10 класс 1) x²+3x+9=9n² x²+3x+9-9n²=0 a=1; b=3; c= 9-9n² D=b²- 4ac D=9-4(9-9n²) D=9-36+36n² √𝐷= целое число, иначе корни не будут целыми. √𝐷= целое число тогда, когда n=1; n=-1 Проверка: D= 9-36+36×1²= 9= 3² √𝐷=3 −𝑏+√𝐷 X1= 2𝑎 −3+3 X1= 2 =0 −𝑏−√𝐷 X2= 2𝑎 −3−3 X2= 2 = -3 Проверим: x²+3x+9=9n² 0+3×0+9=9×1² 9=9 (-3)²+(-3)×3+9=9×1² 9-9+9=9 9=9 Ответ: при n=1 и n= -1, x=0 и x= -3 3) Чтобы найти испортившуюся машину нужно взять один мяч первой машины, два мяча второй машины, три мяча третьей, ..., десять мячей десятой машины и все взвесить. Все мячи должны весить: 10 + 20 + 30 + 40 + 50 + 60 + 70 + 80 + 90 + 100 = 550 г Если испортившаяся машина будет первая, то масса будет на 5 г меньше и масса будет =545 г, если испортившаяся шестая машина, то масса будет 6×5= 30 г, на 30 г меньше и масса будет =530 г, так можно найти испортившуюся машину с помощью одного взвешивания мячей. 4) 2ⁿ + 7= k² 4) Решить в натуральных числах: n≠o k² ≥ 9 k≥3 Пусть n = 1, тогда 2+7=9 k² = 9 k=3 При любых n ( кроме n = 1) равенства не будет Ответ: При n=1; k = 3 5) 𝐴 = 𝑎4 + 4𝑏 4 A = (a²)²+(2b²)² A = (a²)²+(2b²)²+4 a² b² - 4 a² b² A = (a²+2b²)² - 4 a² b² A = (a²+2b² - 2ab) (a²+2b² + 2ab) 6) Арифметическая прогрессия: a, b, c, d (a, b, c, d – целые числа) d= a²+b²+c² Найти: a, b, c, d Решение: Пусть x- разность прогрессии Тогда: a + x=b a + 2x=c a + 3x=d Значит: d = a²+(a+x)²+(a+2x)² a+3x = a²+(a+x)²+(a+2x)² a+3x = a²+a²+2ax+x²+a²+4ax+4x² a+3x = 3a²+6ax+5x² a = 3a²+6ax+ 5x² - 3x Если a= -1, и шаг будет = 1, b= 0, с=1, d=2 2= (-1)²+0+1²= 1+0+1 =2 Ответ: -1;0;1;2 2 7) 𝑥 + ( 𝑥 2 ) = 8. 𝑥−1 1. x ≠ 1 2. Если x² = 0 x=0 𝑥 2 𝑥 2 то ( ) = 8 𝑥−1 но ( ) = 0 𝑥−1 x² не может равняться 0,1,2,3,5,6,7,8, т.к при сумме с ( 𝑥 2 ) не дает 8 𝑥−1 Если x² = 4 ( остается только 4) x=2 то ( 𝑥 2 ) =4 𝑥−1 x=2 Значит: x = 2 Ответ: 2 9) 1 ряд= 8 положений 2 ряд= 7 положений 3 ряд= 6 положений И т.д 8 ряд= 1 положение Итого: 8×7×6×5×4×3×2×1= 40320 способа Ответ: 40320