Случайные события

Министерство образования и науки РФ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского»
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
ЧАСТЬ I
СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
Учебно-методическое пособие
Рекомендовано методической комиссией
механико-математического факультета для студентов ННГУ,
обучающихся по специальностям 020100.62 «Химия»,
240100.62 «Химическая технология и биотехнология»
Нижний Новгород
2012
УДК 519.21
ББК В 171
Ш 55
Ш 55
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. РУКОВОДСТВО К
РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ. ЧАСТЬ I. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ.
Составители: Шишина В.Т., Филиппова Н.М.: Учебнометодическое пособие.- Нижний Новгород: Нижегородский
госуниверситет, 2012. – 45 с.
Рецензент: кандидат физ.-мат. наук, доцент В.А. Зорин.
Настоящее
учебно-методическое
пособие
содержит
основные
теоретические сведения и теоремы одного из разделов теории вероятностей
«Случайные события».
Изложение теоретического материала сопровождается рассмотрением
большого количества типовых примеров и задач с подробными решениями;
приводится изрядное количество разнообразных задач с ответами для
самостоятельного решения.
Основная цель учебно-методического пособия - помочь студентам лучше
усвоить теоретический материал и привить навыки его использования к
решению конкретных задач.
Данное учебно-методическое пособие, предназначенное для студентов
химического факультета, будет полезно и студентам других факультетов
ННГУ, а также студентам вузов, изучающим высшую математику, и
преподавателям для проведения практических занятий.
Ответственный за выпуск: председатель методической комиссии
механико-математического факультета ННГУ, кандидат физ.-мат. наук,
доцент
Н.А. Денисова.
УДК 519.21
ББК В 171
Ш 55
2
Содержание
Введение ............................................................................................................................................................ 4
§1. Соотношения между случайными событиями......................................................................................... 5
1.1. Основные понятия .................................................................................................................................. 5
1.2. Решение задач ......................................................................................................................................... 6
1.3. Задачи для самостоятельного решения ................................................................................................ 7
§2. Вероятность случайного события ............................................................................................................. 8
2.1. Аксиоматическое определение вероятности ....................................................................................... 8
2.2. Классическое определение вероятности .............................................................................................. 9
2.3. Элементы комбинаторики ..................................................................................................................... 9
2.4. Непосредственный подсчет вероятностей ......................................................................................... 11
2.5. Задачи для самостоятельного решения .............................................................................................. 14
§3. Геометрическая вероятность ................................................................................................................... 16
3.1. Основные понятия ................................................................................................................................ 16
3.2. Решение задач ....................................................................................................................................... 17
3.3. Задачи для самостоятельного решения .............................................................................................. 19
§4. Теоремы умножения и сложения вероятностей .................................................................................... 21
4.1. Условная вероятность. Правило умножения вероятностей ............................................................. 21
4.2. Вероятность суммы совместных событий ......................................................................................... 22
4.3. Решение задач ....................................................................................................................................... 23
4.4. Задачи для самостоятельного решения .............................................................................................. 26
§5. Формула полной вероятности. Формула Бейеса ................................................................................... 30
5.1. Основные формулы .............................................................................................................................. 30
5.2. Решение задач ....................................................................................................................................... 30
5.3. Задачи для самостоятельного решения .............................................................................................. 32
§6. Схема испытаний Бернулли .................................................................................................................... 37
6.1. Формула Бернулли ............................................................................................................................... 37
6.2. Полиномиальное распределение......................................................................................................... 38
6.3. Решение задач ....................................................................................................................................... 38
6.4. Задачи для самостоятельного решения .............................................................................................. 40
Ответы ............................................................................................................................................................. 43
Литература ...................................................................................................................................................... 45
3
Введение
Настоящее учебно-методическое пособие написано авторами на основе
многолетнего опыта чтения лекций и проведения практических занятий по
теории вероятностей в общем курсе “Высшая математика” на химическом
факультете ННГУ.
Учебно-методическое пособие носит учебный характер и представляет
собой методическое руководство к решению задач, отвечающих одному из
разделов теории вероятностей “Случайные события”.
Цель методического пособия – помочь студентам грамотно выбрать
правильный подход к решению конкретных задач, для чего в каждом параграфе
пособия приведено достаточно большое количество подробно решенных
типовых задач с методическими рекомендациями. Этому же способствуют
излагаемые в начале каждого параграфа основные теоретические сведения
(определения, теоремы, формулы), необходимые для решения последующих
задач. Для закрепления разобранного материала приводится большое
количество разнообразных задач (с ответами) для самостоятельного решения.
4
§1. Соотношения между случайными событиями
1.1. Основные понятия
Одним из основных понятий в теории вероятностей является понятие
события.
Случайным событием (возможным событием или просто событием)
называется всякий факт, который может произойти или не произойти в
результате некоторого опыта (испытания, эксперимента).
Под опытом (испытанием, экспериментом) в данном определении
понимается выполнение определенного комплекса условий, в которых
наблюдается то или иное явление, фиксируется тот или иной результат.
События обозначаются заглавными буквами латинского алфавита:
A,B,C,…
Совокупность всех случайных событий
называется классом или полем событий.
для
данного
испытания
Различные события в данном опыте могут быть связаны между собой
определенными соотношениями. Перечислим их.
10 . Событие называется достоверным (обозначается буквой D), если в
результате данного опыта оно обязательно наступит.
2 0 . Событие называется невозможным (обозначается буквой N или символом
), если в результате проведения опыта оно не может произойти.
30 . Событие A влечет за собой событие B (или: событие A входит в B,
является частным случаем события B), если при наступлении события A
обязательно наступает событие B; пишут A  B или B  A.
4 0 . Если одновременно A  B и B  A, то события A и B называются
эквивалентными или равносильными. В этом случае пишут A=B.
5 0 . Событие C, состоящее в совместном наступлении событий A и B
называется произведением событий и обозначается C  A  B .
6 0 . Событие S, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий A и B
(т.е. или A, или B, или A и B вместе) называется суммой событий A и B и
обозначается S=A+B.
Непосредственно из определения суммы и произведения событий следует, что
A  A  A , AA  A .
7 0 . Событие C, состоящее в том, что событие A происходит, а событие B не
происходит, называется разностью событий A и B и обозначается C=A-B.
5
8 0 .Событие,
состоящее
в
ненаступлении
события
__
A,
называется
__
противоположным событию A и обозначается A (т. е. событие A – это все
то, что не A).
__
События A и A называют еще взаимно дополнительными. События A и
__
__
__
A связаны между собой соотношениями: A  A  D , A  A  N .
A и B называются несовместными, если их совместное
наступление невозможно в одном и том же опыте, т. е. если A  B  N .
События A и B называются совместными, если их совместное наступление
возможно, т. е. если A  B  N .
9 0 .События
Аналогично n событий B1 , B2 , ..., Bn называются попарно несовместными, если
любые два из них несовместны, т. е. если Bi  B j  N при всех i  j . События
B1 , B2 , ..., Bn называются совместными, если совместны хотя бы два из них.
10 0 .Если A  B1  B2  ...  Bn и события B1 , B2 , ..., Bn попарно несовместны, то
говорят, что событие A подразделяется на частные случаи B1 , B2 , ..., Bn .
110 . События B1 , B2 , ..., Bn образуют полную группу событий, если они попарно
несовместны и в результате каждого опыта происходит одно и только одно
из них, т. е. B1  B2  ...  Bn  D .
12 0 . Несколько событий в данном опыте называются равновозможными, если
при условии симметрии опыта ни одно из этих событий не является
объективно более возможным (т.е. все события имеют равные “шансы”).
1.2. Решение задач
Пример 1. При каких событиях A и B возможно равенство A+B=A?
Решение. Сумма событий A+B представляет событие, состоящее в
наступлении хотя бы одного из событий A и B. Равенство A+B=A возможно,
если событие B  A .
Пример 2. Взятая наудачу деталь может оказаться либо первого (событие
A), либо второго (событие B), либо третьего (событие C) сорта. Что
представляют собой следующие события: A+B; A  C ; AC; AB+C?
Решение. A+B – это событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из
событий A и B, следовательно, в нашем случае A+B – деталь первого или
второго сорта. Так как A+C – деталь первого или третьего сорта, то
противоположное ему событие A  C - деталь второго сорта. AC=N, поскольку
деталь не может быть одновременно и первого и третьего сорта. AB+C как
6
сумма невозможного события и события C равно C, т. е. AB+C – деталь
третьего сорта.
Пример 3. Событие A = {хотя бы один из трех проверяемых приборов
бракованный}; B = {все приборы доброкачественные}. Что означают события:
а) A+B; б) AB?
Решение. A+B=D; б) AB=N.
Пример 4. Три студента независимо друг от друга решают одну и ту же
задачу. Пусть событие A1  {первый студент решил задачу}, A2  {второй
студент решил задачу}, A3  {третий студент решил задачу}. Выразить через
события Ai (i=1, 2, 3) следующие события: 1) A={все студенты решили задачу};
2) B={задачу решил только первый студент}; 3) C={задачу решил хотя бы один
студент}; 4) E={задачу решил только один студент}.
Решение. 1) Событие A состоит в совместном наступлении всех трех
событий A1 , A2 , A3 , т. е. A  A1  A2  A3 .
2) В этом случае событие A1 произошло, а A2 и A3 не произошли, т. е.
произошли события A2 и A3 , следовательно, B  A1  A2  A3 .
3) Событие C означает, что произошло или событие A1 , или A2 , или A3 , или
любые два из них, или все три события, т. е. имеем сумму событий
C  A1  A2  A3 .
4) Задачу решил только первый студент ( A1  A2  A3 ), или только второй студент
( A1  A2  A3 ), или только третий студент ( A1  A2  A3 ). В этом случае имеем сумму
событий E= A1  A2  A3 + A1  A2  A3 + A1  A2  A3 .
1.3. Задачи для самостоятельного решения
1.1.
Из таблицы случайных чисел наудачу взято одно число. Событие
A={выбранное число делится на 5}; событие B={данное число
оканчивается нулем}. Что означают события: A  B , A  B ?
1.2.
Два шахматиста играют одну партию. Событие A={выиграет первый
игрок}, B={выиграет второй игрок}. Какое событие следует добавить к
указанной совокупности, чтобы получилась полная группа событий?
Совместны ли события A и A  B ?
1.3.
1.4.
События A={хотя бы одно из имеющихся четырех изделий бракованное},
событие B={бракованных изделий среди них не менее двух}. Что
означают противоположные события A и B ?
7
1.5.
Из корзины, содержащей красные, желтые и белые розы, выбирается
один цветок. Пусть события A={выбрана красная роза}, B={выбрана
желтая роза}, C={выбрана белая роза}. Что означают события:
а) A ; б) A+B; в) AC; г) A  B ; д) A + B ; е) AB+C?
1.6.
Пусть A1 , A2 , A3 - попадание в мишень соответственно первым, вторым и
третьим стрелком при одном выстреле. События A1 , A2 , A3 - промахи этих
стрелков. Найти выражения для событий: а) A={ни одного попадания в
мишень}, б) B={только одно попадание}, в) C={только два попадания},
г) E={три попадания}, д) F={хотя бы одно попадание}; е) K={хотя бы два
попадания в результате этих трех выстрелов}.
1.7.
Выделить полную группу несовместных событий в опыте с вбрасыванием
одного игрального кубика. Выразить через события этой группы события:
A={выпадение четного числа очков}; B={выпадение числа очков,
кратного трем}.
1.8.
Пусть A, B, C – три произвольных события. Найти выражения для
событий, которые состоятся в следующих случаях: 1) произошло только
событие A; 2) произошло одно и только одно событие; 3) произошло два
и только два события; 4) все три события произошли; 5) произошло по
крайней мере одно событие; 6) произошло не более двух событий.
§2. Вероятность случайного события
Вероятностью события называется число, выражающее степень
объективной возможности наступления события в рассматриваемом опыте.
2.1. Аксиоматическое определение вероятности
Будем считать, что относительно событий из рассматриваемого поля
справедливы следующие высказывания:
Аксиома 1. Каждому случайному событию A ставится в соответствие
неотрицательное число p, p=P(A), называемое вероятностью события A.
Аксиома 2. Вероятность достоверного события равна единице, т.е.
P(D)=1.
Аксиома 3. (аксиома сложения). Вероятность суммы конечного числа
попарно несовместных событий, равна сумме вероятностей этих событий,
т. е.
8
P(A 1 +A 2 + …+A l )=P(A 1 )+P(A 2 )+…+P(A l ), если A i A k =N при всех i  k.
Такое определение вероятности называется аксиоматическим. Из
аксиоматического определения следуют следующие свойства вероятности:
__
1) P(N)=0; 2) P( A )=1-P(A); 3) 0  P(A)  1; 4) P(B)  P(A), если A  B;
5) P(A)=P(B), если A=B.
2.2. Классическое определение вероятности
Допустим, что в данном поле событий можно выделить полную группу
из n попарно несовместных и равновозможных (равновероятных) событий.
Такие события называются элементарными исходами (событиями),
случаями (шансами).
Случай называется благоприятным (или благоприятствующим)
событию A, если появление этого случая влечет за собой появление события A.
Вероятностью события A называется отношение числа m случаев,
благоприятствующих событию A, к общему числу n случаев, составляющих
полную группу попарно несовместных и равновероятных событий, т.е.
P( A) 
m
n
(1)
Такое определение вероятности называется классическим.
2.3. Элементы комбинаторики
Для успешного решения задач с использованием классического
определения вероятности необходимо знать основные правила и формулы
комбинаторики.
Комбинаторика – раздел математики, изучающий, в частности, методы
решения комбинаторных задач, т. е. задач о подсчете числа различных
комбинаций (выборок), получаемых из элементов заданного конечного
множества.
Пусть a1 , a2 , …, a n - элементы некоторого конечного множества.
Сформулируем два важных правила, часто применяемых при решении
комбинаторных задач.
Правило суммы. Если элемент a1 может быть выбран n1 способами,
элемент a 2 - другими n 2 способами, a 3 - отличными от первых двух n3
способами и т.д., a k - n k способами, отличными от первых (k-1), то выбор
9
одного из элементов: или a1 , или a2 , …, или a k может быть осуществлен
n1  n2  ...  nk способами.
Правило произведения (основной принцип). Если элемент a1 может
быть выбран n1 способами, после каждого такого выбора элемент a 2 может
быть выбран n 2 способами и т.д., после каждого (k-1) выбора элемент a k
может быть выбран n k способами, то выбор всех элементов a1 , a2 , …, a k в
указанном порядке может быть осуществлен n1  n2  ...  nk способами.
Приведем некоторые понятия и формулы, которые лежат в основе
комбинаторики.
Пусть дано множество, состоящее из n различных элементов: a1 , a2 , …,
a n . Из этого множества могут быть образованы комбинации (выборки) из m
элементов (0<m  n).
Размещениями из n элементов по m называются комбинации (выборки),
состоящие из m элементов и отличающиеся друг от друга либо составом
элементов, либо порядком их расположения (либо и тем и другим).
Число размещений из n элементов по m обозначается символом Anm (“A из эн
по эм”) и вычисляется по формуле
Anm  n  (n  1)  (n  2)  ...  (n  m  1)
или
Anm 
n!
, где n! 1 2  ...  n ; 1!=1; 0!=1.
(n  m)!
Перестановками из n элементов называются комбинации (выборки),
состоящие из n элементов и отличающиеся друг от друга только порядком
следования элементов.
Число перестановок из n элементов обозначается символом Pn (“пэ из
эн”) и вычисляется по формуле
Pn  n!
Сочетаниями из n элементов по m (0<m  n) называются комбинации
(выборки), состоящие из m элементов, взятых из данных n элементов, и
отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом, т. е. отличающиеся
только составом элементов.
Число сочетаний из n элементов по m обозначается символом C nm (“цэ из
эн по эм”) и вычисляется по формуле:
C nm 
n(n  1)( n  2)...( n  m  1)
1  2  3  ...  m
10
или
C nm 
n!
.
m!(n  m)!
Так как по определению 0! 1, то C n0  1 .
2.4. Непосредственный подсчет вероятностей
Рассмотрим несколько примеров вычисления вероятностей событий,
пользуясь классическим определением вероятности. Приводимые ниже
примеры носят исключительно иллюстративный характер.
Пример 1. В первом ящике находятся шары с номерами от 1 до 5, а во
втором – с номерами от 6 до 10. Из каждого ящика вынули по одному шару.
Какова вероятность того, что сумма номеров вынутых шаров: а) не меньше 7;
б) равна 11; в) не больше 11?
Решение. а) Пусть A – событие, состоящее в том, что сумма номеров
вынутых шаров не меньше 7 (т.е. больше или равна 7).
После вынимания из каждого ящика по одному шару возможны следующие
исходы: (1,6), (1,7), (1,8), (1,9), (1,10), (2,6), (2,7), (2,8), (2,9), (2,10), (3,6),
(3,7), (3,8), (3,9), (3,10), (4,6), (4,7), (4,8), (4,9), (4,10), (5,6), (5,7), (5,8),
(5,9), (5,10).
Число всех равновозможных случаев (исходов) n  25 . Очевидно, что число
случаев (исходов), благоприятствующих наступлению события A, равно m=25.
Тогда по формуле (1) P( A) 
m 25

 1 . Событие A – достоверное.
n 25
б) Исходами, благоприятствующими наступлению события B={сумма номеров
вынутых шаров равна 11}, являются (5,6), (4,7), (3,8), (2,9), (1,10). Число таких
случаев m=5. Число всех равновозможных случаев n  25 (см. пункт a). Поэтому
P( B) 
m 5 1

 .
n 25 5
в) Число всех случаев n  25 . Исходами, благоприятствующими наступлению
события C={сумма номеров вынутых шаров не больше 11 (т.е. меньше или
равна 11)}, являются (1,6), (1,7), (1,8), (1,9), (1,10), (2,6), (2,7), (2,8), (2,9), (3,6),
(3,7), (3,8), (4,6), (4,7), (5,6). Число таких случаев равно m  15 . Следовательно,
P (C ) 
m 15 3

 .
n 25 5
Пример 2. Числа 1, 2, 3, 4, 5 написаны на пяти карточках. Наугад
последовательно выбираются три карточки, и вынутые таким образом цифры
ставятся слева направо. Найти вероятность того, что полученное при этом
трехзначное число будет четным.
11
Решение. Пусть событие A={получение четного трехзначного числа}.
Различные комбинации трех цифр из имеющихся пяти представляют собой
размещения, так как они могут отличаться как составом входящих цифр, так и
порядком их следования (или и тем и другим), т. е. общее число всех случаев
n  A53 , из которых событию A благоприятствует m  2  A42 случаев (число будет
четным, если оно оканчивается либо на 2, либо на 4). По формуле (1)
P( A) 
m 2  A42 2  4  3 2


 .
n
5 43 5
A53
Пример 3. (задача о выборке). В партии из 50 деталей 5 нестандартных.
Определить вероятность того, что среди выбранных наудачу для проверки 6
деталей 2 окажутся нестандартными.
Решение. Пусть событие A={из 6 выбранных наудачу для проверки
деталей две - нестандартные}. Общее число всех случаев выбора 6 деталей из
50 равно n  C 506 , так как комбинации из 50 деталей по 6 представляют собой
сочетания, ибо они отличаются только составом деталей. Определим число
случаев, благоприятствующих событию A. Число способов выбрать 2
нестандартные детали из 5, находящихся в партии, равно C 52 . Каждому такому
выбору соответствует C 454 способов выбора 4 стандартных деталей из 45
стандартных деталей в партии. Следовательно, по правилу произведения число
случаев, благоприятствующих событию A, равно: m  C 52  C 454 . Таким образом,
P( A) 
4
m C52  C 45

 0,08 .
6
n
C50
Пример 4. Из колоды карт (36 карт) наудачу вынимаются 3 карты. Найти
вероятность того, что среди них окажется хотя бы одна “дама”.
Решение. Обозначим интересующее нас событие буквой A. Событие A
можно представить в виде суммы трех несовместных событий: A  A1  A2  A3 ,
где событие A1 - появление одной “дамы”, A2 - появление двух “дам”, A3 появление трех “дам”. Проводя рассуждения, аналогичные тем, которые были
при решении предыдущей задачи, найдем, что число случаев,
благоприятствующих событиям A1 , A2 , A3 равно соответственно m1  C 41  C 322 ,
1
m2  C 42  C32
, m3  C 43  C320 . Так как число всевозможных случаев выбрать 3 карты
из 36 равно n  C 363 , то P( A1 ) 
P( A3 ) 
2
1
m1 C14  C32
m2 C 42  C32


0
,
2778
P
(
A
)


 0,0269 ;
;
2
3
3
n
n
C36
C36
0
m3 C 43  C32

 0,0006 .
3
n
C36
В силу аксиомы сложения P( A)  P( A1 )  P( A2 )  P( A3 )  0,3053 .
Этот пример можно решить и иным способом.
12
Пусть событие A , противоположное событию A, состоит в том, что среди
вынутых трех карт не окажется ни одной “дамы”. Очевидно, что число случаев,
благоприятствующих событию A , равно m  C 323
и, следовательно,
P( A) 
3
m C32
 3  0,6947 .
n C36
Тогда искомая вероятность P( A)  1  P( A)  1  0,6947  0,3053 .
Пример 5. В урне 3 белых, 6 красных и 5 синих шаров. Из нее наудачу
вынимают 3 шара. Какова вероятность того, что: a) все они одного цвета; б) все
они разных цветов; в) среди них 1 белый и 2 синих шара.
Решение. Сначала заметим, что число способов вынуть 3 шара из 14,
имеющихся в урне, равно n  C143  364 .
а) Пусть событие A состоит в том, что три шара, вынутых из урны, одного
цвета (т.е. три шара либо белые, либо красные, либо синие). Выбрать 3 белых
шара из 3 можно C33 способами; 3 красных из имеющихся 6 можно выбрать C 63
способами; 3 синих из 5 синих - C53 способами. По правилу суммы общее число
m случаев, благоприятствующих событию A, равно m  C33  C 63  C53  31 . Отсюда
P ( A) 
m
31

.
n 364
б) Пусть событие B состоит в том, что три вынутых из урны шара разных
цветов. По правилу произведения, найдем, что число m случаев,
благоприятствующих событию B, равно m  C31  C61  C51  3  6  5  90 . Поэтому
P( B) 
m 90

.
n 364
в) Пусть C – событие, состоящее в том, что из трех вынутых шаров, 1 белый и 2
синих. Выбрать 1 белый шар из имеющихся в урне 3 белых шаров можно C 31
способами, а 2 синих из имеющихся 5 синих - C 52 способами. Тогда по правилу
произведения имеем: m  C31  C52  30 . Следовательно, P(C ) 
m 30

.
n 364
Пример 6. Наудачу взятый телефонный номер состоит из 5 цифр. Как
велика вероятность, что в нем: 1) все цифры различные; 2) все цифры
нечетные?
Решение. 1) Пусть событие A состоит в том, что все цифры пятизначного
телефонного номера различны. Так как на каждом из пяти мест в пятизначном
номере может стоять любая из цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, то число всех
различных пятизначных номеров n  10 5 (все они могут быть перенумерованы
следующим образом: номер 00000 – 1-й, 00001 – 2-й, 00002 – 3-й, …, 99998 99999-й и, наконец, 99999 – 100 000 –й). Номера, у которых все цифры
различные, есть размещение из 10 элементов по 5. Поэтому, число случаев,
13
благоприятствующих событию A, m  A105  10  9  8  7  6 и искомая вероятность
P( A) 
m 10  9  8  7  6

 0,3024 .
n
10 5
2) Пусть событие B – все цифры пятизначного номера нечетные. Поскольку из
5 нечетных цифр (1, 3, 5, 7, 9) можно образовать 5 5 различных пятизначных
номеров, то число случаев, благоприятствующих событию B, m = 5 5 . Учитывая,
n  10 5 ,
что
число
всех
равновозможных
случаев
найдем
5
m 55  1 
1
P( B)   5    
 0.03125 .
n 10
32
2
2.5. Задачи для самостоятельного решения
2.1.
Из четырех одинаковых карточек, на которых написаны буквы А, Б, В, Г,
наугад взяты две. Определить вероятность того, что буквы на этих
карточках будут соседними по алфавиту.
2.2.
Бросаются одновременно две игральные кости. Найти вероятность
следующих событий: а) сумма выпавших очков равна 8; б) произведение
выпавших очков равно 8; в) сумма выпавших очков больше, чем их
произведение.
2.3.
Даны 9 карточек с числами от 1 до 9. Наудачу берут 5 карточек и
располагают их в строку, в результате получается пятизначное число.
Найти вероятность того что: а) полученное число будет четным; б) число
делится на 5; в) число делится на 25.
2.4.
Из 20 акционерных обществ (АО) 4 являются банкротами. Гражданин
приобрел по одной акции шести АО. Какова вероятность того, что среди
купленных акций две окажутся акциями банкротов.
2.5.
В лифт на 1-м этаже девятиэтажного дома вошли 4 человека, каждый из
которых может выйти независимо друг от друга на любом этаже со 2-го
по 9-й. Какова вероятность того, что все пассажиры выйдут: а) на 6-м
этаже; б) на одном этаже?
2.6.
На восьми одинаковых карточках написаны соответственно числа 2, 4, 6,
7, 8, 11, 12 и 13. Наугад берутся две карточки. Определить вероятность
того, что образованная из двух полученных чисел дробь сократима.
2.7.
Из десяти лотерейных билетов выигрышными являются два. Определить
вероятность того, что среди взятых наудачу пяти билетов: а) один
выигрышный; б) оба выигрышных; в) хотя бы один выигрышный.
14
2.8.
В магазине было продано 21 из 25 холодильников трех марок,
имеющихся в количествах 5,7 и 13 штук. Полагая, что вероятность быть
проданным для холодильника каждой марки одна и та же, найти
вероятность того, что остались нераспроданными холодильники одной
марки.
2.9.
На полке стоят 10 книг, среди которых 3 книги по теории вероятностей.
Наудачу берутся три книги. Какова вероятность, что среди отобранных
хотя бы одна книга по теории вероятностей?
2.10. Среди 25 студентов, из которых 15 девушек, разыгрываются четыре
билета, причем
каждый может выиграть только один билет. Какова
вероятность того, что среди обладателей билета окажутся: а) четыре
девушки; б) четыре юноши; в) три юноши и одна девушка?
2.11. Из 20 сбербанков 10 расположены за чертой города. Для обследования
случайным образом отобрано 5 сбербанков. Какова вероятность того, что
среди отобранных окажется в черте города: а) 3 сбербанка; б) хотя бы
один?
2.12. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Зачет считается сданным,
если студент ответит не менее чем на 3 из 4 поставленных в билете
вопросов. Взглянув на первый вопрос билета, студент обнаружил, что он
его знает. Какова вероятность того, что студент: а) сдает зачет; б) не сдает
зачет?
2.13. В магазине имеются 30 телевизоров, причем 20 из них импортных. Найти
вероятность того, что среди 5 проданных в течение дня телевизоров
окажется не менее 3 импортных телевизоров, предполагая, что
вероятности покупки телевизоров разных марок одинаковы.
2.14. В партии, состоящей из k изделий, имеется l дефектных. Из партии
выбирается для контроля r изделий. Найти вероятность того, что из них
ровно s изделий будут дефектными.
2.15. Из 40 вопросов, входящих в экзаменационные билеты, студент знает 30.
Найти вероятность того, что среди трех наугад выбранных вопросов
студент знает: а) 3 вопроса; б) 2 вопроса; в) 1 вопрос.
2.16. На 5 карточках написано по одной цифре из набора 1, 2, 3, 4, 5. Наугад
выбираются две карточки. Какова вероятность того, что число на второй
карточке больше, чем на первой?
15
2.17. Из 100 изготовленных деталей 10 имеют дефект. Для проверки были
отобраны 5 деталей. Какова вероятность того, что среди отобранных
деталей две окажутся бракованными?
2.18. В коробке 5 синих, 4 красных и 3 зеленых карандаша. Наудачу вынимают
3 карандаша. Какова вероятность того, что: а) все они одного цвета; б) все
они разных цветов; в) среди них 2 синих и 1 зеленый карандаш?
2.19. Восемь шахматистов, среди которых три гроссмейстера, путем
жеребьевки делятся на две команды по 4 человека. Какова вероятность
того, что два гроссмейстера попадут в одну команду, а еще один - в
другую?
2.20. Наудачу выбирают 5 военнослужащих из группы, состоящей из 4
офицеров и 12 солдат. Какова вероятность того, что в группе будет не
более двух офицеров?
§3. Геометрическая вероятность
3.1. Основные понятия
В классическом определении вероятности рассматривается полная группа
конечного числа равновероятных событий. На практике же очень часто
встречаются испытания с бесконечным (вообще говоря, несчетным) числом
возможных исходов, поэтому в таких случаях классическое определение
вероятности неприменимо. Тогда вводят понятие геометрической
вероятности, т. е. вероятности попадания точки в область (отрезок, часть
плоскости, часть тела и т.д.).
Рассмотрим, например, на плоскости некоторую область G, имеющую
площадь S G , и внутри области G область g с площадью S g . Пусть в область G
наудачу бросается точка. При этом попадание точки в область G – достоверное
событие, а в g – случайное. Предполагается, что все точки области G
равноправны, т. е. наудачу брошенная точка может попасть в любую точку
области G, и вероятность события A – попадания точки в область g –
пропорциональна площади этой области и не зависит от ее расположения и
формы (рис.1).
16
Рис. 1
Геометрической вероятностью события A называется отношение
площади области g к площади области G, т. е.
P( A) 
Sg
SG
(2)
Область g называется благоприятствующей (благоприятной) событию A.
Область, на которую распространяется понятие геометрической
вероятности, может быть одномерной (прямая, отрезок) и трехмерной
(некоторое тело в пространстве). Обозначая меру (длину, площадь, объем)
области через mes, можно записать
P( A) 
mes g
mes G
(3)
3.2. Решение задач
Пример 1. В некоторой точке C линии AB длины L произошел разрыв.
Какова вероятность того, что точка C удалена от точки A на расстояние не
меньше l ?
Решение. Расположим отрезок AB на числовой оси Ox так, как
изображено на рис. 2.
Рис. 2
17
Пусть x – координата случайной точки C отрезка AB, 0  x  L . Ясно, что
исходов опыта (разрыв линии AB в точке C) бесчисленное множество и все они
равновозможны. На отрезке AB возьмем точку M, расстояние которой от точки
A, равно l .
Очевидно, что событие A={точка C удалена от точки A на расстояние не
меньше l } произойдет, если точка C попадет на отрезок MB=[ l ,L].
Таким образом, областью, благоприятствующей наступлению события A (на
рис. 2 она заштрихована), является отрезок MB, а множеству исходов опыта
соответствует отрезок AB=[0,L].
Тогда по формуле (3)
P( A) 
MB L  l
l

 1 .
AB
L
L
Пример 2. (Задача о встрече). Два студента A и B условились
встретиться в определенном месте во время перерыва между 13 ч и 13 ч 50 мин.
Пришедший первым ждет другого в течение 10 мин., после чего уходит. Чему
равна вероятность их встречи, если приход каждого из них в течение указанных
50 минут может произойти наудачу и моменты прихода независимы?
Решение. Пусть x – время прихода студента A, а y – студента B. Ясно,
что 0  x  50 , 0  y  50 .
Будем рассматривать x и y как декартовы координаты на плоскости Oxy,
выбрав в качестве единицы масштаба одну минуту. Тогда все возможные
исходы изобразятся точками квадрата со стороной
a=50, т.е.
G  {( x, y ) : 0  x  50, 0  y  50} .
Интересующее нас событие C={студенты A и B встретятся} наступит тогда и
только тогда, если разность между моментами их прихода будет не более 10
минут (по модулю), т. е. y  x  10 .
Неравенство y  x  10 , т. е. x  10  y  x  10 определяет благоприятствующую
событию C область g, заштрихованную на рис.3.
Тогда по формуле (2) искомая вероятность равна
P(C ) 
Sg
SG
50 2  40 2

 0,36 .
50 2
18
Рис. 3
Рис. 4
Пример 3. Какова вероятность того, что произведение двух наугад
взятых правильных положительных дробей будет не больше
1
?
4
Решение. Обозначим через x и y соответственно две положительные
правильные дроби. Ясно, что 0<x<1, 0<y<1. Будем рассматривать x и y как
декартовы координаты на плоскости. Всевозможные исходы изобразятся
на плоскости точками (x, y) квадрата со стороной, равной 1. Поэтому область
G={(x,y): 0<x<1, 0<y<1}. Интересующее нас событие A={произведение двух
1
} наступит тогда и только тогда,
4
1
xy  . Это неравенство определяет
4
положительных дробей будет не больше
когда
будет
выполнено
условие
благоприятствующую событию A область g, заштрихованную на рис.4.
1
1
1
1
2,386
Учитывая, что S G  1 , а S g    dx  (1  ln 4) 
 0,5965  0,6 , согласно
4 1 4x
4
4
4
формуле (2) найдем P( A) 
Sg
SG
 0,6 .
3.3. Задачи для самостоятельного решения
3.1.
На плоскости проведены параллельные линии, расстояния между
которыми попеременно равны 1,5 и 8 см. Определить вероятность того,
что наудачу брошенный на эту плоскость круг радиуса 2,5 см не будет
пересечен ни одной линией.
3.2.
Из последовательности чисел 1, 2, 3, 4, …, 600 наудачу выбираются 2
числа. Какова вероятность того, что одно из них меньше 126, а другое
больше 126?
19
3.3.
На отрезке [0,5] случайно выбирается точка. Найти вероятность того, что
расстояние от нее до правого конца отрезка не превосходит 1,6 единиц.
3.4.
В круг радиуса R вписан правильный треугольник. Найти вероятность
того, что точка, брошенная в этот круг, попадет в данный треугольник.
3.5.
Стержень длины l разломан в двух наугад выбранных точках. Найти
вероятность того, что из полученных отрезков можно составить
треугольник.
3.6.
На отрезке AB длиной l наудачу поставлены две точки L и M. Найти
вероятность того, что точка L будет ближе к точке M, чем к точке A.
3.7.
Какова вероятность того, что сумма двух наугад взятых положительных
чисел, каждое из которых не больше единицы, не превзойдет единицы, а
их произведение будет не больше
2
?
9
3.8.
Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время
прихода обоих пароходов независимо и равновозможно в течение данных
суток. Определить вероятность того, что одному из пароходов придется
ожидать освобождения причала, если время стоянки первого парохода
один час, а второго – два часа.
3.9.
Два лица условились встретиться в определенном месте между 18 и 19
часами и договорились, что пришедший первым ждет другого в течение
15 минут, после чего уходит. Найти вероятность их встречи, если приход
каждого в течение указанного часа может произойти в любое время и
моменты прихода независимы.
3.10. На отрезке длиной l наудачу выбраны две точки. Какова вероятность
того, что расстояние между ними меньше kl , где 0  k  1 ?
3.11. Какова вероятность того, что корни уравнения x 2  px  q  0 будут
действительными, если коэффициенты p и q уравнения выбираются
наудачу из отрезка [0,1]?
3.12. На отрезке [0,3] наудачу выбраны два числа x и y. Найти вероятность
того, что эти числа удовлетворяют неравенствам x 2  3 y  3x .
3.13. В шар вписан куб. Найти вероятность того, что выбранная наудачу
внутри шара точка окажется внутри куба.
3.14. На отрезке AB длины l наудачу нанесена точка C . Найти вероятность
того что меньший из отрезков AC и CB имеет длину, большую, чем
l
.
6
3.15. Между 12 и 13 часами дня должен произойти в случайный момент звонок
квартирного телефона, причем вызывающий ждет 10 минут. В течение
20
того же часа хозяин квартиры заходит домой в случайный момент и
остается дома в течение 30 мин. Определить вероятность того, что
разговор состоится.
3.16. Расстояние от пункта A до пункта B пешеход проходит за 20 минут, а
автобус – за 2 минуты. Интервал движения автобусов 30 минут. Пешеход
в случайный момент времени отправляется из A в B. Какова вероятность
того, что его в пути догонит автобус?
3.17. В сигнализатор поступают сигналы от двух устройств, причем
поступление каждого из сигналов не зависит друг от друга и
равновозможно в любой промежуток времени длительностью 3 часа.
Сигнализатор срабатывает, еcли интервал между моментами поступления
сигналов менее 0,15 часа. Найти вероятность того, что сигнализатор
сработает в течение 3 часов, если каждое из устройств пошлет по одному
сигналу.
3.18. Наудачу выбирают два числа из промежутка [0,1]. Какова вероятность
того, что их сумма заключена между
1
и 1?
4
3.19. На плоскости нарисованы две концентрические окружности, радиусы
которых 3 см и 5 см. Какова вероятность того, что точка, брошенная
наудачу в большой круг, попадет в кольцо, образованное этими
окружностями?
3.20. На окружности радиуса R наудачу поставлены три точки A, B, C. Найти
вероятность того, что треугольник ABC – остроугольный.
§4. Теоремы умножения и сложения вероятностей
4.1. Условная вероятность. Правило умножения
вероятностей
Условной вероятностью события A по отношению к событию B
называется вероятность события A, найденная при условии, что событие B
произошло. Обозначается символом P( A B) .
События A и B называются независимыми, если появление одного из них
не меняет вероятность появления другого, т. е. если
P( A B)  P( A) , P( B A)  P( B) .
Теорема
(правило)
умножения
вероятностей.
Вероятность
произведения двух событий равна произведению вероятности одного из этих
21
событий на условную вероятность другого, найденную в предположении, что
первое событие произошло, т.е.
P( AB)  P( A)  P( B A) или P( AB)  P( B)  P( A B)
(4)
Теорема умножения вероятностей для нескольких событий.
Вероятность произведения нескольких событий равна произведению
вероятности одного из этих событий на условные вероятности остальных
событий, вычисленные в предположении, что все предыдущие события
произошли, т. е.
P( A1  A2  ...  An )  P( A1 )  P( A2 A1 )  ...  P( An A1  A2  ...  An1 ) .
(5)
Для независимых событий A и B правило умножения вероятностей
принимает вид:
P( AB)  P( A)  P( B)
(6)
Эта формула часто используется в качестве определения независимых событий.
События A1 , A2 ,..., An называются независимыми (или независимыми в
совокупности), если вероятность любого из них не меняется от того, что
произошло одно или несколько других событий, т. е.
P( Ak )  P( Ak Ak1  Ak2  ...  Akl ) , где k i  k .
В случае n независимых событий имеем
P( A1  A2  ...  An )  P( A1 )  P( A2 )  ...  P( An ) ,
(7)
т.е. вероятность произведения двух или нескольких независимых событий равна
произведению вероятностей этих событий.
События A1 , A2 ,..., An называются попарно - независимыми, если любые
два события Ai и A j ( i  j ) из этого набора независимы.
Независимые события A1 , A2 ,..., An являются попарно – независимыми.
Обратное, вообще говоря, неверно.
4.2. Вероятность суммы совместных событий
Вероятность суммы конечного числа попарно несовместных событий
определяется аксиомой 3 (аксиомой сложения вероятностей).
При решении ряда задач требуется найти вероятность суммы двух или
нескольких совместных событий, т.е. вероятность появления хотя бы одного
из этих событий. В этом случае аксиома сложения вероятностей не применима.
22
Теорема (правило) сложения вероятностей. Вероятность суммы двух
совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без
вероятности их произведения, т. е.
P( A  B)  P( A)  P( B)  P( AB)
(8)
В случае трех и более совместных событий соответствующая формула
для вероятности суммы событий S  A  B  ...  K весьма громоздка, проще
перейти к противоположному событию S  A  B  ...  K  A  B.  ..  K и затем
воспользоваться равенством P( S )  1  P( S ) . Тогда
P( A  B  ...  K )  1  P( A  B  ...  K ) ,
(9)
т. е. вероятность суммы нескольких совместных событий A, B, ..., K равна
разности между единицей и вероятностью произведения противоположных
событий A, B, ..., K .
Если при этом события A B, ..., K независимые, то
P( A  B  ...  K )  1  P( A) P( B)...P( K )
(10)
4.3. Решение задач
Пример 1. Определить вероятность того, что выбранное наудачу изделие
является первосортным, если известно, что 4 % всей продукции является
браком, а 75 % небракованных изделий удовлетворяют требованиям первого
сорта.
Решение. Пусть событие A={выбранное изделие небракованное},
событие B={небракованное изделие удовлетворяет требованиям первого
сорта}, событие C={выбранное наудачу изделие первосортное}. Событие C
предоставляет собой произведение событий A и B: C=AB. По условию
P( A)  1  0,04  0,96 , P( B A)  0,75 . Тогда по теореме умножения вероятностей
(см. 2.1) искомая вероятность P( AB)  P( A)  P(B A)  0,96  0,75  0,72 .
Пример 2. В первом ящике 2 белых и 10 красных шаров; во втором
ящике 8 белых и 4 красных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Какова
вероятность, что оба шара белые?
Решение. В данном случае речь идет о совмещении событий A и B, где
событие A={появление белого шара из первого ящика}, событие B={появление
белого шара из второго ящика}. При этом A и B – независимые события. Имеем
2 1
8 2
 , P( B) 
 . По теореме умножения для независимых событий
12 6
12 3
1 2 1
(см. (6)) находим P( AB)  P( A)  P( B)    .
6 3 9
P ( A) 
23
Пример 3. На 100 лотерейных билетов приходится 5 выигрышных.
Какова вероятность выигрыша хотя бы по одному билету, если приобретено: а)
2 билета; б) 4 билета?
Решение. Пусть событие Ai ={выигрыш по i -му билету}, i =1, 2, 3, 4.
События Ai - совместные, но зависимые.
а) По формулам (8) и (4) вероятность выигрыша хотя бы по одному из двух
билетов
P( A1  A2 )  P( A1 )  P( A2 )  P( A1 A2 )  P( A1 )  P( A2 )  P( A1 )  P( A2 A1 ) 

5
5
5 4



 0,098.
100 100 100 99
б) по формулам (9) и (5) вероятность выигрыша хотя бы по одному из четырех
билетов
P( A1  A2  A3  A4 )  1  P( A1 A2 A3 A4 )  1  P( A1 )  P( A2 A1 )  P( A3 A1 A2 )  P( A4 A1 A2 A3 ) 
 1
95 94 93 92
  
 0,188.
100 99 98 97
Пример 4. Произведено три выстрела по цели из орудия. Вероятность
попадания при первом выстреле равна 0,75, при втором – 0,8, при третьем – 0,9.
Определить вероятность того, что будет: а) три попадания; б) хотя бы одно
попадание.
Решение. а) Пусть событие A состоит в том, что будет три попадания в
цель. Событие A представляет собой произведение трех событий: A  A1 A2 A3 ,
где Ai - попадание в цель при i -м выстреле, i  1,2,3 . События A1 , A2 , A3 независимые. По теореме умножения для независимых событий (см. (7))
P( A)  P( A1 A2 A3 )  P( A1 ) P( A2 ) P( A3 )  0,75  0,8  0,9  0,54 .
б) Пусть событие B состоит в том, что будет хотя бы одно попадание в цель при
трех выстрелах (т.е. не менее одного попадания в цель). Событие B  A1  A2  A3
- сложное событие. События A1 , A2 , A3 - совместные, а потому использовать
аксиому сложения для вычисления вероятности события B нельзя. Представим
событие B в виде суммы несовместных событий (вариантов):
B  A1 A2 A3  A1 A2 A3  A1 A2 A3  A1 A2 A3  A1 A2 A3  A1 A2 A3  A1 A2 A3 .
По теореме умножения для независимых событий можно найти вероятность
каждого варианта и все эти вероятности сложить в соответствии с аксиомой
сложения. Однако такой путь решения задачи слишком сложен.
Целесообразнее от события B перейти к противоположному событию B ={нет
ни одного попадания в цель при трех выстрелах}. Учитывая, что событие
24
B  A1  A2  A3  A1 A2 A3 , по теореме умножения для независимых событий (см.
(7)),
найдем
P( B)  P( A1 A2 A3 )  P( A1 ) P( A2 ) P( A3 )  0,25  0,2  0,1  0,005 ,
откуда
P( B)  1  P( B)  1  0,005  0,995 .
На этом примере проиллюстрирован принцип целесообразности применения
противоположных событий в теории вероятностей.
Пример 5. Радист трижды вызывает корреспондента. Вероятность того,
что будет принят первый вызов, равна 0,3, второй – 0,4, третий -0,5. По
условиям приема события, состоящие в том, что данный вызов будет услышан,
независимы. Найти вероятность того, что корреспондент вообще услышит
вызов.
Решение. Пусть событие Ai ={принят корреспондентом i -й вызов}, i =1,
2, 3. События Ai совместные и независимые. По условию P( A1 )  0,3 ; P( A2 )  0,4 ;
P( A3 )  0,5 . Событие B={корреспондент вообще услышит вызов}: B  A1  A2  A3 .
Найдем вероятность события B. Для этого от события B перейдем к
противоположному событию B  {корреспондент не услышит вызов}:
воспользовавшись
формулой
(9),
найдем:
B  A1  A2  A3  A1 A2 A3 ,
P( B)  1  P( B)  1  P( A1 )  P ( A2 )  P ( A3 )  1  0,7  0,6  0,5  1  0,21  0,79.
Пример 6. Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна
0,9; второй – 0,9, третий – 0,8. Найти вероятность того, что студентом будут
сданы: а) только 2-й экзамен; б) только один экзамен; в) три экзамена; г) по
крайней мере два экзамена; д) хотя бы один экзамен.
Решение. а) Обозначим события: Ai = {студент сдаст i -й экзамен},
i  1,2,3;
B = {студент сдаст только 2-й экзамен из трех}. Очевидно, что
событие B представляет собой совместное наступление трех событий,
состоящих в том, что студент сдаст 2-й экзамен и не сдаст 1-й и 3-й экзамены,
т.е. B  A1 A2 A3 . Учитывая, что события A1 , A2 , A3 независимы, получим
P( B)  P( A1 A2 A3 )  P( A1 ) P( A2 ) P( A3 )  0,1  0,9  0,2  0,018 .
б) Пусть событие C = {студент сдаст один экзамен из трех}. Очевидно, что
событие C можно представить в виде суммы трех несовместных событий:
C  A1 A2 A3  A1 A2 A3  A1 A2 A3 .
По аксиоме сложения и теореме умножения для независимых событий
P(C )  0,9  0,1  0,2  0,1  0,9  0,2  0,1  0,1  0,8  0,044 .
в) Пусть событие E = {студент сдаст все три экзамена}, т.е. E  A1 A2 A3 . Тогда по
формуле (7) P( E )  P( A1 A2 A3 )  P( A1 ) P( A2 ) P( A3 )  0,9  0,9  0,8  0,648 .
г) Пусть событие F = {студент сдаст, по крайней мере, два экзамена} (т.е. хотя
бы два экзамена или не менее двух экзаменов). Ясно, что событие F означает
25
сдачу любых двух экзаменов из трех, либо всех трех экзаменов. Представим
событие
F
в
виде
суммы
несовместных
событий:
F  A1 A2 A3  A1 A2 A3  A1 A2 A3  A1 A2 A3 .
Тогда по аксиоме сложения и теореме умножения для независимых событий
найдем P( F )  0,9  0,9  0,2  0,9  0,1  0,8  0,1  0,9  0,8  0,9  0,9  0,8  0,954 .
д) Пусть событие K – студент сдал хотя бы один экзамен (т.е. не менее одного
экзамена). От прямого события K перейдем к противоположному событию
и воспользуемся формулой (2.7). Тогда
K  A1  A2  A3  A1 A2 A3
P( K )  P( A1  A2  A3 )  1  P( A1 ) P( A2 ) P( A3 )  1  0,1  0,1  0,2  0,998 ,
т.е. сдача хотя бы одного экзамена из трех является событием практически
достоверным.
4.4. Задачи для самостоятельного решения
4.1.
Из полной колоды карт (52 карты) вынимают одновременно четыре
карты. Рассмотрим события: A – среди вынутых карт хотя бы одна
бубновая, B – среди вынутых карт хотя бы одна червонная. Найти
вероятность события C = A + B.
4.2.
При одном цикле обзора радиолокационной станции, следящей за
космическим объектом, объект обнаруживается с вероятностью p.
Обнаружение объекта в каждом цикле происходит независимо от других.
Найти вероятность того, что при n – циклах объект будет обнаружен.
4.3.
32 буквы русского алфавита написаны на карточках разрезной азбуки.
Пять карточек вынимаются наугад одна за другой и укладываются на
стол в порядке появления. Найти вероятность того, что получится слово
“Москва”.
4.4.
Вероятность выхода изделия из строя при эксплуатации сроком до одного
года равна 0,13, а при эксплуатации сроком до 3 лет – 0,36. Найти
вероятность выхода изделия из строя при эксплуатации сроком от 1 года
до 3 лет.
4.5.
В ящике находится 3 белых и 4 черных шара. Из него последовательно
вынимают два шара. Обозначая события A1 = {первый шар белый}, A2 =
{второй шар белый}, B = {хотя бы один из вынутых шаров белый},
вычислить условные вероятности: P A1 A2  , P A1 B.
4.6.
Дана популяция плодовой мушки с двумя мутациями: 25 % особей имеют
мутацию крыльев, 15 % - мутацию глаз и 10 % - обе мутации. Выбирают
26
наудачу одну муху. 1) Если у нее оказывается мутация крыльев, то какова
вероятность того, что у нее есть и мутация глаз? 2) Если у нее
оказывается мутация глаз, то какова вероятность того, что у нее мутация
крыльев?
4.7.
В группе 25 % студентов имеют темный цвет волос, 15 % - голубые глаза,
10 % - темный цвет волос и голубые глаза. Преподаватель наугад
вызывает к доске одного студента. Какова вероятность того, что у
студента есть хотя бы темные волосы или хотя бы голубые глаза?
4.8.
Бросают две игральные кости. Какова вероятность появления хотя бы
одной шестерки?
4.9.
Ведется стрельба по самолету. Уязвимы два двигателя и кабина пилота.
Чтобы вывести из строя самолет достаточно поразить оба двигателя или
кабину пилота. Вероятность поражения первого двигателя равна p1 ,
второго двигателя p2 , кабины самолета p3 . Найти вероятность поражения
самолета, если его агрегаты поражаются независимо друг от друга.
4.10. В магазине продаются 10 телевизоров, 3 из них имеют дефекты. Какова
вероятность того, что посетитель купит телевизор, если для выбора
телевизора без дефекта понадобится не более трех попыток.
4.11. В урне находятся 3 белых, 4 желтых и 2 черных шара. Из нее наугад
вынимают (без возвращения) один за другим по одному шару. Какова
вероятность того, что белый шар появится раньше желтого.
4.12. Два стрелка по очереди стреляют в мишень. Если не попадает один, то
начинает стрелять другой. Найти вероятность того, что после трех
выстрелов в мишени будет две пробоины, сели вероятность попадания в
мишень для первого стрелка, начинающего стрельбу – 0,7; для второго –
0,8.
4.13. Студент может добраться до института или автобусом, который ходит
через каждые 20 мин., или троллейбусом, который ходит через каждые 10
мин. Найти вероятность того, что студент, подошедший к остановке,
уедет в течение ближайших 15 мин.?
4.14. В группе 8 человек, говорящих только на немецком языке, 6 человек –
только на финском. Какова вероятность того, что из двух выбранных
наудачу людей оба говорят на одном языке?
27
4.15. Вероятность обнаружения туберкулезного заболевания при одной
рентгеноскопии
3
. Чему равна вероятность, что заболевание будет
4
раскрыто при трех рентгеноскопиях?
4.16. Один студент выучил 20 из 25 вопросов программы, а второй – только 15.
Каждому из них задают по одному вопросу. Найти вероятность того, что
правильно ответят: а) оба студента; б) только первый студент; в) только
один из них; г) хотя бы один из студентов.
4.17. Достаточным условием сдачи коллоквиума является ответ на один из
двух вопросов, предлагаемых преподавателем студенту. Студент не знает
ответов на 8 вопросов из 40 вопросов, которые могут быть предложены.
Какова вероятность, что студент сдаст коллоквиум?
4.18. Прибор, работающий в течение времени t, состоит из трех узлов, каждый
из которых, независимо от других, может в течение времени t отказать.
Отказ хотя бы одного узла приводит к отказу прибора в целом.
Вероятность безотказной работы первого узла равна 0,7, второго – 0,8,
третьего – 0,9. Найти вероятность безотказной работы прибора в целом.
4.19. Электрическая цепь состоит из двух последовательно соединенных
элементов. Различные элементы цепи выходят из строя независимо друг
от друга. Вероятности выхода из строя элементов соответственно равны
p1  0, 1 , p2  0, 2 . Определить вероятность перерыва питания.
4.20. Разыскивая определенную книгу, студент обходит три библиотеки.
Вероятность того, что книга есть в каждой из трех библиотек, равна p1 , а
вероятность того, что имеющаяся книга не выдана, равна p2 для каждой
библиотеки. Какова вероятность, что студент достанет книгу в одной из
библиотек?
4.21. Вероятности того, что каждый из трех друзей придет в условленное
место, соответственно равны: p1  0, 8 , p2  0, 4 , p3  0, 7 . Определить
вероятность того, что встреча состоится, если для этого достаточно
явиться двум из трех друзей.
4.22. Вероятности своевременного выполнения задания тремя независимо
работающими предприятиями соответственно равны 0,5; 0,6; 0,7. Найти
вероятность своевременного
выполнения задания хотя бы одним
предприятием.
4.23. Студент знает 30 из 40 вопросов программы. Экзаменатор задает ему
вопросы до тех пор, пока не обнаружит пробел в знаниях студента. Найти
28
вероятность того, что будут заданы: а) два вопроса; б) более двух
вопросов; в) менее пяти вопросов.
4.24. Покупатель ищет необходимую ему вещь, обходя три магазина.
Вероятность наличия ее в каждом магазине 0,2. Что вероятнее – найдет
он искомую вещь или нет?
4.25. Группе студентов для прохождения производственной практики
выделено 30 мест: 15 – в Туле, 8 – во Владимире, 7 – в Калуге. Какова
вероятность того, что студент и студентка, которые в скором времени
собираются справить свадьбу, будут посланы для прохождения практики
в один и тот же город, если декан ничего не знает об их “семейных
делах”?
4.26. Студент разыскивает нужную ему формулу
Вероятность того, что формула содержится в
третьем справочниках равна соответственно
вероятность того, что эта формула содержится
справочниках.
в 3-х справочниках.
первом, во втором, в
0,6; 0,7; 0,8. Найти
не менее, чем в двух
4.27. Вероятность своевременного выполнения студентом контрольной работы
по каждой из трех дисциплин равна соответственно 0,6; 0,5; 0,8. Найти
вероятность своевременного выполнения контрольной работы студентом:
а) по двум дисциплинам; б) хотя бы по двум дисциплинам.
4.28. Из букв разрезной азбуки составлено слово “статистика”. Какова
вероятность того, что, перемешав буквы и укладывая их в ряд по одной
(наудачу), получим слово: а) тиски, б) киска, в) кит, г) статистика.
4.29. Три орудия стреляют в цель независимо друг от друга. Вероятность
попадания в цель каждого равна 0,7. Найти вероятность попадания в
цель: а) только одного из орудий; б) хотя бы одного.
4.30. Рабочий обслуживает 3 станка, работающих независимо друг от друга.
Вероятность того, что за смену первый станок не потребует внимания
рабочего, равна 0,9, второй – 0,8, третий – 0,75. Найти вероятность того,
что за смену: а) только один станок потребует внимания; б) хотя бы один
станок потребует внимания; в) только третий станок потребует внимания
рабочего.
29
§5. Формула полной вероятности. Формула Бейеса
5.1. Основные формулы
Вероятность P(B) появления события B, которое может произойти
только совместно с одним из событий H 1 , H 2 ,..., H n , образующих полную группу
попарно несовместных событий, т. е. H i  H j   , i  j и
n
H
i 1
i
 D , вычисляется
по формуле полной вероятности
n
P ( B )   P ( H i )P ( B H i ), где
i 1
n
 P( H )  1.
c 1
i
(11)
При этом события H 1 , H 2 ,..., H n обычно называют гипотезами, а числа
P( H i ) - вероятностями гипотез.
Условная вероятность гипотезы H i в предположении, что событие B
уже имеет место, определяется по формуле Бейеса:
P( H i B) 
P( BH i )
P( H i ) P( B H i )
, ( i  1, 2, ..., n )
 n
P( B)
 P( H i )P( B H i )
(12)
i 1
Вероятности P( H i B) , вычисленные по формуле Бейеса, часто называют
вероятностями гипотез.
5.2. Решение задач
Пример 1. Имеется четыре одинаковых ящика с электрическими
лампочками, причем первый ящик содержит 10 исправных и 2 бракованные
лампочки, второй и третий ящики содержат по 5 исправных и по 5 бракованных
лампочек, а четвертый ящик содержит только 10 исправных лампочек. Наудачу
выбирается один ящик и из него одна лампочка. Какова вероятность того, что
эта лампочка окажется исправной?
Решение. Пусть событие B={выбор исправной лампочки}, а гипотезы
H 1 ={выбор первого ящика}, H 2 ={выбор второго ящика}, H 3 ={выбор третьего
ящика}, H 4 ={выбор четвертого ящика}. События H1 , H 2 , H 3 , H 4 образуют
полную группу несовместных равновероятных событий, при этом
P( H 1 )  P( H 2 )  P( H 3 )  P( H 4 ) 
1
. (Контроль:
4
4
 P( H )  1 ). Условные вероятности
i 1
i
выбора исправной лампочки из первого, второго, третьего и четвертого ящиков
30
соответственно равны P( B H 1 ) 
10 5
5 1
 , P( B H 2 )  P( B H 3 ) 
 , P( B H 4 )  1.
12 6
10 2
Следовательно, по формуле полной вероятности (11) получим
P( B)  P( H 1 ) P( B H 1 )  P( H 2 ) P( B H 2 )  P( H 3 ) P( B H 3 )  P( H 4 ) P( B H 4 ) 

1 5 1 1 1 1 1
17
      1  .
4 6 4 2 4 2 4
24
Пример 2. Имеются две партии изделий по 12 и 10 штук, причем в
каждой партии одно изделие бракованное. Изделие, взятое наудачу из первой
партии, переложено во вторую, после чего выбирается наудачу изделие из
второй партии. Определить вероятность извлечения бракованного изделия из
второй партии.
Решение. Пусть событие B={извлечение бракованного изделия из второй
партии}. В качестве гипотез примем события H 1 ={из первой партии
переложено во вторую бракованное изделие} и H 2 ={из первой партии
переложено во вторую небракованное изделие}, при этом, очевидно, P( H 1 ) 
P( H 2 ) 
11
. (Контроль:
12
2
 P( H )  1).
i 1
i
Условные вероятности события B при
осуществлении каждой из гипотез соответственно равны
P( B H 2 ) 
1
.
11
Отсюда
по
P( B)  P( H 1 ) P( B H 1 )  P( H 2 ) P( B H 2 ) 
1
,
12
формуле
полной
P( B H 1 ) 
2
,
11
вероятности
1 2 11 1
13
   
.
12 11 12 11 132
Пример 3. Три организации поставили в контрольное управление счета
для выборочной проверки: первая 15 счетов, вторая – 10, третья – 25.
Вероятности правильного оформления счетов у этих организаций
соответственно таковы: 0,9; 0,8; 0,85. Был выбран один счет, и он оказался
правильным. Определить вероятность того, что этот счет принадлежит второй
организации.
Решение. Пусть событие B={выбран правильно оформленный счет}.
Гипотезы: H 1 ={правильно оформленный счет поставила первая организация},
оформленный счет поставила вторая организация},
H 2 ={правильно
H 3 ={правильно оформленный счет поставила третья организация}. События
H 1 , H 2 , H 3 образуют полную группу несовместных событий, при этом:
P( H 1 ) 
15 3
10 1
25 1
 , P( H 2 ) 
 , P( H 3 ) 
 . (Контроль:
50 10
50 5
50 2
3
3
1
1
 P( H )  10  5  2  1 ).
i 1
i
По условию P( B H1 )  0,9 ; P(B H 2 )  0,8 ; P( B H 3 )  0,85 . По формуле полной
вероятности найдем P( B)  0,3  0,9  0,2  0,8  0,5  0,85  0,855 . Для нахождения
31
искомой вероятности, т. е. условной вероятности P( H 2 B) - вероятности того,
что правильно оформленный счет принадлежит второй организации, - найдем
по формуле Бейеса (12)
P( H 2 B) 
P( H 2 ) P( B H 2 ) 0,2  0,8

 0,19 .
P( B)
0,855
Пример 4. Предположим, что 5 % всех мужчин и 0,25 % всех женщин
дальтоники. Наугад выбранное лицо оказалось дальтоником. Считая, что
мужчин и женщин одинаковое число, найти вероятность того, что этот человек:
а) мужчина; б) женщина.
Решение. Пусть событие A={выбранный человек оказался дальтоником}.
В качестве гипотез примем события H 1 ={выбранный человек - мужчина} и
событие H 2 ={выбранный человек - женщина}. События H1 , H 2 несовместные,
образуют полную группу, P( H1 )  P( H 2 )  0,5 . Для нахождения искомых
вероятностей, т. е. условных вероятностей P( H1 B) и P( H 2 B) , воспользуемся
формулой Бейеса. По формуле полной вероятности сначала найдем P(B). Так
как
по
условию
то
P( B H1 )  0,05 ;
P( B H 2 )  0,0025 ,
P( B)  0,5  0,05  0,5  0,0025  0,02625 . Следовательно, по формуле (12):
а) P( H 1 B) 
P( H 1 ) P( B H 1 ) 0,5  0,05 20


,
P( B)
0,02625 21
б) P( H 2 B) 
P( H 2 ) P( B H 2 ) 0,5  0,0025 1


.
P( B)
0,02625
21
Отметим, что сумма условных вероятностей гипотез также равна единице
(
20 1

 1 ).
21 21
5.3. Задачи для самостоятельного решения
5.1.
Двадцать пять экзаменационных билетов содержат по два вопроса,
которые не повторяются. Экзаменующийся может ответить только на 45
вопросов. Определить вероятность того, что экзамен будет сдан, если для
этого достаточно ответить на два вопроса из одного билета или на один
вопрос из первого билета и на указанный дополнительный вопрос из
другого билета.
5.2.
Охотник сделал три выстрела по кабану. Вероятность попадания первым
выстрелом 0,4, вторым – 0,5, третьим – 0,7. Одним попаданием кабана
можно убить с вероятностью 0,2, двумя попаданиями – с вероятностью
0,6, а тремя – наверняка. Найти вероятность того, что кабан будет убит.
32
5.3.
На автозавод поступили двигатели от трех моторных заводов. От первого
завода поступило 10 двигателей, от второго – 6, от третьего – 4 двигателя.
Вероятности безотказной работы этих двигателей в течение
гарантированного срока соответственно равны 0,9; 0,8; 0,7. Какова
вероятность того, что установленный на машине двигатель будет
работать без дефектов в течение гарантийного срока?
5.4.
На предприятии работают две бригады рабочих: первая производит в
среднем
3
продукции с процентом брака 4 %, вторая 4
1
продукции с
4
процентом брака 6 %. Найти вероятность того, что взятое наугад изделие
окажется бракованным?
5.5.
Студент знает 24 билета из 30. В каком случае вероятность вытащить
счастливый билет для него больше, если он идет сдавать экзамен первым
или если вторым?
5.6.
В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна.
Вероятность выполнить квалификационную норму такова: для лыжника –
0,9, для велосипедиста – 0,8 и для бегуна – 0,75. Найти вероятность того,
что спортсмен, выбранный наудачу, выполнит норму.
5.7.
Для участия в студенческих отборных спортивных соревнованиях
выделено из первой группы 4, из второй – 6, из третьей – 5 студентов.
Вероятности того, что студент первый, второй и третьей группы попадает
в сборную института, соответственно, равны 0,9; 0,7 и 0,8. Наудачу
выбранный студент в итоге соревнования попал в сборную. К какой из
групп вероятнее всего принадлежал этот студент?
5.8.
В тире имеются пять ружей, вероятности попадания из которых равны
соответственно 0,5; 0,6; 0,7; 0,8 и 0,9. Определить вероятность попадания
при одном выстреле, если стреляющий берет одно из ружей наудачу.
5.9.
В цехе работают 20 станков. Из них 10 марки A, 6 марки B и 4 марки C.
Вероятность того, что качество детали окажется отличным, для этих
станков соответственно равна: 0,9; 0,8 и 0,7. Какой процент отличных
деталей выпускает цех в целом?
5.10. На предприятии, изготавливающем болты, первая машина производит
25 %, вторая – 35 %, третья – 40 % всех изделий. В их продукции брак
составляет соответственно 5, 4 и 2 %. а) Какова вероятность того, что
случайно выбранный болт дефектный? б) Случайно выбранный из
продукции болт оказался дефектным. Какова вероятность того, что он
был произведен первой, второй, третьей машиной?
33
5.11. Турист, заблудившись в лесу, вышел на поляну, откуда вело 5 дорог.
Известно, что вероятности выхода из леса за час для различных дорог
равны соответственно 0,6; 0,3; 0,2; 0,1; 0,1. Чему равна вероятность того,
что заблудившийся турист пошел по первой дороге, если известно, что он
вышел из леса через час?
5.12. Группа студентов состоит из a - отличников, b – хорошо успевающих и c
– занимающихся слабо. Отличники на предстоящем экзамене могут
получить только отличные оценки. Хорошо успевающие студенты могут
получить с равной вероятностью хорошие и отличные оценки. Слабо
занимающиеся студенты могут получить с равной вероятностью
хорошие, удовлетворительные и неудовлетворительные оценки. Для
сдачи экзамена вызывается наугад один студент. Найти вероятность того,
что он получит хорошую или отличную оценку.
5.13. В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен, 3 - подготовлены
отлично, 4 – хорошо, 2 – посредственно и 1 – плохо.. В экзаменационных
билетах имеется 20 вопросов. Отлично подготовленный студент может
ответить на все 20 вопросов, хорошо подготовленный - на 16,
посредственно – на 10, плохо – на 5. Вызванный наугад студент ответил
на три произвольно заданных вопроса. Найти вероятность того, что этот
студент подготовлен:
а) отлично; б) плохо.
5.14. Пассажир может обратиться за получением билета в одну из трех касс.
Вероятности обращения в каждую кассу зависят от их местонахождения
и равны соответственно p1 , p2 , p3 . Вероятность того, что к моменту
прихода пассажира имеющиеся в кассе билеты будут распроданы, равна
для первой кассы P1 , для второй - P2 , для третьей - P3 . Пассажир
направился за билетом в одну из касс и приобрел билет. Найти
вероятность того, что это была первая касса.
5.15. У рыбака имеется три излюбленных места для ловли рыбы, которые он
посещает с равной вероятностью каждое. Если он закидывает удочку на
1
; на втором месте – с
3
1
1
вероятностью ; на третьем – с вероятностью . Известно, что рыбак,
2
4
первом месте, рыба клюет с вероятностью
выйдя на ловлю рыбы, три раза закинул удочку, и рыба клюнула только
один раз. Найти вероятность того, что он удил рыбу на первом месте.
5.16. При разрыве снаряда образуются осколки трех весовых категорий:
крупные, средние и мелкие, причем число крупных, средних и мелких
осколков составляет соответственно 0,1; 0,3; 0,6 общего числа осколков.
При попадании в броню крупный осколок пробивает ее с вероятностью
34
0,9, средний – с вероятностью 0,2 и мелкий – с вероятностью 0,05. В
броню попал один осколок и пробил ее. Найдите вероятности того, что
эта пробоина причинена крупным, средним и мелким осколком.
5.17. В обувную мастерскую для ремонта приносят сапоги и туфли в
соотношении 2:3. Вероятность качественного ремонта для сапог равна
0,9, а для туфель – 0,85. Проведена проверка качества одной пары обуви.
Оказалось, что эта пара обуви отремонтирована качественно. Какова
вероятность того, что это а) сапоги, б) туфли?
5.18. На предприятии, изготавливающем замки, первый цех производит 25 %,
второй - 35 %, третий – 40 % всех замков. Брак составляет соответственно
5 %, 4 %, 2%. а) Найти вероятность того, что случайно выбранный замок
является дефектным; б) Случайно выбранный замок является дефектным.
Какова вероятность того, что он был изготовлен в первом, втором,
третьем цехе?
5.19. В данный район изделия поставляются тремя фирмами в соотношении
5:8:7. Среди продукции первой фирмы стандартные изделия составляют
90 %, второй – 85 %, третьей – 75 %. Найти вероятность того, что:
а) приобретенное изделие окажется нестандартным; б) приобретенное
изделие оказалось стандартным. Какова вероятность, что оно изготовлено
третьей фирмой?
5.20. В студенческой группе 70 % - юноши. 20 % юношей и 40 % девушек
имеют сотовый телефон. После занятий в аудитории был найден кем – то
забытый телефон. Какова вероятность того, что он принадлежал:
а) юноше; б) девушке?
5.21. Два стрелка независимо друг от друга сделали по одному выстрелу в
мишень. Вероятности их попадания в мишень соответственно равны 0,75
(1-й стрелок) и 0,80 (2-й стрелок). После стрельбы в мишени обнаружена
одна пробоина. Какова вероятность того, что в мишень попал 2-й
стрелок?
5.22. На сборку попадают детали с трех автоматов. Известно, что 1-й автомат
дает 0,25 % брака; 2-й – 0,40 %, 3-й – 0,60 %. Какова вероятность
попадания на сборку бракованной детали, если с 1-го автомата поступило
2000, со 2-го - 1500 и с 3-го – 1300 деталей?
5.23. В 1-й урне находится 7 белых и 5 синих шаров, а во 2-й – 4 белых и 8
синих. Из первой урны наудачу перекладывают во вторую 2 шара, а затем
из 2-й урны извлекают один шар. Какова вероятность того, что он
окажется белым?
35
5.24. В коробке находится 4 новых и 2 уже использованных теннисных мяча.
Для первой игры берут из коробки 2 мяча, а затем их возвращают после
игры в коробку. Найти вероятность того, что для второй игры будут
вынуты два новых мяча.
5.25. В торговую фирму поставляются телевизоры тремя фирмами в
соотношении 5:2:3. Телевизоры, поступающие от этих фирм, не требуют
ремонта в течение гарантийного срока соответственно в 96 %, 92 % и
94 % случаев. Найти вероятность того, что купленный наудачу телевизор
не потребует ремонта в течение гарантийного срока. Какая фирма
вероятнее всего поставила данный телевизор?
5.26. На вход радиолокационного устройства с вероятностью 0,7 поступает
полезный сигнал с помехами, а с вероятностью 0,3 – только одни помехи.
Если поступает полезный сигнал с помехами, то устройство регистрирует
наличие сигнала с вероятностью p1 ; если только помехи – с вероятностью
p 2 . Какова вероятность того, что устройство зарегистрирует какой-то
сигнал?
5.27. Семь студентов, получив билеты, готовятся к ответу экзаменатору.
Знание билета гарантирует сдачу экзамена с вероятностью 0,9, незнание –
с вероятностью 0,2. Какова вероятность того, что вызванный наудачу
студент сдаст экзамен, если Иванов знает 20 билетов из 30, Петров –
лишь 15, а остальные студенты знают все билеты?
5.28. В альбоме 7 негашеных и 6 гашеных марок. Из них наудачу извлекаются
2 марки, подвергаются гашению и возвращаются в альбом. После чего
вновь извлекаются 3 марки. Определить вероятность того, что все
3 марки чистые?
5.29. При перевозке ящика, в котором находилось 21 стандартных и 10
нестандартных деталей, утеряна одна деталь, неизвестно какая. Наудачу
извлеченная (после перевозки) из ящика деталь оказалась стандартной.
Найти вероятность того, что была утеряна: а) стандартная деталь;
б) нестандартная деталь.
5.30. Банк выдал два долгосрочных, десять среднесрочных и восемь
краткосрочных кредитов. Известно, что один кредит не был погашен в
срок. Найти вероятность того, что им оказался долгосрочный кредит,
если вероятность погашения в срок долгосрочного кредита 0,9;
среднесрочного – 0,8; краткосрочного – 0,7.
5.31. Прибор содержит две микросхемы. Вероятность выхода из строя в
течение 10 лет первой микросхемы равна 0,07, а второй – 0,10. Известно,
36
что из строя вышла одна микросхема. Какова вероятность того, что из
строя вышла первая микросхема?
5.32. Известно, что 90 % изделий, выпускаемых данным предприятием,
отвечает стандарту. Упрощенная схема проверки качества продукции
признает пригодной стандартную деталь с вероятностью 0,96 и
нестандартную с вероятностью 0,06. Определить вероятность того, что:
а) взятое наудачу изделие пройдет контроль; б) изделие, прошедшее
контроль качества, отвечает стандарту.
5.33. В отборочный цех завода поступает 40 % деталей из I цеха и 60 % - из II
цеха. В I цехе производится 90 % стандартных деталей, а во II – 95 %.
Найти вероятность того, что: а) наудачу взятая сборщиком деталь
окажется стандартной; б) стандартная деталь изготовлена II цехом.
§6. Схема испытаний Бернулли
6.1. Формула Бернулли
Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых
может произойти некоторое событие A с одной и той же вероятностью P(A)=p
или произойти противоположное событие A с вероятностью P( A)  q  1  p
(такого рода схема испытаний называется схемой Бернулли). Тогда
вероятность того, что событие A наступит в этих n испытаниях ровно m раз
находится по формуле Бернулли
Pn (m)  C nm p m q n  m , m = 0,1,2,…,n, где C nm 
n!
m!(n  m)!
(13)
Формула (13) выражает так называемое биномиальное распределение.
Из формулы Бернулли, в частности, следует, что вероятность того, что в n
испытаниях, удовлетворяющих схеме Бернулли, событие A наступит не менее
m1 раз, равна Pn (m  m1 ) 
n
m1 1
m  m1
m 0
 Pn (m) или Pn (m  m1 )  1   Pn (m) .
Вероятность наступления события A хотя бы один раз в n испытаниях
равна
Pn (m  1)  1  q n .
(14)
Число m0
( 0  m0  n ) называется наивероятнейшим числом
наступлений события A в схеме Бернулли, если Pn (m0 )  Pn (m) для всех
37
m=0,1,2,…,n. Если вероятности p и q отличны от нуля, то число m0
определяется из двойного неравенства
np  q  m0  np  p .
(15)
Разность граничных значений в этом двойном неравенстве равна 1. Если
np  p не является целым числом, то двойное неравенство определяет лишь
одно наивероятнейшее значение m0 .
Если же np  p - целое число, то имеются два наивероятнейших
значения: m0 '  np  q и m0 ''  np  p .
6.2. Полиномиальное распределение
Пусть производится серия из n независимых испытаний (опытов), в
каждом из которых может произойти одно и только одно из k событий
с соответствующими вероятностями p1 , p2 ,..., pk (ясно, что
A1 , A2 ,..., Ak
p1  p2  ...  pk  1) . Тогда вероятность того, что в этих опытах событие A1
появится m1 раз, событие A2 - m2 раз, …, событие Ak - m k раз, равна
Pn (m1 , m2 ,..., mk ) 
n!
p1m1 p 2m2 ... p kmk ,
m1!m2 !...mk !
(16)
где m1  m2  ...  mk  n .
Формула (16) задает полиномиальное распределение вероятностей.
Заметим, что схема Бернулли является частным случаем полиномиального
распределения при k  2 , p2  1  p1  q1 .
6.3. Решение задач
Пример 1. Игральную кость подбрасывают 10 раз. Найти вероятность
того, что шестерка выпадет: а) два раза; б) хотя бы один раз.
Решение. Проводится 10 независимых испытаний. Каждое испытание
имеет два исхода: шестерка выпадет, шестерка не выпадет. Вероятность
1
6
выпадения шестерки в каждом испытании постоянна и равна p  . Таким
образом, мы имеем дело со схемой Бернулли.
Для нахождения искомых вероятностей
Бернулли (13) и формулой (14) соответственно.
38
воспользуемся формулой
а) Здесь n = 10, m = 2,
2
1 5
P10 (2)  C    
6 6
2
10
10 2
p
1
,
6
q  1 p 
5
. Тогда по формуле (4.1)
6
8
1 5
 45      0,291 .
36  6 
10
5
б) По формуле (14) найдем, что P10 (m  1)  1    .
6
Пример 2. Всхожесть семян данного сорта растений составляет 70 %.
Найти наивероятнейшее число всхожих семян в партии из 240 семян.
Решение. Наивероятнейшее число m0 всхожих семян находим из условия
(15). Поскольку n = 240, p = 0,7 и q = 0,3, то 240  0,7  0,3  m0  240  0,7  0,7 , т.е.
167,7  m0  168,7 . Отсюда следует, что m0  168 .
Пример 3. В урне 10 красных и 40 синих шаров. Вынимают подряд 14
шаров, причем цвет вынутого шара регистрируют, а затем шар возвращают в
урну. Определить наивероятнейшее число появлений красного шара
Решение. Здесь
n  14 ,
p
10 1
 ,
50 5
q  1 p 
4
.
5
Используя двойное
неравенство (15) при указанных значениях n, p и q, получим
14 4
14 1
  m0 
 ,
5 5
5 5
т.е. 2  m0  3 . Таким образом, задача имеет два решения: m0'  2 , m0''  3 .
Пример 4. По мишени, состоящей из внутреннего круга и двух
концентрических колец, производится 10 выстрелов из спортивного пистолета.
Вероятности попадания в указанные области при каждом выстреле равны
соответственно 0,15; 0,22 и 0,13. Определить вероятность того, что при этом
будет шесть попаданий в круг, три – в первое кольцо и одно попадание во
второе кольцо.
Решение. Пусть событие A1 - попадание в круг при одном выстреле, A2 попадание в первое кольцо, A3 - попадание во второе кольцо. По условию
p1  0,15 , p2  0,22 , p3  0,13 . Всего производится n  10 опытов. Определяется
вероятность P того, что при этих опытах событие A1 произойдет шесть раз,
событие A2 - три раза и событие A3 - один раз. Тогда n1  6 , n2  3 , n3  1 .
Поэтому
искомая
вероятность
по
формуле
(16)
равна
P  P10 (6, 3, 1) 
10!
 (0,15) 6  (0,22) 3  (0,13)1  0,13  10  4 .
6!  3!  1!
39
6.4. Задачи для самостоятельного решения
6.1.
Вероятность того, что расход электроэнергии в продолжение одних суток
не превысит установленной нормы, равна p=0,75. Найти вероятность
того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток
не превысит нормы.
6.2.
Всхожесть семян данного сорта растений оценивается с вероятностью,
равной 0,8. Какова вероятность того, что из пяти посеянных семян
взойдут не менее четырех.
6.3.
В семье 5 детей. Найти вероятность того, что среди этих детей: а) два
мальчика; б) не более двух мальчиков; в) более двух мальчиков; г) не
менее двух и не более трех мальчиков. Вероятность рождения мальчика
принять равной 0,51.
6.4.
Монету подбрасывают 10 раз. Какова вероятность того, что герб выпадет
(появится): а) 4 раза; б) ни разу; в) хотя бы один раз.
6.5.
Что вероятнее выиграть у равносильного противника – шахматиста две
партии из четырех или три из шести? Ничьи во внимание не
принимаются.
6.6.
За один цикл автомат изготовляет 10 деталей. За какое количество циклов
вероятность изготовления хотя бы одной бракованной детали будет не
менее 0,8, если вероятность того, что любая деталь бракованная, равна
0,01?
6.7.
Для данного баскетболиста вероятность забросить мяч в корзину при
броске равна 0,4. Произведено 10 бросков. Найти наивероятнейшее число
попаданий и соответствующую вероятность.
6.8.
Среди деталей, вырабатываемых рабочим, бывает в среднем 3 %
нестандартных. Найти вероятность того, что среди взятых на испытание 6
деталей две детали будут нестандартными. Каково наивероятнейшее
число нестандартных деталей в данной выборке из шести изделий, и
какова эта вероятность?
6.9.
Вероятность малому предприятию быть банкротом за время t равна 0,2.
Найти вероятность того, что из шести малых предприятий за время t
сохранятся: а) два; б) более двух.
6.10. Производится залп из шести орудий по некоторому объекту. Вероятность
попадания в объект из каждого орудия равна 0,6. Найти вероятность
40
ликвидации объекта, если для этого необходимо не менее четырех
попаданий.
6.11. Сколько нужно взять деталей, чтобы наивероятнейшее число годных
деталей было равно 50, если вероятность того, что наудачу взятая деталь
будет бракованной, равна 0,1?
6.12. Найти наивероятнейшее число наступлений ясных дней в течение первой
декады сентября, если по данным многолетних наблюдений известно,
что в сентябре в среднем бывает 11 ненастных дней.
6.13. Пусть вероятность того, что студент опоздает на лекцию, равна 0,08.
Найти наиболее вероятное число опоздавших из 96 студентов.
6.14. В помещении 6 электролампочек. Вероятность того, что каждая лампочка
останется исправной в течение года, равна 0,7. Найти: а) вероятность
того, что в течение года придется заменить 2 лампочки;
б) наивероятнейшее число лампочек, которые будут работать в течение
года.
6.15. Определить наиболее вероятное число пораженных самолетов в группе из
13 бомбардировщиков, если самолеты поражаются независимо друг от
друга и вероятность поражения одного самолета равна
4
.
7
6.16. В урне 100 белых и 80 синих шаров. Из урны извлекают n шаров (с
возвратом каждого вынутого шара). Наивероятнейшее число появлений
белого шара равно 11. Найти n.
6.17. Сколько следует провести повторных независимых испытаний, чтобы
наивероятнейшее число появлений некоторого события оказалось равным
51, если вероятность появления этого события в отдельном испытании
p=0,64?
6.18. Число коротких волокон в партии хлопка составляет 25 % всего
количества волокон. Сколько волокон должно быть в отдельно взятом
пучке, если наивероятнейшее число коротких волокон в нем равно 114?
6.19. Каждая из 6 палок разламывается на две части – длинную и короткую.
Затем 12 полученных обломков n раз объединяются в 6 пар, каждая из
которых образует новую палку. Чему равно n, если наивероятнейшее
число объединений обломков в первоначальном порядке равно 6?
41
6.20. Было посажено 28 семян ячменя с одной и той же вероятностью
всхожести для каждого. Как велика эта вероятность, сели наиболее
вероятные числа положительных результатов 17 и 18?
6.21. На станке-автомате изготовили 90 деталей. Чему равна вероятность
изготовления на этом станке детали первого сорта, если наивероятнейшее
число таких деталей в данной партии равно 82?
6.22. Каждый из девяти шаров с одинаковой вероятностью может быть
помещен в один из трех первоначально пустых ящиков. Определить
вероятность того, что: а) в каждый ящик попало по три шара; б) в один
ящик попало четыре шара, в другой – три, а в оставшийся – два шара.
6.23. Студент рассматриваемого вуза по уровню подготовленности с
вероятностью 0,3 является “слабым”, с вероятностью 0,5 – “средним”, с
вероятностью 0,2 – “сильным”. Какова вероятность того, что из наудачу
выбранных шести студентов вуза число “слабых”, “средних” и “сильных”
окажется одинаковым.
6.24. По мишени, состоящей из внутреннего круга и двух концентрических
колец, производится десять выстрелов из спортивного пистолета.
Вероятности попадания в указанные области при каждом выстреле равны
соответственно 0,15; 0,22 и 0,13. Определить вероятность того, что при
этом будет шесть попаданий в круг, три – в первое кольцо и одно
попадание во второе кольцо.
6.25. В электропоезд, состоящий из шести вагонов, садится двенадцать
человек, причем выбор каждым пассажиром вагона равновозможен.
Определить вероятность того, что: а) в каждый вагон вошло по два
человека; б) в один вагон никто не вошел, в другой – вошел один человек,
в два вагона – по два человека, а в оставшиеся два вагона соответственно
три и четыре человека.
42
Ответы
§1. Соотношения между случайными событиями
1.1.
Выбранное число оканчивается цифрой 5.
1.2.
C = {ничейный исход}.
1.3.
Нет, так как A  B  A  B .
1.4. A = {все изделия доброкачественные}; B = {бракованных изделий одно
или нет ни одного}.
1.5. а) желтая или белая роза; б) красная или желтая роза; в)  ; г) белая роза;
д) любой цветок; е) белая роза.
1.6.
а) A  A1  A2  A3 ; б) A  A1  A2  A3  A1  A2  A3  A1  A2  A3 ; в) C  A1  A2  A3 +
+ A1  A2  A3  A1  A2  A3 ; г) E  A1  A2  A3 ; д) F  B  C  E ; е) K  C  E .
1.7.
A  A2  A4  A6 ; B  A3  A6 , где Ai  {выпадение i очков} (i=1, 2, 3, 4, 5, 6).
1) A  B  C ; 2) A  B  C  A  B  C  A  B  C ; 3) A  B  C  A  B  C  A  B  C ; 4)
A  B  C ; 5) A  B  C ; 6) A  B  C .
1.8.
§2. Вероятность случайного события
1
5
1
. 2.2. а)
; б) ; в)
2
18
36
5
б)0,00195. 2.6.
. 2.7. а)
14
2.1.
11
4
1
1
. 2.3. а) ; б) ; в)
. 2.4. 0,28. 2.5. а)0,00024;
9
9
72
36
5
2
7
; б) ; в) . 2.8. 0,06. 2.9. 0,708. 2.10. а) 0,108;
9
9
9
б) 0,0166; в) 0,142. 2.11. а) 0,348; б) 0,984. 2.12. а) 0,901; б) 0,099. 2.13. 0,809.
C sl C krls
1
3
. 2.15. а)  0,41 ; б)  0,44 ; в)  0,14 . 2.16. . 2.17. 0,07. 2.18. а)
;
r
2
44
Ck
3
3
6
б) ; в)
. 2.19. . 2.20.  0,94 .
11
22
7
2.14.
§3. Геометрическая вероятность
3.1.  0,316 . 3.2.  0,33 . 3.3. 0,32. 3.4.  0,41 . 3.5. 0,25. 3.6. 0,75. 3.7. 0,487.
3.8. 0,121. 3.9.
7
1
1
2
1
. 3.10. k(2-k). 3.11. . 3.12. . 3.13.  0,37 . 3.14. . 3.15. .
16
12
6
3
2
3.16. 0,6. 3.17.  0,1 . 3.18.
15
. 3.19. 0,64. 3.20. 0,25.
32
43
§4. Теоремы умножения и сложения вероятностей
4.1.  0,945 . 4.2. 1  (1  p) n . 4.3.
4.8.
27!
1 3
2 2
. 4.4. 0,23. 4.5. ; . 4.6. ; . 4.7. 0,3.
32!
3 5
5 3
11
. 4.9. p1  p2  p3  p1  p2  p3 . 4.10. 0,992. 4.11.  0,43 . 4.12. 0,507.
36
4.13. 0,625. 4.14.  0,47 . 4.15.
63
. 4.16. а) 0,48; б) 0,32; в) 0,44; г) 0,92. 4.17. 0,96.
64
4.20. 1  (1  p1  p2 ) 3 . 4.21. 0,712. 4.22. 0,94. 4.23. а)
4.18. 0,504. 4.19. 0,28.
 0,19 ; б)  0,56 ; в)  0,70 . 4.24. не найдет. 4.25.  0,354 . 4.26. 0,788. 4.27. а) 0,46;
б) 0,7. 4.28. а)  0,0004 ; б) 0 ; в)  0,008 ; г)  0,0000132 . 4.29. а) 0,189; б) 0,973.
4.30. а) 0,375; б) 0,46; в) 0,18.
§5. Формула полной вероятности. Формула Бейеса
5.1.  0,98 . 5.2. 0,458 . 5.3. 0,83. 5.4. 0,045. 5.5. P1  0,8  P2 . 5.6. 0,86.
5.7. Вероятности того, что выбран студент первой, второй и третьей групп
18 21 20
125
;
;
. 5.8. 0,7. 5.9. 83 %. 5.10. а) 0,0345; б)
;
345
59 59 59
c
ab
140
80
6
3 . 5.13. а)  0,58 ; б)  0,002 .
в)
; г)
. 5.11.
. 5.12.
abc
345
345
13
p1 (1  P1 )
5.14.
. 5.15. 0,358. 5.16. 0,5; 0,333; 0,167.
p1 (1  P1 )  p2 (1  P2 )  p3 (1  P3 )
соответственно равны:
5.17. а) 0,41; б) 0,59. 5.18. 0,0345; 0,362; 0,408. 5.19. а) 0,1725; б) 0,317.
7
6
4
47
31
; б) . 5.21. . 5.22.
. 5.23.
. 5.24. 0,16. 5.25. 0,946; первая.
13
13
7
12000
84
49
14
3
9
5.26. 0,7 p1  0,3 p2 . 5.27.
. 5.28.  0,07 . 5.29.
;
. 5.30.
. 5.31.  0,404 .
60
77
17 17
5.32. а) 0,87; б) 0,993. 5.33. а) 0,93; б)  0,613 .
5.20. а)
§6. Схема испытаний Бернулли
6.1. 0,3. 6.2.  0,74 . 6.3. а) 0,31; б) 0,48; в) 0,52; г) 0,62. 6.4. а)  0,21 ; б)  0,00098 ;
в)  0,999 . 6.5. Вероятнее выиграть две партии из четырех. 6.6. n  16 . 6.7. m0  4 ,
p  0,251 . 6.8.  0,03 ; m0  0 ;  0,81 . 6.9. а) 0,015; б) 0,999. 6.10. 0,544. 6.11. n  55 .
6.12. m0  6 . 6.13. 7. 6.14. а)  0,324 ; б) 4. 6.15. m0 '  7 ; m0 ''  8 . 6.16. n1  19 ;
n2  20 . 6.17. 79; 80. 6.18. 455  n  459 . 6.19. p 
6.21.
82
83
 p
.
91
91
6.25.. а) 0,00344;
1
18
; 62369  n  72764 . 6.20.
.
11!
29
6.22. а) 0,085; б) 0,385. 6.23. 0,213. 6.24. 0,13  10 4 .
б) 0,138.
44
Литература
1. Вентцель А. Д. Теория вероятностей. – М.: Наука, 1964. – 576 с.
2. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. – М.: Наука, 1988. – 400 с.
3. Гурский Е. И. Теория вероятностей с элементами математической
статистики. – М.: Высшая школа, 1971. – 328 с.
4. Письменный Д. Т. Конспект лекций по теории вероятностей,
математической статистике и случайным процессам. – М.: Айрис-пресс, 2008. –
288 с.
5. Кремер Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.:
ЮНИТИ-ДАНА, 2004. – 576 с.
6. Сборник задач по высшей математике. 2 курс / К. Н. Лунгу, В. П. Норин,
Д. Т. Письменный, Ю. А. Шевченко, Е. Д. Куланин, под ред. С. Н. Федина. – 7-е
изд. – М.: Айрис-пресс, 2009. – 592 с.
7. Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей. – М.: Наука, 1969. –
366 с.
8. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и
теории случайных функций / Под ред. А. А. Свешникова. – М.: Наука, 1970. –
656 с.
9. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я.. Высшая математика в
упражнениях и задачах. Ч. 2: Учебное пособие для студентов втузов. – М.:
Высшая школа, 1980. – 365 с.
10. Лихолетов И. И., Мацкевич И. П. Руководство к решению задач по высшей
математике, теории вероятностей и математической статистике. – Минск:
Вышэйшая школа, 1969 – 456 с.
11. Кручкович Г. И., Мордасова Г. М., Сулейманова Х. Р. и др. Сборник задач и
упражнений по специальным главам высшей математики. Учебное пособие для
втузов. – М.: Высшая школа, 1970 – 512 с.
12. Агапов Г. И. Задачник по теории вероятностей. – М.: Высшая школа, 1986 –
86 с.
45