Четвертая математическая олимпиада orange. Финал. 6-7 классы. Задачи

Четвертая математическая олимпиада orange.
Финал. 6-7 классы.
‫ביה"ס‬
‫כיתה‬
‫עיר‬
2003-2004 гг.
Анкета участника
‫טלפון‬
‫שם פרטי‬
‫מיקוד‬
‫מס' דירה‬
‫שם משפחה‬
‫מס' בית‬
‫רחוב‬
Задачи
В этом туре вы должны (на отдельном листе) представить как ответы, так и подробные
решения задач.
1. Получить при помощи арифметических действий + , - ,  , : и скобок
число 2004 из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, используя каждое число
ровно по одному разу. (Числа нельзя «склеивать») .
2. Отметьте на прямой пять различных точек так, чтобы для каждых
двух из них нашлась такая третья (тоже отмеченная), что одна из этих
трех точек является серединой отрезка между двумя другими.
3. Рыбак поймал несколько рыб. Три самые большие рыбины (7/20 веса
всего улова) он положил в холодильник, три самые маленькие (5/13 веса
всех оставшихся) отдал коту, а остальные съел сам. Сколько рыб он
поймал?
4. Коби покрасил 21 клетку доски 66 , причем
все клетки, которые он красил (кроме самой
первой),
имели
ровно
одну
соседнюю
покрашенную клетку. (Соседними считаются
клетки, имеющие общую сторону). Можете ли
вы, следуя тем же правилам, закрасить больше
клеток? (За каждую дополнительную клетку
начисляются очки).
5. По кругу стоят несколько человек. Каждый из них – рыцарь, всегда
говорящий правду, или лжец, который всегда лжет. Каждый из стоящих
сказал: «Один из моих соседей тяжелее меня, а другой – легче меня».
Известно, что веса любых двух людей различны. Может ли среди
стоящих быть ровно 21 лжец?
‫סכום‬
5
4
3
2
1
‫תוצאות‬
Четвертая математическая олимпиада orange.
Финал. 8-9 классы.
‫ביה"ס‬
‫כיתה‬
‫עיר‬
2003-2004 гг.
Анкета участника
‫טלפון‬
‫שם פרטי‬
‫מיקוד‬
‫מס' דירה‬
‫שם משפחה‬
‫מס' בית‬
‫רחוב‬
Задачи
В этом туре вы должны (на отдельном листе) представить как ответы, так
и подробные решения задач.
1.На четырех математиков надели шапки и выстроили их в ряд, одного за
другим, так чтобы каждый видел шапки тех, кто стоит впереди его. Им
известно, что всего имеется 6 шапок: 3 красных, 2 белых и одна черная (две
шапки не были использованы). Первый математик (тот, кто всех видит)
обьявил: «Я не знаю, какого цвета у меня шапка». После этого следующий
(стоящий перед ним) сказал: «И я не знаю, какого цвета моя шапка». Затем
стоящий перед ним заявил «И я не знаю, какого цвета у меня шапка».
Наконец, последний (тот, который никого не видит) сказал: «А я знаю, какого
цвета у меня шапка!» Какого цвета была его шапка? (Ответ обоснуйте.)
2. ABCD – прямоугольник, O – центр вписанной в
треугольник ABC окружности, OEDF – тоже прямоугольник,
причем точки Е и F лежат на отрезках CD и DA
соответственно. Какая из фигур имеет большую площадь –
треугольник ABC или прямоугольник OEDF?
3. Доказать, что
2003 2002 2001
2
1
1
3
2003
=
.


 ... 


 ... 
2
3
4
2003 2004
1003 1004
2004
4. Коби покрасил 31 клетку доски 77 , причем все клетки,
которые он красил (кроме самой первой), имели ровно
одну соседнюю покрашенную клетку. (Соседними
считаются клетки, имеющие общую сторону). Можете ли
вы, следуя тем же правилам, закрасить больше клеток?
(За каждую дополнительную клетку начисляются очки).
5. У Рами и Йорама имеются по 32 гири: у Рами весом 2, 4, …, 64 грамма, а у
Йорама – 1, 3, ..., 63 грамма. Каждый из них, по очереди, ставит по одной
своей гире на свою чашу весов, причем начинает Рами. Йорам выигрывает,
если в какой то момент разность масс гирь на чашах окажется равной 77
граммам. Сможет ли он этого добиться?
‫סכום‬
5
4
3
2
1
‫תוצאות‬
Четвертая математическая олимпиада orange.
Финал. 10-12 классы.
‫ביה"ס‬
‫כיתה‬
‫עיר‬
2003-2004 гг.
Анкета участника
‫טלפון‬
‫שם פרטי‬
‫מיקוד‬
‫מס' דירה‬
‫שם משפחה‬
‫מס' בית‬
‫רחוב‬
Задачи
В этом туре вы должны (на отдельном листе) представить как ответы, так
и подробные решения задач.
1. На гипотенузе AC прямоугольного треугольника ABC отмечена
точка D так, что ВС = DC. О – центр вписанной окружности этого
треугольника. Прямая DО пересекает описанную окружность
треугольника BОC в двух точках: О и E. Доказать что ВС = CЕ.
2.Коби покрасил 36 клеток доски 88, причем все
клетки, которые он красил (кроме самой первой),
имели ровно одну соседнюю покрашенную
клетку. (Соседними считаются клетки, имеющие
общую сторону). Можете ли вы, следуя тем же
правилам, закрасить больше клеток? (За каждую
дополнительную клетку начисляются очки).
3. 300 карточек – 100 белых, 100 чёрных и 100 красных – сложены
в стопку в произвольном порядке. Для каждой белой карточки
подсчитаем количество чёрных, лежащих ниже её, для каждой
черной – количество красных, лежащих ниже её, для каждой
красной – количество белых, лежащих ниже её, а затем
просуммировали получившиеся 300 чисел.
Найдите наибольшее возможное значение этой суммы.
4. Расположите числа A, B, C в порядке возрастания.
A2
B  8000  7997  7994   1001
7999 7996 7993
1000
C  3 576  575  573  572  570  569 
 3 2
5. Все целые числа от 112 до 444 записали подряд в
произвольном порядке (каждое один раз). Может ли получившееся
многозначное число быть степенью тройки?
‫סכום‬
5
4
3
2
1
‫תוצאות‬