Water & Steam Equation of State: Construction Method

Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
Р. И. Нигматулин, Р. Х. Болотнова, Широкодиапазонное уравнение
состояния воды и пара. Метод построения, ТВТ, 2008, том 46, выпуск 2, 206–218
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы
прочитали и согласны с пользовательским соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement
Параметры загрузки:
IP: 185.201.44.167
13 декабря 2024 г., 12:50:36
ТЕПЛОФИЗИКА
=
=
=
=
^
ВЫСОКИХ
=
=
=
=
ТЕМПЕРАТУР,
=
=
2008, том 46, № 2, с. 206-218
ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИЕ
СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА
=
=
=
=
=
=
^ ^
=
=
=
=
=
=
=
УДК 536.71
ШИРОКО Д И А П А З О Н Н О Е УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ВОДЫ И ПАРА.
МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ
© 2008 г. Р. И. Нигматулин, P. X. Болотнова
Институт
механики
Уфимского научного центра
РАН
Поступила в редакцию 27.09.2006 г.
Разработано широкодиапазонное уравнение состояния воды и пара в аналитической форме. Урав­
нение применимо для умеренных и высоких давлений вплоть до 4 х 10 Па, в частности для взрыв­
ного и статического сжатий в широком диапазоне плотностей. Выведено уравнение, позволяющее
рассчитывать коэффициент Грюнайзена, зависящий от удельного объема и температуры. Предло­
жен метод, позволяющий по экспериментальным данным для зависимостей от удельного объема и
температуры теплоемкости и изохорического коэффициента температурного повышения давления
рассчитать коэффициент Грюнайзена и внутреннюю тепловую энергию.
12
PACS: 64.10.+h, 51.30.+J, 0 5 . 7 0 . J k
ВВЕДЕНИЕ
Широкий круг проблем физики высоких дав­
лений связан с использованием широкодиапазон­
ного уравнения состояния воды и пара (УСВП),
охватывающего как обычные, так и сверхвысо­
кие давления и температуры. Необходимость еди­
ного подхода для описания поведения воды как в
паровой, так и жидкой фазе возникает при реше­
нии задач моделирования суперсжатия коллапсирующих паровых пузырьков в воде. При этом
важно учитывать как испарение и конденсацию
на границе пузырька и жидкости на начальной
стадии, так и диссоциацию и ионизацию на завер­
шающей стадии коллапса, сопровождающейся
высокой концентрацией энергии в центре пу­
зырька [1].
5
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ Д А Н Н Ы Е
ПО СЖИМАЕМОСТИ ВОДЫ И П А Р А
8
5
3
3
m
Все имеющиеся сведения о воде как объекте
физики приведены в книгах [2-6]. Физика и меха­
ника вещества при высоких давлениях рассмотре­
ны в [7-11]. В данной работе в качестве исходной
информации для уравнений состояния использу­
ются табличные данные о статических (равновес­
ных) термодинамических свойствах воды в диапа­
зоне давлений 1 0 - 1 0 Па и температур 0-800°С
(Ривкин и Александров [12], Ривкин и др. [13]),
экспериментальные данные о статических свой­
ствах воды для давлений 10 -8 х 10 Па и темпера­
тур 25-150°С (Гриндлей и Линд [14], Нааг, Gallagh­
er and Kell [15]). Программная реализация уравне­
ний, соответствующих принятым в 1995 году
Международной ассоциацией свойств воды и во­
дяного пара (IAPWS) для научного использования
[16], применялась для получения термодинамиче­
4
ских параметров воды в области известных экспе­
риментальных данных. Для расчета абсолютного
значения внутренней энергии в базовой точке бы­
ли выбраны детальные статические данные Жака
и Стоута [17] по изобарной теплоемкости твердой
воды (льда) при атмосферном давлении в диапа­
зоне температур от 15 до 273 К. Для описания
свойств воды при высоких давлениях использова­
лись экспериментальные статические изотермы
Бриджмэна [18] и др. в виде зависимостей p(V)
давления р от удельного объема V для давлений
до 3 х 10' Па и температур 25-175°С (рис. 1).
В случае высоких давлений имеются эксперимен­
тальные ударные адиабаты воды в виде зависимо­
сти скорости ударной волны D от массовой скоро­
сти U (Уолш и Райе [19], Трунин [20], Аврорин, Водолага, Волков и др. [21] и другие работы, см. рис. 2)
относительно вещества в нормальном состоянии
(Poo = 10 Па, Гад « 293 К, V = 1.0018 х 10" м /кг).
В экспериментах, рассматриваемых в работах
[20] и [21], в условиях подземных ядерных взры­
вов получены рекордные ударные сжатия воды
до давленийр = 1.4 х 1 0 Па и 3.2 х 10 Па. Соот­
ветствующие экспериментальные данные приве­
дены на рис. 2 и 3.
12
12
Заметим, что ударные адиабаты D(U) легко
пересчитываются [7-11] в ударную адиабату p(V)
для давления р и удельного объема V= р~' (где р плотность) за ударной волной (кривая а на рис. 3):
8
DU
V
00
.,
.,
D-U
и
В отличие от измерения высокого давления и
удельного объема сильно сжатого конденсиро­
ванного вещества в ударных волнах измерение
температур в ударных волнах существенно слож-
206
ШИРОКОДИАПАЗОННОЕ
УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ВОДЫ И ПАРА
3
D, 10 м/с
9
р, 10 Па
0.70
207
0.75
0.80
0.85
0.90
0.95
1.00
Woo
0
I
I
I
10
20
30
I
I
40
50
U, 10 м/с
3
Рис. 1. Изотермы p(V) при различных температурах.
Кривые - расчеты по УСВП данной работы, точки эксперимент [18, 27]; V o - удельный объем при нор­
мальных условиях.
Рис. 2 . Ударная адиабата D(U). Кривые - расчеты по
УСВП данной работы, точки - эксперимент: 1 - [19],
2 - [20], 3 - [21], 4 - [23], 5 - [31]; I, II - молекулярная
и диссоциированная фазы соответственно.
0
нее. Для воды такие измерения выполнены в ра­
ботах Кормер [22] и Лизенга и Арене [23] (рис. 4).
Выводу УСВП посвящены работы [24-35].
т
u (V,T)
= jc (V,T)dT,
T
p
v
T
=
о
3
(Poo = ^ш = 998.2 кг/м , p (V )
МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ УРАВНЕНИЯ
СОСТОЯНИЯ ВОДЫ И ПАРА
P
Обычно уравнения состояния конденсирован­
ных сред для давления р и внутренней энергии и
представляются в форме Ми-Грюнайзена [7-11]
как сумма потенциальной (р , и ) и тепловой (р ,
и ) составляющих, зависящих от удельного объе­
ма V (или плотности р) и температуры Т:
Р
Р
т
т
p(V,T)
= p (V)
+
P
u(V,T)
= u (V)
p (V,T),
T
+ u (V,
P
T
u
P
v,
Ря
Г),
5
м
=
c
U
T
теплоемкость c (V, Т) =
du
= -dV
^
2du
dp"'
P
P
=
P
Т Е Ш Ю Ф И З И К А ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУР
том 46
——.
Выбор определяющей функции для теплоем­
кости воды c и коэффициента Грюнайзена Г ос­
новывается на перечисленных выше эксперимен­
тальных данных и теоретических расчетах, в том
числе на основе квантовой теории Дебая [7-9] (в
предельном случае, приводящем к закону Дюлонv
(1)
P
= 0).
B
v
J ^ d p ,
P l
P
u (V,T)
p
= -J ,(V)dV=
= p (p )
Здесь и далее нижний индекс 00 соответствует
начальному (нормальному) состоянию ( р = 10 Па,
Too 293 К), а нижний индекс В - плотности или
удельному объему, при которых потенциальная
энергия и потенциальное давление равны нулю:
P(PB) - РР(РВ) = 0. v W Т) ~ удельная (истинная)
теплоемкость при постоянном объеме, Г - без­
размерный коэффициент Грюнайзена. Помимо
истинной теплоемкости c используют и среднюю
v
v
B
№ 2
2008
208
НИГМАТУЛИН,
0
0.2
БОЛОТНОВА
0.4
0.6
0.8
1.0
Рис. 3 . Ударная адиабата p^(V); I, II - расчеты соответственно молекулярной и диссоциированной фаз по УСВП дан­
ной работы; а - уравнение состояния в форме Тэта; b - изотерма при Т= 293 К; с - линейное по плотности урав­
нение состояния; d- ударная адиабата 129]; е - касательная в точке V/VQQ = 1 ; точки - эксперимент; обозначения,
как на рис. 2.
г а - П т и [8]) и с у ч е т о м р а з л и ч н ы х ф о р м д в и ж е н и я
молекулы воды [ 2 4 - 2 6 ] . Для конденсированных
сред, в т о м ч и с л е и в о д ы , при в ы в о д е у р а в н е н и й
состояния в ф о р м е М и - Г р ю н а й з е н а д л я у с л о в и й
сильного сжатия и в ы с о к о г о давления о б ы ч н о ис­
пользуется у п р о щ е н н о е п р и б л и ж е н и е , п р и к о т о ­
ром к о э ф ф и ц и е н т Грюнайзена зависит т о л ь к о о т
удельного о б ъ е м а V(CM. [ 7 - 1 1 , 2 4 - 2 7 , 3 1 - 3 2 ] ) :
2
c =c
v
v
2
= const(=3270 м /(с К)),
и = c T.
т
v
К а к будет п о к а з а н о н и ж е , д л я в о д ы а к т у а л е н
учет к а к зависимости к о э ф ф и ц и е н т а Грюнайзена
о т т е м п е р а т у р ы Г = Г(У, 7), т а к и п е р е м е н н о с т и
т е п л о е м к о с т и , и т о г д а Cy(V, Т) Ф c (V, 7 ) . К а ж е т ­
ся, ч т о п р и б л и ж е н и я (2), (3), о с н о в а н н ы е на по­
стоянстве теплоемкости c и независимости ко­
э ф ф и ц и е н т а Грюнайзена Г о т температуры, мо­
г у т б ы т ь о б о б щ е н ы , е с л и их и с п о л ь з о в а т ь т о л ь к о
п р и д о с т а т о ч н о в ы с о к и х т е м п е р а т у р а х (Т> 7°), а
п р и б о л е е н и з к и х т е м п е р а т у р а х п о л а г а т ь ( ч т о со­
ответствует действительности) более сложную
v
v
Г = Г(У).
(2)
К р о м е того, во многих работах, связанных с
р а с ч е т а м и п о в е д е н и я в о д ы при в ы с о к и х д а в л е н и ­
ях, т е п л о е м к о с т ь п р и н и м а е т с я п о с т о я н н о й (см.,
например, [27]):
(3)
Т Е П Л О Ф И З И К А ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУР
том 46
№ 2
2008
Ш И Р О К О Д И А П А З О Н Н О Е УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ВОДЫ И ПАРА
зависимость, определяющую базовое или гранич­
ное значение и° :
т
iV,T)
Ul
0
= (T)=u +Су(Т-Г\
U7
Г = Г(У).
T
209
3
Т, 10 К
500 г
(4)
Такое представление может служить обобще­
нием (3), если Uj Ф c T°. Оно обсуждается, в част­
ности, в книге Зельдовича и Райзера [8]. Но в со­
ответствии с (1), (2) оно термодинамически не­
корректно, если не сводится к (3), когда и? = c T°.
Иными словами, представление (4) для уравнений
Ми-Грюнайзена обобщением быть не может.
Это будет показано ниже при анализе основного
термодинамического уравнения для энтропии s
как двухпараметрической функции состояния.
v
v
Кузнецов [24] разработал УСВП в диапазонах
плотностей 0 < р < 2.3 г/см и температур 0 < Т <
< 10 К с погрешностью 15-20%. Вид уравнения
определен аналогично (1) как сумма потенциаль­
ной ("холодной") и тепловой составляющих. По­
тенциальное давление p (V) и коэффициент Грю­
найзена Г(У) найдены исходя из эксперименталь­
ных изотерм Бриджмена [18] при р < 1.4 г/см
(рис. 1) и измерений Уолша и Раиса [19] ударной
сжимаемости воды для р > 1.4 г/см (рис. 3). Полу­
ченные в [24] зависимости р ( V) и параметра Грю­
найзена Г(У) показаны кривыми 7 на рис. 5, 6.
3
4
P
3
3
0
1000
2000
3000
4000
р, 10 Па
9
Р
Рис. 4. Ударная адиабата T (p); I, II - расчеты соот­
ветственно молекулярной и диссоциированной фаз по
УСВП данной работы; 2 - расчет для условий экспе­
римента [20] по модели АСТЕХ [34]; 3 - расчет для
условий эксперимента [21] по модели данной работы;
5, 6 - эксперименты [23], [22] соответственно.
sh
В работе Бобровского, Гоголева, Менжулина
[26], являющейся уточнением и развитием иссле­
дований Замышляева и Менжулина [25], предло­
жен способ построения интерполяционного УСВП
в области однородных и двухфазных состояний со
слагаемыми в виде потенциальной и тепловой со­
ставляющих с учетом испарения, диссоциации и
асимптотического поведения вещества при сверх­
высоких сжатиях. Интерполяционные функции
для потенциального давления p (V) и коэффици­
ента Грюнайзена Г(У), входящие в УСВП [25, 26],
построены для большого числа подобластей с сов­
падением на границах значений самих функций и
их первых производных. Большое число подобла­
стей затрудняет их использование в реальных рас­
четах. Коэффициент Грюнайзена Г(У), принятый
зависящим только от объема, получен обработ­
кой экспериментальных данных с использовани­
ем асимптотических значений в соответствии с
моделью Томаса-Ферми: Г(У) = 2/3 при V — - 0
[8]. Полученная в [25] зависимость потенциально­
го давления p (V) показана кривой 8 на рис. 5.
В [25, 26] тепловые части электронных составля­
ющих давления и внутренней энергии оценены
приближенно с использованием решения Латтера
уравнений Томаса-Ферми.
P
P
В работе Гуртмана и др. [27] УСВП рассматри­
вается до давлений р ~ 0.3 х 1 0 Па. Используется
упрощенная схема (2), (3) для коэффициента Грюй
4
ТЕПЛОФИЗИКА В Ы С О К И Х ТЕМПЕРАТУР
том 46
найзена и теплоемкости. Зависимость T(V) [27] по­
казана кривой 9 на рис. 6.
В исследовании Бакановой и др. [28] использо­
валась теория свободного объема (ТСО), опреде­
ление термодинамических величин осуществля­
лось при усреднении в выделенном объеме потен­
циалов парного взаимодействия с окружающими
частицами. Сложный вычислительный аппарат
ТСО неоправдан для непосредственного опреде­
ления УСВП. Он применялся для проверки пра­
вильности более простых УСВП. В частности,
оказалось оправданным использование формы
УСВП, в которой предполагается зависимость ве­
личины p(dV/du)
только от давления. В области
низких температур и давлений (<10 Па) брался
коэффициент Грюнайзена, зависящий только от
объема.
P
10
В работе Ри [29] предлагается УСВП для плот­
ностей от 2 х 10"* до 400 г/см в температурном
диапазоне от 290 до 3 х 10 К. В области сжатия
1.0 < р < 2.22 г/см функциир (V) и Г(У) взяты в со­
ответствии с [27]. В области более высоких давле3
8
3
Р
№ 2
2008
НИГМАТУЛИН, БОЛОТНОВА
210
Рис. 5. Потенциальная (упругая) составляющая давления p (V).
бота.
P
13
ний (р > 2 х 10 Па) давление описывается по тео­
рии Томаса-Ферми с некоторыми поправками.
В промежуточной области (1.5 х 1 0 < р < 2.0 х
х 10 Па) для получения непрерывной зависимо­
сти p(V, Т) производится интерполяция. Оконча­
тельный вид УСВП представлен в виде таблицы,
содержащей 3600 значений [29]. Аналитическая
форма уравнения состояния дана в виде нелинейной
дробно-рациональной функции относительно внут­
ренней энергии, коэффициенты которой представ­
лены полиномами третьей степени от плотности.
Такая форма уравнения состояния включает бо­
лее 50 констант, и ее погрешность в области сжа­
тия (р < 8 х Ю Па, Т< 120000 К) относительно таб­
личных данных составляет 2.6%, а в области боль­
ших объемов (293 < Т < 493 К, 0.7 < р < 1.0 г/см ,
2.2 х 10 < р < 3 х 10 Па) - 7.5%. На рис. 3 штри­
10
13
13
3
3
6
Расчеты 7 - [24], 8 - [25], 9 - [27], 10 - настоящая ра­
ховой кривой d показана ударная адиабата, соот­
ветствующая аналитической форме УСВП [29].
Широкодиапазонное УСВП Глобус разработа­
но Дремовым, Сапожниковым и Смирновой [30]
для описания термодинамических свойств воды и
пара в широком диапазоне изменения плотностей
и энергий и представлено в виде таблицы. Прово­
дилась сшивка локальных моделей для различ­
ных областей фазовой диаграммы. При построе­
нии УСВП были использованы представления
[25, 26], расчеты по модели Томаса-Ферми с
квантовыми и обменными поправками, по модели
Саха - для областей низкой плотности ионизован­
ного газа.
В работе Шарипджанова и др. [31] использует­
ся калорическое УСВП в диапазоне давлений до
1.4 х 10 Па, в котором коэффициент Грюнайзена
зависит только от объема. Анализируется аномаль12
ТЕШТОФИЗИКА ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУР
том 46
№ 2
2008
211
Ш И Р О К О Д И А П А З О Н Н О Е У Р А В Н Е Н И Е СОСТОЯНИЯ ВОДЫ И ПАРА
ный излом ударной адиабаты (р ~ 0.11 х 10" Па,
р ~ 1.5 г/см ) и аномальная конфигурация изоэнтроп. Указываются следующие возможные при­
чины излома: 1) фазовое превращение жидкой
воды в лед VII; 2) диссоциация, т.е. превращение
молекулярной жидкости в ионный расплав; 3) воз­
растание сжимаемости воды за счет увеличения до­
ли плотных кластеров льда VII; 4) полное разруше­
ние водородных связей и превращение воды в слабо
ионизованную жидкость свободных молекул.
В исследовании Рыбакова [32] рассматривают­
ся особенности фазового превращения воды при
ударном сжатии. Для нахождения давлений и тем­
ператур вдоль ударной адиабаты использованы
два вида уравнения состояния: уравнение М и Грюнайзена с холодными составляющими, зави­
сящими от коэффициентов, входящих в линейное
соотношение D(U) на фронте ударной волны, и ин­
терполяционное уравнение Замышляева и Менжу­
лина [25]. Значения теплоемкости воды вдоль
ударной адиабаты найдены в предположении, что
теплоемкость определяется в зависимости от со­
держания фазы льда VII, которая образуется в об­
ласти ударного сжатия до 10 Па. Использованное
в [32] предположение приводит к возрастанию изохорной теплоемкости воды вдоль ударной адиабаты
от 3150 до 4000 Дж/(кг К) при увеличении давления
от 1.5 х 1 0 д о 8 х 1 0 П а .
T (V)
sh
3
10
1 0
,0
В исследованиях Ри [33] проанализированы экс­
периментальные данные по ударному сжатию во­
ды с использованием межмолекулярных потенци­
алов, основанных на квантово-механических рас­
четах. В [33] приведена расчетная изохорная
теплоемкость воды вдоль ударной адиабаты в за­
висимости от температуры до 10 К. При увеличе­
нии температуры от 1500 до 10000 К теплоем­
кость уменьшается от ~5000 до -3500 ДжДкг К),
что не противоречит экспериментальным данным
по измерению температуры ударно сжатой воды
[22, 23], но не согласуется с выводами работы [32].
В работе Роджерса и Янга [34] представлено
сравнение экспериментальных данных Трунина
[20] для воды в области сверхвысоких давлений,
находящейся между конденсированным состоя­
нием вещества и слабо ионизованной плазмой, с
теоретическими расчетами по методу АСТЕХ
при описании асимптотических параметров ве­
ществ при высоких концентрациях энергии. Рас­
четы методом АСТЕХ предназначены для ис­
пользования в качестве квазиэкспериментальных
данных для более простых УСВП. На рис. 4 пока­
заны представленные в [34] расчеты по методу
АСТЕХ температуры ударного сжатия воды в за­
висимости от давления, соответствующие экспе­
риментальным данным Трунина [20].
4
Следует отметить работу Джефри и Аустина
[35], в которой получено аналитическое уравне­
ние состояния жидкой воды в соответствующих
ТЕПЛОФИЗИКА В Ы С О К И Х ТЕМПЕРАТУР
том 46
2
Г
1 -
01
0.2
1
1
1
1
0.4
0.6
0.8
1.0
V/V
m
Рис. 6. Коэффициент Г(У) вдоль ударной адиабаты
(расчеты), обозначения, как на рис. 5.
экспериментам диапазонах давлений от 0.1 до
3000 бар и температур от - 3 4 до 1200°С. Это урав­
нение является аналогом вириального уравнения
с зависимостью от температуры объема предель­
ного сжатия Ван-дер-Ваальса без разделения на
упругую и тепловую составляющие.
Для рассмотренных выше уравнений состоя­
ния воды можно отметить две основные формы
их представления: а) интерполяционную и б) таб­
личную. Наиболее простые интерполяционные
УСВП представлены в аналитической форме
(Кузнецов [24], Гуртман и др. [27], Джефри и др.
[35]) и справедливы в узком диапазоне изменения
плотностей и температур. В широкодиапазонных
интерполяционных УСВП рассматриваемая об­
ласть изменения плотностей и температур разби­
вается на множество подобластей, в каждой из
которых используются аналитические зависимо­
сти, построенные на основе экспериментальных
данных и теоретических расчетов, с плавной ин­
терполяцией между подобластями (Замышляев и
др. [25], Бобровский и др. [26]). Рассматриваемые
УСВП предполагают упрощающее предположе­
ние о независимости коэффициента Грюнайзена от
температуры. Такая форма представления УСВП
допустима в узком диапазоне изменения давлений
и температур и не позволяет описать аномальные
свойства воды, например при температурах, близ­
ких к замерзанию.
Построение табличного УСВП проведено в
работах Ри [29], Дремова и др. [30]. К сожалению,
такая форма представления уравнения состояния
воды неудобна для гидродинамических расчетов.
№ 2
2008
4*
НИГМАТУЛИН, БОЛОТНОВА
212
В настоящее время появляются все новые дан­
ные о термодинамических свойствах воды. Воз­
никает потребность в разработке максимально
простого, физически обоснованного УСВП в ана­
литической форме, способного адекватно описы­
вать как имеющиеся экспериментальные данные,
так и термодинамические свойства в области
сверхсильных сжатий, полученные по сложным
моделям УСВП (Ри [33], Роджерс [34]), с возмож­
ностью экстраполяции на более высокие значе­
ния параметров, чем в экспериментах.
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКАЯ СВЯЗЬ
КОЭФФИЦИЕНТА ГРЮНАЙЗЕНА
С ТЕПЛОЕМКОСТЬЮ И ТЕМПЕРАТУРНОЙ
ФУНКЦИЕЙ ДАВЛЕНИЯ
(8)
д£\
дт)
у
_
Су
~
Г
В настоящей работе проведен анализ экспери­
ментальных данных по термодинамическим свой­
ствам воды [12-15]. В указанных работах в таб­
личном виде представлены значения изобарной
теплоемкости с {р, 7) и удельного объема V(p, Т),
по которым были получены значения изохорной
теплоемкости воды с с использованием уравне­
ния (9). При этом значения производных к и ку
брались или из работы Ривкина [13], или вычис­
лялись табличным дифференцированием данных
по V(p, 7) с использованием пятиточечной аппрок­
симации производных интерполяционными много­
членами Лагранжа. Полученные значения иско­
мых функций сравнивались с программной реали­
зацией уравнений, соответствующих принятым в
1995 году Международной ассоциацией свойств
воды и водяного пара (IAPWS) [16]. На рис. 7 при­
ведены значения теплоемкости Cy(V, 7) в сравне­
нии с экспериментальными значениями Ривкина
[12, 13], Гриндли [14] и IAPWS [16].
р
у
В данной работе вода рассматривается как тер­
модинамически двухпараметрическая среда. По­
мимо частной производной от внутренней энергии
по температуре, каковой является изохорная теп­
лоемкость, ниже будут использоваться изобарная
теплоемкость с , частные производные удельного
объема, а именно изобарический коэффициент
температурного расширения к и изотермический
коэффициент сжимаемости по давлению к , а
также частные производные давления - изохорический коэффициент температурного повыше­
ния давления cjy (для краткости будем его назы­
вать температурной функцией давления) и изо­
термический коэффициент повышения давления
при сжатии Ъ, :
р
р
т
т
р
Анализ представленных данных свидетельству­
ет о том, что теплоемкость воды c существенно
зависит от объема и температуры в рассматривае­
мой области, что необходимо принимать во внима­
ние при построении уравнения состояния воды.
v
Из определения (5) для b, с учетом представле­
ния (1) для р и соотношения р = Ги-f/V после диф­
ференцирования по Г с использованием первого
из выражений (5) получим
v
т
Именно эти производные приведены в термо­
динамических таблицах в зависимости отриТ или
V и Т. Ниже будут использованы стандартные
уравнения термодинамической совместности. Они
следуют из двухпараметричности уравнений со­
стояния для удельного объема V(p, 7), давления
p(V, 7), внутренней энергии u(V, 7), энтропии s(V,
7) и соотношения Гиббса
Tds = du+ pdV.
(6)
Термодинамические уравнения совместности (тер­
модинамические тождества) имеют следующий
вид:
£г = — .
1\.у
\v
= гг>
1\.у
К
Р
= р->
^
у
7
()
Изобарный коэффициент температурного рас­
ширения к , учитывая третье из выражений (7) и
(10), может быть записан в виде
р
%_
v
"
Ь
(др/дТ)у
=
Гсу +
и (дГ/дТ)у
т
2
V(dpW)
T
V (dp/dV)
'
T
Так как знаменатель этого выражения всегда
отрицателен, то знак коэффициента к совпадает
со знаком числителя, который обычно положите­
лен, ибо обычно дГ/дТ= 0, Г > 0, с\ > 0. Но наличие
для воды аномальной области (-10°С < Т < 4°С),
где к отрицателен, может быть связано только с
такой зависимостью коэффициента Грюнайзена
р
р
ТЕПЛОФИЗИКА ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУР
том 46
№ 2
2008
Ш И Р О К ОД И А П А З О Н Н О Е У Р А В Н Е Н И Е С О С Т О Я Н И Я В О Д Ы И П А Р А
2
213
2
c , м / ( с К)
v
г
01
I
I
1
г
•
1111 H I
10
г
10
2
г
10
I
3
10
•
1 •
I
г
I
4
I
г
10
I
'
I"
Г
1
1111
2
1—_i—I—I
10
I
1111
4
ю
3
viv
т, °с
m
Рис. 7. Функция изохорной теплоемкости сy(V, Т) при различных температурах (°С) - (а) и при различных относитель­
ных объемах - (б). Тонкие кривые - расчеты по УСВП данной работы; точки - экспериментальные данные: 11 - [12],
[13], 12 - [14], 13 - [16]. Штриховая кривая на дополнительном фрагменте (б) - приближение Саха при малых плотно­
стях.
от температуры в этой области, для которой чис­
т Р
^(диЛ
(ди \
Ги
т
т
(ди \
т
1
литель в правой части (11) отрицателен , т.е.
ЭГ < Гсу
о!
у
п
<0ш
и
(12)
т
Из (10) следует дифференциальное уравнение для
коэффициента Грюнайзена
Tuj
(dv)
1
v
~ ^
T
~ ~ -
(16)
(13)
Заметим, что соотношение (13) определяет ко­
эффициент Грюнайзена в общем случае. Дело в
том, что обычно используется приближение (2), в
рамках которого коэффициент Грюнайзена не
зависит от температуры (дГ/дТ = 0), и тогда урав­
нение (13) сводится к известному виду (см. [7-9])
r(V) =
В результате имеем термодинамическое тож­
дество или уравнение совместности в виде диффе­
ренциального уравнения относительно тепловой
внутренней энергии
4v
(14)
Дифференцируя это уравнение по Г и учиты­
вая, что
Э (Ги \ _ др
Э7Д V )
ВТ
т
ТЕПЛОФИЗИКА ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУР
том 46
^'
(17)
2
ди
dTdV
2
Э и
7
dVdT
dV
получим дифференциальное уравнение совмест­
ности функций Cy(V, 7) и t,y{V, 7)
дсу
dV
Используем вторую часть термодинамическо­
го тождества (8)
Здесь область отрицательных температур по Цельсию от­
носится к переохлажденной метастабильной жидкой воде.
т
=
д^у
дТ'
(18)
Преобразуя (16), получим более простое по срав­
нению с (13) уравнение для определения Г(У, 7)
№ 2
2008
НИГМАТУЛИН, БОЛОТНОВА
214
О
О I /о
'О
о
и
= г - р V - и,
(»° = i(V°, Г) = i(p°, Г), up =
т
Таким образом, функции Cy{V, Т) и Г(У, 7), опре­
деляющие уравнения состояния Ми-Грюнайзена
(1), и температурная функция давления \v(V, Т) не
могут быть заданы произвольно. Они должны
быть согласованы между собой уравнениями (18) и
(19). Последние уравнения использовались для на­
хождения неизвестных термодинамических функ­
ций, входящих в уравнение состояния (1).
u (V°)).
P
Здесь верхний индекс ° обозначает значение
соответствующего параметра в базовом состоя­
нии (V°, 7°). Учитывая ненулевое значение эн­
тальпии твердой воды при Т = 0 К, обозначенное
как is(p°, 0), нулевое значение тепловой внутрен­
ней энергии при Т=0 К (u-j(p°, Т= 0) = 0) и теплоту
плавления 1{р°), значение энтальпии жидкой воды
в базовом состоянии можно представить в виде
i° = i (p°,0)
+ Ai (p°,T°)
s
ТЕПЛОВАЯ ВНУТРЕННЯЯ ЭНЕРГИЯ
В Б А З О В О Й ТОЧКЕ
+
s
l(p°),
г
Ai (p°,T°)
=
s
Особенностью уравнений состояния Ми-Грю­
найзена является наличие абсолютного (положи­
тельного) значения внутренней тепловой энергии,
или энергии теплового движения атомов и моле­
кул. Для выделения этой составляющей и из пол­
ной внутренней энергии и и определения функции
u-{{V, Т) с помощью имеющихся дифференциаль­
ных уравнений (первое уравнение (5) и уравнение
(16)) необходимо определить ее значение хотя бы
в одной базовой точке (V°, Т°), дающее граничное
условие для этих дифференциальных уравнений.
Формально такой точке может соответствовать
любое состояние при температуре абсолютного
(20)
Р
\c (p°,T)dT,
p
(
о
i (p°,T
= 0) = u (p°,T
s
= 0) + p°V (p°,0)
s
= u (V )
P
+
T
1
)
=
s
+ u (p°,0)
s
2
p°V (p°,0).
s
т
нуля Т° = О К, когда Uj = 0. Но это состояние
очень далеко от наиболее актуальных для целей
данной работы, а именно состояний с высокими
температурами. В криогенной области очень низ­
ких температур вода находится в твердом (лед), а
не жидком состоянии, а теплоемкость сильно ме­
няется от нуля до величин порядка 2000 м /(с К).
Соответствующие измерения выполнены Жаком
и Стоутом [17]. Изменение теплоемкости в обла­
сти низких температур качественно описывается
квантовой теорией Дебая. Количественных экс­
периментальных данных в виде зависимостей
Cy(V, 7) и V(p, 7) и их аппроксимаций, необходи­
мых для определения зависимости Uj{V, 7) как во
всей представляющей интерес области р и Т, так
и криогенной области, явно недостаточно. Поэто­
му для базового состояния, дающего необходи­
мое граничное условие и точку отсчета тепловой
внутренней энергии, целесообразней использовать
состояние, более близкое к актуальным, в частно­
сти состояние жидкой воды на границе фазового пе­
рехода лед-жидкость при нормальном давлении
(7° = 273 К, р° = 10 Па, V = 1.0 х 10~ м /кг). Для
указанного состояния в соответствии с (1) можно
рассчитать значение внутренней тепловой энер­
гии и° = iiji V , Т°), интегрально учитывающее по­
ведение c>(V, 7) и V(p, 7) при изменении темпера­
туры Г от 0 до 273 К:
2
5
го
т
3
2
Здесь нижний индекс S соответствует парамет­
рам твердой (Solid) фазы льда; is(p°, 7°) - энталь­
пия твердой фазы при температуре плавления
(7° = 273 К), соответствующая давлению р° = 10 Па;
V (p°, 0)~1.06 х Ю м /кг - удельный объем твер­
дой воды при базовом давлении (р° = 10 Па) и
температуре абсолютного нуля ( 7 = 0 К). Под­
ставляя (21) в (20), получим
5
-3
3
s
5
u° = u (V°,T°)
T
= p°[V (p°,0)-V°]
T
0
+ [u (V )
P
s
- u (V )]
s
+ Ai (p°,
P
s
+
T°) +
l(p°).
Величину Ai (p°, T°) в соответствии с послед­
ним уравнением (21) можно рассчитать по данным
калориметрических измерений Жака и Стоута [17]
изобарной теплоемкости с (р°, 7) твердой воды
(льда) при атмосферном давлении (р° = 10 Па) в
диапазоне температур от 15 до 273 К. В [17] поми­
мо графического представления изобарная теп­
лоемкость с (р°, Т) дана с высокой точностью (с
четырьмя значащими цифрами) в виде таблицы,
поэтому величина Ai (p°, Т°) подсчитывается с
высокой точностью с помощью численного инте­
грирования табличной функции, а значение теп­
лоты плавления воды для базового (атмосферно­
го) давления приведено в [2, 3, 16]:
s
Р
5
Р
s
Ai (p°,
s
5
2
2
Т°) = 2.994 х 1 0 м / с ,
(23)
5
1{р°)
2
2
= 3.336 х 10 м / с .
3
Оценка показывает, что первое слагаемое в
правой части (22) пренебрежимо мало по сравне­
нию с (23): p°[V (p°, 0) - V°] » 6 м /с . Оценка по­
тенциальной энергии в базовом состоянии u (V°)
проведена с помощью схемы на рис. 8, где показа­
ны изотермы M°F и РВАЕ - для жидкой фазы, а
2
2
s
Т Е П Л О Ф И З И К А В Ы С О К И Х ТЕМПЕРАТУР
P
том 46
№ 2
2008
Ш И Р О К О Д И А П А З О Н Н О Е УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ВОДЫ И ПАРА
р, 10* Па
215
( а )
SO0
4Ш
3(К)
7
•273-
2(Х)
R
НИ)
О
0.7
0.99
1.0
0.9
А 0.8
'1.00
1.01
1.02
V/V°
1.1
V/V"
Р и с . 8. С х е м а с о с т о я н и й т в е р д о й и ж и д к о й ф а з в о д ы в в и д е и з о т е р м в к о о р д и н а т а х / К V ) и и з о б а р ы п р и а т м » > с ф е р н о м
д а в л е н и и в к о о р д и н а т а х 7ХV0.
изобары (A M° - для твердой и M°LN - для жид­
кой фазы) в координатах pV и TV. К изобаре жид­
кой фазы M°LN примыкает экстраполирующая
ее изобара М°А, соответствующая переохлажден­
ной (метастабильной) жидкой воде и аморфному
льду (см. Уалли [36]). Эта изобара определяет точки
А(р =р°, Т= 0 К) и В(р = 0, Т= 0 К), соответствующие
S
2
аморфному (квазижидкому) льду . При этом удель­
ные объемы в точках А и В (см. рис. 86), отлича­
ющиеся только за счет разницы давлений Ар =
= 1 бар, практически совпадают: V ~ V = 0.78V .
Изотермы M°F соответствуют температуре 7°, а
РВАЕ - температуре абсолютного нуля Т = 0 К.
т.е. pp{V) жидкой фазы.
Линия A M° M°LN - соответствующая давле­
нию р° изобара, вдоль которой происходит нагрев
от Т = 0 К. когда вода в твердой фазе (кристалли­
ческий лед-Ih), до температуры Т° и когда вода в
S
виде жидкости. Участок A M° соответствует твер­
S
дой фазе. М° М° - двухфазной смеси твердой и
жидкой фаз, вдоль которой (от точки М° к точке
М°) идет плавление при температуре Т°\ участок
M°LN - нагреву воды выше температуры плавле­
ния. Вдоль изобары (р = р° = 1 бар) жидкой воды
' В ы с о к о п л о т н ы й а м о р ф н ы й л е д м о ж н о р а с с м а т р и вимеется
а т ь к а к аномальный участок LG, вдоль которого
квазижидкость
ко т л и ч и е о т н и з к о п л о т н о г о
кристалличе­
с понижением температу­
с к о г о л ь д а , и з о б а р о й к о т о р о г о я в л я е т с я л и жидкость
н и я \ \l . Эрасширяется
к с ­
ры.
При
этом
в
точке
L
(Т- 4°С) имеется локаль­
периментальная точка А'для нысокоплотного
аморфного
ный
минимум,
а
вточке
G
(7"=-13°С), находящейся
льда приведена на рис. X для температуры / =77 К. что
т а к ж е п о з в о л я е т о ц е н и т ь п о л о ж е н и е т о ч е к Л и В.
в зоне переохлажденной жидкой воды. - л окал ь0
A
H
ч
ТЕПЛОФИЗИКА
ВЫСОКИХ
ТЕМПЕРАТУР
том 46
№2
N
200Х
216
НИГМАТУЛИН, БОЛОТНОВА
ный максимум удельного объема. На рис. 8в точ­
ками нанесены экспериментальные изобары р = р°
Келла [37], соответствующие участку GM°LN. На
этом же рисунке сплошной линией показана изо­
бара, рассчитанная по предложенному в настоя­
щей работе УСВП. Напомним, что наличие дан­
ного аномального участка доказывает для воды
зависимость коэффициента Грюнайзена Г от
температуры 7.
Упоминавшаяся точка В(р = 0) отвечает нуле­
вым значениям потенциальной энергии (и = 0) и
потенциального давления (р = 0) холодного сжа­
тия, которое достигается при V ~ 0.7SV. Зависи­
мость u (V) схематично показана тонкой кривой,
а зависимости p (V) соответствует нулевая изо­
терма РВАЕ. Величина и° = u {V°) (в точке М°) по
определению (1) равна интегралу от функции
p (V), что равно площади прямоугольного тре­
угольника BMP (на плоскости pV) с криволиней­
ной гипотенузой BP. Для сравнения на рис. 8 пунк­
тиром показана зависимость p (V), полученная в
р
Р
Р
B
P
P
Р
P
чтобы понять тенденции для экстраполяции в
представляющую интерес область.
Если исключить зависимость теплоемкости c
от удельного объема V при достаточно высоких
температурах 7** = 10000 К (см. эксперименталь­
ные данные по изохорной теплоемкости на рис. 7),
то будет выполняться условие
v
дс,-V
dV -
.
•0,
т
_
.
= 0 (для 7 > 7 * * ) .
( 2 ? )
Данное приближение позволяет считать, что
для более высоких температур Т>Т** можно ис­
пользовать более простую модель уравнения со­
стояния, предполагающую Г = Г(У) (14). В общем
случае имеем систему дифференциальных урав­
нений (5), (18), (19) с граничными условиями, сле­
дующими из (24), (26):
ди\
P
(28)
P
Г
3
работе Кузнецова [24] . Для величины и° в соот­
ветствии с окончательной зависимостьюp (V) бы­
ло принято следующее значение:
Р
Т
т
P
1 dc
v
Э7
5
2
2
и =1.63 х 10 м /с .
(24)
Р
Значение второго слагаемого в (22) также полу­
чено исходя из окончательного вида зависимости
потенциальной энергии u (V):
P
(29)
у
ы [ ^ ~Ы\.
"
Т=Г,
Т=Т*:
(30)
J
Tdv'
5
2
2
V = V°: и = и° = 8.58 х 10 м /с ;
$у = ЫУ,Т*),
u = u(V,T*).
(31)
(32)
Решение этих уравнений позволяет опреде­
лить Г = Г( V, 7) и и = Uj( V, 7) при любых V и 7, при
которых заданы CyCV, 7), и = u(V, Т*) и Ъ,у{ V, 7*). Ре­
шение может быть получено следующим образом.
Сначала, согласно (31) и (28), используя и(Т°, V°) и
Су(У, 7), можно получить внутреннюю энергию
т
5
2
2
[u (V ) - u (V°)] « 0.62 х 10 м /с .
P
s
P
(25)
Таким образом, согласно (22), получаем значе­
ние тепловой внутренней энергии в базовой точке
5
2
2
и° = 6.95 х 10 м /с .
г
(26)
т
u(V, T) = u° + u(V, Т*)+ jc (V,
v
УРАВНЕНИЯ ДЛЯ КОЭФФИЦИЕНТА
ГРЮНАЙЗЕНА И ТЕПЛОВОЙ
ВНУТРЕННЕЙ ЭНЕРГИИ
7')d7'.
(33)
Здесь и° = и° •+- u.j - расчетное значение внут­
ренней энергии в базовой точке (24), (26). При
При определении тепловых компонент урав­ вычислении u(V, 7) по (33) учитывалось представ­
нения состояния (1) будем исходить из известных ление экспериментальных данных по внутренней
аппроксимаций экспериментальных данных [14- энергии, нормированных относительно базовой
16] для истинной изохорной теплоемкости Cy(V, Т) точки [16] (IAPWS).
(5) и аппроксимации температурной функции дав­
Для определения функции %y{V, 7) следует ис­
ления c^iX V, 7*) при некоторой фиксированной тем­ пользовать уравнение (30) и граничное условие (32):
пературе 7*. Для этих величин все эксперимен­
тальные данные охватывают область V > 6.8V и
(34)
7 < 1273 К, т.е. для c и £, отсутствуют данные для
областей сильных сжатий и высоких температур,
характерных для сильных ударных волн. Поэто­
где u(V, Т*) и ^y(V, Т*) - аналитические зависимо­
му имеет смысл оценить все имеющиеся данные,
сти, аппроксимирующие экспериментальные зна­
чения u(V, 7) и £,y(V, 7) при некоторой выбранной
' Кстати, удельный объем V , оцененный по указанной функ­
температуре
7*. Выделяя из полной внутренней
ции p (V), согласуется с оценкой по экспериментальной точ­
ке R для аморфного (квазижидкого) высокоплотного льда.
энергии (33) упругую составляющую, получаем
Р
0
v
v
Uv,T) = uv, T*) +
j~^dr,
B
P
ТЕПЛОФИЗИКА ВЫСОКИХ Т Е М П Е Р А Т У Р
том 46
№ 2
2008
Ш И Р О К О Д И А П А З О Н Н О Е У Р А В Н Е Н И Е С О С Т О Я Н И Я В О Д Ы И ПАРА
тепловую внутреннюю энергию uj{V, Т) и сред­
нюю теплоемкость
u (V,T)
T
= u(V,T)-u (V),
P
c (V,T)
v
= ^ . (35)
Далее из уравнения (29) определяем коэффици­
ент Грюнайзена
Таким образом, во всей области V и Г, где зада­
ны Cy(V, 7), u(V, Т*) и cjy(V, 7*), вычисляются u(V,
Л,Г(К7)и^,7).
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В работе рассмотрены имеющиеся экспери­
ментальные данные по ударной и статической
сжимаемости воды и пара. Проведен анализ из­
вестных уравнений состояния воды и пара. Пред­
ложен метод построения уравнения состояния во­
ды и пара в аналитической форме с представлени­
ем давления и внутренней энергии в форме (1) в
виде суммы потенциальной и тепловой составля­
ющих. Получены термодинамически согласован­
ные уравнения для определения внутренней теп­
ловой энергии (33), (35), температурной функции
давления £ у ( У , 7) (34) и коэффициента Грюнайзе­
на (36), которые будут использованы для нахож­
дения неизвестных термодинамических функций,
входящих в уравнение состояния (1) в продолже­
нии данной работы (будет опубликовано в следу­
ющем номере).
Работа выполнена при финансовой поддержке
Российского фонда фундаментальных исследова­
ний (проекты № 02-01-97912,05-01-00045).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Nigmatulin R., Akhatov I., Topolnikov A. et al. The Theory
of Supercompression of Vapor Bubbles and Nano Ther­
monuclear Fusion //Physics of Fluids. 2005. V. 17. 31 p.
2. Dorsey N.E. Properties of Ordinary Water-Substance.
N.Y.: Reinhold, 1940.
3. The Structure and Properties of Water / Eds. Eisenberg D.,
Kauzmann W. Oxford: University Press, 1969.
4. Water. A Comprehensive Treatise / Ed. Frank F. N.Y.:
Plenum Press, 1972.
5. Зацепина Г.Н. Физические свойства и структура
воды. М.: Изд-во МГУ, 1987.
6. Water and Aqueous Solutions/Eds. Neilson G. W., Enderby J.E. Bristol: Adam Hilger, 1985.
7. Альпгшулер Л.В. Применение ударных волн в ф и ­
зике высоких давлений // УФН. 1965. Т. 85. Вып. 2.
С. 197.
8. Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн
и высокотемпературных гидродинамических явле­
ний. М.: Наука, 1966.
ТЕПЛОФИЗИКА ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУР
том 46
217
9. Жарков В.Н., Калинин В.А. Уравнения состояния
твердых тел при высоких давлениях и температу­
рах. М.: Наука, 1968.
10. Mader C.L. Numerical Modeling of Detonation. Los An­
geles: Univ. Calif. Press, 1979. (Мейдер Ч. Численное
моделирование детонации. М.: Мир, 1985).
11. Нигмашулин
Р.И. Динамика многофазных сред.
Т. 1. М.: Наука, 1987.
12. Ривкин СЛ., Александров А.А. Теплофизические
свойства воды и водяного пара. М.: Энергия, 1980.
13. Ривкин СЛ., Александров А.А., Кременевская Е.А.
Термодинамические производные для воды и водя­
ного пара. М.: Энергия, 1977.
14. Grindley Т., bind J.E. PVT Properties of Water and Mer­
cury / / J . Chem. Phys. 1971. V. 54. № 9. P. 3983.
15. Haar L., Gallagher J.S.. Kell G. NBS/NRC Steam Ta­
bles. N.Y.: Hemisphere, 1984.
16. Release on the IAPWS Formulation 1995 for the Ther­
modynamic Properties of Ordinary Water Substance for
General and Scientific Use / The International Associa­
tion for the Properties of Water and Steam. Frederica:
Denmark, 1996.
17. Giauque W.F., Stout J.W. The Entropy of Water and the
Third Law of Thermodynamics. The Heat Capacity of
Ice from 15 to 273°K // J. Amer. Chem. Soc. 1936.
V. 58. P. 1144.
18. Bridgman P.W. Freesing Parameters and Compressions
of Twenty One Substances to 50000 kg/cm // Proc. Am.
Acad. Arts and Sci. 1942. V. 74. P. 399.
19. Walsh J.M., Rice M.H. Dynamic Compression of Liq­
uids from Measurements on Strong Shock Waves //
J. Chem. Phys. 1957. V. 26. № 4 . P. 815.
20. Трунин РФ. Ударная сжимаемость конденсиро­
ванных веществ в мощных ударных волнах под­
земных ядерных взрывов // УФН. 1994. Т. 164.
№ 11. С. 1215.
21. Аврорин Е.Н., Водолага Б.К., Волков Л.П. и др.
Ударная сжимаемость свинца, кварцита, алюми­
ния, воды при давлении -100 Мбар // Письма в
Ж Э Т Ф . 1980. Т. 31. № 12. С. 727.
22. Кормер СБ. Оптические исследования свойств
ударно-сжатых конденсированных диэлектриков //
УФН. 1968. Т. 94. № 4. С. 641.
23. Lyzenga G.A., Ahrens T.J., Nellis W.J., Mitchell A.C
The Temperature of Shock-Compressed Water //
J. Chem. Phys. 1982. V. 76. № 12. P. 6282.
24. Кузнецов H.M. Уравнение состояния и теплоем­
кость воды в широком диапазоне термодинамиче­
ских параметров // П М Т Ф . 1961. № I. С. 112.
25. Замышляев Б.В., Менжулин М.Г. Интерполяцион­
ное уравнение состояния воды и водяного пара //
П М Т Ф . 1971. № 3 . С. 113.
26. Бобровский
СВ., Гоголев В.М., Менжулин М.Г,
Шилова Р.В. Интерполяционная термодинамиче­
ская модель для воды в области однородных и
двухфазных состояний // ПМТФ. 1978. № 5. С. 130.
27. Gurtman G.A., Kirsch J.W., Hasting C.R. Analitical
Equation of State for Water Compressed to 300 Kbar //
J. Appl. Phys. 1971. V. 42. № 2. P. 851.
28. Баканова A.A., Зубарев B.H., Сутулое Ю.Н. и др.
Термодинамические свойства воды при высоких
2
№ 2
2008
218
НИГМАТУЛИН, БОЛОТНОВА
давлениях и температурах // Ж Э Т Ф . 1975. Т. 68.
№ 3. С. 1099.
29. Ree F.H. Equation of State of Water: Rept. UCRL 52190. Livermore: Lawrence Livermore laboratory, 1976.
30. Dremov V.V., Sapozhnikov A.T., Smirnova M.A. Wide
Range Equation of State of Water Taking into Account
Evaporation, Dissociation and Ionization. In: Shock
Compression of Condensed Matter - 2003 / Eds. Furnish
M.D., Gupta Y.M. and Forbes J.W. N.Y.: AIP, 2004.
V. 706. P. 49.
31. Шарипджанов И.И., Альтшулер
Л.В.,
Брусникин СЕ. Аномалии ударной и изоэнтропической
сжимаемости воды // ФГВ. 1983. № 5. С. 149.
32. Рыбаков А.П. Особенности фазового превраще­
ния воды при ударном сжатии // П М Т Ф . 1996. Т. 37.
№ 5. С. 17.
33. Ree F.H. Molecular Interaction of Dense Water at High
Temperature // J. Chem. Phys. 1982. V. 76. № 15.
P. 6287.
34. Rogers F.J., Young DA. Validation of the Activity Ex­
pansion Method with Ultrahigh Pressure Shock Equa­
tion of State // Physical Review E. 1997. V. 56. № 5.
P. 5876.
35. Jeffery C.A., Austin P.H. A New Analytic Equation of
State for Liquid Water // J. of Chemical Physics. 1999.
V. 110. № L P . 484.
36. Whalley E. High-Density Amorphous Ace // Water and
Aqueous Solutions/Eds. Neilson G.W., Enderby J.E.
Bristol: Univ. of Bristol Adam Hilger, 1985. P. 105.
37. Kell G. Precise Representation of Volume Properties of
Water at One Atmosphere // J. of Chemical and Engi­
neering Data. 1967. V. 12. № 1. P. 66.
Т Е П Л О Ф И З И К А ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУР
том 46
№ 2
2008