Росцилляторы, прецилляторы и антирезонансы

УДК 531.16
РОСЦИЛЛЯТОРЫ, ПРЕЦИЛЛЯТОРЫ И АНТИРЕЗОНАНСЫ
Юровицкий В.М.,
Российский государственный социальный университет, Москва
Под росциллятором (сокращение от «ротатор-осциллятор») будем понимать многочастичный
механический объект, обладающий упругими связями между элементами и одновременно, как целое,
имеющий вращательные степени свободы.
Модель росциллятора может быть использована в
молекулярной физике для описания поведения отдельных молекул и их ансамблей. Возможны и иные
использования росцилляторной модели.
Инструменты анализа
Мы будем рассматривать взаимодействие негравитирующих элементарных
механических объектов ─ материальных точек ─ в галилеевом (негравитационном)
пространстве. Для простоты мы будем использовать в данной работе и термин «тело»
как эквивалент понятия «материальная точка». В качестве характеристики воздействия
со стороны других тел на данное мы будем использовать понятие «весомости».
Весомость есть характеристика «механического состояния» тела. Смысл ее прост. Это
удельная сила ─ сила на единицу массы. Направление весомости обратно направлению
силы. Таким образом мы имеем фундаментальное уравнение механического состояния
тела:


F
W  ,
m
(1)


где W ─ весомость, F ─ сила, m ─ масса тела.
Весомость
есть
аппаратно
наблюдаемая
величина,
измерение
которой
осуществляется прибором, который в настоящее время носит не вполне корректное
наименование «акселерометр» Правильней было бы называть его «весомометр».
Единицу весомости в СИ Н/кг можно назвать «Галилео», сокращенно Гл. Сотая часть
Галилео носит название «гал» и является основной мерой весомости в гравиметрии.
Уравнение движения тел в инерциальной системе отсчета есть


w  W .
(2)
2
Мы
будем
использовать,
как
правило,
рассмотрение
движения
тел
в
неинерциальной системе отсчета. Общее уравнение движения тел в неинерциальной
негравитирующей системе отсчета имеет вид:
  


v  2  v  H  W .
(3)


Здесь H ─ напряженость сил инерции,  = угловая скорость неинерциальной системы
отсчет.
Уравнение напряженности сил инерции Н имеет вид:


    
H  H0   r    r,
(4)

где Н ─ напряженность фиктивных сил инерции. Это силы, которые приложены не к

наблюдаемому телу, а к элементам системы отсчета – твердого тела. Здесь H 0 ─
весомость начала системы отсчета. Источник формулы очевиден. Это уравнение
абсолютного ускорения твердого координатного тела, преобразованное в уравнение его
механиченского состояния согласно уравнению (2).
Окончательно
получаем
полное
уравнение
движения
весомого
тела
в
неинерциальной системе отсчета:
    ) y  ( 
    )z  H 0  W ;
x  2( z y   y z)  ( 2y   2z ) x  (
z
x
y
y
x
z
x
x
    ) x  ( 2   2 ) y  (
    )z  H 0  W ;
y  2( z x   x z)  (
z
y
x
x
z
x
y
z
y
y
(5)
    ) x  ( 
    ) y  ( 2   2 ) z  H 0W .
z  2( y x   x y )  (
y
z
x
x
z
y
x
y
z
z
Конечно, эти уравнения несколько сложнее второго закона Ньютона. Но зато они
универсальнее. Здесь учтены все реальные и фиктивные силы:
1. Кориолисовы фиктивные силы, связанные со взаимодействием вращения и
движения тела
2. Радиальные, центробежные.
3. Тангенциальные, связанные с угловыми ускорениями
4. Перекрестные, связанные со взаимодействием вращений по различным осям.
5. Начальные, связанные с весомостью начала системы отсчета.
6. Реальные силы, действующие на тело и отображаемые его состоянием.
Большая универсальность состоит и в том, что в эти уравнения не входят никакие
имманентные характеристики самого наблюдаемого тела, характеристики движения в
2
3
заданной системе отсчета определяются только механическим состоянием тела и
начальными кинематическими условиями.
Новая технология описания движений ─ технология переменных систем
отсчета
Новые уравнения движения позволяют использовать новую технологию описания
движений. Эту технологию мы назовем технологией переменных систем отсчета. В
этой технологии мы выбираем систему отсчета, являющуюся наиболее адекватной для
рассматриваемого
случая.
Причем
характеристики
системы
отсчета
являются
переменными задачи. И решение состоит как в нахождении движения в выбранной
системе отсчета, так и в определении самих параметров системы отсчета.
Покажем на примерах. Пусть у нас имеется одно тело. Принимаем само тело за
начало системы отсчета и получаем нульмерное пространство. Нужно только
определить параметры системы отсчета. Например, в случае ракеты ─ начальную
весомость системы отсчета (весомость ракеты).
В системе двух тел одно из тел принимаем за начало системы отсчета, на второе
тело направляет ось Ox. Получаем одномерное движение тела в выбранной системе
отсчета. Ну и кроме того получаем в качестве переменных задачи характеристики
самой системы отсчета, например, угловую скорость ее вращения.
В задаче трех тел вторую ось выбираем так, чтобы движение третьего тела
проиcходило в плоскости xOy.
Таким образом, в самых разнообразных задачах мы можем существенно
упростить решения задач, уменьшить число уравнений и ранг их системы, выбирая
систему отсчета максимально адекватную решаемой задаче, а не использовать единую
универсальную систему отсчета ─ инерциальную систему отсчета ─ для любых задач.
Мы можем решать задачи, которые в ньютоновской механики инерциальных систем
отсчета (с робким использованием неинерциальных систем отсчета) не только не
решаются, но зачастую и поставлены быть не могут.
Росцилляторы и прецилляторы
В современной механике осцилляционные процессы и вращательные движения
рассматриваются в отдельности. А ведь эти два движения могут взаимодействовать и
их взаимодействие может приводить к новым явлениям и эффектам. Но совместное их
действие практически не рассматривается. И связано это, конечно, с отсутствием
3
4
полноценной механики неинерциальных систем отсчета. Тот способ, которым вводятся
неинерциальные системы отсчета в ньютоновской механике на основе принципа
Даламбера ─ переносом членов уравнений с одной стороны в другую ─ просто убог.
В качестве простейшей задачи рассмотрим задачу о двухчастичном росцилляторе
─ ротаторе-осцилляторе. Под росциллятором будем понимать многочастичную систему
тел, в которой имеет место взаимодействие колебательных и вращательных степеней
свободы.
Для простоты примем, что одна из частиц значительно более массивна. И примем
ее за начало системы отсчета. На вторую частицу направим ось Ox. Примем, что вдоль
оси Oz может происходить вращение этой системы с неизвестной угловой скоростью
. Принимаем, что сила связи между частицами пропорциональна расстоянию и имеет
притягивающий характер. Тогда сила, приложенная к телу 2 будет направлена вдоль
оси Ox и равна F  kx. Отсюда весомость тела 2 будет
W 
F k
 x   02 x.
m m
Отсюда из универсальной системы уравнений движения тела в неинерциальной
системе отсчета (5) сразу пишем для нашей системы:
x  ( 2  02 ) x;
 x;
2x  
y  0;
z  0;


  k .
(6)
Второй уравнение есть, фактически, закон сохранения момента количества движения.
Энергия и импульс в неинерциальных системах отсчета не соблюдаются. А момент
количества движения в той или иной степени сохраняется.
Из второго уравнения следует:
x 
  0  0 2
 x
(7)
Подставляя (7) в первое уравнение (6), получаем:
x   02 x   02
x04
.
x3
Интегрируем и получаем окончательно:
4
5
x
x0
(02  20 )  (02  02 ) cos 20t ;
20
(8)
020
 2
.
0 sin 0t  02 cos 0t
Задача решена. В течение четверти периода угловая скорость вращения меняется от
0 
0
0
до  0 .
Это решение росциллятора при фиксированной оси вращения в пространстве. Но
наш подход позволяет решить и более сложную задачу, которая даже никогда не
ставилась в ньютоновской механике, так как сохранение плоскости вращения есть чуть
не само собой разумеющимся. Но мы покажем, что это не совсем так.
Для этого вновь введем ось осцилляции Ox, а ось вращения не будем фиксировать
в пространстве. Тогда уравнения движения запишутся в следующем виде согласно (5):
x  ( 2y   2z  02 ) x;
    ) x;
2 z x  (
z
y
x
(9)
    ) x.
2 y x  (
y
z
x
Примем, что угловые скорости в плоскости, перпендикулярной оси осцилляции,
связаны соотношениями:
 y    sin  ;
 z    cos.
Вставляя эти отношения в уравнения (9), получаем:
x  ( 2  02 ) x;
 cos     sin     sin  ) x;
2  x cos   (



x
 sin     cos     cos  ) x;
2 x sin   (




x
Умножая второе уравнение на sin  , а третье на cos и вычитая одно уравнение из
другого, а затем меняя множители и складывая, получаем окончательные уравнения:
x  (2  02 ) x;
 x;
2  x  

(10)
   x .
5
6
Мы получаем прецессирующее решение. Ось вращения нормальная к линии
осцилляции вращается вокруг этой оси. Сами движения во многом совпадают с
непрецессирующими.
Фактически мы показали и более важный факт: движения двух тел могут быть не
только плоскими вращательными, но и пространственными прецессирующими. Эту
систему
мы
предлагаем
назвать
«прецессором-осциллятором»,
сокращенно
«прециллятором». Существование прецилляторов есть, бесспорно, открытие в
механике. И как это отражается на свойствах этих молекул и самого газа ─ это вопрос.
Выше мы изучали росцилляторы и прецилляторы, в которых центральное тело
имеет существенно большую массу, поэтому это центральное тело является невесомым,
и начальная весомостная компонента системы отсчета отсутствует. Но легко учесть и
массу начального тела. Для этого совсем не нужно переходить в новую инерциальную
систему отсчета Мы можем использовать ту же самую систему отсчета, добавив в нее
только начальную весомость системы отсчета H0.
Начальная компонента весомостного поля H0 равна весомости тела в начале
системы отсчета W0.
H 0  W0  
F
k

x.
m0
m0
Отсюда, подставляя в (6), получаем то же самое первое уравнение лишь с измененной
осцилляционной константой
 1
1
02  k   .
 m0 m 
(11)
Трехчастичные росцилляторы
Решим задачу трехчастичного линейного росциллятора. Здесь много возможных
вариантов масс, сил и пространственных взаимоотношений. Для примера рассмотрим
линейную систему вращающихся и осциллирующих трех частиц, в которой одна
частица m0 имеет существенно превосходящую массу перед другими двумя частицоми.
Между нулевой частицей и другими имеет место притяжение, между двумя
остальными – отталкивание (см. рисунок).
6
7

m0
m1
F12
F21
m2
12
O
F10
x
x1
F20
x2
12
Схема линейного трехчастичного росциллятора
Определим весомости тел 2 и 3.
W1  
F10 F12 k10
k


x1  12 ( x2  x1 )  (102  122 ) x1  122 x2 ;
m1 m1 m1
m2
W2  
F20 F21 k20
k
2
2
2


x2  21 ( x2  x1 )  21
x1  (20
 21
) x2 .
m2 m2 m2
m2
А теперь записываем сами уравнения движения этих тел вдоль оси Ox и
соотношения для весомостей по оси Oy:
x1  ( 2  102  122 ) x1  122 x2 ;
x.
2x1  
1
(12)
2
2
2
x2  21
x1  ( 2  20
 21
) x2 ;
x .
2x2  
2
Из уравнений 2 и 4 системы (12) следует, что отношение плеч x1 и x2 должно быть
неизменным. Полагая x2  kx1, получаем:
x1  (2  102  (1  k )122 ) x1;
2
2
x1  (2  20
 (1  k 1 )21
) x1
Отсюда
получаем
взаимоотношение
между
характеристикам
трехчастичного
росциллятора, которые необходимы для существования его в линейной форме:
102  (k  1)122  202  (k 1  1)212 .
(13)
Можно рассмотреть и трехчастичные нелинейные росцилляторы. Рассмотрим
наиболее простой росциллятор в виде правильного треугольника с одинаковыми
массами и одинаковыми осцилляционными характеристиками. Ввиду симметрии центр
треугольника будет невесомым, а вектора весомости будут иметь центробежный
характер.
7
8
Если сила взаимодействия F между частицами равна F  kl, где l ─ длина сторон
треугольника, то проекция сил притяжения от двух частиц к третьей на осевую линию,
соединяющую частицу с центром треугольника, составит 3кх, где x ─ координата
частицы. Отсюда уравнение движения частиц будет:
x  ( 2  32 ) x;
 x;
2x  
32 
(14)
3k
.
m
Здесь 3 ─ осцилляционная константа для треугольного правильного росциллятора.
Легко видеть, что для правильного двухчастичного расциллятора коэффициент в
осцилляционной константе равен 2, для правильного квдратного росциллятора
коэффициент равен 4. Можно высказать предположение, что для n-частичного
правильного многоугольного росциллятора этот коэффициент равен n.
Антирезонансы
Во всех рассмотренных решениях росцилляторов и прецилляторов имеются
вырожденные решения, характеризующиеся отсутствием осцилляционных движений, а
росциллятор превращается в жесткую вращающуюся систему.
Для двухчастичных росцилляторов это особое решение определяется выражением
 1
1 
  k 
  .
 m0 m1 
(15)
Для треугольного правильного росциллятора скорость вращения определяется
отношением:
0 
Интересно определить
скорость
3k
.
m
(16)
вращения жесткого решения
линейного
трехчастичного росциллятора, изображенного на вышеразмещенном рисунке. Такое
решение
должно,
естественно,
отвечать
условиям
существования
линейного
трехчастичного росциллятора (13). И кроме того, получаем выражение для угловой
скорости жесткого решения:
0  102  (k  1)122 .
(17)
8
9
Важно определить, насколько устойчиво жесткое решение. Для этого решим
задачу о двухчастичном росциллятора вблизи жесткого решения. Записывая уравнения
в отклонениях, получаем:
x  20 x0 ;
20 x   x0 .
(18)
Из второго уравнения определяем значение  и вставляем в первое. Получаем
линейное уравнение второго порядка:
x  402 x  0;
x0  0.
(19)
x  Const  x0 .
(20)
Единственное решение системы
Таким образом, мы видим, что это состояние весьма устойчиво. Росциллятор в этом
состоянии
ведет
себя,
фактически,
как
гладкое
абсолютно
твердое
тело.
Взаимодействия между ними и другими частицами, например, фотонами, являются
упругими. Поглощения энергии нет.
Как известно, состояние с аномальным поглощением энергии называется
резонансом. Резонансы широко используются в практике. Состояние с аномально
низким поглощением энергии можно назвать антирезонансом. Таким образом,
рассматриваемое состояние является антирезонансным. Возможно, именно с такими
состояниями связано уменьшение теплоемкости многоатомных газов, связаны полосы
пропускания газов и иные явления. Экспериментальное обнаружение антирезонансов,
думается, даст новые знания и, вполне возможно, станет основой новых методов
научных исследования и практических применений.
Заключение
На базе разработанной механики неинерциальных систем отсчета обнаружены
новые состояния вещества ─ росцилляторы и прецилляторы, а также обнаружен
феномен состояния этих объектов в антирезонансном состоянии, которое может
явиться как предметом научных исследований, так и, возможно, практического
использования.
Юровицкий Владимир Михайлович
9
10
E-mail: vlad@yur.ru
Тел: +7-926-314-9817
Ц
10