InFinMat - Кафедра анализа данных и исследования операций

Казанский Государственный Университет
Кафедра экономической кибернетики
Миссаров М.Д.
Учебное пособие
«Введение в финансовую математику»
1
Глава 1. Детерминированные финансовые потоки
1.1. Процентные ставки и приведенная ценность
Допустим, что вы положили сумму C рублей на банковский счет
на какой-то период (например, год) и по истечению его получили
заранее определенную сумму C '  C (1  r1 ) . Величина
r1 
C 'C
C
называется процентной ставкой.
Вы можете заключить такой договор, что деньги будут лежать в
банке еще один срок, но проценты будут начисляться только на
первоначальный (основной) капитал C . При этом процентная ставка
r2 на 2-ой срок в принципе может отличаться от r1 . Тогда в конце 2-го
периода на вашем счету будет лежать сумма
C"  C(1  r1  r2 ) .
Процентная ставка за два периода будет равна
r  r1  r2 .
Такой принцип начисления процентов называется принципом простых
процентов. Если же процент будет начисляться на сумму C '  C (1  r1 ) ,
то мы получим
C"  C' (1  r2 )  C(1  r1 )(1  r2 ) .
(1.1)
Такой способ исчисления процентов называется принципом сложных
процентов.
Предположим, что процентная ставка остается постоянной на
протяжении многих периодов, и мы положили деньги на n периодов.
Большинство банков используют принцип сложных процентов и
поэтому в конце n -го периода на нашем счету будет лежать сумма
C n  C (1  r ) n .
Пусть банки начисляют проценты не один, а m раз в год (например,
ежеквартально или ежемесячно). При этом если годовая процентная
2
ставка равна r , то процентная ставка за меньший период равна
По принципу сложных процентов счет к моменту t 
r
.
m
k
будет
m
равняться
k
r

C '  C 1   .
 m
(1.2)
В пределе, когда m стремится к бесконечности, мы получим, что
сумма, которая будет на счету к моменту t 
k
, равна
m
k
r
r


C '  lim C 1    lim C 1  
m 
m


 m
 m
tm
 Ce rt .
В этом случае говорят о непрерывном наращивании процентов.
Годовая процентная ставка r называется номинальной ставкой, а та
ставка за год, которая получается реально, называется эффективной
процентной ставкой. В частности, если проценты начисляются m раз в
году, то эффективная процентная ставка r ' равна
m
r

r '  1    1 .
 m
(1.3)
При непрерывном наращивании процентов эффективная процентная
ставка равна
r'  e r  1.
(1.4)
Пусть процентная ставка за период равна r , t - время, кратное
этому периоду. Предположим, что вам должны выплатить сумму C
рублей в момент времени t  0 , но предлагают выплатить сейчас
меньшую сумму C ' . Какое значение C ' следует считать правильным?
После некоторого размышления становится ясно, что правильным
будет значение
C '  C (1  r ) t .
(1.5)
Действительно, получив сумму C ' сейчас (в момент времени t  0 ) и
положив ее в банк, в момент времени t мы получим сумму
C(1  r ) (1  r )
t
3
t
C.
Предположим, что нам были должны сумму C в момент времени t в
прошлом (t  0) , а отдают только сейчас. Ясно, что можно потребовать
большую сумму
C '  C (1  r )  C (1  r ) t .
t
(1.6)
Формулы (1.5) и (1.6) выглядят одинаково. Естественно дать
следующее:
Определение 1. Значение
PV (C , t; r )  C (1  r ) t
(1.7)
называют приведенной стоимостью (present value) суммы C в момент
t . Другое название величины PV (C , t ; r ) - современная стоимость.
Пусть имеется финансовый поток платежей
a1 , a2 ,, an ,
распределенный во времени. Положительные члены этого потока
соответствуют поступлениям соответствующих сумм, отрицательные –
уходу. Величина a i поступает (или уходит) в момент времени t i .
Например, с нас берут отчисления в пенсионный фонд, чтобы в
будущем выплачивать нам пенсию.
Для краткости обозначим поток платежей {a1 , t1 ; a2 , t 2 ;; an , t n }
буквой A .
Определение 2. Приведенной стоимостью
потока A называется
величина
n
PV ( A; r )   ai (1  r ) ti .
(1.8)
i 1
Если процентная ставка r начисляется дискретно (один раз в
период), то мы предполагаем, что все моменты времени t1 ,, t n
кратны периоду. Если же проценты начисляются непрерывно, то
моменты t1 ,, t n могут принимать любые значения и формула (1.8)
переписывается в виде
n
PV ( A; r )   ai e  rti .
i 1
4
(1.9)
Пусть есть два потока
платежей
A  {a1 , t1 ;; a n , t n } и
B  {b1 , 1 ;; bm , m } , имеющие одинаковую приведенную стоимость
PV ( A; r )  PV ( B; r ) .
(1.10)
Несложно доказать, что при постоянной процентной ставке r любой из
этих потоков можно перевести в другой. Проиллюстрируем это на
примере задачи о пенсионных схемах. Примем за 0-й (настоящий)
момент времени время выхода на пенсию. Пусть в прошлом в моменты
времени t1 ,, t n мы вносили в пенсионный фонд суммы a1 ,, a n . В
свою очередь пенсионный фонд должен в будущем в моменты времени
 1 ,, m выплатить нам суммы b1 ,, bm . Пусть выполнено условие
(1.10). Если пенсионный фонд будет хранить наши взносы в банке по
процентной ставке r , то к нулевому моменту времени он накопит
сумму
C0  PV ( A; r ) .
К моменту  1 эта сумма превратится в
C 0 (1  r )1  PV ( A; r )(1  r )1  PV ( B; r )(1  r )1 
m
 b1   bk (1  r ) ( k 1 ) .
k 2
После выплаты нам в момент  1 суммы b1 у фонда останется сумма
m
C1   bk (1  r ) ( k 1 ) .
k 2
К моменту  2 эта сумма вырастит до величины
m
C1 (1  r ) 2 1  b2   bk (1  r ) ( k  2 ) .
k 3
Дальше рассуждение повторяется. К моменту времени  m после
выплаты последней суммы bm у пенсионного фонда от наших взносов
ничего не останется.
Простейшим
примером
потока
платежей
является
поток
постоянных платежей с постоянными промежутками времени между
5
ними. Такой поток называется рентой. Пусть a1  a 2    a n  a ,
t i  i, i  1,, n . Тогда
a
a(1  (1  r )  n )
PV ( A; r )  

.
i
r
i 1 (1  r )
n
(1.11)
Рента называется бесконечной, если n   . В этом случае формула
(1.11) переходит в формулу:

PV ( A; r )  
i 1
a
a
 .
i
r
(1  r )
(1.12)
1.2. Внутренняя ставка доходности. Облигации
Понятие приведенной стоимости используется при сравнении
различных инвестиционных проектов. В таких задачах приведенную
стоимость
потока
платежей,
состоящего
из
положительных
и
отрицательных величин, называют чистой приведенной стоимостью
(net precut value - NPV ). Отрицательные платежи соответствуют
затратам, положительные – доходам. Из двух проектов выгоднее тот,
чья чистая приведенная стоимость больше. Если инвестиционные
проекты имеют разные сроки существования, но могут быть
повторены, то полезно привести их к единому временному горизонту.
Пусть
поток
A  {a0 , t 0 ;, an , t n }
платежей
описывает
некоторый инвестиционный проект. Без ограничения общности будем
считать, что t i  i, i  0,, n . Если известна процентная ставка r , то
мы можем вычислить чистую приведенную стоимость проекта:
n
NPV ( A; r )  
i 0
ai
.
(1  r ) i
Ясно, что проект может считаться приемлемым, только если
NPV ( A; r )  0 . Интересно найти то критическое значение r , при
котором NPV ( A; r )  0 .
Определение 3. Внутренней ставкой доходности потока платежей
называется число r  0 такое, что
6
n
ai
 (1  r )
i 0
i
 0.
(1.13)
Уравнение (1.13) сводится к нахождению положительного корня x 0
уравнения
n
a x
i 0
i
i
0
(1.14)
такого, что 0  x0  1 . Внутренняя ставка доходности связана с этим
корнем x 0 соотношением
r
1
1.
x
Наиболее простой вид инвестиционного проекта описывается
потоком A таким, что
a 0  0, ai  0, 1  i  n,
n
a
i 0
i
 0.
(1.15)
Покажем, что при условиях (1.15) корень уравнения (1.14) с заданными
свойствами существует. Действительно, пусть f ( x ) 
n
a x
i 0
i
i
. Тогда
n
f (0)  a 0  0, f (1)   ai  0 , и в силу непрерывности функции
i 0
f (x ) на интервале между 0 и 1 существует корень уравнения (1.14),
причем этот корень единственен в силу монотонности функции f (x )
на интервале [0,1) . Явной формулы для корня x 0 в общем случае не
существует, но он может быть найден численными методами.
Внутренняя ставка доходности также используется при сравнении
инвестиционных проектов. Из двух проектов лучше тот, чья
внутренняя ставка доходности больше. Это объясняется следующим
рассуждением. Пусть r1 (r2 ) - внутренняя ставка доходности 1-го (2-го)
проекта, r - текущая (известная) процентная ставка. Если r1  r , то
0  NPV ( A; r1 )  NPV ( A; r )
7
и проект неприемлем. Если же r1  r , то выполнено обратное
неравенство и проект приемлем. Поэтому, если r1  r2 , то второй
проект
приемлем
для
большего
интервала
значений
текущей
процентной ставки, чем первый проект, и, следовательно, лучше.
Заметим, что критерий NPV и критерий внутренней ставки
доходности
могут
давать
разные
ответы
при
сравнении
инвестиционных проектов.
Обратимся теперь к понятию облигации. Облигация является
примером ценной бумаги с фиксированным доходом. Владелец бумаги
с
фиксированным
доходом
получает
право
на
получение
детерминированного (фиксированного), возможно периодического
потока доходов. Покупатель облигации фактически получает в руки
долговую расписку заемщика (эмитента облигации). Эмитентом
облигации может быть правительство, корпорация, органы местной
власти и др. Государственные облигации считаются безрисковыми,
хотя бывают исключения (дефолт 1998 года в России). Купонная
облигация
обязывает
эмитента
выплачивать
с
определенной
периодичностью определенный процент от номинальной стоимости
облигации
вплоть
нарицательной)
до
срока
стоимостью
погашения.
называется
Номинальной
сумма,
(или
выплачиваемая
владельцу облигации при её погашении. Наиболее простым вариантом
является бескупонная облигация.
Пусть номинальная стоимость бескупонной облигации равна F
и погашение её производится через n лет. Если допустить, что
рыночная процентная ставка r не будет меняться в течение всех n лет,
то справедливая цена
P
такой облигации должна равняться
приведенной стоимости величины F :
P  PV ( F ) 
F
.
(1  r ) n
(1.16)
Если мы сможем купить облигации за другую сумму, то мы получим
возможность
«сделать
деньги
из
воздуха»,
или,
как
говорят
экономисты, получим возможность совершить «арбитражную» сделку.
Пусть, например, P  PV (F ) . Тогда, заняв P рублей под процентную
8
ставку r на n лет, мы сможем купить облигацию и через n лет
получим F рублей. Так как F  P(1  r ) n , мы сможем вернуть долг, и
оставшиеся деньги образуют доход. Аналогичное рассуждение можно
провести и для случая P  PV (F ) .
Рассмотрим случай купонной облигации. Купонная выплата
производится один или несколько раз в год и составляет определенный
процент от номинальной стоимости. Пусть годовая купонная выплата
равна C рублей, она выплачивается равными частями m раз в год.
Предположим, что мы можем реинвестировать эти купонные выплаты
по ставке
r
на один период (в году m периодов). Тогда стоимость
m
такой облигации определяется как приведенная стоимость платежного
потока, порождаемого облигацией:
n
P
k 1
C m
r

1  
 m
k

F
r

1  
 m
n





C
F
F

.
 1 
n
n
r  
r  
r
 1    1  
  m    m 
В этой формуле
n
(1.17)
обозначает полное количество периодов,
составляющих время жизни облигации.
Из (1.17) следует, что чем больше процентная ставка r , тем
меньше цена облигации. Легко видеть, что график зависимости цены
P от ставки r является выпуклой (вниз) кривой:
P
r
9
Рис.1.1
Свойство выпуклости говорит о том, что чем больше растут
процентные ставки, тем меньше снижается цена. Проиллюстрируем
последнее
утверждение на примере бескупонной облигации с
номиналом F и сроком погашения t лет. Без ограничения общности
будем считать, что годовая процентная ставка r начисляется один раз в
году. Цена такой облигации равна
P  (1  r ) t F .
Следовательно,
P
 t (1  r )  t 1 F .
r
При изменении ставки r на величину r изменение цены облигации
P приблизительно равно
P  t (1  r )
 t 1
Fr .
Относительное изменение цены
P
P

t
r .
1 r
(1.18)
Последнее соотношение показывает, что относительное изменение
цены облигации уменьшается с увеличением r и пропорционально
сроку погашения. Заметим, что облигации торгуются на вторичном
рынке. В течение срока погашения рыночная процентная ставка может
изменяться, что и приводит к изменению цены облигации на вторичном
рынке. Ясно, что процентные ставки, по которым могут оцениваться
облигации, привязаны к рыночной процентной ставке (в противном
случае возникают возможности более доходных инвестиций).
Из формулы (1.18) следует, что чем меньше срок погашения
облигации, тем менее она чувствительна к
риску изменения
процентной ставки.
Рассмотрим теперь обратную задачу. Предположим, что нам
удалось купить купонную облигацию по цене P . Спрашивается, какая
процентная ставка соответствует этой цене. Другими словами, мы
10
должны найти процентную ставку, при которой приведенная стоимость
всех выплат по данной облигации совпадает с ценой P . Фактически,
мы должны найти внутреннюю ставку доходности потока, в котором
первый платеж равен  P , а все остальные платежи задаются
купонными платежами и финансовым платежом, равным номиналу
облигации. Процентная ставка, удовлетворяющая этому условию,
называется доходностью при погашении. Чтобы отличать доходность
при погашении от других процентных ставок, будем обозначать её  .
Как внутренняя ставка доходности, она находится из уравнения
n
P
k 1
C m
 
1  
 m
k

F
 
1  
 m
n
.
(1.19)
В случае бескупонной облигации
 F 1 n 
  1 ,
 P 

  m 
в общем случае  находится численными методами.
Если мы купили облигацию по цене P , то доходность к
погашению  является фактической доходностью облигации, при
условии, что нам удается реинвестировать купоны по ставке  .
Заметим,
что
облигации
подвержены
риску
дефолта
и
классифицируются по степени надежности. Поэтому доходность к
погашению является доходностью облигации только при условии, что
дефолта не будет.
Несмотря на то, что явной функции для доходности к погашению
не существует, можно дать качественное описание зависимостей между
ценой, доходностью к погашению, сроком погашения. График
зависимости цены от доходности к погашению задается убывающей,
выпуклой (вниз) кривой. Ясно, что чем выше процент купонных
выплат, тем выше лежит соответствующая кривая.
Рассмотрим вопрос о том, как влияет на зависимость «цена –
доходность к погашению» срок погашения облигации. Пусть имеются
облигации с одним и тем же номиналом F , одинаковыми купонными
выплатами, но с разным сроком погашения. Заметим, что если процент
11
купонных выплат
C
совпадает с доходностью к погашению  , то
F
цена такой облигации равна




F
C
1
F
P

1

n
n




  
 1   
1  
 m
  m  
совпадает с номиналом и не зависит от срока к погашению. При 0-й
доходности к погашению цена облигации равна сумме номинала и всех
купонных выплат. Поэтому при   0 цена облигации тем меньше,
чем меньше срок погашения. Значит, кривые цена – доходность с
различным сроком погашения вращаются вокруг общей точки
пересечения, как это показано на рис.1.2.
P
T1
T1  T2
T2
F

C
F
Рис.1.2
Из рисунка видно, что чем больше срок погашения облигации, тем
«круче» падает кривая с ростом  . Это означает, что при прочих
равных условиях цены на облигации с большим сроком погашения
12
более
чувствительны
к
изменению
доходности
к
погашению.
Наблюдения показывают, что зависимость между сроком погашения и
доходностью к погашению в разное время может быть разной. Саму эту
зависимость называют временной структурой процентных ставок, а
график зависимости называют кривой доходности. Наиболее часто
кривая доходности является графиком возрастающей функции. Но
иногда кривая доходности задается графиком почти постоянной
функции или имеет локальный максимум (горб). Экономисты
придумывают различные объяснения той или иной временной
структуры процентных ставок. Например, теория ожиданий предлагает
считать, что доходность к погашению определяется ожиданиями
будущих краткосрочных процентных ставок. Пусть, например, текущая
процентная ставка по одногодичным облигациям равна
r1 , но
ожидается, что ставка по одногодичным облигациям в следующем году
будет равна r2 . Тогда при покупке сегодня двухгодичных облигаций
естественно рассчитывать на годовую доходность по ним r3 такую, что
(1  r3 ) 2  (1  r1 )(1  r2 ) .
Отсюда
r3  (1  r1 )(1  r2 )  1 
r1  r2
2
(при малых r1 и r2 ). Поэтому, если r2  r1 , то r3  r2 и кривая
доходности идет вверх. Существуют и другие теории, объясняющие
поведение кривой доходности.
1.3. Дюрация.
Пусть имеется платежный поток A  {a1 , t1 ;; a n , t n } . Полезным
является понятие дюрации D ( A) потока, которая определяется как
взвешенное среднее моментов выплат t1 ,, t n . В качестве весовых
коэффициентов выбираются нормированные приведенные стоимости
выплат a1 ,, a n :
13
D( A) 
где
n
1
 PV (ai ; t i )t i ,
PV ( A) i 1
(1.20)
PV (ai ; t i ) обозначает приведенную стоимость выплаты a i ,
произведенной в момент времени t i ,
n
PV ( A)   PV (ai ; t i ) .
i 1
Приведенная стоимость вычисляется по определенной процентной
ставке r , и, следовательно, дюрация D , вообще говоря, зависит от r .
Если
все
выплаты
положительны,
то
t1  D  t n .
Для
бескупонной облигации дюрация совпадает со сроком погашения.
Ясно, что дюрация является некоторой усредненной оценкой времени
жизни облигации, учитывающей одновременно размеры и времена
выплат.
В случае, когда платежный поток порождается облигацией, в
качестве процентной ставки r естественно выбрать доходность к
погашению. Если купонные выплаты производятся m раз в году,
полное количество периодов до погашения равно n , выплата в k -ый
период равна a k ,  - доходность к погашению, то дюрация D
вычисляется по формуле:
n
k 1
DMac 
ak
k
m
n

k 1


1  
 m .
ak
k


1  
 m
(1.21)
k
Такая дюрация называется дюрацией Маколея (Macaulay). Заметим, что
k
m
является моментом k -ой выплаты, выраженным в годовом
исчислении. Напомним, что  находится как внутренняя ставка
доходности потока ( P, a1 ,, a n ) , где P - цена облигации, т.е. как
решение уравнения:
14
n
P
k 1
ak
 
1  
 m
k
,
(1.22)
такое что 0    1 .
Дюрация является мерой чувствительности цены облигации к
изменению процентной ставки. Действительно, перепишем (1.22) как
n
P   Pk , Pk 
k 1
ak


1  
 m
k
.
(1.23)
Тогда
n
n
k mPk
dP
dP
1
  k  

DMac  P .
d k 1 d
1  m
k 1 1   m
Значит, относительное изменение цены облигации пропорционально
дюрации Маколея:
1 dP


P d
1
1
DMac .

m
Рассмотрим портфель из нескольких облигаций, Предположим,
что все они имеют одну и ту же доходность к погашению. Пусть Pi и
Di
обозначают цену и дюрацию (Маколея)
i -ой облигации,
i  1,, m . Введя фиктивные (нулевые) купонные выплаты по
некоторым облигациям, можно считать, что купонные выплаты по всем
облигациям производятся в одни и те же моменты времени и общее
количество выплат равно n . Тогда
Di 
1
Pi
n
t
k 1
k
Pi ,k ,
(1.24)
где Pi , k определяются по формуле (1.23). Из (1.24) следует, что
m
n
m
i 1
k 1
i 1
 Pi Di   t k  Pi ,k .
(1.25)
Портфель порождает общий платежный поток и его дюрация равна
DP 
m
1 n
t k  Pi ,k ,

P k 1 i 1
15
(1.26)
здесь P обозначает стоимость всего портфеля. Из (1.26) следует, что
DP 
m
1 m
P
D

 i Di ,
 i i 
P i 1
i 1
где  i  Pi P , i  1,, m .
16
Глава 2. Портфельные инвестиции
2.1. Доходность и риск портфеля
Пусть у вас имеется некоторый капитал, который вы хотели бы
инвестировать на определенный период времени. Вы можете купить
акции
различных
компаний,
облигации,
вложить
деньги
в
недвижимость или драгоценные металлы и т.д. В этой главе мы
рассмотрим основные математические модели теории портфельных
инвестиций.
Без ограничения общности будем считать, что у нас имеется
возможность купить акции n различных компаний. Предположим, что
стоимость акции i -ой компании в начале инвестиционного периода
равна c i , стоимость в конце периода равна c' i , а дивиденды, которые
выплатит компания за инвестиционный период, равны
доходностью этой инвестиции (покупки акции
d i . Тогда
i -ой компании)
называется величина
ri 
c ' i c i  d i
.
ci
(2.1)
В дальнейшем будем считать, что d i  0, i  1,, n . Пусть весь
инвестиционный капитал равен
k рублей, а в покупку акций i -ой
компании вы вложили k i рублей,
i  1,  , n . Обозначим долю
капитала , вложенную в акции i -ой компании
xi 
ki
, i  1,, n.
k
В результате вы получите портфель из различных акций, который
сам по себе может рассматриваться как актив и обладает своей
доходностью
rp . Легко показать, что доходность портфеля rp за
данный период равна
n
rp   xi ri .
i 1
17
(2.2)
В начале периода трудно предсказать доходность
i -ой акции,
поскольку неизвестна цена акций c' i в конце периода.
Пусть ri(t ) , t  1, , T - доходности
i -ой акции за различные
инвестиционные периоды. Эти доходности, как правило, являются
разными и походят на выборку наблюдений случайной величины.
Поэтому естественно предположить, что доходности
являются
случайными
характеристиками
величинами.
любой
случайной
ri , i  1,2,, n
Основными
величины
числовыми
являются
её
математическое ожидание (среднее значение) и дисперсия. Обозначим
математическое ожидание и дисперсию доходности ri через mi и  i2 :
mi  Mri ,  i2  Dri  M (ri  mi ) 2 .
Здесь M обозначает операцию математического ожидания. Конечно,
эту операцию можно вычислить, только если известно распределение
случайной величины.
Пусть, например, случайная величина ri является дискретной и
принимает значения a1(i ) ,, al(ii ) с вероятностями
P(ri  a k(i ) )  p k(i ) ,
k  1,, li .
Тогда среднее значение
li
mi  Mri   ak(i ) pk(i ) ,
k 1
дисперсия
li
  M (ri  mi )   (ak(i )  mi ) 2 pk(i ) .
2
i
2
k 1
Если распределение вероятностей неизвестно, то величины mi и  i2
могут быть определены с помощью математической статистики:
mi ~ ri 
 i2 ~ si2 
1 T (t )
 ri ,
T t 1
1 T (t )
(ri  ri ) 2 ,

T  1 t 1
18
ri(t ) , t  1, , T - статистика наблюдений доходности
ri
за
T
периодов.
В силу формулы (2.2) доходность портфеля также является
случайной
величиной.
Обозначим
математическое
ожидание
доходности портфеля через m p :
n
m p  Mr p   xi mi .
i 1
Вычислим дисперсию доходности портфеля:
2
n
 n

  Dr p  M (rp  m p )  M   xi ri   xi mi  
i 1
 i 1

2
p
2

 n
 n
 M   xi (ri  mi )   x j (r j  m j )  
 i 1
 j 1

n

 x x M (r  m )(r
i
i , j 1
j
i
i
j
 mj ) .
Напомним, что в теории вероятностей величина M ( ri  m j )( r j  m j )
называется ковариацией случайных величин ri и r j и обозначается
Cov( ri , r j ) . Для того, чтобы вычислить ковариацию, необходимо знать
совместное распределение величин
должны
знать
все
ri и
r j . Это означает, что мы
вероятности
вида
P(ri  ak(i ) , r j  as( j ) )  pk(i,,sj ) , k  1,, li , s  1,, l j . Тогда
Cov(ri , r j )  M (ri  mi )( r j  r j ) 
  (a k(i )  mi )( a s( j )  m j ) p k(i,,sj ) .
k ,s
В
дальнейшем
мы
будем
пользоваться
обозначением
Cov(ri , r j )  vij . Заметим, что vii   i2 . Если распределение величин
ri и r j явно неизвестно, то ковариация может быть оценена с помощью
статистики:
vij ~ vˆij 
1 T (t )
 (ri  ri )(r j(t )  r j ) .
T  1 t 1
19
Таким образом, произвольный портфель характеризуется своей
средней доходностью m p и дисперсией  p2 . Часто вместо дисперсии
используют
величину
p,
которая
называется
стандартным
отклонением.
2.2. Модель Марковица
Марковиц (Нобелевская премия по экономике 1990г.) в 1952 году
предложил следующее определение оптимального портфеля: портфель
с заданной ожидаемой доходностью m p называем оптимальным, если
среди всех портфелей с такой же ожидаемой доходностью он обладает
наименьшим риском.
Задача о нахождении оптимального (по Марковицу) портфеля в
математической форме имеет вид задачи на условный экстремум:
n
x
i 1
 1,
i
n
x m
i 1
i
n
x v
i , j 1
i ij
(2.3)
 mp ,
(2.4)
x j  min .
(2.5)
i
Предполагается, что доли x i могут принимать и отрицательные
значения. В случае, когда некоторые из переменных xi , i  1,, n
принимают отрицательные значения, говорят, что имеет место
ситуация «короткой продажи» («short sale»). Пусть, например, x1  0 .
Это означает, что вместо того, чтобы покупать акции 1-й компании, вы
берете их взаймы на весь инвестиционный период, возможно заплатив
несущественные комиссионные. Такая операция может совершаться в
том случае, когда вы предполагаете, что эти акции упадут в цене, в то
время как акции некоторых других компаний вырастут. Взяв взаймы
акции 1-й компании, вы тут же продаёте их и вкладываете полученные
средства в акции перспективных компаний. По окончании периода вы
20
используете часть полученного дохода на выкуп акций 1-й компании и
возвращаете их.
Заметим, что возможность взять акции взаймы бесплатно (или
почти бесплатно) существует не всегда. Тем не менее, теория
Марковица
не
налагает
никаких
ограничений
на
переменные
xi , i  1,, n . Отчасти это объясняется тем, что в этом случае задача
получает явное и простое аналитическое решение. Если «короткая
продажа» запрещена, то к уравнениям (2.3)-(2.5) надо добавить условие
xi  0,
i  1,, n .
Такая задача уже не имеет явного аналитического решения, но
решается с помощью методов численной оптимизации.
Прежде чем обсуждать решение задачи Марковица в общем
случае, рассмотрим портфели, состоящие только из двух акций.
Пусть имеются два типа акций с ожидаемыми доходностями m1 и
m2 , рисками  1 и  2 и матрицей ковариаций
  12
 1 2 
,
V 
2
  

 1 2 2 
где  - коэффициент корреляции между доходностями r1 и r2 . Тогда
ожидаемая доходность портфеля с долями x1 и x2  1  x1 равна
m p  x1 m1  (1  x1 )m2 ,
риск портфеля
 p  x12 12  x22 22  2 x1 x2  1  2 .
Рассмотрим несколько вариантов значений коэффициента корреляции
.
а)   1 .
Тогда
 p  ( x1 1  (1  x1 ) 2 ) 2  x1 1  (1  x2 ) 2 .
Изобразим множество всех возможных портфелей в плоскости
координат риск – ожидаемая доходность. Пусть для определенности
m1  m2 ,  1   2 . Легко видеть, что множество всех возможных
21
портфелей изобразится в виде луча, зеркально отраженного от оси
ординат. Точки 1 и 2 соответствуют портфелям, в которых все средства
вложены в 1-ую и 2-ую бумаги соответственно. Участок прямой между
точками 1 и 2 соответствует всем портфелям без «короткой продажи»,
пунктирные участки ломанной соответствуют портфелям с «короткой
продажей».
M (rp )
m2
1
m1
2
A
1
2
p
Рис.1
Видно, что портфель без «короткой продажи» с наименьшим риском
задается точкой 2. Если x1  
2
, то соответствующий портфель
1   2
имеет 0-й риск и задается точкой A .
б)   1 .
В этом случае
 p  x1 1  (1  x1 ) 2
и график имеет следующий вид
M (rp )
1
A
2
p
22
Рис.2
Портфель с 0-ым риском задается точкой A и задаётся долей
x1 
2
.
1   2
Так как 0  x1  1 , то в этом портфеле нет «короткой продажи».
в)  1    1.
В этом случае
 p2  x12 12  (1  x1 ) 2  22  2 x1 (1  x1 )  1 2 .
В этом случае кривая всех возможных портфелей на участке между
точками 1 и 2 напоминает параболу. Найдем минимум функции
 p2 ( x1 ) по x1 . Он достигается в точке
 22   1 2
x1  2
,
 1   22  2  1 2
и легко показать, что при

2
1
портфель с наименьшим риском A лежит на участке кривой между
точками 1 и 2 и следовательно в нем нет «короткой продажи»
M (rp )
1
A
2
p
Рис.3
23
Если  
2
, то портфель в точке 2 обладает наименьшим риском
1
среди портфелей без «коротких продаж».
Обсудим теперь решение задачи Марковица в общем случае.
Удобно переписать её в матричной форме. Введём следующие
обозначения: вектор-столбцы размера ( n  1)
 x1 
 
x    ,
x 
 n
 m1 
 
m    ,
m 
 n
1
 
I    ,
1
 
(2.6)
матрица ковариаций
  11  1n 


V  
 .
   
nn 
 n1
(2.7)
Мы будем решать задачу Марковица с помощью метода множителей
Лагранжа:
I T x  1,
mT x  m p ,
1 T
x Vx  min .
2
Здесь мы для удобства дальнейших выкладок ввели множитель
1
перед минимизируемой функцией. Функция Лагранжа запишется в
2
виде
F ( x; 1 ,  2 ) 
1 T
x Vx  1 ( I T x  1)  2 (m T x  m p ) .
2
Так как
 F

 x1
grad x F ( x; 1 , 2 )   

 F
 x
 n



  Vx   I   m ,
1
2




то условия на экстремум приводят к системе линейных уравнений:
24
Vx  1 I  2 m  0 ,
(2.8)
F
 I T x 1  0,
1
(2.9)
F
 mT x  m p  0 .
2
(2.10)
Предположим, что матрица ковариаций имеет обратную (это условие
почти всегда выполняется). Тогда из уравнения (2.8) следует
x  1V 1 I  2V 1m .
(2.11)
Подставляя это представление для x в уравнения (2.9) и (2.10) и
разрешая их относительно
1 и  2 , получаем из (2.11) следующий
ответ для оптимального портфеля:
xopt  m p a  b ,
где вектор-столбцы a и b имеют вид:
a
c0
c
V 1 I  2 1
V 1m ,
c  c1c2
c0  c1c2
b
c0
c
V 1m  2 2
V 1 I ,
c  c1c2
c0  c1c2
2
0
2
0
константы c0 , c1 , c 2 равны c0  I T V 1 m, c1  I T V 1 I , c 2  m T V 1 m .
Оптимальное решение x opt является линейной функцией от
ожидаемой доходности m p . Дисперсия полученного оптимального
портфеля равна
T
 p2  xopt
Vxopt  (m p a  b)T V (m p a  b) 
 m 2p a T Va  2m p a T Vb  bT Vb ,
и следовательно, квадратично зависит от ожидаемой доходности. В
силу положительной определенности матрицы ковариаций a T Va  0 .
Если нарисовать множество точек ( p2 , m p ) в плоскости дисперсия –
ожидаемая доходность (дисперсия играет роль абсциссы), то мы
получим параболу, «положенную» на бок. В финансовой литературе
принято рисовать это множество в координатах риск – ожидаемая
доходность. Следовательно, из параболы надо «извлечь корень». В
25
итоге график несколько деформируется, но сохранит форму «пули»,
называемой «пулей Марковица».
m
A
mp
O
B

p
Рис.4
Если в этой плоскости отметить точки, соответствующие акциям, то все
они окажутся внутри пули Марковица. Легко показать, что если акций
больше двух и матрица ковариаций невырождена, то множество всех
возможных портфелей заметает всю внутренность пули Марковица. У
этой фигуры есть вершина O , т.е. точка с наименьшим значением  .
Она соответствует портфелю с наименьшим риском. Для инвесторов
интерес представляет та часть кривой, которая лежит выше точки O .
Эта часть называется эффективной границей, Графически оптимальный
портфель, соответствующий ожидаемой доходности m p , задается
точкой пересечения A прямой m  m p с пулей Марковица. Если из
точки A опустить перпендикуляр к оси  , то он пересечет нижнюю
ветвь пули Марковица в точке B . Ясно, что портфель B имеет тот же
риск, что и портфель A , но меньшую ожидаемую доходность. Точки
на прямой
m  m p , лежащие правее точки
A , соответствуют
портфелям ожидаемой доходности m p , но эти портфели уже не
являются оптимальными.
26
2.3. Оптимальные портфели с безрисковой
бумагой
Дж.Тобин (Нобелевская премия 1981г.) рассмотрел обобщение
модели Марковица на тот случай, когда существует возможность
вложить деньги в бумагу с неслучайной доходностью r0 . Такая бумага
называется безрисковой. Например, вложить деньги в государственные
облигации (если не принимать во внимание риск дефолта всего
государства). Предполагается также возможность занимать такую
бумагу (короткая продажа).
Безрисковая бумага имеем ожидаемую доходность r0 и риск
  0 . Заметим, что анализ, проведенный в предыдущем параграфе,
некорректен в новой ситуации. Это видно хотя бы из того факта, что
ковариация безрисковой бумаги с любой рисковой бумагой равна 0:
Cov(r0 , ri )  M (r0  r0 )(ri  mi )  0,
i  0.
Следовательно, матрица ковариаций является вырожденной и не имеет
обратной.
Обозначим долю средств, вложенных в безрисковую бумагу,
через x 0 . Тогда, пользуясь обозначениями (2.6) – (2.7), можно записать
постановку задачи в виде:
x0  I T x  1 ,
(2.12)
r0  mT x  m p ,
(2.13)
1 T
x Vx  min .
2
(2.14)
Ясно, что наличие безрисковой бумаги не изменит дисперсию рисковой
части портфеля.
Проведем сначала геометрический анализ проблемы. Ясно, что
доля средств, вложенных во все рисковые бумаги, равна 1  x 0 . Введем
переменные
yi 
xi
,
1  x0
27
i  1,, n .
n
Так как
y
i 1
i
 1 , то весь портфель можно представить как портфель
из двух активов: безрисковой бумаги с долей x 0 и рискового актива с
долей 1  x 0 . Под рисковым активом мы понимаем портфель из
рисковых бумаг с долями
( y1 ,, y n ) .Рисковый актив имеет
ожидаемую доходность
n
m1   y i mi
i 1
и дисперсию
 12 
n
y y 
i , j 1
i
j
ij
.
Следовательно, весь портфель имеет ожидаемую доходность и риск
m0  x0 r0  (1  x0 )m1 ,
  1  x0  1 .
Пусть x0  1 . Тогда вектор ( , m) является линейной комбинацией
векторов (0, r0 ) и ( 1 , m1 ) , и когда x 0 пробегает луч от 1 до   ,
точка ( , m) пробегает луч, проходящий через точки (0, r0 ) и ( 1 , m1 ) .
Этот луч задается уравнением
m
m1  r0
1
  r0 .
(2.15)
Естественно считать, что m1  r0 (не имеет смысла вкладывать деньги
в портфель с ожидаемой доходностью, меньшей r0 ). Поэтому тангенс
угла наклона этого луча больше 0. Ясно, что портфели, лежащие на
прямой с большим углом наклона, предпочтительнее портфелей,
лежащих на прямой с меньшим углом наклона. Заметим, что точка
( 1 , m1 ) лежит на границе или внутри пули Марковица. Поэтому
оптимальные портфели лежат на прямой, проходящей через точку
(0, r0 ) и точку из пули Марковица и имеющую наибольший угол
наклона. Такая прямая является касательной прямой к пуле Марковица
(см. Рис.5).
28
m
M
( 1 , m1 )
r0

Рис.5
Точка касания M
определяется однозначно и задает некоторый
портфель, состоящий только из рисковых активов. Этот портфель
называется рыночным. Таким образом, любой эффективный портфель
лежит на луче, проходящем через точку A  (0, r0 ) и M  ( M , mM ) .
Здесь  M и mM - риск и ожидаемая доходность рыночного (market)
портфеля. Любой инвестор, использующий при выборе портфеля
подход Марковица, вкладывает деньги в безрисковую бумагу и в
портфель M . При этом доля безрисковой бумаги определяется
склонностью инвестора к риску. Чем больше требуемая доходность
портфеля m p , тем выше он расположен на линии и тем больше риск
p
этого портфеля (см. Рис.5). Доля средств, вложенных в
безрисковую бумагу, равна
x0 
BM
AM
,
доля средств, вложенных в портфель M , равна
1  x0 
AB
AM
и распределяется между рисковыми бумагами всегда в одной и той же
пропорции, задаваемой рыночным портфелем. Последнее утверждение
носит название теоремы об одном фонде. Если точка B лежит выше
точки M , то это означает короткую продажу (заем) безрисковой
бумаги.
29
В случае, когда x0  1 , вместо уравнения (2.15) мы получаем
уравнение
m
r0  m1
1
  r0 .
Это уравнение задает прямую с отрицательным тангенсом угла наклона
(т.к. m1  r0 ). Портфели, лежащие на этой прямой, также возможны, но
они не интересны для инвестора, поскольку их доходность меньше
безрисковой ставки r0 . Заметим, что также портфели возникают с
помощью короткой продажи портфеля ( 1 , m1 ) и вложения всех
полученных средств в безрисковый актив.
Приведем
теперь
аналитическое
решение
задачи
Тобина.
Используя соотношения (2.12) – (2.14), составим функцию Лагранжа:
F ( x0 , x; 1 , 2 ) 
1 T
x Vx  1 ( I T x  x0  1) 
2
 2 (mT x  r0 x0  m p ) .
Дифференцируя эту функцию по всем переменным и приравнивая
производные нулю, получаем уравнения
grad x F  Vx  1 I  2 m  0 ,
(2.15)
F
 1   2 r0  0 ,
x0
(2.16)
F
 I T x  x0  1  0 ,
1
(2.17)
F
 m T x  r0 x0  m p  0.
 2
(2.18)
Из (2.15), (2.16) и (2.17) следует, что
x   2V 1 ( Ir0  m) ,
(m  r0 I )T x  m p  r0 .
Отсюда получаем
2 
(m p  r0 )
(m  r0 I ) T V 1 (m  r0 I )
и, следовательно,
30
xopt 
(m p  r0 )
1
(m  r0 I ) V (m  r0 I )
T
V 1 (m  r0 I ).
(2.19)
Доля безрисковой бумаги в оптимальном портфеле равна
x0,opt  1  I T xopt .
Дисперсия оптимального портфеля равна
T
 p2  xopt
Vxopt 
2
m p  r0


 (m  r0 I ) T V 1VV 1 (m  r0 I ) 
 
T
1

 (m  r0 I ) V (m  r0 I ) 

(m p  r0 ) 2
(m  r0 I ) T V 1 (m  r0 I )
.
Пусть m p  r0 . Тогда
p 
m p  r0
(m  r0 I ) T V 1 (m  r0 I )
.
(2.20)
Из этого уравнения следует, что риск и ожидаемая доходность
находятся в линейной зависимости. При m p  r0 линия эффективных
портфелей проходит через точку (0, r0 ) . Найдем значение m p при
котором доля безрисковой бумаги равна 0, т.е. I T xopt  1 . При этом
значении ожидаемой доходности портфель будет лежать на пуле
Марковица и будет задавать точку касания линии (2.15) с эффективной
границей пули Марковица, т.е. будет являться рыночным портфелем.
Из формулы (2.20) следует, что
m p  mM  r0 
(m  r0 I ) T V 1(m  r0 I )
.
I T V 1(m  r0 I )
Риск этого портфеля равен
 p M 
(m  r0 I ) T V 1 (m  r0 I )
I T V 1 (m  r0 I )
.
Заметим, наконец, что структура рисковой части портфеля при любом
значении ожидаемой доходности m p не зависит от этой доходности
31
(теорема одного капиталовложения). Действительно, доля i -ой бумаги
в общей массе средств, инвестированных в рисковые бумаги, равна
xi ,opt
n
x
j 1

V 1 (m  r0 I )
.
I T V 1 (m  r0 I )
j ,opt
Линию, соединяющую точку A  (0, r0 ) с точкой M  ( M , mM )
называют линией рынка капиталов. Уравнение этой прямой имеет вид
m  r0 
Величину
mM  r0
M
mM  r0
M
.
называют ценой риска, поскольку увеличение
риска на 1 приводит к увеличению ожидаемой доходности портфеля
именно на эту величину.
2.4. Ценовая модель рынка капитала
Теория Марковица послужила отправной точкой для создания
ценовой модели рынка капитала. На английском языке эту модель
обозначают аббревиатурой САРМ (Capital Asset Pricing Model).
Основной вклад в развитие теории САРМ внесли У.Шарп (Нобелевская
премия по экономике 1990 г.), Линтнер и Моссин (Sharpe, Lintner,
Mossin).
С помощью этой идеализированной модели устанавливают
взаимосвязь между риском и ожидаемой доходностью актива и
определяют равновесную, безарбитражную цену рискового актива.
Представим себе следующую крайне идеализированную картину
глобального финансового рынка. Пусть все инвесторы планируют свои
портфели на один период, исходя из критерия Марковица рискаожидаемой доходности. При этом все они обладают одинаковой и
полной
информацией
о
всех
статистических
характеристиках
финансовых активов и имеют возможность получать займы и брать
кредиты по одной и той же безрисковой ставке. При
этом все
инвесторы не платят налогов, комиссионных, не имеют инсайдерской
32
информации и т.д. Различие между инвесторами проявляется только в
их отношении к риску, т.е. в том, какая ожидаемая доходность и риск
их устраивает.
Поскольку оценки средних доходностей и матрицы ковариаций у
всех инвесторов приблизительно одни и те же, то по теореме об одном
фонде они будут стремиться иметь портфели с одной и той же
структурой рисковой части. Если спрос не будет соответствовать
предложению, то начнется движение цен. Изменение цен может
привести к переоценке всей статистической информации, и изменению
желаемых пропорций в портфеле. Но мы сделаем эвристическое
предложение о том что в конце концов весь этот процесс приведет к
равновесному состоянию рынка ценных бумаг, в котором спрос будет
равен предложению. В такой ситуации все акции всех компаний
находятся в руках тех или иных инвесторов, причем в одной и той же
пропорции. Пусть всего компаний N , цена акций i -ой компании равна
N
ci , а их количество ni . Тогда капитализация всех акций равна
c n
j 1
j
j
,
а вес капитализации i -ой компании равен
c i ni
xi 
.
N
c n
j
j 1
(2.21)
j
Теорема одного капиталовложения утверждает, что у всех инвесторов
доля акций i -ой компании одна и та же и допустим, равна yi .
Пусть капитал l -го инвестора равен k l , l  1,, m . Значит,
m
стоимость всех акций i -ой компании равна
yk
l 1
доля i -ой акции в общей капитализации равна
m
xi 
y k
l 1
m
i
k
l 1
33
l
l
 yi .
i
l
, и, следовательно,
Таким образом, мы можем узнать структуру рыночного портфеля,
пользуясь формулой (2.21), и не прибегать к расчетам, приведенным в
предыдущем параграфе.
Для любой акции i определим  -коэффициент
i 
где rM
Cov(ri , rM )
 M2
,
- доходность рыночного портфеля. Если у нас имеется
портфель, в котором i -ая бумага имеет долю x i , то  - коэффициент
портфеля определяется как
p 
Cov(rp , rM )
 M2
n
  xi  i .
(2.22)
i 1
Основное утверждение САРМ-теории формулируется следующим
образом:
Теорема. Для любой акции i
mi  r0   i (mM  r0 ) .
Другими
словами,
премия
за
риск
i -ой
(2.23)
ценной
бумаги
пропорциональна премии за риск рыночного портфеля.
Доказательство. Рассмотрим портфель, в котором доля x вложения в
i -ую бумагу, а доля (1  x) вложена в рыночный портфель M . При
изменении x мы получаем кривую портфелей ( ( x), m( x)) , где
 ( x)  x 2 i2  (1  x) 2  M2  2 x(1  x) i ,M ,
(2.24)
m( x)  xmi  (1  x)mM ,
i
и
mi
-
риск
и
ожидаемая
доходность
(2.25)
i -ой
бумаги,
 i , M  Cov(ri , rM ) . Эта кривая проходит через точку M при x  0 и
через точку B  ( i , mi ) при x  1 (Рис.6). Следовательно, она
касается линии рынка капиталов в точке M . Значит, при x  0
производная
dm( x)
совпадает с коэффициентом наклона линии рынка
d ( x)
капиталов:
34
dm( x)
d ( x)
m
x 0

mM  r0
M
.
(2.26)
M
B
A
Рис.6

Используем формулу
dm( x) dm( x) dx

.
d ( x) d ( x) dx
Из (2.24), (2.25) находим
mi  mM
dm( x) dx

.
d ( x) dx ( i , M   M2 )  M
Наконец, из (2.26) получаем
mi  mM
m r
 M 0,
2
M
( i , M   M )  M
откуда и следует формула (2.23).
Используя линейность операции ковариации, легко показать, что
формула (2.23) распространяется на любой портфель p :
m p  r0   p (m M  r0 ) .
Если рисковый актив не коррелирует с рыночным портфелем, то его
 -коэффициент равен 0 и ожидаемая доходность совпадает с
безрисковой.
35
При  p  1 (  p  1) премия за риск портфеля
p больше
(меньше) премии за риск рыночного портфеля, при  p  1 премии
совпадают.
Пусть ri - доходность i -ой бумаги, rM - доходность рыночного
портфеля. Запишем соотношение
ri  r0   i (rM  r0 )   i ,
где случайная ошибка  i  ri  r0   i (rM  r0 ) . Тогда из САРМформулы следует, что среднее значение ошибки равно 0: M i  0 .
Покажем, что Cov( i , rM )  0 :
Cov( i , rM )  Cov(ri  r0   i (rM  r0 ), rM ) 
 Cov(ri , rM )   i Cov(rM  r0 , rM )   i , M 
 i,M
  M2  0 .
2
M
Следовательно, дисперсия i -ой бумаги
 i2  D(r0   i (rM  r0 )   i )   i2 M2  D i
(2.27)
Первое слагаемое  i2 M2 называется систематическим или рыночным
риском i -ой бумаги, второе, D i - несистематическим риском. Первый
риск порождается случайными колебаниями всего рынка в целом, а
второй определяется спецификой самой i -ой бумаги. Точно такая
формула () справедлива для произвольного портфеля. Можно показать,
что несистематический риск портфеля может быть сделан очень малым
с помощью процедуры диверсификации, в то время как от
систематического риска в общей ситуации нельзя избавиться.
Отобразим портфели в плоскости (  , m)
m
M
p
r0
p

1
36
Рис. 7
Пусть портфель p лежит на линии рынка капиталов (см.Рис.5) и
имеет коэффициент  p . Из формулы линии рынка капиталов следует,
что
p 
m p  r0
mM  r0
M .
В силу САРМ-формулы для портфеля p :
m p  r0   p (m M  r0 ) .
Отсюда следует, что  p   p M . Значит, для таких портфелей
несистематический риск равен 0. Линия рынков капиталов отобразится
в плоскости (  , m) линией, которая называется линией рынка ценных
бумаг.
2.5. Стратегия Келли
В этом параграфе мы рассмотрим задачу о выборе такого
портфеля, который бы обеспечил наибольший ( в среднем ) рост на
протяжении большого количества периодов.
Предположим, что мы можем инвестировать начальный капитал
C0 в инвестиционный проект, который увеличит или уменьшит его за
период в R1 раз:
C1  R1 C0 .
Предполагая, что мы инвестируем капитал в этот проект на
протяжении
некоторого
количества
периодов,
мы
напишем
соотношение
Ck  Rk Ck 1 ,
k  1,2, .
Заметим, что Rk  1  rk , где rk обозначает доходность инвестиции
за
k -ый период. Предположим, что
Rk
являются независимыми
одинаково-распределенными случайными величинами.
37
Логарифмируя соотношение
An  Rn Rn1  R1 A0 ,
мы получаем
A
ln  n
 A0
 n
   ln Rk ,
 k 1
или
A
ln  n
 A0



1
n

1 n
 ln Rk .
n k 1
По закону больших чисел
1 n
m ,
 ln Rk n

n k 1
но вероятности где
m  M (ln Rk ) , k  1,, n . Сходимость здесь
понимается как сходимость по вероятности, или, в усиленном варианте,
как сходимость с вероятностью 1.
Огрубляя это утверждение, мы можем считать, что при
достаточно больших n
 An

 A0
1



n
 em .
Следовательно, из двух инвестиционных проектов наибольший ( в
среднем ) прирост капитала за один период обеспечит тот проект, у
которого больше значение m  M ( ln R ) .
Рассмотрим N акций, доходности которых за k -ый период
обозначим ri k , i  1,2, , N , k  1, , n . Предположим, что
величины ri k , k  1,2,  , n независимы и одинаково распределены.
Пусть x1 , , x n - доли бумаг в портфеле. Если обозначить стоимость
портфеля в конце k -го периода через Ak , то можно утверждать, что
Ak  Rk Ak 1 ,
k  1,2,, n ,
где
N
Rk   xi Rik ,
i 1
38
Rik  1  ri k .
Здесь мы предполагаем, что доли бумаг не меняются от периода к
периоду.
В
силу
вышесказанного
величины
Rk
являются
независимыми, одинаково-распределенными случайными величинами.
Тогда, следуя выводу Келли, наибольший рост портфеля будет
происходить в том случае, когда величина
 N

M ( ln R1 )  M   xi Ri1 
 i 1

достигает максимума.
39
Глава 3. Производные ценные бумаги
3.1. Фьючерсные и опционные контракты
Форвардные, фьючерсные и опционные контракты называются
производными ценными бумагами. Последнее означает, что цены этих
бумаг и доходы от них зависят (производятся) от цен на основные
(базовые) активы – товары, акции, облигации.
Исторически
первыми
появились
форвардные
контракты.
Форвардным контрактом называется договор между двумя сторонами о
поставке определенного товара в определенный момент времени в
будущем по согласованной в настоящий момент цене. Такой договор
используется обеими сторонами для того, чтобы избавиться от риска
изменения цены товара в неблагоприятную сторону. Например,
производитель зерна опасается, что по ряду причин цены на зерно
будущего урожая упадут ниже приемлемого уровня. В то же время,
владелец хлебозавода опасается того, что цены на зерно вырастут.
Поэтому
производитель
зерна
договаривается
с
владельцем
хлебозавода о поставке определенного количества зерна к заданному
сроку по заранее фиксированной цене. Эта заранее установленная цена
называется форвардной. Говорят, что сторона, желающая купить товар,
занимает длинную позицию, а сторона, продающая товар, занимает
короткую позицию. Заметим, что в момент заключения форвардного
контракта покупатель ничего не платит продавцу. В частности,
поэтому, несмотря на договор, может возникнуть ситуация, когда одна
из сторон захочет нарушать его. Например, цены на зерно могут
вырасти настолько, что продавец откажется продавать его по
форвардной цене. Другой недостаток форвардных сделок состоит в
том, что покупатель сам должен искать продавца.
Фьючерсный контракт может рассматриваться как наиболее
совершенная форма форвардного контракта. Во-первых, торговля
фьючерсными контрактами производится на биржах, причем биржа
берет на себя роль посредника между покупателем и продавцом. Вовторых, условия фьючерсных контрактов (количество и качество
40
товара,
дата
поставки)
стандартизованы.
Механизм
торговли
фьючерсными контрактами делает их ликвидными и не допускает того,
чтобы контракты оказались невыполненными.
Пусть инвестор A хочет приобрести фьючерсный контракт, а
инвестор B - продать его. Каждый из них связывается со своим
брокером из фьючерсной биржи и обговаривает с ним возможные
условия контракта. После этого брокеры ищут друг друга и если они
договариваются между собой, то договор регистрируется в расчетной
(клиринговой)
палате.
Теперь
клиринговая
палата
становится
продавцом фьючерсного контракта для покупателя A и покупателем
фьючерсного контракта для продавца B . При этом лица A и B , как
правило, не знают друг друга.
Чтобы избежать риска невыполнения контракта, клиринговая
палата требует от клиентов открытия специальных счетов в брокерской
фирме.
Продавец
первоначальную
и
покупатель
сумму
(маржу),
вносят
в
которая
количестве
залога
называется
также
операционной маржей. Эта сумма составляет небольшой процент от
цены фьючерсного контракта, а также может являться величиной, не
зависящей от цены фьючерсного контракта.
Далее начинается ежедневное отслеживание цен на этот тип
фьючерсных контрактов и перераспределение средств на счетах
покупателя и продавца. Эта процедура называется клирингом.
Пусть, например, фьючерсный контракт был куплен по цене F0 ,
но на следующий день его цена стала равной F1 . Пусть для
определенности F1  F0 . Это означает, что покупатель контракта
фактически получил доход F1  F0 (ведь он может продать контракт и
тем самым закрыть свою позицию). Если размер внесенной маржи
равен a рублей, то к концу 2-го дня на маржинальном счету
покупателя будет (a  F1  F0 ) рублей. На счету продавца будет
(a  ( F1  F0 )) рублей, поскольку продавец потерял ( F1  F0 ) рублей.
Фактически клиринговая палата заменяет фьючерсный контракт на
новый, цена которого объявляется равной F1 рублей. Если на второй
41
день цена контракта изменяется, то опять происходит перенос средств
со счета проигравшей стороны на счет выигравшей стороны. Если
величина маржинального счета превышает величину операционной
маржи a , то владелец счета может снять избыточную сумму и
использовать по своему усмотрению. Если же величина маржинального
счета опускается до некоторого критического значения b (обычно это
значение составляет 75% от величины операционной маржи), то
инвестор должен дополнить свой счет до первоначального значения a .
Величина b называется вариационной маржей. Если инвестор не
выполняет этого требования, то брокер закрывает его позицию с
помощью противоположной сделки за счет инвестора. Например, если
у продавца фьючерса остается на счету сумма c  b и он откажется
пополнить ее до суммы a , то брокер выкупит у продавца фьючерсный
контракт, оставив последнему сумму c . При этом продавец фьючерса
потеряет величину
a  c (поскольку его первоначальный взнос
равняется a ), а его счет будет закрыт.
Цена фьючерсного контракта меняется в течении срока своей
жизни, но в момент даты поставки T она должна совпадать с текущей
ценой PT (спот-ценой) на этот товар: FT  PT . В противном случае
возникает возможность арбитражной сделки. Если контракт доживет до
момента T , то его получит товар по цене FT  PT . Поскольку фьючерс
был куплен по цене F1 , то покупатель фактически получит доход (или
убыток) FT  F0  PT  F0 (товар может быть сразу же реализован по
цене
PT ). В некоторых фьючерсных контрактах предусмотрена
возможность получения вместо товара денежной суммы FT  F1 . При
этом маржевая сумма также возвращается инвестору. На практике
только небольшая часть фьючерсных контрактов доживет до срока
поставки. Часто фьючерсные контракты покупаются не с целью
получения товара или финансового актива, а с целью спекуляции.
Поэтому если инвестор захочет продать фьючерсный контракт, то
клиринговая палата обязана его купить по текущей цене. В этом случае
говорят, что инвестор закрыл свою длинную позицию.
42
Опционом называется такой контракт, который позволяет его
покупателю право купить или продать некоторый базовый актив в
некоторый будущий момент времени по заранее определенной цене
(цена исполнения опциона). В качестве базового актива могут
выступать товары, акции, облигации. Сам опцион является, таким
образом, производной ценной бумагой. Опцион на покупку называется
«колл»-опционом, опцион на продажу – «пут»-опционом.
Если
опцион
может
быть
исполнен
только
в
заранее
определенный момент времени T , то он называется опционом
Европейского типа. Если же опцион может быть исполнен в любой
момент времени до определенного значения
T , то он называется
опционом Американского типа.
Пусть у нас имеется опцион-«колл» Европейского типа на акцию.
Обозначим цену акции в момент времени
t через
S t , цену
исполнения опциона через K , момент исполнения опциона - T . Нам
будет выгодно исполнить опцион только в случае, если ST  K ,
поскольку купив акцию по цене K и тут же продав её по рыночной
цене S T , мы получим доход ST  K . В случае ST  K мы просто не
будем исполнять опцион. Ясно, что такая ценная бумага не может
достаться нам бесплатно. Цена, которую мы должны заплатить
продавцу опциона, называется ещё премией.
3.2. Биномиальная модель оценки опционов.
Существует простая дискретная математическая модель для
оценивания опционов, предложенная
Cox Ross and Rubinstein. Мы
рассмотрим её на примере Европейского опциона-«колл».
Пусть время меняется дискретно: t  0 ,1, , T . Предположим
что безрисковая процентная ставка
r является неизменной на
протяжении времени от 0 до T . Основное наложение модели состоит
в том, что цена акции в момент времени t
43
S t в момент времени t  1
может подняться до значения S t 1  u S t или опуститься до значения
S t 1  d S t . Предполагается, что константы u и d удовлетворяют
соотношениям d  1  1  r  u . Легко видеть, что если 1  r  u , то
выгодно просто купить безрисковый актив, а если
d  1  r , то не
имеет смысла инвестировать в безрисковый актив.
Обозначим цену опциона-«колл» в момент t  0 через C0 . Если
цена акции в момент t  1 поднимется, то владелец опциона при его
исполнении получит доход
C1  C (n)  (u S 0  K )  ,
а если
опустится, то он получит доход C1  C (d )  (d S 0  K )  . Чтобы
оценить величину
C0 , сконструируем портфель из акции
и
безрискового актива (облигации), финансовый поток которого в
момент t  1 совпадает с потоком от нашего опциона-«колл». Пусть
портфель состоит из
a акций и
b рублей, положенных на
безрисковый банковский счет. Его стоимость в момент
a S 0  b , а в момент
t  1 равна
a S1  b(1  r ) .
t  0 равна
Получаем
соотношения:
a u S 0  b(1  r )  C (u ) ,
a d S 0  b(1  r )  C (d )
Отсюда находим
a
b
C (u )  C (d )
,
S 0 (u  d )
u C (d )  d C (u )
.
(1  r )(u  d )
Справедливо считать, что стоимость опциона в момент
t 0
совпадает со стоимостью портфеля в этот же момент:
C0  a S 0  b 
C (u )  C (d ) u C (d )  d C (u )

.
ud
(1  r )(u  d )
44
(3.1)
Заметим,
что
в
этом
выводе
мы
не
использовали
никаких
вероятностных суждений. Но заметим, что соотношение (3.1) можно
переписать в следующем виде:
C0 
где
p0 
p0 C (u)  (1  p0 )C (d )
,
1 r
1 r  d
.
ud
Так как u  1  r , то легко видеть, что 0  p0  1 . Тогда
величину
C0
можно трактовать как дисконтированное среднее
C1  ( S1  K )  , которая принимает
значение случайной величины
значение ( S 0 u  K )  с вероятностью p 0 и значение ( S 0 d  K )  с
вероятностью 1  p0 :
C0 
M (C1 )
.
1 r
Искусственно введенная вероятность p 0 называется риск-нейтральной
вероятностью.
Мы
могли
бы
предположить, что
поднимается вверх с некоторой вероятностью
акции
p и опускается вниз с
вероятностью 1  p . Риск-нейтральная вероятность
как единственное значение
цена
p 0 выделяется
p , при котором цена акции в среднем не
меняется при условии, что в момент t  0 она равнялась S 0 . Чтобы
придать этому утверждению точный смысл, напомним определение
условного математического ожидания для дискретных случайных
величин.
( , , P ) - некоторое вероятностное пространство,  -
Пусть
пространство элементарных событий,  - алгебра событий,
вероятность. Рассмотрим группу событий
A1 ,, An ,
P -
образующую
разбиение пространства  :
A1    An   ,
Пусть
'
A1 ,, An .
-
подалгебра
P( Ai )  0 , i  1,, n .
событий,
порожденная
разбиением
Тогда для любого события B   условная вероятность
45
PB | '
определяется как случайная величина
и принимающая
значение PB | Ai  при   Ai . Тогда формулу полной вероятности
n
P( B)   P( Ai ) P( B | Ai )
i 1
можно переписать как
P( B)  MP ( B | ' ) .
Если дана дискретная случайная величина  , принимающая значения
a1 ,, a n . События Ai    ai , i  1,, n порождают подалгебру
событий ( ) . Тогда условная вероятность события B относительно
величины  определяется как
P( B |  )  PB | ( ) .
 принимает значения
Пусть дискретная случайная величина
 при заданном
b1 ,, bm . Условным законом распределения
значении
  ai
P(  b j |   ai ) ,
называется
j  1,  , m ,
набор
условных
вероятностей
а условным математическим
ожиданием  при заданном значении   ai является сумма
M  |   ai    b j P  b j |   ai .
m
j 1
Наконец, условное математическое ожидание M ( |  ) определяется
как случайная величина, принимающая значения M ( |   ai ) при
  ai . Заметим, что случайная величина
M ( |  ) является
функцией от случайной величины  . Одним из важных свойств этого
определения является равенство
M M ( |  )  M .
Вернемся к обсуждению понятия риск-нейтральной
вероятности.
Пусть
P( S1  u S 0 )  p, P( S1  d S 0 )  1  p .
является константой, то
M ( S1 | S 0 )  p u S 0  (1  p) d S 0 .
46
Т.к.
S0
Легко проверить, что при p  p 0 
1 r  d
ud
M ( S1 | S 0 )
 S0 .
1 r
Можно
сказать,
что
в
случае
риск-нейтральной
вероятности
дисконтированное среднее значение цены акции в момент
t 1
совпадает с начальной ценой S 0 .
Рассмотрим теперь процесс эволюции цены акции на всем
временном промежутке. Пусть
S t 1  d S t с вероятностью
S t 1  u S t с вероятностью
p0 и
1  p0 . Последовательность случайных
величин S t , t  0 ,1, 2 , образует марковский случайный процесс и
легко видеть, что
M ( S t 1 | S t )
St

,
t 1
(1  r )
(1  r ) t
t  0.
В теории вероятностей случайный процесс
(3.2)
 t , t  0 , 1, 2 ,  ,
удовлетворяющий условию
M ( t 1 |  0 ,,  t )   t ,
t  0,
(3.3)
называется мартингалом. Понятие мартингала моделирует понятие
справедливой игры. Если вы играете в азартную игру и S t обозначает
ваш выигрыш после
t -ой игры, то условие (3.3) означает, что в
среднем вы не выигрываете и не проигрываете в каждой игре. Из (3.3)
следует, что
M t  M 0 , т.е. средний выигрыш в любой момент
времени совпадает с начальным капиталом.
Таким
образом,
соотношение
последовательность величин (1  r )  t S t ,
(3.2)
означает,
что
t  0 образует мартингал.
В частности,
M St
 M S0  S0 ,
(1  r ) t
т.е. современная стоимость среднего значения цены акции в любой
момент времени совпадает с начальной ценой акции.
47
Рассмотрим теперь задачу оценки Европейского опциона-«колл»
с датой погашения T  2 в условиях биномиальной модели. Чтобы
сделать это, мы будем анализировать стоимость опциона, двигаясь
обратно во времени от t  2 до t  0 . Выплаты от опциона в момент
t  2 равны
C2,u u  (u 2 S 0  K )  , C2,u d  (u d S 0  K )  , C2,dd  (d 2 S 0  K )  .
Обозначим C1,u (C1, d ) цену опциона в момент t  1 при условии, что
цена акции в момент t  1 достигла значения
Если
S1  u S 0 , то в момент
C 2 ,u u или
S1  u S 0 ( S1  d S 0 ) .
t  2 выплаты от опциона составят
C 2,u d . Следовательно, воспроизведя рассуждение с
реплицирующим портфелем для 1-периодной модели, мы можем
написать соотношение:
C1,u 
p0 C 2,u u  (1  p0 )C 2,u d
1 r
.
(3.4)
.
(3.5)
Аналогично
C1,d 
p0 C 2,u d  (1  p0 )C 2,dd
1 r
C 2,ud  C 2,du , где
Заметим, что
p 0 является риск-нейтральной
вероятностью ().
Теперь переходим от момента
стоимости опциона
C1,u и
t  1 к моменту
t  0 . Зная
C 2,u , и повторяя рассуждение с
реплицирующим портфелем, получаем
C0 
p0 C1,u  (1  p0 )C1,d
1 r
.
Подставляя в эту формулу значения для C1,u и C 2,u из (3.4) и (3.5),
окончательно получаем:
C0 
p 02 C 2,uu  2 p 0 (1  p 0 )C 2,ud  (1  p 0 ) 2 C 2,dd
(1  r ) 2
48
.
(3.6)
Если обозначить выплату по опциону в момент t  2 как случайную
величину C2 , то мы можем переписать (3.6) в виде:
M C2
.
(1  r ) 2
C0 
Используя математическую индукцию, можно вывести общую
формулу для цены опциона, который используется в момент T :
C0 
M CT
1

T
(1  r )
(1  r ) T
T
C
t
T
t 0
p0t (1  p0 ) T t (u t d T t S 0  K )  .
Обозначим через t 0 наименьшее целое такое, что
u t0 d T t0 S (0)  K .
Тогда формулу () можно переписать как
C0 
1
(1  r ) T
T
C
t t 0
t
T
p0t (1  p0 ) T t (u t d T t0 S (0)  K )  aS (0)  b ,
где
a
1
(1  r ) T
b
T
C
t t 0
K
(1  r ) T
t
T
( p0 u ) t (1  p 0 ) d 
T t
T
C
t t 0
t
T
,
p0t (1  p 0 ) T t .
Таким образом, реплицирующий портфель состоит из a акций и b
безрисковых бумаг.
Обсудим теперь, как можно оценить в рамках биномиальной
модели опцион Американского типа. Предположим, что выплаты по
опциону (колл или пут) обозначены
исполняется в момент
момент
f S (t ) ,
если опцион
t  [0, T ] . Обозначим его стоимость в этот
C A (t ) . Чтобы оценить стоимость в момент
i  0 , будем
рассуждать от конца к началу. Ясно, что
C A (T )  f S (T )  .
Если опцион будет исполнен в момент (T  1) , то выплаты по нему
составят
f S (T  1) . Если же исполнение опциона будет отложено
на один шаг (т.е. до момента
T ), то его можно рассматривать как
49
опцион Европейского типа. Значит, по ранее разработанной теории, его
стоимость в момент (T  1) будет равна
p0 f S (T  1)u  (1  p0 ) f S (T  1)  d
.
1 r
Значит, владелец опциона Американского типа в момент
(T  1)
должен выбрать большую из этих величин. Обозначим
fT 1 S (T  1) 
p f S (T  1) u  (1  p0 ) f S (T  1)  d 

 max  f S (T  1) , 0
.
1 r


Стоимость опциона в момент (T  1) будет равна
C A (T  1)  f T 1 S (T  1)  .
Рассуждая аналогично при переходе от
(T  1) к
(T  2) , мы
определим величину
fT 2 S (T  2) 
p f S (T  2) u  (1  p0 ) f T 1 S (T  2)  d 

 max  f S (T  2) , 0 T 1
,
1 r


которая будет определять стоимость опциона
эта стоимость будет зависеть от значения
C A (T  2) . (Конечно,
S (T  2) , т.е. от того
сценария, по которому будет изменяться цена опциона).
Интегрируя это рассуждение (T  1) раз, мы получаем
p f S (0) u  (1  p0 ) f1 S (0)  d 

C A (0)  max  f S (0) , 0 1
.
1 r


3.3 Броуновское движение.
В биномиальной модели предполагалось, что цена акции за
каждый шаг времени идет вверх с вероятностью
вероятностью
p или вниз с
q  (1  p ) . В теории вероятностей такого рода
процессы называются случайными блужданиями. При правильном
сконструированном
предельном
переходе
случайные
блуждания
приводят к понятию случайного процесса броуновского движения (или
50
винеровского процесса). В этом параграфе мы обсудим эти вопросы и
их связь с задачей оценивания опционов.
Пусть 1 , 2 ,, n , - независимые случайные величины,
P( i  1)  P( i  1)  1 . Симметричное случайное блуждание
2
определяется как
n
S ( n )   i ,
S (0)  0 .
i 1
Мы можем трактовать величину
S (n ) как координату частицы,
случайно блуждающей по целочисленной решетке в момент n . Ясно,
что
M S ( n)  0 ,
D S ( n)  n .
Предположим теперь, что временной шаг блуждания уменьшается в N
N раз. Пусть t 
раз, а пространственный шаг – в
n
. Тогда в
N
момент t положение частицы будет задаваться координатой
WN (t ) 
1
N
n

i 1
i

Nt
1

N
i 1
i
.
Будем считать время t произвольным положительным числом. Если
t
n
, то доопределим случайный процесс W N (t ) как
N
W N (t ) 
1
N
Nt

i 1
i
,
где [x ] обозначает наибольшее целое число, не превосходящее x .
Рассмотрим свойства предельного случайного процесса
W (t ) ,
который получается из процесса W N (t ) при N   . (Не обсуждая
строгого математического доказательства существования предела.) Вопервых, в силу центральной предельной теоремы
1
Nt

Nt
i 1
D
i
 N (0,1) .
N 
Здесь N (0,1) обозначает стандартное гауссовское распределение, а
сходимость понимается по распределению:
51
 1
P
 Nt

 i  x   ( x) 

i 1
 N 
Nt
1
2
x
e
 y2 2
dy .

Отсюда
 1
WN (t )  t 
 Nt
Nt
 i   N (0, t ) .

i 1
 N 
W N (t )  W N ( s ) 
1
D
Так как
N
Nt

i  Ns
i
s  t,
,
то распределение случайной величины приращения
WN (t )  WN ( s)
однозначно определяется длиной интервала t  s . Кроме того, если
имеется два не перекрывающихся временных интервала
(t1 , t 2 ] и
(t 3 , t 4 ] , то приращения
W N (t 2 )  W N (t1 ) 
1
W N (t 4 )  W N (t 3 ) 
1
N
Nt 2

i  Nt1
i
и
N
Nt 4

i  Nt 3
i
являются независимыми случайными величинами. Из этих же формул
видно приращение
WN (t )  WN ( s) в пределе имеет нормальное
распределение N (0, t  s ) .
Ясно,
что
всеми
этими
свойствами
должен
обладать
и
предельный процесс
W (t )  lim W N (t ) .
N 
Кажется правдоподобным, что траектории случайного процесса
W ( w; t ) должны быть непрерывными по t . На самом деле, можно
доказать, что почти все (т.е. с вероятностью 1) траектории
непрерывного процесса W (t ) являются непрерывными, но нигде не
дифференцируемыми. Формальное определение случайного процесса
52
броуновского движения следующее. Случайный процесс W (t ), t  0
называется стандартным броуновским движением, если
1) W (0)  0
2)
Для любых
s и t, 0  s  t
величина
W (t )  W ( s ) имеет
гауссовское распределение N (0, t  s )
3)
W (t ) имеет
0  t1  t 2  t 3  t 4
независимые
случайные
приращения:
величины
для
любых
W (t 2 )  W (t1 )
и
W (t 4 )  W (t 3 ) являются независимыми.
Если
произвести
линейное
преобразование
стандартного
броуновского движения вида
X (t )   W (t )   t ,
то мы получаем так называемое броуновское движение со сносом  и
2.
дисперсией
st
Легко

видеть,

что
X (t )  X (s) ~ N  (t  s),  2 (t  s) , и процесс
при
X (t ) также
обладает свойством независимости приращений.
Процесс
X (t ) можно было бы использовать как модель курса
акций, колеблющегося около линейного тренда
 t , если бы не то
обстоятельство, что при любом t существует ненулевая вероятность
отрицательных значений X (t ) .
Чтобы избавиться от этого недостатка, в финансовой математике
для
моделирования
курса
акции
используют
геометрическое
броуновское движение. Пусть
S (t )  S (0) exp X (t ) ,
где X (t )   t   W (t ) , S (0)  0 . Ясно, что величина S (t )  0 для
всех значений t . В то же время, такое поведение курса акции имеет
наглядную экономическую интерпретацию. Пусть
t
- малый
промежуток времени. Тогда доходность от вложения в акцию за период
от t до t  t равна
53
S (t  t )  S (t )
 exp  t   W (t  t )  W (t )   1 
S (t )
  t   W (t  t )  W (t ) .
Это означает, что доходность за малый промежуток времени
колеблется около среднего значения, пропорционального
t
t .
Амплитуда колебания задается параметром  , который в финансовой
литературе называется ещё волатильностью.
3.4 Формула Блэка-Шоулса
Прежде чем двигаться дальше, разберемся с математическими
характеристиками
геометрического
броуновского
движения.
Напомним, что если случайная величина  имеет вид   exp{} ,
где  ~ N (  ,  2 ) , то говорят, что величина  имеет логнормальное
распределение с параметрами  и  2
 ~ log norm (  ,  2 ) .
Для
вычисления
числовых
характеристик
логнормального
распределения вычислим т.н. преобразование Лапласа для гауссовского
распределения, которое определяется как  ( y )  M exp{ y } . Пусть
 ~ N (0,1) , тогда

Если

 x2 
exp{
yx
}
exp
  dx 

2 
2

  ( x  y) 2 y 2 
 y2 
1
exp

dx

exp


 .

2
2
2  
2
 ( y) 
1
 ~ N (  ,  2 ) , то мы можем записать
     1 , где
1 ~ N (0,1) и, следовательно,

 ( y)  M expy(    1 )  exp  y  

Отсюда, если   exp{} , где  ~ N (  ,  2 ) , то
54
y 2 2 
.
2 

2
M  M exp{}   (1)  exp  
,
2 



exp   1 .
M 2  M exp{2}   (2)  exp 2  2 2 ,

D  M 2  M   exp 2   2
2
Если S (t ), t  0 - геометрическое броуновское движение, то т.к. для


каждого t случайная величина S (t ) ~ log norm  t ,  2 t , получаем

 2t 
M S (t )  S (0) exp  t 
,
2





D S (t )  S 2 (0) exp 2 t   2 t exp{ 2 t}  1 .
Отсюда,
в
частности,
экспоненциально
r1   
2
2
с
следует,
годовой
что
в
среднем
эффективной
курс
процентной
растет
ставкой
:
M S (t )  S (0) exp {r1t} .
Пусть
S (t ) - геометрическое броуновское движение. Разобьем
интервал [0 , t ] на n равных интервалов: [0 , t1 ] , [t1 , t 2 ] ,  , [t n1 , t n ] ,
где
Yk 
tk 
kt
, k  1,  , n .
n
Заметим, что случайные величины
S (t k )
, k  1, 2 ,, n
S (t k 1 )
являются
логнормальными величинами, поскольку
независимыми
Yk  exp X (t k )  X (t k 1 ).
Значит, мы можем записать
S (t )  S (0) Y1 Yn .
Последняя формула имеет явное сходство с формулой динамики цены
акции в биномиальной модели. Действительно, в рамках биномиальной
модели курс акции менялся в дискретные моменты времени по
формуле
S (n)  S (0) Z1  Z n ,
55
где
Z1 ,  , Z n
независимые
-
случайные
величины,
P(Yi  u)  p, P(Yi  d )  1  p . Поскольку
n
ln Z 1  Z n   ln Yi ,
i 1
то в силу центральной предельной теоремы можно ожидать что при
больших
n и при правильно подобранных параметров величин
ln Z1  Z n будет иметь распределение
N ( t , 2t ) .
Другими
словами, мы можем аппроксимировать геометрическое броуновское
движение с помощью случайной последовательности, определяемой
биномиальной моделью.
Подберем параметры биномиальной модели таким образом,
чтобы среднее значение и дисперсия величин Z i и Yi совпали. Чтобы
упростить задачу, предположим, что
u d  1 . В этом случае цена
акции за два шага биномиальной модели не изменится, если на 1-ом
шаге будет рост, а на 2-ом – спад (или наоборот). Так как
M Z i  p u  (1  p) d  p u  (1  p) u 1 ,
M Z i2  p u 2  (1  p) d 2  p u  (1  p) u 2 ,
  t  2t 
M Yi  exp  
,
2n 
n
 2  t 2 2t 
M Yi 2  exp 

,
n 
 n
то
из
уравнений
M Z i  M Yi , M Z i2  M Yi 2
мы
соотношения
p
u
1
2
1 
t  
 u exp  r1   1 ,
u 1 
n  
2

 t (r   2 )  
tr
 exp  1   exp  1
  

n
n





2
1

2

 t (r   2 )  
tr
 exp  1   exp  1
   4 .

n
n





56
получаем
Поскольку мы строим предельную конструкцию, разумно упростить
выражение для
u , выделив в нем главную часть. При n   мы
можем записать, что
 t (r   2 ) 
t 2
 tr 
1
exp  1   exp  1

2

 o  .

n
n
n
 n


Отсюда
u  1
t 2
t 2
1
 o  
2n
n
n
1
t 2
 1 
t
 1
 o
 
4n
n
 n

t  1 
 exp 
 .
  o
 n  n 
Будем считать в дальнейшем, что

t
u n  exp 
,
n


(3.7)

t
d n  exp  
.
n

(3.8)
Пусть непрерывно-начисляемая годовая процентная ставка равна
r . И пусть rn обозначает процентную ставку за период
t
. Величина
n
rn находится из соотношения
t r 
1  rn  exp   .
n
Риск-нейтральные вероятности в нашей искусственно-конструируемой
биномиальной модели задаются соотношениями:
pn 
1  rn  d n
,
un  d n
1  pn 
u n  1  rn
.
un  d n
Так как
rn  1 
tr
1
 o  ,
n
n
То из формул (3.7), (3.8) следует разложение:
pn 
1 
1 
2  
 1 
t 
  o
 ,

n
 n
57
1  pn 
1 
1 
2  
 1 
t 
  o
 .

n
 n
Пусть S n обозначает значение курса акции на n -ом (последнем)
шаге
сконструированной
биномиальной
соответствует моменту времени
Sn
S0
случайной величины
модели
(этот
шаг
t ). Вычислим распределение
в предположении, что вероятность в
биномиальной модели является риск-нейтральной. Так как
ln
где
n
Sn
 ln (1  n )   ln  i ,
S0
i 1
1 ,  2 , - независимые случайные величины, то в силу
центральной предельной теоремы можно ожидать, что в пределе при
n   величина ln
Sn
будет иметь гауссовское распределение (это
S0
можно доказать строго). Вычислим среднее значение и дисперсию
этого гауссовского распределения. Так как
M ln

 1  
 n 1 

 2  
Sn
 n M ln 1  n p n ln u n  (1  pn ) ln d n  
S0
t   1 
t 1  
  o


  1 

n   n 
n  2  
 1 
t
  t  n o
 
,
n
 n
то
lim M ln
n 
Sn
 t .
S0
Аналогично можно проверить, что
lim D ln
n 
Sn
2 t.
S0
58
t   1 
t 
  o










n   n 
n 

Таким образом, случайная величина ln
Sn
сходится по распределению
S0
к гауссовской величине с параметрами  t и  2 t :
 S

 xt 
P ln n  x   
 ,
 S0
 n    t 
где  (x) - функция распределения стандартного гауссовского закона
N (0 ,1) . Но это означает, что величина
Sn
S0
логнормальное распределение с параметрами
имеет в пределе
(  t ,  2 t ) . Поэтому
естественно определить цену опциона в непрерывной модели как
предел цены такого же опциона в аппроксимирующей биномиальной
модели.
Пусть цена опциона определяется геометрическим броуновским
движением со сносом  и дисперсией  2 :
S (t )  S (0) exp  t   W (t ).
Пусть в среднем цена опциона растет так же как и безрисковый актив.
Так как

2
M S (t )  S (0) exp   
2


2
2
 
 t  , то положим
 
r,
(3.9)
где r - безрисковая непрерывно-начисляемая процентная ставка. Мы
будем считать параметры  и r заданными, а риск-нейтральный снос
 определять так, чтобы выполнялось соотношение ():   r 
2
2
.
Пусть у нас имеется, например, опцион-«колл» Европейского
типа с ценой исполнения K и временем исполнения T . Рассмотрим
аппроксимируемую биномиальную модель периода
ставка за период
n . Процентная
T
T r 
равна rn  exp 
  1 . Из ранее полученных
n
 n 
результатов следует, что цена опциона в этой модели вычисляется как
59
C 0, n 
1
M (S n  K )  ,
n
1  rn 
где S n - цена опциона в момент n , а операция среднего вычисляется
при риск-нейтральной вероятности
(1  rn ) n  exp {r T ) ,
а
pn 
1  rn  d n
. Так как
un  d n
S (T )  S 0 exp{ X (t )} по
S n сходится к
распределению, то вполне правдоподобно (и можно доказать строго),
что
C 0, n 
1
M (S n  K )   exp{r T } M (S (T )  K )  .
n
n
1  rn 
Вычислим M ( S (T )  K )  , где S (T ) имеет логнормальное
распределение с параметрами  T и  2T ,   r 
2
2
. Пусть
p( x;  ,  , T ) - плотность гауссовского распределения N (  T ,  2T ) :
 (x   T )2 
p( x;  ,  , T ) 
exp 
.
2 2T 
 2T

1
Тогда

M ( S (T )  K ) 

 S (0) exp {x}  K 

p( x;  ,  , T ) dx 



ln(K / S ( 0 ))
ln(K / S ( 0 ))
 S (0) exp {x} p( x;  , , T ) dx  K

Делая замену переменных y 
x  T
 T
 p( x;  , , T ) dx .
, получаем

K

 ln ( K S (0))   T  

p
(
x
;

,

,
T
)
dx

K
1



  



T



ln ( K S ( 0 ))
 ln ( K S (0))   T 
 K  
  K (d  ) ,
 T



2
ln ( S (0) K )   r 
2
ln ( K S (0))   T

d  

 T
 T
60

 T
 .
Аналогично,

 S (0) exp {x} p( x;  , ,T ) dx 
ln(K S ( 0 ))


y2 
exp
y

T


T


 dy  S (0) exp{ r T } (d  ) ,

2
2 ln ( K S ( 0) )  T

S (0)
 T
где

2
ln ( S (0) K )   r 
2

d 
 T

 T
 .
В итоге мы получаем формулу для цены опциона-«колл»:
C0  S (0)(d  )  K exp {rT } (d  ) .
Эта формула носит имя Блэка-Шоулса. На самом деле существует
развитая теория, основанная на стохастическом анализе, позволяющая
обосновать эту формулу и другие результаты теории опционов.
Стохастический анализ является достаточно сложной областью теории
вероятностей и поэтому мы ограничимся этими рассуждениями на
физическом уровне строгости. Р.Мертон и М.Шоулс за создание теории
опционов в 1997 году удостоены Нобелевской премии по экономике
(Ф. Блэк не дожил до этого времени и получил посмертное признание).
Из свойств геометрического броуновского движения легко
следует, что цена опциона-«колл» в момент 0  t  T равна
Ct  S (t ) (d  (t ))  K e  r (T t ) (d  (t )) ,
где

2
ln ( S (0) K )   r 
2

d  (t ) 
 T t

 (T  t )

,

2
ln ( S (0) K )   r 
2

d  (t ) 
 T t

 (T  t )

61
Литература
1. Первозванский А.А., Первозванская Т.Н. Финансовый
рынок: Расчет и риск. М.: Инфра-М, 1994.
2. Шарп У. Ф.,. Александер Г. Дж., Бейли Д. В. Инвестиции.
Изд.: Инфра-М, 2003.
3. Люу Ю. Д. Методы и алгоритмы финансовой математики.
Изд.: Бином, 2007.
4. Летчиков А.В. Лекции по финансовой математике Изд. :
Институт Компьютерных Исследований, 2004.
62
Содержание
Глава 1. Детерминированные финансовые потоки
1.1 Процентные ставки и приведенная ценность ………. ….. 2
1.2 Внутренняя ставка доходности. Облигации. ……………..6
1.3 Дюрация. ……………………………………………………..13
Глава 2. Портфельные инвестиции
2.1 Доходность и риск портфеля……………………………….17
2.2 Модель Марковитца………………………………………...20
2.3 Оптимальные портфели с безрисковой бумагой…..27
2.4 Ценовая модель рынка капитала……………………32
2.5 Стратегия Келли……………………………………….37
Глава 3. Производные ценные бумаги
3.1 Фьючерсные и опционные контракты……………………40
3.2 Биномиальная модель оценки опционов………………….43
3.3 Броуновское движение……………………………………….50
3.4 Формула Блэка-Шоулса……………………………………...54
63