õ 2 ( õ  6)
D<0  уравнение не имеет корней
õ2 ( õ  6)  0;
Ответ: нет корней.
Второй способ.
Ответ: нет корней.
Пример 3.
а)
õ
1
.
õ
24
Первый способ.
1) Возведем обе части уравнения в квадрат:
знаменателю и получим:
õ3  1  0,

1
. Приведем дроби к общему
õ2
õ3  1
0 
õ2
õ  1,
õ  0.
õ 2  0;
Ответ:
õ
õ  1.
Второй способ.
Ответ:
õ  1.
б) Составим дробно-рациональное уравнение:
1
õ
 õ.
Первый способ.
1) Возведем обе части уравнения в квадрат:
общему знаменателю и получим:
õ3  1  0,
õ3  1
0 
õ
õ  1,
õ  0.
õ  0;
Ответ:

1
 õ 2 . Приведем дроби к
õ
õ  1.
25
Второй способ.
Ответ:
õ  1.
Пример 4.
а)
õ  5  õ  5.
Первый способ.
1) Возведем обе части уравнения в квадрат:
õ  5  õ 2  10 õ  25. Получим
квадратное уравнение: õ 2  9 õ  20  0  õ1  4.
2) Выполним проверку: пусть õ  4 
Ответ:
 4  5  4  5  1 = 1.
õ  4 .
Второй способ.
Ответ:
õ  4 .
б) Составим дробно-рациональное уравнение:
1
õ5

1
.
õ5
26
Первый способ.
1) Возведем обе части уравнения в квадрат:
1
1
 2
.
õ  5 õ  10 õ  25
Приведем дроби к общему знаменателю и получим:
õ 2  10 õ  25  õ  5
õ 2  9 õ  20

0
0 

( õ  5)( õ 2  10 õ  25)
( õ  5)( õ 2  10 õ  25)
õ2  9 õ  20  0,
( õ  5)( õ2  10 õ  25)  0;
Ответ:

õ1  5; õ2  4, 
õ  5.
õ  4 .
Второй способ.
Ответ:
õ  4 .
27
Выводы
Настоящая работа посвящена проблеме иррациональности в алгебре.
Сопоставлено
определение
проанализированы
способы
корня
разными
извлечения
учеными.
квадратного
Рассмотрены
корня;
преобразования выражений, содержащих квадратные корни. В
и
способы
работе
приведены примеры действий с квадратными корнями и преобразования
выражений с ними. Проведено исследование применения иррациональных
выражений при решении иррациональных уравнений.
Практическая значимость результатов исследования состоит в том, что
подобран алгоритм для извлечения квадратного корня из натуральных чисел и
из иррациональных чисел.
Новизна данной работы состоит в том, что исследован графический метод
решения иррациональных уравнений с использованием дробно-линейной
функции.
28
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Глейзер Г.И. История математики в школе. – М., 1982.
Депман И.А. Рассказы о математике. – Л., 1954.
Кордемский Б.А. Великие жизни в математике. – М., 1995.
Колягин Ю.М. Русская школа и математическое образование. – М., 2001.
Леокум А. Скажи мне почему?- М.,1994.
Мордкович А.Г. Алгебра.8 класс.- М., 2002.
Пичурин Л.Ф. За страницами алгебры. – М., 1999.
Перельман Я.И. Занимательная алгебра. – М., 1976.
Рыбников К.А. Возникновение и развитие математической науки. –
М.,1987.
10.Силкин Б.И. С корнем квадратным сквозь историю. – М., 1971.
11.Энциклопедия книжного клуба XXI век. – М., 2002.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
29
Муниципальное общеобразовательное учреждение лицей №8 «Олимпия»
Дзержинского района г. Волгограда
Иррациональная алгебра
Выполнили: ученики 8 «Б» класса
Донника Данил
Ровенко Дарья
Сеимова Оксана
Руководитель: учитель математики
Солодовникова И.В.
Волгоград 2007 г.
30