а - Дмитровский институт непрерывного образования

1
ФИЛИАЛ
ГБОУ ВПО МО «МЕЖДУНАРОДНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ПРИРОДЫ, ОБЩЕСТВА И ЧЕЛОВЕКА «ДУБНА»
ДМИТРОВСКИЙ ИНСТИТУТ НЕПРЕРЫВНОГО
ОБРАЗОВАНИЯ
ПРЕДМЕТНОЦИКЛОВАЯ КОМИССИЯ ИНФОРМАТИКИ И
ТЕХНИЧЕСКИХ ДИСЦИПЛИН
ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
Методические указания и задания
для самостоятельной работы
студентам технического профиля
Дмитров 2013
2
1. ПРЕДИСЛОВИЕ
Математика – это наука о пространственных формах и количественных
отношениях в самом общем виде, - прошла большой путь развития
одновременно с развитием цивилизации и стала неотъемлемой частью
культуры человечества и показателем интеллектуального уровня общества.
Помимо собственных потребностей развития математика обслуживает
потребности многих других наук – естественных, технических, экономических,
гуманитарных. С развитием вычислительной техники область использования
математики расширяется. В наше время трудно представить себе хорошего
специалиста в области экономики, не знающего основных математических
методов и математического языка. Поэтому математика включена в учебные
планы всех технических специальностей и ее изучению отводится немало
времени.
Для успешного изучения математики необходимы программа, учебники и
учебные
пособия,
справочная
литература,
таблицы,
инженерный
микрокалькулятор и, конечно, волевые усилия. Необходимо посещать все
очные занятия и выполнять самостоятельные работы, пользуясь руководствами
к решению задач, методическими указаниями и конспектами практических
занятий.
Предлагаемые «Методические указания» должны помочь студенту
рационально организовать свой труд по изучению математики и выполнению
самостоятельных работ.
Желаем Вам успеха.
Авторы
2. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА КУРСА «МАТЕМАТИКА» ДЛЯ
СТУДЕНТОВ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ
І.
Элементы линейной алгебры.
3
1. Матрицы. Виды матриц. Действия над матрицами, свойства
матриц. Обратная матрица. Определители, их свойства.
Вычисление определителей.
2. Системы линейных уравнений. Метод Гаусса, правило Крамера.
Ранг матрицы, теорема Кронекера - Капелли. Квадратичные
формы.
3. Понятие о задаче линейного программирования и симплекс –
методе.
ІІ. Элементы векторной алгебры и аналитическая геометрия
плоскости.
1. Системы координат на плоскости. Векторы. Линейные операции
над векторами. Линейная зависимость векторов. Базис,
координаты вектора в данном базисе. Скалярное произведение
векторов. Уравнения прямых на плоскости. Кривые второго
порядка.
ІІІ. Математический анализ.
1. Функции, пределы, бесконечно малые и бесконечно большие.
2. Производная и дифференциал. Приложение к исследованию
функций. Правило Лопиталя.
3. Функции нескольких переменных. Частные производные, полный
дифференциал. Экстремумы функции нескольких переменных.
4. Неопределенный интеграл. Интегрирование методом подстановки,
интегрирование по частям. Интегрирование тригонометрических
функций. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.
Несобственный с бесконечными пределами.
ІV. Ряды.
1. Числовые ряды. Необходимый и достаточные признаки
сходимости. Знакопеременные ряды, абсолютная и условная
сходимость. Признак Лейбница.
2. Ряд Тейлора. Разложение функции в степенной ряд. Понятие о
тригонометрических рядах.
V. Дифференциальные уравнения.
1. Уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.
2. Однородные и линейные уравнения первого порядка.
4
1. УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА
а) Основная.
1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической
геометрии. – М., Наука, 1984.
2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные
интегралы. Ряды. ФПК. – М., Наука, 1985.
3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное
исчисление. – М., Наука, 1988.
4. Высшая математика для экономистов. Под ред. проф. Н.Ш. Кремера.
изд. 2-ое. – М., Банки и биржи, 1998.
5. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики.- М.,
1985.
6. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Задачник. – М., Наука,
1982.
б) Дополнительная
1. Баврин И.И. Курс высшей математики. Учебник. – М., Просвещение, 1992.
2. Беклемишева Л.А., Петрович Ю.А., Чубаров И.А. Сборник задач по
аналитической геометрии и линейной алгебре. – М., Наука, 1987.
3. Бутузов В.Ф. др. Математический анализ в вопросах и задачах. – М.,
Высшая школа, 1993.
4. Краснов М.Л., Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., Высшая
школа, 1983.
5. Кузнецов Л.А. Сборник задач по высшей математике. - М., Высшая школа,
1991 (уч. пособие).
6. Мысовских И.П. Лекции по методам вычислений, 2-ое изд., - М., Наука
1994.
4. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
Для того, чтобы облегчить студенту самостоятельное выполнение работ,
приведем примеры решений задач, аналогичных тем, какие предлагаются в по
вариантам. Подобные задачи включаются и в экзаменационные билеты.
5
Задача из раздела I заданий (см. оглавление, п. 5.1.)
Задача 1.
Дана система линейных уравнений
 2 x1  2 x2  3x3  15

3x1  4 x2  2 x3  4
 4 x  6 x 5 x  1
2
3
 1
Требуется показать, что система совместна, и найти ее решение
тремя способами: а) по формулам Крамера; б) методом Гаусса; в)
методом обратной матрицы. Выполнить проверку решения.
Решение.
Система n линейных уравнений с n неизвестными является совместной и имеет
единственное решение, так как определитель системы, составленный из
коэффициентов при неизвестных не равен нулю. Вычислим определитель
системы методом разложения его по элементом строки. Разложим по первой
строке:
2 2 3
4 2
3 2
3 4
D  3 4 2  2
2
3
 2(20  12)  2(15  8)  3(18  16) 
6 5
4 5
4 6
4 6
5
 180  0
Так как определитель системы не равен нулю, система уравнений совместна и
имеет единственное решение.
а) Найдем решение системы по формулам Крамера
x1 
D1
,
D
x2 
D2
,
D
x 
D3
,
D
где D1 D2 D3 - определители, которые получаются из определителя D системы
путем замены в нем соответственно 1-го, 2-го, 3-го столбцов коэффициентов
при неизвестных x1 x2 x3 столбцом свободных членов уравнений, стоящих в
правой части данной системы. Получим следующие три определителя:
15 2  3
4 2
4 2
4 4
D1   4  4 2  15
2
3

6 5
1 5
1 6
1 6
5
 15(20  12)  2(20  2)  3(24  4)  360
2 15  3
4 2
3 2
3 4
D2  3  4 2  2
 15
3

1 5
4 5
4 1
4 1 5
 2(20  12)  15(15  8)  3(3  16)  180
6
2 2 15
4 4
3 4
3 4
D3  3  4  4  2
2
 15

6 1
4 1
4 6
4 6 1
 2(4  24)  2(3  16)  15(18  16)  540
Вычислить неизвестные х1 
 360
 2,
 180
х2 
 180
 1,
 180
х3 
540
 3 .
 180
Проверим это решение, подставив значения неизвестных во все уравнения
2  2  2  1  3(3)  4  2  9  15
системы. Получим 3  2  4  1  2(3)  6  4  6  4 Решение верное.
4  2  6  1  5(3)  8  6  15  1
б) Решим ту же систему уравнений методом Гаусса. Для этого выпишем
расширенную матрицу системы и приведем основную матрицу системы к
треугольному виду или ступенчатому виду, если число уравнений окажется
меньшим числа неизвестных. Приведение матрицы к треугольному виду, то
есть такому, когда ниже (или выше) главной диагонали все элементы будут
нулевые, а на главной диагонали - ненулевые, всегда возможно. Оно основано
на следующих элементарных преобразованиях матрицы, соответствующих
эквивалентным преобразованиям система:
1. Перестановка строк матрицы;
2. Перестановка столбцов;
3. Умножение всех элементов строки на одно и то же число;
4. Сложение элементов любой строки с соответствующими элементами
любой другой строки;
5. Вычеркивание получившихся нулевых строк.
Вот решение одной системы методом последовательных исключений
неизвестных:
Расширенная матрица
1-й шаг
2-шаг
 2 2  3 15   1 1  3 / 2 15 / 2   1 1  3 / 2 15 / 2 

 
 

3

4
2

4
~
3

4
2

4
~
0

7
13
/
2

53
/
2

 
 
~
4 6
5  1   4 6
5
 1   0 2
11
 31 

 15 / 2 
 1 1  3 / 2 15 / 2   1 1  3 / 2

 

~  0 1  13 / 14 53 / 14  ~  0 1  13 / 14 53 / 14 
0 2
11
 31   0 0 90 / 7  270 / 7 

7
Возвратимся теперь от матричной записи к системе уравнений. Из
90
270
х3  
, откуда х3 = -3
7
7
последней строки матрицы следует уравнение
Подставляя х3 = -3 в последнее уравнение (вторая строка расширенной
13  (3) 53
53  39 14


 1 . Наконец, из первого
или х2 
14
14
14
14
15
33 4
 2
уравнения системы (первая строка матрицы) найдем х1   1 
2
2
2
Решение 2;1;3 такое же , как в случае (а). Оно уже проверено.
матрицы) получим х2 
Существует модифицированный метод Гаусса, так называемый метод
полного исключения неизвестных, в результате которого основная матрица
системы преобразуется в каноническую матрицу, на главной диагонали
которой остаются единицы, а все остальные элементы обращаются в нули.
Таким образом сразу получается решение.
В основе этого метода лежит следующий алгоритм (строго определенный
порядок действий)
1.
Выберем разрешающую строку и в ней разрешающий элемент. Обычно
это первый элемент первой строки, считая слева направо. Строки можно
целиком переставлять, так что на первое место можно записать любую
строку, в которой первый элемент не равен нулю.
2.
Каждый элемент, разрешающий строки разделим на разрешающий
элемент.
3.
Элементы разрешающего столбца заменим нулями во всех строках
матрицы, кроме разрешающей, где он буден равен единице.
4.
Элементы столбцов, Которые были разрешающими на предыдущих
шагах исключения, переписываем без изменения.
5.
Остальные
элементы
пересчитаем
по
следующему
правилу
«прямоугольника»:
П  P  D1  D 2
И
P
Р
D2
D1
П
Где П – пересчитываемый элемент, Р – Разрешающий, D1 и D2 –
“диагональные”, И – искомый. Все эти элементы каждый раз должны быть
вершинами воображаемого прямоугольника, образованного параллельными
строками и столбцами. Искомый элемент записываем на месте
пересчитываемого.
Вернемся к расширенной матрице данной системы и выполним
эквивалентной преобразования по предложенной выше схеме полного
8
исключения
неизвестных.
Рекомендуем
читателю
все
пересчеты
коэффициентов по правилу «четырехугольника» записывать подробно.
Данная расширенная матрица
1-й шаг
2-й шаг
4/7
26 / 7 
 2 2  3 15   1 1  3 / 2 15 / 2   1 0

 
 

3

4
2

4
~
0

7
13
/
2

53
/
2
~
0
1

13
/
14
53
/
14

 
 
~
4 6
5  1   0 2
11
 31   0 0 90 / 7  270 / 7 

3 - й шаг
4 – й шаг
4/7
26 / 7   1 0 0 2 
1 0

 

 0 1  13 / 14 53 / 14  ~  0 1 0 1 
0 0
1
 3   0 0 1  3 

Если в последней матрице вернуться к записи уравнений, то получим
х1  2 , х 2  1, х 3  3 , а это и есть решение данной системы.
Замечания: 1. Кружками обведены разрешающие элементы.
2. При переходе от 2-го шага к 3-му третью строку почленно
разделили на 90/7.
в) Решить данную систему методом обратной матрицы.
Решение. Данную систему можно записать в матричном виде АХ = В,
 2 2  3


где А   3  4 2  ,
4 6
5 

 х1 
 
Х  х2 ,
х 
 3
 15 
 
В    4
 1
 
Решение матричного уравнения имеет вид Х = А-1 В = N, где А-1 – матрица,
обратная матрицы А. Так как определитель матрицы системы D(A) = 180
отличен от нуля то матрица А имеет обратную. Для вычисления обратной
 A 11

1
матрицы воспользуемся формулой A 1 
 A 12
D( A ) 
 A 13
A 21
A 22
A 23
A 31 

A 32 
A 33 
Где А11, А12, …, А33 – алгебраические дополнения элементов а11, а12, …, а33
матрицы А. Вычислим алгебраические дополнения всех элементов матрицы А:
9
А 11 
4 2
 32 ;
6 5
2 3
 28 ;
6 5
2 3
А 31 
 8 ;
4 2
А 21 
А 12 
3 2
 7 ;
4 5
2 3
 22 ;
4 5
2 3
А 32 
 13 ;
3 2
А 22 
А 13 
3 4
 34 ;
4 6
2 2
 4
4 6
2 2
А 33
 14 .
3 4
А 23 
Составим обратную матрицу
  32  28  8 


1
А 1  

7
22

13

.
180 
4
2 
 34
Найдем теперь матрицу Х.
  32  28  8  15 
  480 112 8 






1
1
Х  А 1 В  
22  13   4   
 7
  105  88 13  
180 
180 
 4  14   1 
16 14 
 34
 510
  360   2 
  
1 


180

 1 N
180 
  
 540    3 
 х1   2 
   
Из равенства матриц Х = N или  х 2    1  следует решение системы
 х    3
 3  
х1=2, х2 = 1, х3 = -3.
Задача 2.
Методом исключения неизвестных найти общее и базисное
3х 1  4х 2  6х 3
2 х 1  5 х 2  4 х 3
решение системы линейных уравнений 
Решение.
Это система двух уравнений с тремя неизвестными. Она совместна и
неопределенна. Надо описать совокупность всех ее решений. В качестве
базисных неизвестных данной системы можно взять те неизвестные, для
которых определитель составленный из коэффициентов при нет известных, не
10
равен нулю. Здесь три таких определителя, один из которых равен нулю
3 6
 12  12  0 . Следовательно, неизвестные х1 и х2 нельзя брать в
2 4
качестве базисных. Примем за базисные неизвестные х1 и х2 , для которых
3 4
 15  8  23  0 . Будем считать неизвестную х3
2 5
3х 1  4х 2  7  6х 3
свободной и запишем систему в виде 
 2х 1  5х 2  12  4х 3
определитель
3  4  7
5 12
1  4 / 3
исключения неизвестных: 
 0 23 / 3
13

х

 1 23  2 х 3
Общее решение: 
50
 х2 
23

Или в матричной форме 
2
 6
 . Воспользуемся методом полного
 4 
 7 / 3  6 / 3   1 0 13 / 23  2 
~

50 / 3
0   0 1 50 / 23 0 
Полагая в общем решении х3 = 0, получим базисное решение х1 =
13
50
, х2 
23
23
Проверка базисного решения показывает, что оно удовлетворяет обоим
уравнениям системы, то есть, является частным решением системы. Давая х3
любые другие числовые значения, получим бесчисленное множество частных
решений.
Аналогично решаются системы с несколькими свободными
неизвестными.
Задача 3.
10 0 


  4 3 8
 и В   6 3  . Найти
Даны матрицы А  
 2  5 1
 1 7


произведение матриц АВ.
Решение.
Эти матрицы являются соответственными, так как число столбцов первой
матрицы равно числу строк второй: их размеры 2  3 и 3  2 . В результате
умножения матриц получим новую матрицу С размера 2  2 , а ее элементы
будут равны скалярным произведениям векторов-строк первой матрицы на
векторы-столбцов второй:
11
  4  10  3  6  8  1  4  0  3  3  8  7    40  18  8 9  56 
  
 
АВ  
2

10

5

6

1

1
2

0

5

3

1

7
20

30

1

15

7

 

  14 65 
  С
 
  9  8
Задача 4.
Даны вершины треугольника А(-3;-2), В(1;8), С(5;3).
Найти: а) уравнения всех трех его сторон;
б) систему неравенств, определяющих множество точек,
принадлежащих треугольнику, включая его стороны;
в) внутренний угол А треугольника в градусах и минусах;
г) длину высоты, опущенной из вершины А;
д) площадь треугольника.
Решение.
а) Уравнения сторон найдем по формуле прямой, проходящей через две данные
точки
х  х1
у  у1

х 2  х 1 у 2  у1
Уравнение стороны АВ:
х3 у2

, или
1 3 8  2
10х  30  4 у  8,
10х  4 у  22  0
5х  2 у   0
Уравнение стороны АС:
х3 у2

,
53 3 2
5х  15  8у  16
5х  8 у  1  0
или
(АВ).
(АС)
б) Каждая из прямых, уравнения которых только это найдены, разделяет
плоскость на две полуплоскости, определяемые соответствующими
неравенствами.
Чтобы определить знаки этих неравенств, возьмем координаты какой-нибудь
точки заведомо расположенной внутри
треугольника АВС (см. рисунок 1). Такой
точкой является, например точка N (0;1)
подставляя координаты этой точки в
уравнения граничных прямых (сторон) в
силу того, что точка N не лежит ни на
одной сторон, получим следующую
12
 5х  2 у  11  0,

систему неравенств.  5х  8 у  1  0,
5х  4 у  37  0,

определяющих множество
точек треугольника.
внутренних
Рис. 1.
Система
неравенств
 5х  2 у  11  0,

 5х  8 у  1  0, определяет
5х  4 у  37  0,

множество
точек,
принадлежащих треугольнику АВС, включая его стороны.
в) Внутренний угол треугольника найдем, зная угловые коэффициенты сторон
k AB  k AC
.
1  k AB k AC
y  y1
Угловые коэффициенты прямых выложим по формуле k  2
.
x 2  x1
8  2 10 5
3 2 5

 ; k AC 
 .
Получим k AB 
1 3 4 2
53 8
5 5

2
8  40  10  30  0,7317
Тогда tgA 
5 5 16  25 41
1 
2 8
0
А  36 12 . Угол определяем с помощью таблицы тангенсов или
АВ и АС, образующих этот угол, по формуле tgA 
калькулятора
г) Длину высоты ADBC (рис. 1) найдем как расстояние от данной точки
А(-3;-2) до данной прямой ВС: 5х + 4у – 37 = 0 по формуле
d
Ax 0  By 0  C
A 2  B2
, где А, В, С – коэффициенты прямой, x 0 y 0 - координаты
данной точки.
Получим d  AD 
5  (3)  4  (2)  37
52  42

60
 9,37 (мин. ед.)
41
д) Площадь треугольника можно вычислить несколькими способами.
13
Вычислить
ее
через
координаты
вершин
треугольника
по
формуле
1 x 2  x 1 y 2  y1
.
2 x 3  x 1 y 3  y1
1 1  3 8  2 1 4 10 1
Получим

 20  80  30 .
2 53 3 2 2 8 5 2
S  mod
Итак, площадь треугольника SABC = 30 кв. ед.
Задачи раздела ΙΙ заданий
Задача 5.
Найти производные
dy
 y  следующих функций (дается
dx
сложные и неявная функции):
а) у 
3х 2
10  х 2
Решение.
По правилам дифференцирования дроби получим
6х 10  х 
2
у 
(3х 2 )  10  х 2  3х 2 ( 10  х 2 ) 
( 10  х 2 ) 2
3х 2  (2х )
2 10  х 2 
10  х 2

6 х (10  х 2 )  3х 3
3х (20  х )
60 х  3х 2



.
(10  х 2 ) 3 / 2
(10  х 2 ) 3 / 2 (10  х 2 ) 3 / 2
б) у  х 3  tg
2
.
x
Решение.
По правилам дифференцирования произведения получим

2
2
2
3
у   х tg  x  tg   3x 2 tg  x 3
x
x
 x
3

2
2
2
2
   3x tg 
2 x
2
x
cos 2  
x 2 cos 2
x
x
1
в) y  7 cos
2
x
Решение.
Дифференцируем как сложную функцию.
y  7 cos
2
x
cos x   7
2
cos 2 x
 2 cos x  sin x   7 sin 2x cos
2
x
14
г) y  x  ctgy . Это неявная функция.
Решение.
y  ( x )ctgy  x  (ctgy )  ctgy 

x
xy 


,
y
1

y 
ctgy
 sin 2
sin 2 y

x
 y
sin 2 y

ctgy  sin 2 y 1
sin 2 y
  ctgy , y  

.
sin y  x
2 2(sin 2 y  x )
y
Задача 6. С помощью правила Лопиталя вычислить пределы функций:
1)
3 sin 2x  6x
.
xim
0
x3
Решение.
Непосредственная подстановка х = 0 приводит к неопределенности вида
0
,
0
следовательно, можно применить правило Лопиталя: заменить предел
отношения функций пределом отношения их производных.
3 sin 2 x  6 x  0 
6 cos 2 x  6  0 
 12 sin 2 x  0 




 
xim
 0  xim
 0  xim
0
0
0
3x 3
3x 2
6x
0
 24 cos 2 x
 im
 4
x 0
6
2)
gx
im nx
x 
Решение.
При х   получим неопределенность вида
правило Лопиталя.

, когда можно применить

15
gx
im nx
x 
 
    im
x 
 
1
x  
1
1
1
хn10  1
 



im

im
1
n10 x  x    n10 x  1 n10
х
1
 0,4343.
2,3026
x 2  1  
2x
    im
 .
xim

x 
4  x  
1

x3
Задача 7. Исследовать функцию y 
и построить ее график.
x  12
Решение.
Исследование выполним по примерной схеме, имеющейся в учебниках и
практических руководствах. График можно строить либо по ходу исследования,
либо конце исследования (рис.2).
у
1) Область определения функции
х  (,1)  (1, ) .
2) Найдем
точки
пересечения
графика
функции
с
осями
координат. Пусть х  о , тогда
у  0 . Пусть у  0 , тогда х 3  0
х  0 . Значит, график
или
функции проходит через начало
координат.
3) Проверить является ли функция
четной, нечетной, общего вида.
( х ) 3
х3
у(  х ) 

.
( х  1) 2
( х  1) 2
Функция общего вида.
4) Найти
асимптоты
графика
функции
(вертикальные,
наклонные, горизонтальные).
х
Вертикальная асимптота может быть в точке разрыва или на границе области
x3
  , - предел
определения. Здесь вертикальная асимптота х  1. im
2
x 1 0 ( x  1)
x3
  - предел справа. Наклонные асимптоты
слева в точке x  1; im
2
x 1 0 ( x  1)
16
вида y  kx  b Найдем, если существуют конечные пределы k  im
x  
b  im f ( x )  kx .
f (x)
и
x
x  
x3
x3
 im 3
 im
Здесь k  im
2
2
x   x ( x  1)
x  x  2x
x 
x
Итак, у  х  2 - уравнение наклонной асимптоты.
1
1
2 1
1  2
x x
5) Найти интервалы монотонности (возрастания и убывания) функции и точки
экстремума.
Найдем производную первого порядка.
3х 2 ( х  1) 2  2х 3 ( х  1) 3х 2 ( х  1)  2х 3 3х 3  3х 2  2х 3
у 



( х  1) 4
( х  1) 3
( х  1) 3
х 3  3х 2 х 2 ( х  3)


( х  1) 3
( х  1) 3
Найдем критические точки первого рода и выясним знаки у  на полученных
интервалах в окрестности критических точек. Критические точки: х1 = 0, х2 = 3,
х3 = 1 - последняя н входит в область определения функции. Используя
достаточные признаки экстремума, выясним, как меняет знак у  при переходе
через критические точки слева направо. Возьмем непрерывный интервал
1
, содержащий точку х  0 .
2
2
1 1

    3
2
(1) (1  3)
2
2
1
у (1) 
 0 ; у       3   0 . Так как при переходе
3
(1  1)
2
 1 


 2  1
через точку х  0 производная у  знак не имеет, то функция монотонно
возрастает и х  0 не является точкой экстремума.
Возьмем интервал 2  х  4 , содержащий точку х = 3.
2 2 (2  3)
4 2 (4  3)
у (2) 
 0 ; у (4) 
 0 . Здесь производная меняет знак с
(2  1) 3
(4  1) 3
1  х 
«-»
на
y min (3) 
«+»,
значит,
х
=3
–
точка
минимума
функции
3
27

 6,75 .
(3  1) 2
4
3
Итак, функция возрастает на интервалах (,1) и (3, ) , убывает на интервале
(1;3).
17
6) Найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки
перегиба.
Вычислим производную второго порядка и найдем критические точки
второго рода.
(3x 2  6 x )(x  1) 3  3( x  1) ( x 3  3x 2 ) (3x 2  6 x )(x  1)  3( x 3  3x 2


( x  1) 6
( x  1) 4
6x

( x  1) 4
Критические точки второго рода, при которых у обращается в нуль или
существует, такие х 1  0 , х 2  1, но эта последняя не входит в область
определения функции. Остается точка х = 0. Проверим меняет ли знак у  при
1
переходе через эту точку. Возьмем интервал (-1; ), содержащий точку х = 0.
2
1
6
6
1
2  0 . Отсюда следует,
у   
Вычислим у(1) 
 0,
4
4
(1  1)
2 1 
  1
2 
63
что х = 0 – точка перегиба, у(0)  0 . у(3) 
 0 . Отсюда следует, что
(3  1) 4
(,0) - интервал выпуклости; (0;1) , (1;  ) - интервалы вогнутости кривой.
у  
Задача 8. Три пункта А.В. и С расположены так, что угол АВС (рис.3) равен
600. Расстояние между пунктами А и В равно 200 км. Одновременно из пункта
А выходит автомобиль, а из пункта В – поезд. Автомобиль движется по
направлению к пункту В со стороны 80 км/ч, а поезд движется по направлению
к пункту С со скоростью 50 км/ч. Через скорость времени расстояние между
автомобилем и поездом будет наименьшим?
Решение.
18
Пусть t-время, через которое, поле начала
движения
автомобиля
и
поезда,
расстоянием MN = s между ними будет
наименьшими. По теореме косинусов для
треугольника MBN запишем равенство
s 2 MB 2  Nb2  2MB  NB cos 600
H0 MB = 200 – 80t,
NB = 50t,
1
2
cos600 = .
рис. 3.
Тогда


получим
уравнение
s  200  80t  50t  200  80t 50t  10 4 5  2t   10  5  t  10  4  55  2t t 
2
2
 
2
2
2 2


2

2
2
 102 16 25  20t  4t 2  25t 2  100t  40t 2  100 400  420t  129t 2
2

;
s(t0 )10 58.142  10  7.625  76.25 км.
Отсюда s  10 1292  4200t  400 . Найдем первую производную по t:
s 
10258t  420
. Приравнивая первую производную к нулю
2 129t 2  420t  400
420
 1.6279  t0
получим 258t  240  0, откуда t 
258
или t  1ч3748 - критическая
точка.
Квадратный трехчлен под корнем в знаменателе в ноль не обращается ни при
каких действительных значениях t, поскольку его дискриминант Д  7500  0 .
Легко видеть, что при переходе через критическую точку t0 от меньших
значений t к большим, например, от t = 1 до t = 2, первая производная меняет
знак с минуса на плюс s(1)  0, s(2)  0 . Следовательно, t0 = 1.6279 часа – точка
минимума функции s. А так как других экстремумов эта функция не имеет, то в
точке
минимума
функция
имеет
наименьшее
значение:
s
(1,6279)  10 58,142  76,251км .
наим
Задача 9.
Найти частные производные и полный дифференциал функции
двух независимых переменных:
а) z  3x3 y 2  2 y 4  x5  1
Решение.
19
z
z
 9 x2 y 2  5x4 ;
 6 x 3 y  8 y 3 . Составим
x
y
z
z
полный дифференциал по формуле dz  dx  dy .
x
y
Найти частные производные
Получим dz  9 x 2 y 2  5x 4 dx  6 x3 y  8 y3 dy .
x
2
б) z  2ntg   .
2 y


Решение.
Найдем частные производные
x 2
cos  
z
2
1
1
1
2
2 y


 

x
x 2
x 2 2
x 2
x 2
x 2
tg   cos 2   
sin    cos 2    sin 2  
2 y
2 y
2 y
2 y
2 y
x 2
cos  
 2  4
z
2
1
1
8
2 y


  2   2 

.
y
x 2
x 2
x 2
2  y  y
2
2 x
2 x
2
tg   cos   
sin    cos    y sin 2  
2 y
2 y
2 y
2 y
2 y
Составим полный дифференциал
dz 


2dx
8dy
2
4
 dx  2 dy  .


y
x 2
x 2
x 2

sin 2   y 2 sin 2   sin 2   
2 y
2 y
2 y
Задача 10.
Найти экстремум функции z  x 2  xy  y 2  9 x
Решение.
Найдем частные производные:
zx  2 x  y  9,
zxx  2,
zy   x  2 y,
zyy  2,
и смешанную производную zxy  1 .
Необходимое условие экстремума: zx  0 и zy  0
2 x  y  9  0
x = 2y, 4y – y = -9, y = -3
  x  2 y  0,
Решим систему уравнений 
x = -9
Итак, точка P(-9; -3) критическая точка. Составим выражение   zxx zyy  zxy 2 и
вычислим его значение в критической точке P(-9; -3). Тогда, если ( P)  0 , то Pточка экстремума. При этом, если zxx ( P)  0 , то Р – точка минимума,
а если zxx ( P)  0 , то Р – точка максимума,
Если ( P)  0 , экстремума нет, а если ( P)  0 - экстремум может быть, а может
не быть. Нужны дополнительные исследования.
Установим характер экстремума в точке P(-9; -3).
20
( P)  2  2  (1) 2  3  0 , следовательно, P(-9; -3)- точка экстремума, а так как
zxx  2  0 независимо от координат точки Р, то P(-9; -3) – точка минимума
данной функции.
Задача 11.
Найти неопределенные интегралы а)
в)


earcsin x
dx , б)  tg 3 xdx ,
1 x
dx
dx
, г)  x 2nxdx , д)  4 2 .
2
x x
1  x  x
2
Предлагаемые интегралы можно , применив основные методы
интегрирования; метод замены переменной подстановка, метод
интегрирования по частям.
Решение.
а)

earcsin x
dx ;
1  x2
Подстановка: arcsin x  t . Найдем дифференциалы обеих частей подстановки
d arcsin x  dt
1
dx  dt . Произведем замену переменной в подынтегральном
или
1  x2
earcsin x
выражении и найдем интеграл 
dx   et dt  et  c  earcsin x  C .
2
1 x
1
dx
б)  tg 3 xdx   tg 2 xtgxdx    2  1tgxdx   tgx  2   tgxdx .
cos x
 cos x 
В первом из интегралов, стоящих справа, введем подстановку tgx  t . откуда
1
dx
t2
tg 2 x
dx

dt
tgx

tdt


C

 C1 .
.
Таким
образом,
1
 cos2 x 
cos 2 x
2
2
Второй интеграл справа является табличным  tgxdx  n cos x  C2 .
dtgx  dt или
Итак,
1
 tg xdx  2 tg
3
2
x  n cos x  C , где C  C1  C2 , две произвольные постоянные
суммы неопределенных интегралов объединяют в одну.

в)
dx
1  x   x2


dx
1  x2

x
dx
1 
1
1
1    x2  2  x  
4 
2
4
1
Подстановка: x  2  t ,
dx  dt
dx
dx

1
1 1

1  x  2 x   
2
4 4

dx
dx
t

 arcsin
c
2
2
5
5 
1
 5
2
x  


2
 2  t
4 
2



1  x2  x



21
t
 C . Возвращаясь к
a
a2  t 2
1
x
dx
2  C  arcsin 2 x  1  C .
 arcsin
5
5
1  x  x2
2
Получим табличный интеграл типа
прежней переменной, будем иметь
 x nxdx .
 udv  uv   vdu .
г)


dt
 arcsin
Найдем его методом интегрирования по частям по формуле
2
Примем nx  u , x 2 dx  dv .
В первом из этих двух равенств обе части дифференцируем, чтобы найти du , а
во втором интегрируем, чтобы найти v . Получим du 
произвольную постоянную интегрирования принимаем
поскольку достаточно хотя бы одного значения v  x 3 ).
Применив формулу интегрирования по частям, получим
2
 x nxdx 
д)
(здесь
равной
нулю,
v
x3
1
dx x3
1
x3 3
1
1 
1
nx   x3 
 nx   x 2 dx 
nx  x3  C  x3  nx    C .
3
3
x
3
3
9
3 
3
x
4
dx
.
 x2
Это интеграл от рациональной функции. Разложим
подынтегральную функцию
правилу,
x3
3
dx
,
x
предварительно
1
x  x2
4
на простейшие дроби по известному
разложив
знаменатель
дроби
1
1
A B Mx  N
 2

  2
x 4  x 2  x 2 x 2  1 . Тогда 4
,
2
x x
x x 1
x
x
x 1




на
множители
где A, B, M, N –
неопределенные коэффициенты, которые надо найти. Приведя обе части
последнего равенства к общему знаменателю, найдем
1
A( x 2  1)  Bx ( x 2  1)  ( Mx  N ) x 2 ( B  M ) x3 ( A  N ) x 2  Bx  A


.
x 2 ( x 2  1)
x 2 ( x 2  1)
x 2 ( x 2  1)
Такое равенство отношений с одинаковыми знаменателями возможны только в
случае равенства числителей, то есть ( B  M ) x3  ( A  N ) x 2  Bx  A  1.
Приравнивая коэффициенты при x в одинаковых степенях в левой и правой
частях последнего равенства, получим систему уравнений
M 0
x 3 B  M  0

2
N   A  1
x A  N  0
 Решение системы:
1
B0
B0 
x
0
A 1
A  1 
x
Переходим к интегрированию
!!

x
dxx
dx
dx
1
  2 
   arctgx  C .
2
2
x
x
1 x
x
4
22
Приведем две задачи геометрического характера, связанные с вычислениями
определенного интеграла.
Задача 12.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y  x ,
y  2  x , y  0 (рис.2)
Решение.
Фигура ОМА (рис.4) ограниченная
данными линиями, состоит из двух
частей ОМВ и ВМА, представляющих
собою частные случаи криволинейных
трапеций, ограниченных сверху кривой
y  x на 0;1 и примой y  2  x на 1;2 .
Таким
образом
искомая
площадь
вычисляется с помощью определенного
интеграла как сумма двух площадей по
b
c
a
b
формуле S   f1 ( x)dx   f 2 ( x)dx
рис. 4.
Определенные интегралы вычисляются по ф>рмуле Ньютона-Лейбница
b
 f ( x)dx  F ( x)
b
a
 F (b)  F (a) . Итак, площадь ОМА равна
a
1
S
0
1
2
3

2
x2 
2
1 2 1 7
x dx   (2  x)dx  x 2   2 x     4  2  2     (ед.2 ) .
3 0 
2 1 3
2 3 2 6
1
Задача 13.
2
Вычислить объем тела, полученного в результате вращения
вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями y  e x , y  0 ,
x  0 , x  1 . (рис. 5).
23
Решение.
Объем тела вращения находим по формуле
b
Vox    y 2 dx
a
V    e  2 x dx  
e 2 x
2
1

0

e
2
2

1 

1 2
1  2 (ед )
2 e 
рис. 5.
Задача 14.
Найти частное решение дифференциального уравнения
2y
 x 3 , удовлетворяющее начальным условиям
x
y0  2 при x  2 .
y 
Решение.
Это уравнение первого порядка является линейным, так как это удовлетворяет
общему виду линейных уравнений y  p( x) y  g ( x) . Будем искать решение в
виде y  u  v , где u  u (x) , v  v(x) - дифференцируемые функции от x . Тогда
y  uv  vu . Подставляя y  uv , y  uv  vu в данное уравнение, получим
2uv
 x3
x
2
v

uv  u  v    x 3 .
x 

uv  vu 
или
()
Приравняем нулю выражение, стоящее в скобках и получим уравнение с
dv 2v
dv
dx

2 .
, или
dx
x
v
x
2
Интегрируя обе части уравнения, находим nv  2nx или nv  nx (Здесь
полагают произвольную постоянную равной нулю). Откуда v  x 2 . Подставляя
его уравнение () , придем к его общему уравнению с разделяющимися
разделяющимися
переменными
v 
2v
0
x
или
du
x2
 x , или du  xdx , откуда u 
C.
dx
2
 x2

А так как решение ищется в виде y  u  v , то оно будет таким y    C  x 2 .
 2

Это- общее решение, в котором C - произвольная постоянная. Решим теперь
переменными ux 2  x3 или u  x , или
задачу Коши: из общего решения по заданным начальным условиям определим
частное решение. Для этого подставим в общее решение начальные условия.
24
 22

 C 22 или  1  2  C 2 , или  1  4  2C , или  5  2C , откуда
 2

Получим  2  
5
C   . Подставляя это значение постоянной в общее решение, получим
2
 x2 5 
1
частное решение y     x 2  x 4  5x 2
удовлетворяющее начальным
2
 2 2


условиям.
6n x n
Найти область сходимости степенного ряда  n n .
n 0 5  3

Задача 15.
Решение.
Область сходимости называется множество всех точек сходимости данного
ряда. Найдем радиус и интервал сходимости.
n
6
n
an
4n 1  3n 1
3n  1
R  im
 im 5 
6n 1
6 nim
4n  3n
n   an 1
n

5n 1  3n 1
  3  n 1 
5 1    
 5  5
1

 .
 im
n
6 n 
6


3
5 n 1    
 5 


n 1
n
5
3
   0 . Радиус сходимости R  . Тогда интервал сходимости
nim
6
  5 
5
5
  x  . Исследуем сходимость ряда на концах этого интервала.
6
6
5
1) Подставим в данный степенной ряд x  . Получим числовой ряд
6
n
5
6n  



5n
1
6 
. Этот ряд является расходящимся, так




n
n
n
 n 1  3  n
n 1 5  3
n 1 n 
3


1  
5 1    
 5 
5


Где
как
im
n
2)
не
выполняется
1
3
1  
5
n
Подставляя
необходимое
условие
его
сходимости
1 0.
5
6
в степенной ряд x   , получим знакочередующийся
n
5
(1) 6  


6 


5n  3n
n 1
n 1
n
n

(1) n 5n
(1) n
,
который


n
n


3
n

1


3


1  
5 n 1    
 5 
5


расходится по той же причине: его общий член при n   стремится к 1, а
числовой
не к 0.
ряд
25
5
6
Итак, область сходимости данного степенного ряда   x 
5
.
6
5 ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ РАБОТ
5.1. Раздел I.
Линейная алгебра. Аналитическая геометрия. Теория пределов.
Дана система линейных уравнений. Требуется показать, что
1 – 20.
система совместна и найти ее решение тремя способами: а) по
формулам Крамера, выполнить проверку решения; б) методом
Гаусса.
 2 x1  3x2  x3  5
1. 3x1  2 x2  2 x3  1
4 x  3x  x  13
2
3
 1
 x1  x2  4 x3  3
2.  x1  3x2  7 x3  2
 7 x  3x  6 x  5
2
3
 1
2 x1  x2  8 x3  0
3.  x1  x2  2 x3  1
 7 x  5 x  16
1
3

2 x1  3x2  5 x3  1
4.  x1  4 x2  x3  9
 x  3x  5
1
3

 x1  2 x2  3x3  9
5. 2 x1  3x2  4 x3  15
 3x  x  x  18
 1 2 3
3x1  5 x 2  x3  2
6. 4 x1  3x2  3x3  0
  x  x  2x  1
2
3
 1
 x1  2 x 2  4 x3  1
7.  x1  x2  5 x3  18
 x  3x  2 x  0
2
3
 1
 3x1  2 x 2  10 x3  16
8. 
2 x1  7 x3  2

x1  x 2  x3  3

7 x1  5 x2  20 x3  2
9.  2 x1  2 x2  3x3  17
 x  x  x  11
1
2
3

 x1  8 x3  7
10. 8 x1  3x2  6 x3  2
3x  5 x  3x  6
2
3
 1
 5 x1  3x 2  x3  7
11.  2 x1  4 x2  x3  1
7 x  10 x  3x  2
2
3
 1
12 x1  2 x2  3x3  12
12.  x1  5 x2  8 x3  41

2 x1  x3  6

 2 x1  x 2  x3  3
13.   5 x2  8 x3  1
3x  2 x  x  1
2
3
 1
3x1  2 x 2  3x3  4
14.  2 x1  2 x2  3x3  1
 x  3x  5 x  2
2
3
 1
26
 4 x1  3x2  3x3  7
15.  13x1  3x2  x3  2
2 x  8 x  5 x  18
2
3
 1
 5 x1  4 x 2  4 x3  1
16.  3x1  x2  2 x3  7

x 2  x3  1

 2 x1  x 2  x3  11
17.  x1  x2  x3  4
3x  x  5 x  0
2
3
 1
7 x1  x2  2 x3  3
18.  3x1  x2  x3  2

x 2  x3  1

 3x1  3x 2  5 x3  9
19. 7 x1  x2  3x3  2
 x  2 x  3x  1
2
3
 1
 4 x1  7 x 2  2 x3  0
20.  x1  3x2  x3  2
 2 x  5 x  2 x  4
2
3
 1
21 – 40
Методом исключения неизвестных найти общее и базисные
решения систем уравнений:
5 x1  x2  4 x3  25
 x1  4 x2  3x3  16
5 x1  8 x2  4 x3  10
 7 x1  x2  11x3  0
22. 
 4 x1  3x2  x3  4
7 x1  8 x2  7 x3  25
24. 
2 x1  15 x2  2 x3  6
6 x1  8 x2  20 x3  1
26. 
21. 
23. 
25. 
2 x1  4 x2  x3  30
x1  x3  10

27. 
5 x1  3x2  x3  20
 x1  7 x2  5x3  14
29. 
11x1  8 x2  3x3  0
 3x1  x2  x3  3
31. 
12 x1  x2  9 x3  21
4 x1  2 x2  3x3  23
33. 
 6 x1  6 x2  x3  8
4 x1  4 x2  9 x3  14
35. 
12 x1  8 x2  3x3  0
 8 x1  2 x2  2
 4 x1  2 x2  3x3  0
5 x1  2 x2  4 x3  2
3x1  2 x2  x3  16
2 x1  3x2  x3  10
28. 
5 x1  7 x2  12 x3  1
 2 x1  x2  x3  2
30. 
6 x1  2 x2  x3  6
 3x1  x2  3x3  4
32. 
5 x1  2 x2  13x3  17
 x1  3x2  x3  4
34. 
 4 x1  4 x2  x3  2
5 x1  5 x2  3x3  1
36. 
27
15 x1  6 x2  5 x3  22
11x1  10 x2  5 x3  2
 6 x1  11x2  7 x3  11
11x1  10 x2  5 x3  3
37. 
38. 
 3x1  2 x2  x3  5
8 x1  5 x2  11x3  1
 7 x1  x2  8 x3  0
21x1  3x2  x3  4
39. 
41 – 60.
40. 
Найти произведение матриц AB  C , если A , B даны:
 10 3 


B    2 4
 1 8


1  2


11 3  2 
 , B   3 5 
42. A
4 0 1 
0 2 


 1 2 5
 ,
41. A
 3 4 0
 3  3 1
 ,
43. A
 2 10 5 
 6 4 0
 ,
  1 8 3
44. A
  7 4  3
 ,
45. A
 2 1 2 
 1  1 13 
 ,
 8 0 15 
46. A
 0  4 2
 ,
47. A
6  6 1
 3 5 15 
 ,
1  1 6 
48. A
13  7 2 
 ,
49. A
 1 14 3 
 3 13 23 
 ,
1 1 0 
50. A
 7 1


B    1 3
 2 8


 12 1 


B    7 1
 4 0


 0 11 


B   4  1
2 3 


 3 2


B    2 3
 1 6


 8 10 


B   1  1
9 3 


 4  4


B   2  2
1 0 


1
 7


B   7 2 
 2  1


 50 25 


B   1  1
3 4


28
 44 2 1 
 ,
51. A
 14 3 0 
9  9 2
 ,
1 1 6
52. A
1 2 


B   3  1
6 7 


 3 11 


B   3 2 
 5  1


1 4 


B  2  7
3 1


 5 10 


 8  11 12 
 , B    1 12 
54. A
3  3 0 
 3 8


16 1 4 
 ,
53. A
 3 7 21
 1 3


B   3 6
6 9


10 7 


 13 3 10 
 , B   3 1 
56. A
  1  2  3
 0 4


14 2 6 
 ,
55. A
 4 12 3 
 8 2


B   3 7
 4 1


 1 3


18  2 3 
 , B    1 4 
58. A
5  5
1
 2 5


  4 3 12 
 ,
57. A
 1  1 10 
7 6 5 
 ,
59. A
 4 3  2
0 6


B  10 3 
 2  1


3 
 2


B    2  3
 3
4 

61 – 80. Даны вершины треугольника A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , C ( x3 , y3 ) . Найти:
 22 10 4 
 ,
60. A
 1 7  2
а) уравнения всех трех его сторон;
б) систему неравенств, определяющих множество
принадлежащих треугольнику, включая его стороны;
в) внутренний угол A треугольника в градусах и минутах;
г) длину высоты, проведенной из вершины A ;
д) площадь треугольника.
точек,
29
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
71.
72.
73.
74.
75.
76.
77.
78.
79.
80.
A(6;14), B (1;2) , C (9;8).
A(4;10), B ( 1;2), , C (7;4).
A(6;11), B (1;1) , C (9;5).
A(4;13), B (1;1) , C (7;7).
A(6;10), B(1;2) , C (9;4).
A(4;14), B (1;2) , C (7;8).
A(6;13), B(1;1) , C (9;7).
A(7;11), B ( 2;1) , C (10;5).
A(3;13), B(2;1) , C (6;7).
A(4;11), B(1;1) , C (7;5).
A(1;0), B(7;3) , C ( 4;4).
A(0;1), B (6;4) , C (3;5).
A(1;1), B (7;2) , C (4;3).
A(1;1), B (5;2) , C (2;3).
A(1;1), B (5;2) , C (2;3).
A(1;1), B (7;2) , C (4;5).
A(1;1), B (7;4) , C (4;5).
A(1;1), B (5;4) , C (2;5).
A(1;1), B (5;4) , C (2;5).
A(1;1), B (7;4) , C (4;5).
Раздел II.
Дифференциальное и интегральное исчисление.
Дифференциальные уравнения.
Ряды.
dy
81 – 100.
Найти производные
следующих функций:
81.
82.
83.
84.
x
а) y 
4 x
а) y  n3
2
;
1  x3
;
1  x3
а) y  3 x 1  x 2 ;
а) y  n8
4  x2
;
4  x2
85.
а) y  23 2  x 3  ;
86.
а) y  x x 2  9 ;
2
1
2
dx
б) y  xn cos x ;
в) y  1  sin 2( xy) .
б) y  x 2 sin x ;
в) y  xny .
б) y  x sin x 2 ;
в) xy  x 2  y 2  1 .
б) y 
2 cos 2 x
;
1  sin 2 x
sin 3 x
б) y  2 ;
cos x
4nx
б) y 
;
1  nx
в)
x
 2x 2  3  0 .
y
в)
x2  y2  4.
3
3
в) y  x sin y ;
30
87.
1
а) y 
4
88.
89.
90.
91.
а) y 
2  x 
2 3
20
x3 x  1
б) y  x 3 sin 3 x ;
;
x
2
1 x
а) y 
;
1 x
x
а) y 
;
1 x2
б) y 
2
б) y  2
в)
3
б) y  arcsin 3x  1  9 x 2 ;
в) ye  xy  2 .
7
б) y  arctg x  1 ;
в) y  x sin 2 y .
 x6  3 
 ;
а) y  n 
6
x

2


93.
 x6 1 
 ;
а) y  n6 
6
x

5


1
а) y  arctg
;
1 x
96.
97.
98.
99.
100.
1  8x
;
x8  1
3  x2
а) y 
6 x
а) y  x 2 16  x 2 ;
а) y 
а) y 
а) y 
x2  4
;
x4
2x  1
4x  1
4x  1
;
x2
101-120.
101.
102.
103.
104.
;
2
;
x 2
;
3
б) y  3sin 3 x ;
2
б) y 
в)
x
 3 y  10 .
y
1
xy
 x3  0 .
в) y  x sin 2 y .
;
arctg x
1
б) y  arcctg
;
x
sin 5 x
б) y 
;
1  2 sin 5 x
б) y  e  x 2 sin 5x  cos 5x  ;
в) y  1  xe y .
в) xy  e 2 x  e 3 y .
1
y
в) x 3 y   x  0 .
б) y  2sin 10x ;
в) x  y  arcctgy .
б) y  4 ctg 2 8 x  1 ;
в) x 2 sin y  cos y  0 .
2
Пользуясь правилом Лопиталя найти пределы функций:
ex 1
xim
0 sin 2 x
x2  1
а) im
nx
x 1
1  cos 3x
а) im
2x2
x 0
а)
а)
в) y  arcsin x  e 2 y .
в) xy  3sin y  0 .
7x  4 
а) y  n 
 ;
 7x  4 
а) y  n4
tg 2 x
;
1  sin 2 x
б) y  tg 2 1  x  ;
92.
95.
в) xy3  x 2  3 y  0 .
x
2
б) y  tg  ctg ;
;
3
94.
y
2
в) y  xarctg .
tgx  sin x
xim
x  sin x
0
б)
im
x 
2x  1
x 1
10 x 2
б) im
x  0 1  cos x
б)
ex
xim
  nx
б)
x2
xim
x
 2
31
105.
106.
107.
tg 2 x
xim
 0 x  sin x
nx
а) im 2
x
x 0
tg 3x
а) im
 tg 5 x
x
б)
а)
x 
б)
а)
im x
б)
а)
1  cos ax
x 0
а)
e2 x
xim
3
0 x
111.
а)
eч
xim
3
 x
112.
а)
x 0
2 x 2  5x  3
xim
2
 1 x  4 x  5
nx  1
б) im x
e
x 
5x
б) im
x0 arctgx
x 0
б)
б)
im sin x 
tgx
x 0
113.
114.
115.
116.
ctgx
а)
im nx
а) im xnx
2  x2
xim
2
 3x  x
arctg 2 x
б) im
3x
x0
x  arctgx
x3
x 0
1  ctgx
а) im
 cos 2 x
x
а)
im
б)
x 2  3x  10
xim
2
 2 2 x  x  10
б)
im 1  cos x
4
117.
118.
а)
а)
n2 x
xim
3
1 1  x
im x
120.
3x  2 x
xim
tgx
0
sin 2 x
а) im 3 x 2 x
e
x 0 e
а)
121-140.
121. у 
2x
;
x 1
2
x 1
124. у  2 ;
x 1
nx
127. у 
;
x
2
xtgx
x 0
1
1 x
б)
4x2
xim
 0 1  cos 4 x
б)
im 3
x 1
119.
3x 2  4 x  1
xim
2
1 x  3x  2
б)
im 1  cos bx
110.
1  cos 8 x
im 1  cos 4 x
2x  x2
xim
2
 1  3x
2 x2  5x  3
б) im
x2  9
x  3
sin 5 x
б) im
7x
x 0
x
x 0
109.
x
x 0
2
108.
tgx
im e
x 
б)
x
x
x2  x
xim
2
 3x  1
Исследовать функцию и построить ее график
123. у  x 2  2nx .
уx
122. у  ;
x
у


n
x2  4 ;
125.


2
128. у  xe x ;
126. у  xe x .
129. у  2 x 4  x 2 .
32
9
;
x 9
x2  1
;
x2  1
133. у  n1 2x ;
131. у 
x2
136. у 
;
x 1
139. у  xnx ;
x4
137. у   2 x 2  5 ;
5
x
140. у 
.
x4
130. у 
142.
143.
144.
145.
146.
147.
148.
1
134. у  e x ;
132. у  x  nx  1 .
135. у  n9  x 2  .
x2
2
138. у  e .
По условию задачи составить функцию одной независимой
переменной и найти ее экстремум. Показать, что этот
экстремум и будет наименьшим (наибольшим) значением
функции.
окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Пример
(р) фигуры задан. Каковы должны быть размеры прямоугольника, для
того, чтобы окно пропускало наибольшее количество света то есть имело
наибольшую площадь?
На железной дороге, ведущей с юга на север, стоит город В. Завод А
расположены на а км южнее города В и на b км восточнее железной
дороги. Под каким углом  к железной дороге надо провести шоссе с
завода А, чтобы доставка грузов из А в В была самой дешевой, если
стоимость перевозок по шоссе в k раз дороже, чем по железной дороге?
Во сколько раз объем шара больше объема наибольшего цилиндра,
вписанного в этот шар?
Требуется построить палатку в виде правильной четырехугольной
пирамиды. Найти отношение высоты палатки к стороне основания при
условии, что при данной площади боковой поверхности S объем палатки
будет наибольшим.
Тело представляет собой прямой круговой цилиндр, завершенный сверху
полушаром. При каких значениях радиуса основания и высоты цилиндра
это тело будет иметь наименьшую полную поверхность, если объем его
равен v ?
Имеется 200м железной сетки, которой надо огородить с трех сторон
прямоугольную площадку, примыкающую четвертой стороной к длинной
каменной стене. Каковы должны быть размеры площадки, чтобы ее
площадь была наибольшей?
Найти высоту конуса наименьшего объема, описанного около данного
шара радиуса r .
Кровельщику надо сделать открытый желоб, поперечное сечение
которого имеет форму равнобочной трапеции. Дно и бока желоба имеют
ширину 10см. Какова должна быть ширина желоба наверху, чтобы он
вмещал наибольшее количество воды?
141-160.
141.
2
33
149. Консервная банка цилиндрической формы с дном и крышкой должна
вмещать v см3. Каковы должны быть размеры банки, чтобы на ее
изготовление пошло наименьшее количество материала.
150. В окружность радиуса r вписан прямоугольник. Каковы должны быть
размеры прямоугольника чтобы площадь его была наибольшей?
151. Каковы должны быть высота и радиус основания конуса с данной
образующей  , чтобы объем конуса был наибольшим?
152. Найти размеры прямоугольника с наибольшей площадью, вписанного в
прямоугольный треугольник, катеты которого a  4см и b  8см , а один из
углов прямоугольника совпадает с прямым углом треугольника?
153. Бак без крышки с квадратным основанием должен вмещать v литров
воды. Каковы должны быть размеры бака, чтобы на его изготовление
было затрачено наименьшее количество материала?
154. Гипотенуза прямоугольного треугольника с  9 2 . Каковы должны быть
катеты a и b , чтобы пример треугольника был наибольшим?
155. Требуется изготовить ведро цилиндрической формы без крышки,
вместимостью 8 куб.ед. Найти высоту и диаметр дна ведра, при которых
на его изготовление потребуется наименьшее количество материала.
156. В область, ограниченную параболой у 2  4 x и прямой x  3 вписан
прямоугольник, две стороны которого параллельны оси параболы. Найти
стороны прямоугольника, при которых его площадь является
наибольшей.
157. В шар радиуса 9 вписан прямой круговой цилиндр. Найти высоту
цилиндра, при которой его объем является наибольшим.
158. В шар радиуса R  6 вписан прямой круговой конус. Найти высоту конуса,
при которой его объем является наибольшим.
159. Площадь прямоугольника равна 9 кв.ед. Найти размеры сторон
прямоугольника, при которых его периметр является наименьшим.
160. Прямой круговой конус описан около прямого кругового цилиндра так,
что плоскости и центры их оснований совпадают. Радиус основания
цилиндра равен 4см, а высота равна 6. Найти радиус основания и высоту
конуса, при которых его объем является наименьшим.
161-180.
161. z  3
y x

x y
Найти частные производные
функции z  f x, y  :
и полный дифференциал
x y

y x
163. z  2 3x 4  6 xy3 .
162. z  e
.
164. z  3 cos3x  9 y  .
165. z  xtg2x  5 y  .
166. z  xe10 y  x .
167. z  3sin 2 6 x  5 y  .
168. z  1  4 x 2  4 y 3 .
.
34
x2 y 2
169. z 
x2  y 2
170. z 
.
1
5x
.
arctg
10
2y
171. z  2tg4x  2 y  .
172. z  4n   .
173. z  x3  4 x 2 y  2 xy2  y3 .
174. z 
x
4
1
y
2
x2  y 2
.
175. z  т2 x 2  4 y 2 .
176. z  arccos x  y .
177. z  cos 2 3x  6 y  .
178. z  x 2 y 
y
.
x2
180. z  xy  e2 x  e2 y .
179. z  x2  2x .
Найти точки экстремума функции двух независимых
переменных z  f x, y  :
2
2
181. z  2 x  y  x  3 y  2 xy
182. z  x 2  4 xy  y 2  x
1
183. z  x 2  y 2  5  4 y  xy
184. z  x 2  xy  y 2  y
181-200.
185.
187.
189.
191.
193.
195.
197.
199.
z  xy  4 x  3 y  x  y
2
2
186. z  x 2  xy  3 y 2  x  y
2
z  3 y 2  9 xy  y  x 2
188.
190.
192.
194.
196.
198.
200.
z  x 2  3xy  y 2  4 x
z  xy  2 x 2  y 2  3 y
z  2 x 2  3xy  y 2  4 x
z  2 y 2  9 xy  y  x 2
z  xy  2 y 2  2 x
z  2 x 2  y 2  x  3 y  2 xy
z  x 2  2 y 2  4 xy  3x
z  x 2  xy  3 y 2  2 y
z  x 2  y 2  4 xy  x  y
z  x 2  xy  2 y 2  x
z  y 2  3xy  y 2  x
z  3x 2  8xy  12 x  4 y 2
z  4 x 2  y 2  2 y  xy
201-220. Найти неопределенные интегралы
201.
202.
203.
а)  e cos 5 x sin 5 xdx ;
а)

а)

nxdx
;
x
xdx
2  x2
б)  xarcctgxdx ;
б)
;
б)
xdx
 cos x ;
 x nxdx ;
2
3
dx
.
 2x
dx
в)  2
.
x  4x
( x  1)dx
в)  2
.
x  3x  1
в)
x
2
35
204.
205.
206.
207.
208.
а) 
а)

;
1  x8
4 x3  cos x
а)  4
dx ;
x  sin x
1  nx
dx ;
а) 
x
dx
а) 
;
x 1  n 2 x

209.
а)  e
210.
а)
211.
а)
212.
а)
cos 2 x

sin 2 xdx ;
3x 2  e x
 x3  e x dx ;
x3
 1  x 4 dx ;
x2
 1  x 6 dx ;
dx
 5 2  5x ;
sin 3 xdx
 3  5 cos 3x ;
213.
а)
214.
а)
215.
а)  xe3 x dx ;
216.
а)

а)
x
217.
218.
219.
220.
б)
есtg 2 x
dx ;
sin 2 2 x
x 3dx
2
arcsin x
1 x
dx
2
dx ;
;
4  n 2 x
x 3dx
а) 
;
1  x8
а)  1  e x e x dx ;
а)
e arctgx
 1  x2 ;
221-240.

3
xnxdx ;
б)  x sin 3 xdx ;
б)  xarctgxdx ;

x
б)  xe 2 dx ;
б)  x cos 8 xdx ;
б)  x 3nxdx ;
б)  x cos 2 xdx ;
б)  x sin 4 xdx ;
dx
.
x6
dx
в)  2
.
x  6x  5
в)
x
2
в)
x
2
в)

в)

б)  xe2 x dx ;
в)
б)

xnxdx ;
в)
б)  x cos 3xdx ;
в)
б)  x cos 5 xdx ;
в)
б)  x  2 2 x dx ;
в)
б)  xe x dx ;
в)
б)  x arcsin xdx ;
в)
xdx
;
2
x
в)
б)
 sin
.
3  2x  x2
x 1
dx .
в)  2
x x2
в)

.
x2  x  6
dx
в)  2
.
x  2x  2
dx
в)  2
.
x  4x  3
dx
nxdx
;
x2
б)
x2
dx .
 4x  3
dx
x 1
dx .
 3x  2
dx
 x2  x .
dx
 x2  x .
dx
 x2  2x  2 .
dx
 x2  2x  2 .
xdx
 x2  1 .
xdx
 x 2 1 .
dx
 x2  x  5 .
dx
x

2
1  x  x2
.
Воспользовавшись соответствующим приложением
предельного интеграла к задачам геометрии, найти
следующее:
а) площадь фигуры, ограниченную линиями:
36
221. y = x2 ,
y = 7 x  12 ;
223. y = x2 ,
y=
222. y2 = 2x + 1, x – y - 1=0;
224. y2 = 9x , y = x + 2;
1 3
x ;
3
225. y  nx , y = 1,
y = 4;

x
2
226. y = e , x = 0 , x = 2 ;
-1
227. y = nx x , x = e , x = e;
228. y = x2,
y=
1 3
x ;
2
229. y = 2x , x = 0 , x = 2;
230. y = 9 - x2, y = 0.
б) Объем тела, образованного вращением вокруг оси Оx фигуры,
ограниченной линиями.
2
2
231.
232. xy  4 , x  1, x  4 , y  0 ;
yx , y x
234. y  2 x  x 2 , y  x ;
233. y  xe x , x  1, y  0
235.
y
1 2
1
x , y  x2 1
4
8
236. y  cos x , x  0 , x 

237. y  sin x , y  cos x , y  0,  0  x   ;
240. y  x 3 , y  x .
Найти общее решение дифференциального уравнения
аxy  mxy  f x и его частное решение , удовлетворяющее
начальным условиям y  y0 при .
241. y  cos x  y sin x  1 , y 0  1, x0 

4
.
y x 1

, y 0  2 , x0  1 .
x
x
2y
3
y 
 x  1 , y 0  1, x0  1 .
x 1
2
2y ex
y 

, y 0  2 , x0  1 .
x
x
2y 1
y 
 , y0  3 , x0  1 .
x
x
y   y  e 4 x , y 0  2 , x0  0 .
242. y  
243.
244.
245.
246.
247.
248.
249.
250.
251.
252.
253.
254.
y   3 y  14e 4 x , y 0  1 , x0  0 .
xy   y  x  1 , y 0  3 , x0  1 .
xy   2 y  x 4 , y 0  2 , x0  1 .
xy   2 y  x  1 , y 0  2 , x0  1 .
y  cos x  y sin x  1 , y 0  2 , x0  0 .
y  cos x  2 y sin x  2 , y0  3 , x0  0 .
2x
xy   y 
, y0  0 , x0  1 .
1 x2
x 2  1 y   xy  x x 2  1 , y 0  1, x0  2 .


238. y  e x , y  0 , y  1 ;
2

2
239. y  x  1 , y  0 , x  1, x  3
241-260.

;
3


37
xy   2 y 
255.
1
, y0  e , x0  1 .
x
1  x y  2xy  1  x  ,
2 2
2
256.
y0  5 , x0  2 .
ex
, y 0  2 , x0  0 .
1 x2
2
y   2 xy  2 xe x , y0  5 , x0  0 .
257. y   y 
258.
259. y   y sin x  e  cos x sin 2 x , y0  3 , x0 

2
.
3
4
260. y   4 xy  x , y 0  , x0  0 .
261-280.
Найти область сходимости степенного ряда

a
n 0

261.
x
 3 n  1 ;
n 0

262.
n
n 1
n


x
;

n 1
n 0 n  2

x n1
267. 
;
n1
n0 (n  1)3

xn
270. 
;
n
n0 (n  1)6
n 1
(1) x
n 1
n 0

n

;
265.

5n n x n
;

2n
n 0
274.
5n x n
;

n
n
n0 3  4
277.
2

n 0
nx n
n
 2n  1 ;

2n x n
;

2
n0 n  1

0,1n x 2 n
269. 
;
n
n 0
266.
272.

4n x n
;

n3
n
n 0 6

2n x n
276.  n n ;
n0 6  3

3n x n
279. 
;
n 1
n 0
273.
n 1


271.
x
xx .
n 0
n
nx
;

n
n 1
n 0 2  3

(n  1) x n
268. 
;
5n
n0
264.
263.
n
7n x n
;

n
n
n0 5  3

275.
nx n
;

n
n0 8 ( n  1)
278.
 3 (n  2) ;

;
n0
(n  1) x n
n

280.
nx n
.

n
n  0 5 (n  1)
6. Таблица распределения задач по вариантам .
Номер
варианта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Номера задач
Контрольная работа № 1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
21
22
23
24
25
26
27
28
29
61
62
63
64
65
66
67
68
69
81
82
83
84
85
86
87
88
89
101
102
103
104
105
106
107
108
109
121
122
123
124
125
126
127
128
129
161
162
163
164
165
166
167
168
169
201
202
203
204
205
206
207
208
209
221
222
223
224
225
226
227
228
229
261
262
263
264
265
266
267
268
269
38
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
Примечание. Задачи 1 –20 (в), 42 – 60, 141 – 160, 181 – 200, 241 –
260, не включенные в контрольную работу,
рекомендуется использовать для самостоятельного
решения при изучении курса и подготовке к
экзаменам. Образцы их решений даны в
Методических указаниях, §4.
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280