TEOORIA_1 273KB Jan 17 2008 11:35:23 PM

Линейная алгебра
ЧАСТЬ 1
Подготовка к экзамену
1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Комлексным числом называется пара чисел z  (a, b); a, b  R, a  Re Z , b  Im z .
Пусть заданы два комплексных числа: z1  (a, b), z2  (c, d ) . Тогда:
1) z1  z2  (a  c, b  d )
z1  z2  z2  z1
2)   (0, 0) : z    ( a, b)  (0, 0)  ( a, b)
3)  z  ( a,  b) : z1  z2  (a  c, b  d )
4) z1  z2  a  c, b  d
5) z1  z2  (a, b)(c, d )  (ac  bd , bc  ad )
z1 z2  z2 z1
6)
z1 (a, b)  ac  bd bc  ad 


,

z 2 (c, d )  c 2  a 2 c 2  d 2 
Тригонометрическая форма:
a  bi    cos   i sin  
  a 2  b2
a

cos   


sin   b


Формулы для расчёта произведения и деления комплексных чисел в тригонометрическом
виде:
Алексей Тепляков
стр. 1
19.01.2016
Линейная алгебра
ЧАСТЬ 1
Подготовка к экзамену
Формулы Муавра:
2. ПОДСТАНОВКИ И ПЕРЕСТАНОВКИ.
ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ
Пусть задано множество 1 ,  2 , ...,  n  , состоящее из n-элементов. Тогда если это
множество упорядочено, то оно называется перестановкой n-элементов. Число
перестановок находится по формуле Pn  n !
Говорят, что два элемента в перестановке образуют инверсию, если впереди стоит
элемент с меньшим индексом.
В перестановке бывает чётное число инверсий и нечётное число инверсий. Это число
n!
равно
.
2
Перестановка местами двух элементов называется транспозицией.
Лемма: Каждая транспозиция меняет чётность перестановки.
Подстановкой называется взаимооднозначное отображение множества n-элементов на
себя.
a
Определителем квадратной матрицы A   11
 a21
a12 
 второго порядка называется число
a22 
 a11 a12 ... a1n 


a21 a22 ... a2 n 

порядка n,
A  a11a22  a12a21 . Определителем квадратной матрицы A 
 ... ... ... ... 


 an1 an 2 ... ann 
n
n ≥ 3, называется число A   (1) k 1 a1k M k
k 1
где Mk -- определитель матрицы порядка n-1, полученной из матрицы A вычеркиванием
первой строки и столбца с номером k.
Алексей Тепляков
стр. 2
19.01.2016
Линейная алгебра
ЧАСТЬ 1
Подготовка к экзамену
Свойства определителя:
1. Если транспонировать матрицу, то её определитель не изменится.
2. Если в матрице некоторую строку или столбец умножить на отличное от нуля
число, то определитель умножится на это число.
3. Если в определителе поменять местами два столбца или строки, то определитель
изменит знак.
4. Если в определителе некоторая строка полностью состоит из нулей, то
определитель равен нулю.
5. Если у определителя имеется общий множитель в строке или столбце, то его
можно вынести за знак определителя.
6. Если у матрицы есть две одинаковые строки (либо они пропорциональны), то её
определитель равен нулю.
7. Если к какой-либо строке определителя прибавить другую строку, умноженную на
какое-либо число, определитель не изменится.
3. МИНОРЫ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ ДЛЯ
ЭЛЕМЕНТОВ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ
Минором Mij называется определитель (n-1) порядка, полученный вычёркиванием i-ой
строчки и j-ого столбца, на пересечении которого стоит элемент aij.
Алгебраическим дополнением элемента называется число Aij = (-1)i+j * Mij.
Определитель можно разложить по строке или столбцу:
a11 a12 ... a1n
det A 
a21 a22 ... a2 n
 ai1 Ai1  ai 2 Ai 2  ...  ain Ain
... ... ... ...
an1 an 2 ... ann
Теорема: Сумма произведения элементов одной строки на алгебраические дополнения
другой строки равна нулю.
Доказательство:
ai1 Ak1  ai 2 Ak 2  ...  ain Akn  0, i  k (*)
Находим алгебраические дополнения для k-ой строки и умножаем на элементы i-ой
строки. k-ая строка вычёркивается, i-ая строка входит теперь в определитель два раза. По
свойству определителя: определитель, у которого две строки одинаковые, равен нулю.
Поэтому выражение (*), которое эквивалентно такому определителю, также будет равно
нулю.
Алексей Тепляков
стр. 3
19.01.2016
Линейная алгебра
ЧАСТЬ 1
Подготовка к экзамену
4. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ. ОБРАТНАЯ
МАТРИЦА. РЕШЕНИЕ МАТРИЧНЫХ УРАВНЕНИЙ.
ПРАВИЛО КРАМЕРА
Матрицей размеров m x n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк
и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.
 a11 a12

a
a22
A   21
 ... ...

 am1 am 2
... a1n 

... a2 n 
 a , i  1...m, j  1...n
... ...  ij

... amn 
Матрицы одинакового порядка можно складывать.
Свойства:
1) A,   A
2) A  ( A)  
3) A  B  B  A
4) A  B   aij  bij 
Прямоугольные матрицы можно умножать, если число столбцов в левом сомножителе
равно числу строк в правом сомножителе.
A  B  C   cij 
n
cij   aik bkj
k 1
Произведение двух матриц не обладает свойством коммутативности, т.е. A  B  B  A .
У всякой невырожденной квадратной матрицы есть обратная матрица:
 A11

1  A12
1
A 
det A  ...

 A1n
A21
A22
...
A2 n
Алексей Тепляков
... An1 
1


... An 2 
0
1
, AA  E  
 ...
... ... 


... Ann 
0
стр. 4
0
1
...
0
...
...
...
...
0

0
... 

1
19.01.2016
Линейная алгебра
ЧАСТЬ 1
Подготовка к экзамену
Решение матричных уравнений:
Ï óñòü X , Y , A, B  í åêî òî ðû å ì àòðèöû , X , Y  í åèçâåñòí û å
1) A  X  B
A1 AX  A1
A1 A  E
X  A1 B
2) Y  A  B
YAA1  BA1
Y  BA1
3) A  X  B  C
A1 AXBB 1  A1CB 1
X  A1CB 1
Правило Крамера: Если в системе n линейных уравнений с n неизвестными   0 , то
система имеет решение и притом единственное. Это решение задается формулами:
x1 

1

, x2  2 , ..., xn  n .



5. РАНГ МАТРИЦЫ. ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ
СТРОК МАТРИЦЫ
Рангом матрицы называется наивысший порядок отличного от нуля минора, который
можно составить из строк и столбцов заданной матрицы.
Свойства (элементарные преобразования матрицы):
1) Если транспонировать матрицу, то её ранг не изменится.
2) Если поменять две строчки (два столбца), то ранг матрицы не изменится.
3) Если некую строчку умножить на какое-то отличное от нуля число и прибавить к
другой строчке, ранг матрицы не изменится.
4) Если строчку умножить на отличное от нуля число, ранг матрицы не изменится.
Строки матрицы называются линейно-независимыми, если выполняется равенство
1l1   2l2  ...   k lk  0 , где l1...lk – строки матрицы, а α1...αk – числа. Данное равенство
имеет место тогда и только тогда, когда все α=0.
Алексей Тепляков
стр. 5
19.01.2016
Линейная алгебра
ЧАСТЬ 1
Подготовка к экзамену
Теорема о ранге матрицы: Пусть есть матрица, содержащая m строк. Пусть ранг этой
матрицы R(A) = r, тогда матрица содержит ровно r линейно независимых строк, а
остальные k=(m-r) строк являются линейными комбинациями этих r строк.
Доказательство:
Если R(A) =0, то все столбцы нулевые и нет ни одного линейно независимого столбца.
Пусть R(A) =r >0. Покажем, что в А существует r линейно независимых столбцов.
Действительно, рассмотрим составленную из элементов матрицы А матрицу А l порядка r,
детерминантом которой является базисный минор.
Столбцы Аl представляют собой части столбцов А. Если бы столбцы А, в которых
расположен базисный минор, были линейно зависимы, то были бы линейно зависимы
столбцы Аl и базисный минор равнялся бы нулю. Докажем теперь, что любые р столбцов
матрицы А линейно зависимы, если р > r.
Составим матрицу В из этих р столбцов. R(B) r, так как каждый минор матрицы В
является минором матрицы А и, следовательно, в В нет отличного от нуля минора
порядка, большего чем r. Таким образом, R(B)<p и хотя бы один из столбцов матрицы В
не входит в ее базисный минор. Этот столбец линейно выражается через остальные. Тем
самым теорема доказана.
6. ОДНОРОДНАЯ СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
И ЕЁ РЕШЕНИЕ. ФСР И ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ
Однородная система линейных уравнений
a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  0
a x  a x  ...  a x  0
 21 1 22 2
2n n

............................................
am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn  0
всегда является совместной, так как у неё всегда существует решение x1  x2  ...  xn  0 .
Свойства решения:
1) Сумма решений однородной системы линейных уравнений является решением
этой системы. Решение, умноженное на число, тоже является решением.
2) Если однородная система линейных уравнений имеет ненулевое решение, то она
имеет бесконечно много различных решений.
Будем говорить, что решения e1 , e2 , ..., ek системы Ax  0 образуют фундаментальную
систему решений, если столбцы e1 , e2 , ..., ek образуют линейно независимую систему и
любое решение системы является линейной комбинацией этих столбцов.
Алексей Тепляков
стр. 6
19.01.2016
Линейная алгебра
ЧАСТЬ 1
Подготовка к экзамену
Если задана фундаментальная система решений, то выражение e  c1e1  c2e2  ...  ck ek
(c1...ck – произвольные константы) называется общим решением однородной системы
уравнений.
7. НЕОДНОРОДНАЯ СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ
УРАВНЕНИЙ И ЕЁ РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ ГАУССА.
ТЕОРЕМА КРОНИКЕРА-КАПЕЛЛИ
Совместной называется система линейных уравнений
a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1
a x  a x  ...  a x  b
 21 1 22 2
2n n
2

............................................
am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn  bm
если у неё существует определённый набор чисел 1 ,  2 , ...,  n , удовлетворяющий этой
системе, то есть являющийся решением этой системы.
Теорема Кроникера-Капелли: Система линейных уравнений является совместной тогда
и только тогда, когда ранг матрицы A системы равен рангу расширенной матрицы Ap
системы.
Доказательство:
Если решение существует, то x1  1 , x2   2 , ..., xn   n : покажем, что R(A) = R(Ap). Для
этого умножим первый столбец матрицы A на α1, второй на α2, ..., и вычтем:
 a11

 a21
 ...

 am1
a12
a22
...
am 2
...
...
...
...
a1n
a2 n
...
amn
b1
b2
...
bm






 a11

 a21
 ...

 am1
a12
a22
...
am 2
...
...
...
...
a1n
a2 n
...
amn
0
0
...
0


 => R(A) = R(Ap).



Далее требуется доказать достаточность.
Решение системы методом Гаусса сводится к следующему: исходя из расширенной
матрицы системы необходимо воспользоваться элементарными преобразованиями
матрицы (перестановка строк; умножение строки на число отличное от нуля; сложение
строки с другой строкой, умноженной на число) и при этом целью является исключение
неизвестных, чтобы добиться, чтобы каждая строка, кроме, быть может, первой,
начиналась с нулей, и число нулей до первого ненулевого элемента в каждой следующей
строке было больше, чем в предыдущей.
Алексей Тепляков
стр. 7
19.01.2016
Линейная алгебра
ЧАСТЬ 1
Подготовка к экзамену
Со всякой неоднородной системой связана однородная система, где правая часть
обращается в ноль.
Свойства:
1) Если e1  1 ,  2 , ...,  n  , e2   1 , 2 , ..., n  являются решениями неоднородной
системы, то их разность e1  e2 является решением однородной системы.
2) Если e0  10 ,  20 , ...,  n0  есть решение неоднородной системы, а e1   11 ,  21 , ...,  n1 
есть решение соответствующей ей однородной системы, то комбинация
e  c1e0  c2e1 будет являться решением неоднородной системы.
8.ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО. АКСИОМЫ.
РАЗМЕРНОСТЬ. БАЗИС. КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА
Пусть задано произвольное множество V объектов любой природы x, y, z ,...; говорят, что
на множестве V определены операции
1. x  y  z V
2. x,   R  x V
Тогда V является линейным векторным пространством, если на нём выполняются
следующие аксиомы:
 êî ì ì óò àò èâí î ñò ü
II .  x  y   z  x   y  z   àññî öèàò èâí î ñò ü
I. x  y  y  x
III .   V , x    x
IV . x ,    x  , x    x   
V . x , 1x  x
VI .   x     x  ,     R
VII .     x   x   x
VIII .   x  y    x   y
Базисом линейного пространства V называется максимальное число линейно
независимых векторов.
Линейное пространство V, в котором существует базис, состоящий из n векторов,
называется n-мерным линейным или векторным пространством. Число n называется
размерностью пространства и обозначается dim V. Линейное пространство, в котором не
существует базис, называется бесконечномерным.
Алексей Тепляков
стр. 8
19.01.2016
Линейная алгебра
ЧАСТЬ 1
Подготовка к экзамену
Пусть V – n-мерное линейное пространство, вещественное или комплексное, e1 , e2 , ..., en –
базис. Тогда произвольный вектор x из V представим в виде линейной комбинации
векторов базиса:
x  1e1   2e2  ...   nen
Числа 1 ,  2 , ...,  n называются координатами вектора x в базисе e1 , e2 , ..., en .
9.ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ ВЕКТОРА ПРИ
ПЕРЕХОДЕ К НОВОМУ БАЗИСУ. МАТРИЦА
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Пусть в n-мерном линейном пространстве V выбран базис e1 , e2 , ..., en и новый базис
e1, e2 , ..., en . Возьмем призвольный вектор x из V. Его координатный столбец в старом
 1 
 1 
 
 
2 


базисе обозначим  
, а в новом     2  .
 ... 
 ... 
 
 
n 
  n 
Запишем разложения новых базисных векторов по старому базису:
e1  a11e1  a21e2  ...  an1en
e2  a12e1  a22e2  ...  an 2en
...........................................
en  a1n e1  a2 n e2  ...  ann en
Составим матрицу, столбцами которой служат координатные столбцы векторов нового
базиса:
 a11 a12

a
a22
A   21
 ... ...

 an1 an 2
... a1n 

... a2 n 
... ... 

... ann 
Матрица A называется матрицей перехода (матрицей преобразования) от старого базиса к
новому.
Координатные столбцы в старом базисе и в новом базисе связаны формулой:
  A 
Алексей Тепляков
стр. 9
19.01.2016
Линейная алгебра
ЧАСТЬ 1
Подготовка к экзамену
Пример вращения плоскости.
Ï î âî ðà÷èâàåì ï ëî ñêî ñòü í à óãî ë α
e1  e2  1


e1  cos  e1  cos     e2
2



e2  cos     e1  cos  e2
2

e1  cos  e1  sin  e2
e2   sin  e1  cos  e2
Матрица преобразования, таким образом, есть:
 cos 
A
  sin 
sin  

cos  
И соответствующее выражение координат в новой системе:
 x  cos  x  sin  y

 y  sin  x  cos  y
10. СОБСТВЕННЫЕ ЧИСЛА И ВЕКТОРЫ ЛИНЕЙНОГО
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Ненулевой вектор x называется собственным вектором линейного преобразования A,
соответствующим собственному числу λ, если A  x    x .
a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn   x1
a21 x1  a22 x2  ...  a2 n xn   x2
............................................
an1 x1  an 2 x2  ...  ann xn   xn
Теорема: Собственными числами матрицы A являются корни уравнения A   E  0 и
только они.
Матрица A   E называется характеристической матрицей матрицы A, многочлен
A   E называется характеристическим многочленом матрицы A, уравнение A   E  0
называется характеристическим уравнением матрицы A.
Алексей Тепляков
стр. 10
19.01.2016
Линейная алгебра
ЧАСТЬ 1
Подготовка к экзамену
Пусть A – линейное преобразование n-мерного пространства. Матрица линейного
преобразования имеет диагональный вид
тогда и только тогда, когда векторы базиса являются собственнными векторами
преобразования A, соответствующими собственным числам 1 , 2 , ..., n .
11. ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО. АКСИОМЫ.
СВОЙСТВА. НЕРАВЕНСТВО КОШИ.
ОРТОГОНАЛИЗАЦИЯ БАЗИСА
Векторное пространство E называется евклидовым пространством, если для его
элементов x, y, z ,...  E введена следующая операция, называемая скалярным
произведением ( x , y )  ÷èñëî , ( x , y )  R и выполнены следующие аксиомы:
1. ( x , y )  ( y , x )
2. ( x , y )   ( x , y ),   R
3. ( x  y , z )  ( x , z )  ( y , z )
4. ( x , x )  0
Свойства:
1) x  ( x , x )
2) Теорема Пифагора: x  y  x  y
2
3) Неравенство Коши: ( x, y )2  x
2
2
2
y , ( x, y )  x y
2
Угол между двумя векторами можно найти, пользуясь следующим соотношением:
cos  
(x, y)
,  x ^ y
x y
Базис e1 , e2 , ..., en называется ортонормированным, если он ортогонален и имеет
единичную длину. Попарно-ортогональные векторы линейно независимы.
Теорема: Любой базис в евклидовом пространстве можно ортонормировать. Стандартный
процесс ортонормирования базисных векторов носит название процесса Грама-Шмидта.
Алексей Тепляков
стр. 11
19.01.2016