Линейные рекурренты

Линейные рекурренты
Пусть дана числовая последовательность {xn }n
0
, причем она не определена
явно как функция натуральной переменной, но всякий ее член выражается через
k предыдущих (для фиксированного k ) в виде:
xn   ( xn1 ,..., xnk )  f (n)
(1)
В этом случае соотношение (1) называют рекуррентным соотношением
порядка. При f (n)  0 соотношение называют однородным.
k -го
Всякая последовательность y n (пишем впредь без фигурных скобок), которая
обращает соотношение (1) в тождество, называется решением этого соотношения.
Поскольку не должно быть отрицательных индексов, то необходимо в (1)
положить n  k . Это значит, что первые k членов последовательности
{xn }n 0 ( x0 ,..., xk 1 ) можно выбирать произвольно. Пусть
x0   0 ,..., xk 1   k 1
(2)
Равенства (2) называются начальными условиями. Тогда может быть поставлена
задача отыскания решения соотношения (1) при начальных условиях (2). Это аналог
задачи Коши для дифференциального уравнения порядка k .
Если функция  в (1) линейна по своим аргументам, то такое соотношение
называют линейным. Будем, как правило, записывать линейное рекуррентное
соотношение в виде:
xn  a1 (n) xn1  ...  ak (n) xnk  f (n)
(3)
ai (n), i  1,..., k называют
f (n) - правой частью. В случае нулевой
В соотношении (3) последовательности
коэффициентами, а последовательность
правой части получаем однородное линейное рекуррентное соотношение.
Здесь мы ограничимся рассмотрением только линейных соотношений с
постоянными коэффициентами, полагая, что все последовательности
ai (n), i  1,..., k суть числа (как правило, вещественные).
Однородные линейные рекуррентные соотношения
Общий вид соотношения ( k -го порядка):
xn  a1 xn1  ...  ak xnk  0
(1)
(4)
(2)
Теорема 1. Пусть yn и yn - решения соотношения (4). Тогда произвольная
линейная комбинация их также является решением соотношения (4).
Доказательство. Пусть
n  C1 yn(1)  C2 yn(2) . Подставляя  n в (4), будем
иметь:
C1 yn(1)  C2 yn(2)  a1 (C1 yn(1)1  C2 yn(2)1 )  ...  ak (C1 yn(1)k  C2 yn(2)k ) 
 C1 ( yn(1)  a1 yn(1)1  ...  ak yn(1)k )  C2 ( yn(2)  a1 yn(2)1  ...  ak yn(2)k )  0,
что и требовалось.
2
Следствие. Множество решений соотношения (4) образует подпространство в
пространстве всех последовательностей (над полем комплексных чисел).
Очевидно, что соотношение (4) всегда имеет тривиальное нулевое решение.
Докажем, что существуют ( в общем случае) и ненулевые решения.
Будем искать решение (4) в виде
комплексного) числа
Имеем:
.
yn   n
для какого-то ( в общем случае,
 n  a1 n1  ...  ak  nk  0 ,
или
 nk ( k  a1 k 1  ...  ak 1  ak )  0 .
Так как нулевое решение уже учтено, то получаем:
 k  a1 k 1  ...  ak 1  ak  0 .
(5)
Уравнение (5) называется характеристическим уравнением соотношения (4), а
его правая часть – характеристическим многочленом соотношения (4).
Итак, если  - корень характеристического уравнения соотношения (4), то
последовательность  является решением.
Тем самым доказано существование решения соотношения (4).
Пример 1. Пусть xn  xn1  xn2 при n  2 . Характеристическое уравнение
n
 2    1  0 имеет корни 1,2 
(
1 5 n
)
2
и
1 5 n
(
)
2
1 5
. Тогда обе последовательности
2
будут решениями исходного соотношения.
Всякую конкретную последовательность, являющуюся решением соотношения (4),
называют частным решением.
Теорема 2. Существует единственное частное решение соотношения (4),
удовлетворяющее начальным условиям (2).
Наоборот, любое частное решение соотношения (4) однозначно определяет
начальные условия, которым оно удовлетворяет.
Доказательство. Пусть выполняются начальные условия вида (2):
y0   0 ,..., yk 1   k 1
(6)
yk  a1 yk 1  ...  ak y0 , и далее для любого s  0
yk  s  a1 yk  s1  ...  ak ys , и член y n определен однозначно для любого n  0 .
Пусть теперь y n - какое-то частное решение соотношения (4). Покажем, что числа
 0 ,..., k 1 можно подобрать так, чтобы выполнялось (6).
Тогда, в силу (4)
Имеем:
3
yk  a1 k 1  ...  ak 0  0,
yk 1  a1 yk  a2 k 1...  ak1  0
................................................
y2 k 1  a1 y2 k 2  a2 y2 k 3  ...  ak 1 yk  ak k 1  0.
(7)
или
yk  j  a1 yk  j 1  ...  ak j  0(0  j  k  1)
Система (7) есть система относительно неизвестных  0 ,...,  k 1 , заданная в треугольной
форме. Из последнего уравнения однозначно определяется  k 1 , и далее («обратным
ходом» метода Гаусса) все остальные неизвестные до  0 включительно (при условии, что
ak  0 , но это в соотношении (4) и предполагается, так как иначе порядок соотношения
будет меньше k 1).
Следствие. Любое частное решение соотношения (4) является решением,
удовлетворяющим некоторым, однозначно определенным, начальным условиям вида (2).
В частности, нулевое решение определяет нулевые начальные условия и обратно.
Пример 2. Для решения
систему:
(
1 5 n
)
2
соотношения примера 1 запишем такую
y2   0  1
y3  1  y2 ,
откуда
3
2
1 5  1 5  1 5
1  
,
 
 
2
2
2

 

 0  1.
(1)
(k )
Произвольная линейно независимая система ( yn ,..., yn ) решений
соотношения (4) называется фундаментальной системой решений (ФСР), а ее
компоненты – фундаментальными решениями.
Теорема 3. Любое решение соотношения (4) является линейной комбинацией
фундаментальных решений.
Доказательство. Докажем, что каковы бы ни были начальные условия вида (2),
k
которым должна удовлетворять линейная комбинация
C y
i 1
i
(i )
n
, ее коэффициенты
однозначно определяются этими начальными условиями. Этого достаточно в силу того,
что каждое решение однозначно определено начальными условиями и обратно.
ak  0 влечет, что все корни характеристического уравнения отличны от нуля, так как иначе
будет равно нулю и их произведение, равное по теореме Виета, как раз коэффициенту a k .
1
Условие
4
Имеем такую систему для определения этих коэффициентов:
 k
(i )
 Ci y0   0 ,
 i 1
....................
 k
 Ci yk( i)1   k 1
 i 1
(8)
Главный определитель этой системы
y0(1) ... y0( k )
  .............
(9)
yk(1)1... yk( k1)
отличен от нуля.
Действительно, если бы он был равен нулю, то однородная система,
соответствующая системе (8), имела бы ненулевое решение, т.е. нашлись бы
коэффициенты Ci , i  1,..., k , не все равные нулю, для которых бы выполнялось
 k
(i )
C
y
 0,

i
0

 i 1
....................
 k
 Ci yk( i)1  0,
 i 1
т.е. решение, являющееся нетривиальной линейной комбинацией фундаментальных
решений, удовлетворяет нулевым начальным условиям и, следовательно, в силу теоремы
2, само является нулевым. Но это невозможно в силу линейной независимости
фундаментальных решений.
Итак,   0 , система (8) имеет единственное решение, и коэффициенты линейной
комбинации фундаментальных решений однозначно определяются начальными
условиями, которым она должна удовлетворять.
Форма n
k
  Ci yn(i ) называется общим решением соотношения (2). Это
i 1
значит, что любое частное решение (4) может быть получено при определенных значениях
коэффициентов (произвольных констант) Ci , i  1,..., k (при заданной ФСР).
Пример 3. Для соотношения примера 1 зададим начальные условия
x0  0, x1  1. Тогда x2  1, x3  3, x4  5, x5  8,... Эта последовательность, как
известно, называется последовательностью Фибоначчи2. Можно показать, что
последовательности
(
1 5 n
)
2
и
1 5 n
(
)
2
линейно независимы. Общее решение
При произвольных начальных условиях соотношение примера 1 определяет последовательность, которая
называется последовательностью Лукаса.
2
5
n
1 5 
1 5 
C1 

C


2
 2 
 2 
n
. Удовлетворяем начальным условиям:
C1  C2  0
1 5 
1 5  ,
C1 

C

 1
2
 2 
 2 
1
1
, C2  
.
откуда C1 
5
5
(1)
(k )
Теорема 4. Если частные решения yn ,..., yn соотношения (4) линейно
зависимы, то определитель (9) равен нулю.
Доказательство. Линейная зависимость указанных в условии теоремы решений
означает, что существует их нетривиальная линейная комбинация, обращающаяся в нуль,
т.е. для некоторых, не равных нулю одновременно, чисел C1 ,..., Ck выполняется:
C1 yn(1)  ...  Ck yn( k )  0 .
Поскольку всякое частное решение соотношения (4) есть решение,
удовлетворяющее определенным начальным условиям, то для этих условий получим:
 k
(i )
C
y
 0,

i
0

 i 1
....................
 k
 Ci yk( i)1  0,
 i 1
откуда и следует, что главный определитель (9) этой системы равен нулю (так как она
имеет ненулевое решение).
Структура ФСР соотношения (4) и вид фундаментальных решений определяются
свойствами корней характеристического уравнения (5).
Теорема 5. Если 1 и 2 различные корни уравнения (5), действительные или
комплексные, то решения
1n и 2n
линейно независимы.
Доказательство. Составим определитель 2-го порядка ( k
1
1
1 2
 2 ):
 2  1  0 , откуда и следует доказываемое.
1 ,..., k - попарно
n
n
различные корни характеристического уравнения, то система (1 ,..., k ) линейно
Этот результат можно обобщить и доказать, что если
независима. Следовательно, для соотношения (4) в этом случае она может быть взята за
ФСР.
6
Теорема 6. Если

- корень уравнения (5), действительный или комплексный,
кратности s , то последовательности  , n ,..., n  являются линейно
независимыми решениями соотношения (4). #
Это утверждение также обобщается, а именно, если 1 ,..., m - корни
n
n
s 1
n
характеристического уравнения соотношения (4), имеющие кратности
соответственно, причем
s1 ,..., sm
s1  ...  sm  k , то решения
1n , n1n ,..., n s 11n ,..., m n , nm n ,..., n s 1m n образуют ФСР соотношения (4).
m
1
Если ограничиться только линейными рекуррентами с действительными
коэффициентами и линейные комбинации последовательностей брать только с
 i
действительными коэффициентами, то каждой паре re комплексно сопряженных
корней кратности s характеристического уравнения можно сопоставить 2s линейно
независимых решений:
r cos n , nr cos n ,..., n s1r cos n ,
r sin n , nr sin n ,..., n s1r sin n .
Неоднородные линейные рекуррентные соотношения
Теорема 7. Любое решение соотношения
xn  a1 xn1  ...  ak xnk  f (n)
(12)
может быть представлено в виде:
k
n  y   Ci ynо,(i ) ,
н
n
н
где n
о ,(1)
n
y
(y
(13)
i 1
- произвольное частное решение неоднородного соотношения (12),
,..., ynо,( k ) )
- ФСР однородного соотношения (4), а
C1 ,..., Ck
- произвольные
постоянные.
Доказательство. Легко показать, что разность двух произвольных решений
неоднородного соотношения будет решением однородного соотношения.
Далее, если
yno - произвольное решение однородного соотношения, то, фиксируя
ynн неоднородного соотношения, получим, что сумма этих решений
какое-то решение
будет решением неоднородного соотношения. Поскольку любое решение однородного
соотношения может быть представлено в виде линейной комбинации фундаментальных
решений, то получаем представление (13).
Замечание. Можно и явно показать, что для произвольных начальных условий
однозначно определяются константы C i в выражении (13).
Имеем:
7
k
y   Ci y0о ,(i )   0
н
0
i 1
...............................
y
н
k 1
k
  Ci ykо,(1i )   k 1
i 1
Главный определитель этой системы совпадает с главным определителем системы
(8) и отличен от нуля в силу линейной независимости элементов ФСР. Таким образом,
система имеет единственное решение в виде вектора констант
(C1 ,..., Ck )T .
Итак, общее решение неоднородного соотношения (10) есть сумма частного
решения неоднородного соотношения и общего решения соответствующего однородного
соотношения (4).
Теорема 8. Пусть правая часть неоднородного соотношения (12) является суммой
некоторых последовательностей:
p
f ( n)   g i ( n) ,
i 1
n(i )
и пусть последовательность
частью
gi (n), i  1,..., p.
Тогда сумма  n
есть решение неоднородного соотношения с правой
p
 n(i )
является решением соотношения (12).
i 1
Доказательство. Имеем:
 n  a1 n1  ...  ak nk 
p
 
i 1
p
(i )
n
 a1 
p
  (
i 1
(i )
n
i 1
a 
(i )
1 n 1
p
(i )
n 1
 ...  ak n( i)k 
 ...  ak
i 1
p
(i )
n k
)   gi (n)  f (n),
i 1
что и требовалось.
Утверждение теоремы 8 называют принципом суперпозиции.