Обучение моделированию в процессе решения логических

Методическая разработка «Обучение моделированию в процессе решения
логических задач на занятиях метапредметного модуля»
Автор: Игнатьева С.М., учитель
математики, МОУ СОШ №20, г. Ухта
Математик и педагог Д. Пойа писал, "что решение задач — это практическое
искусство, подобно плаванию, или катанию на лыжах, или игре на пианино: вы можете
научиться этому, только практикуясь ... Если вы захотите научиться плавать, то
вынуждены будете зайти в воду, а если вы захотите стать человеком, хорошо решающим
задачи, вы вынуждены их решать".
Ребенок с первых дней занятий в школе встречается с задачами. Обучение решению
текстовых задач всегда являлось важной частью школьного курса математики. Потому что
именно решение таких заданий прививает ребенку интерес к математике и готовит его к
решению задач, которые постоянно встречаются в нашей повседневной жизни. Задачи
присутствуют во многих учебных предметах. С точки зрения предметов, они полностью
различны. С точки же зрения анализа средств мышления, между ними множество
интересных связей и соотношений.
Решение математических задач - процесс творческий, с использованием определенных
знаний, логического мышления и воображения. Одну и ту же задачу порой можно решить
двумя и более способами, каждый из которых интересен по-своему. Но, к сожалению,
обучение математике, как правило, сводится к тому, что ребенка знакомят с
определениями, правилами и формулами. Он решает типовые задачки, суть которых в
том, чтобы в нужном месте применить нужный алгоритм. Развитие мышления происходит
только у небольшой части детей, обладающих способностями к изучению математики.
Большая же часть учеников просто заучивает формулировки и алгоритмы действий. При
этом развивается память, но не мышление. Практика показала, что за счет
«натаскивания», алгоритмизации невозможно формирование человека мыслящего,
способного действовать в ситуации неопределенности, как того требует ФГОС.
Качественно новые результаты, могут быть достигнуты только в результате осознанного и
осмысленного усвоения содержания, под которым понимается не столько сам учебный
материал, а сколько способы его освоения. В настоящее время школа пока ещё
продолжает ориентироваться на обучение, выпуская в жизнь человека обученного –
квалифицированного исполнителя, тогда как сегодняшнее, информационное общество
запрашивает человека обучаемого, способного самостоятельно учиться и многократно
переучиваться в течение всей жизни, готового к самостоятельным действиям и принятию
решений. Для жизни и деятельности человека важно не наличие у него накоплений впрок,
запаса какого – то внутреннего багажа всего усвоенного, а проявление и возможность
использовать то, что есть, то есть не структурные, а функциональные, деятельностные
качества.
Еще одна проблема заключается в том, что порой учитель ограничен во времени, он
не может решать каждую задачу в рамках исследования. Федеральный государственный
образовательный стандарт предоставляет учителю возможность переструктурировать
содержание предметного образования в рамках предметной области таким образом, чтобы
высвободить часы для проектных и исследовательских форм работы с детьми, в рамках
которых и появляется возможность решить эту проблему.
На мой взгляд, одним из способов решения этой проблемы является разработка и
введение метапредметных модулей, где решаются не отдельные задачи, а
рассматриваются и исследуются общие способы их решения. Универсальными же эти
способы станут, если учащиеся усвоят их настолько глубоко и осознанно, что смогут
применить в любой другой предметной области, включая ситуации реальной жизни.
Кроме того, процесс поиска способов решения задач, а в особенности процесс его
переноса, предоставляет возможность ученику проявить и развить свои личностные
качества, т.к. в этом процессе он выступает именно как субъект своей деятельности.
Сама идея выйти на метапредметный уровень осмысления и освоения содержания
образования, оставаясь в рамках одной предметной области, предложена авторамиразработчиками мыследеятельностной педагогики, под руководством Ю.В. Громыко. Но,
как известно, их рекомендации имеют открытый рамочный характер, что и делает
возможным разработку собственной модели реализации идеи как одного из способов
решения проблем.
Разработка метапредметного модуля: «Моделирование в процессе решения задач
повышенной сложности» в рамках предпрофильной подготовки учащихся по математике
была опубликована в феврале 2013 года в информационно-телекоммуникационной сети
«Интернет» автором Жалсанжаповой Димид Баторовной, учителем математики МОУ
«Агинская СОШ №1» п.Агинское, Забайкальского края. Данный модуль основан на идеях
и принципах развивающего обучения Д.Б. Эльконина и В.В. Давыдова и
мыследеятельностной педагогики Ю.В. Громыко, в которых реализуется деятельностный
(мыследеятельностный) подход к содержанию. Содержание модуля выстраивается вокруг
фундаментального образовательного объекта, в качестве которого выступает понятие
«задача» и направлена на освоение общих (обобщенных) способов решения
определенного класса задач, которые станут универсальными (метапредметными), когда
учащиеся путем переноса получат возможность использовать их в решении задач в любой
другой области, включая ситуации реальной жизни.
По рекомендации разработчиков мыследеятельностной педагогики, «для реализации
единицы деятельностного содержания должны быть составлены единицы более дробные,
чем предметы», но более крупные, чем урок. Поэтому, наиболее технически удобной
формой выступает такая единица, как модули учебных курсов. Модуль позволяет
представить необходимое стандартное содержание в виде отдельного блока»[2],
характеризующейся определенной целостностью и интегративностью. Данный
метапредметный модуль разработан на основе методических рекомендаций Устиловской
А.А., автора метапредмета «Задача» – учебного пособия для педагогов, которая ссылаясь
на Дж. Пойя, актуализирует следующее определение математических задач: «задача
предполагает необходимость сознательного поиска соответствующего средства для
достижения ясно видимой, но непосредственно недоступной цели». Далее автор пособия
определяет
особенности
процесса
решения
задачи,
представляя
их
как
«последовательность хорошо координированных логических операций и шагов»,
«гарантирующей получение нужного результата» [3].
Особенностью данного модуля является моделирование как универсальный прием
понимания и поиска способов решения любой задачи в любой области деятельности.
«В процессе решения и решания просматриваются три продукта: - идея решения,
реализация идеи, знаковая фиксация – текст решения» - пишет автор метапредмета
«Задача» Устиловская А.А.[17]. Текст решения пишется тогда, когда задача уже решена, и
поэтому она не передает средств поиска решения, «не содержат в себе следов той
деятельности, которая привела к решению». Поэтому «в практике учения происходит так:
либо учащийся каким-то не ясным даже для педагогов образом на самых ранних этапах
обучения «схватывает» специфику работы с задачей. И это становится залогом
дальнейшего его успеха. Либо такого схватывания не происходит и ученику остается одно
– запоминать стандартные алгоритмы решения типовых задач. На последнее не у всех
хватает терпения…» [17], но даже если и хватит, то, как показала практика, оно помогает
до поры до времени, т.к. эксплуатация человеческой памяти и опора только на это абсолютно ненадежный механизм.
Большинство задач в задачниках и учебниках содержательно и генетически мало
связаны между собой, они направлены на усвоение одного конкретного способа. Вот в
чем, по мнению Устиловской А.А., заключается основная проблема, которая кроется в
самом устройстве содержания курса математики.
Проблема обостряется, когда начинается систематический курс математики в
период, когда учащиеся должны переходить к решению задач повышенной трудности.
Отсюда возникает необходимость в подборке задач, на основе которых можно выйти на
поиск общего (обобщенного) способа решения задач. Эти задачи, как правило, имеют
подтекст и связаны с разными областями знания, с окружающей нас действительностью и
рассчитаны на умение самостоятельно мыслить.
В данной ситуации большие возможности имеет такой универсальный способ
поиска решения задач – моделирование, т.к. «в ходе моделирования в рассматриваемых
объектах или явлениях выделяются все важные для решения параметры» [17]. Создание
модели – первый шаг выхода учащихся за рамки предметного мышления в область
рефлексивного осмысления обобщенных способов решения подобных задач. В данном
случае учащимся предлагаются задачи, для решения которой у учащихся нет готовой
модели! Навыки исследования задач является частью математической культуры, которая
требует определенной свободы и оригинальности мышления, изобретательности,
основанной на здравом смысле, смекалке.
В ходе изучения разработки данного метапредметного модуля я решила изменить
его содержание. Я согласна с авторами в том, что, во-первых, в старших классах ученики
уже владеют достаточно богатым математическим аппаратом. Обращаясь к моделям на
уроках, учащиеся используют моделирование как этап решения задачи, то есть учатся
формализовать текстовую задачу. Однако обучение моделированию как этапу решения
прикладной задачи – это лишь одна сторона, она связана уже непосредственно с
процессом решения. С другой стороны, еще на этапе восприятия текста сюжетной задачи
у детей чаще всего возникают трудности понимания текста. В этом случае так же
используются различные модели текста сюжетной задачи: рисунки, чертежи, схемы,
таблицы и др. К сожалению, как показывает анализ действующих школьных учебников
математики этот процесс остается за рамками учебников. Во-вторых, особенностью
преподавания в 7-8 классах является то, что учащиеся именно в этом возрасте резко
теряют интерес к математике. Это приводит к снижению успеваемости, восприятию
математики как сложного неинтересного предмета. Следовательно, задачи должны быть
интересными, познавательными, но вместе с тем достаточно сложными. Обычный круг
задач, рассматриваемых в курсе основной школы, не соответствует указанным критериям.
На мой взгляд, именно логические задачи – это своеобразная "гимнастика для ума",
средство для утоления естественной для каждого мыслящего человека потребности
испытывать и упражнять силу собственного разума. Поэтому для данного модуля я
выбрала логические задачи.
В ходе решения логических задач у учащихся должны сформироваться
коммуникативные и познавательные универсальные учебные действия, предусмотренные
стандартами второго поколения [18], такие как:
твие с партнерами по совместной деятельности;
умение делать выводы и умозаключения.
Изменив содержание и название модуля «Моделирование в процессе решения
логических задач», я определила следующие темы занятий.
Примерное планирование занятий.
№
Тема
1-2
Универсальные способы решения задач.
Понятие модели и моделирования. Вспомогательные модели.
3-4
Этапы моделирования.
5-6
Элементы логики.
7
Самая сложная логическая задача.
8-9
Загадка Эйнштейна.
Решение задачи Эйнштейна про пять домов.
10-11
Решение логических задач с помощью кругов Эйлера.
12-13
Решение логических задач с помощью мостов Эйлера.
14-15
Задача про ёжика.
Задача на выбор оптимального маршрута.
16-17
Игра с точки зрения математики.
Выигрышные стратегии. Оформление решения в виде графа.
18
Решение групповой задачи.
19
Защита групповой задачи. Проверка индивидуальных заданий.
Игра с учащимися других групп по условиям задачи.
Прогнозируемые метапредметные результаты:

Умение применять: известные алгоритмы и методы исследования в
конкретной ситуации; индуктивные и дедуктивные способы рассуждений; базовый
понятийный аппарат.

Умение видеть различные стратегии решения задач и
извлекать
необходимую для исследования и решения задач информацию (знания из разных
областей); проводить диагностику задачи (понимать ее смысл и назначение) и
аналогию задач.

Умение анализировать
взаимосвязи между задачами и связывать
неизвестные задачи с данными; сводить сложные задачи к выполнению более
элементарных действий.

Умение принимать оптимальное решение и доводить до конца
намеченный план решения.

Формирование навыков оценивать: логику построения простых схем
решения задач, соответствие выводов исследования, достижение учебных результатов.
Список использованной литературы.
1.
http://infourok.ru/material.html?mid=84364
2.
Алексеева Л.Н. Направление обновления содержания образования и
изменение
педагогического
профессионализма.
Из
опыта
освоения
мыследеятельностной педагогики / Под ред. Алексеевой Л.Н., Устиловской А.А. – М.:
МИОО, 2007. – 288 с.
3.
Воронцов А.Б «Организация учебной деятельности в подростковой школе.
Новая система оценки качества» МАРО, Москва
4.
Воронцов А.Б., Чудинова Е.В. «Учебная деятельность: введение в систему
Д.Б. Эльконина -В.В. Давыдов. Изд «Рассказов». Москва. 2004
5.
Выготский Л.С. Педагогическая психология. Москва. 1992
6.
Громыко Н.В. Способы обновления знаний. Эпистемотека, Издательская
программа «Школа будущего», Пушкинский институт, М., 2007
7.
Громыко Ю.В. Мыследеятельностная педагогика -Минск, 2004
8.
Глазунова О.С. Метапредметный подход, Что это?//Учительская газета
2011. №9 (Электронный ресурс).-Режим доступа: http://www/ug/ru/article/644
9.
Глейзер Г.Н. История математики в средней школе. Пособие для учителей.
– М., Просвещение. 1970
10. Давыдов В.В. «Виды обобщения в обучении»: Логико-психологические
проблемы построения учебных предметов. – М.: Педагогическое общество России,
2000. – 480 с.
11. Давыдов В.В.. Проблемы развивающего обучения. –М.: Педагогика, 1986.240 с.
12. Дж. Пойа. Математическое открытие. Решение задач: основные понятия,
изучение и преподавание. – М.: Наука. Гл. ред. физ. мат. лит., 1970
13. Из опыта освоения мыследеятельностной педагогики (Опыт освоения
мыследеятельностного подхода в практикепедагогической работы); Под ред. Л.Н.
Алексеевой , А.А. Устиловской – М.: МИОО, 2007. – 288 с.
14. Клайн М. Математика. Поиск истины: Пер. с англ./ Под ред. и с предисл.
В.И. Аршинова, Ю.В. Сачкова. – М.: Мир. 1998
15. Новикова Т.Г. Проектирование эксперимента в образовательных системах.
Москва. 2002
16. Традиция В.В. Давыдова и развитие образования (Сборник к 80-летию со
дня рождения В.В.Давыдова) Москва. 2010.
17. Устиловская А.А. Метапредмет «Задача»: Учебное пособие для педагогов.
М.: НИИ ИСРОО . Пушкинский институт, 2011. – 272 с. – Серия
«Мыследеятельностная педагогика».
18. Формирование универсальных учебных действийв основной школе: от
действий к мысли. Система заданий: пособие для учителя. Под ред. А.Г. Асмолов. – 2
изд. – М.: Просвещение, 2011. – 159с.
19. Федеральный государственный образовательный стандарт среднего
(полного) общего образования. – М.: Просвещение, 2013. – 63 с.
20. Фундаментальное ядро содержания общего образования; под ред. В.В.
Козлова, А.М. Кондакова. – 4-е изд., М.: Просвещение, 2011. – 79 с.
21. Федеральный государственный образовательный стандарт основного
общего образования. – М.: Просвещение, 2011. – 48 с.
Приложение.
Сценарий занятия по теме «Решение логических задач с помощью кругов Эйлера».
Деятельностная единица содержания:
Содержанием занятия является построение модели объекта задачи при решении
задачи нового типа. Ключевой момент в построении модели – переход к графической
схеме (в виде кругов Эйлера, при помощи которых можно изобразить несколько
подмножеств вместе c их объединениями, пересечениями, разностями и т.д.). Раньше
учащиеся решали задачи по готовым образцам, алгоритмам, ход решения задачи был
достаточно хорошо изучен, и при решении задач не возникало больших затруднений.
Учащиеся должны осознать, что старые способы решения не работают или неэффективны.
Решить задачу позволяет переход к другой модели решения задачи.
Учебный материал:
В качестве учебного материала я предлагаю задачу, которая основана на реальном
материале. Привожу матрицу текста задачи:
В ___ классе учатся ___ человек. Из них по русскому языку за I четверть получили
«тройки» ___ человек, по математике – ___ человек и по истории – ___ человек. Только по
одному предмету имеют «тройки»: по русскому языку – ___ человека, по математике –
___ человека, по истории – ___ человек. ___ учеников имеют «тройки» и по математике и
по истории, а ___ учеников – «тройки» по всем предметам. Сколько человек учится без
«троек»? Сколько человек имеют «тройки» по двум из трех предметов?
Я не ставлю цель познакомить учащихся с «готовой» моделью, а выстраиваю
ситуацию, в которой учащиеся самостоятельно получат эффективную модель.
Этап 1. Понимание условия задачи.
Первый этап в решении задачи – понимание условия. Условие данной задачи
адаптировано к уровню семиклассников (восьмиклассников), и трудностей не возникло:
смысл задачи поняли все учащиеся.
С самого начала учащиеся восприняли задачу как математическую и попытались
его решить её «обычным способом».
Этап 2.1. Первые попытки выполнения задания.
С ходу было предложено сложить «всех троечников» и из полученного числа
вычесть количество учащихся в классе. Однако нашлись сомневающиеся: как поступить с
теми, кто имел «тройки» и по математике и по истории, с теми у кого «тройки» по всем
предметам. В ходе обсуждения, большинство пришло к выводу: «Задача не может быть
такой простой».
Этап 2.2. Попытка смоделировать задачу.
На уроках учащиеся большинство задач решают с помощью уравнений. В ходе
обсуждения они пришли к выводу, что к этой задачи составить уравнение очень сложно,
так как появлялись новые переменные. Были попытки создать чертеж или схему с
использованием стрелок, отрезков и т.д. но они тоже были безуспешными.
Этап 2.2 Построение модели.
Было предложено рассмотреть «троечников» по одному предмету как множества.
Учащиеся самостоятельно попытались изобразить множества как геометрические фигуры:
отрезки, квадраты, треугольники, прямоугольники, круги… В итоге ученики пришли к
выводу, что лучше изображать множество в виде круга.
Историческая справка: Одним из первых, кто использовал для решения задач
круги, был выдающийся немецкий математик и философ Готфрид Вильгельм Лейбниц
(1646 – 1716). В его черновых набросках были обнаружены рисунки с кругами. Затем этот
метод основательно развил швейцарский математик Леонард Эйлер (1707 – 1783).
Леонард Эйлер, крупнейший математик XVIII века, родился в Швейцарии. В 1727 г. по
приглашению Петербургской академии наук он приехал в Россию. Эйлер попал в круг
выдающихся математиков, получил большие возможности для создания и издания своих
трудов. Он работал с увлечением и вскоре стал, по единодушному признанию
современников, первым математиком мира.
Чтобы напомнить ребятам элементы теории множеств, я предложила выполнить
следующие задания:
1. Объясните рисунок:
2. Как вы можете объяснить вот такую
памятку заказчику?
«Можно потратить много слов, объясняя свою точку зрения, а можно просто
нарисовать простую схему, которая сразу расставит все по местам».
3. Если вы не можете определиться, какую профессию выбрать, попробуйте
нарисовать схему в виде кругов Эйлера. Возможно, чертеж вроде этого
поможет вам определиться с выбором:
Те варианты, которые окажутся на пересечении всех трех кругов, и есть
профессия, которая не только сможет вас прокормить, но и будет вам
нравиться.
Этап 2.3 Решение построенной модели.
Учащиеся рисуют круги Эйлера для нашей задачи. В результате обсуждения было
предложено: внутри большего круга, изображающего всех учеников класса, поместить три
меньших круга М, Р, И, означающих соответственно математика, русский язык и история.
Дальнейшие расчеты не представляли большого труда.
Этап 2.4. Переход от наглядной модели к математической.
Анализируя условие, учащиеся внесли данные задачи на рисунок.
Этап 3.1 Составление математических выражений.
Ученикам было предложено составить математические выражения
дальнейшего решения задачи. Ими были предложены такие варианты:
для
Зная число ребят, имеющих «тройки» по математике и истории, и учащиеся
довольно быстро нашли число учеников, имеющих только две «тройки» - по математике и
по истории. Затем, было предложено найти количество «троечников» - по математике и по
русскому языку. Следующее выражение было составлено для нахождения количества
учеников, имеющих только две «тройки» - по истории и по русскому языку. Затем без
проблем было найдено количество тех, кто учится без «тройки», и тех, кто имеет
«тройки» по двум предметам из трех.
Решив задачу, ребята пришли к выводу, что применение кругов Эйлера (диаграмм
Эйлера-Венна) позволяет легко решить задачи, которые обычным путем разрешимы лишь
при составлении системы трех уравнений с тремя неизвестными. Учащиеся сделали
предположение, что чем более сложная и запутанная логическая задача, связанная с
множествами, тем более очевиден эффект от применения кругов Эйлера. Только после
составления рисунка
решение таких задач становится достаточно очевидным.
Задачи:
1. Ученики нашего класса принимали участие в олимпиаде по биологии и русскому
языку, часть – только по биологии, а часть в двух олимпиадах. По биологии
принимало участие 85%, по русскому языку 75%. Сколько процентов учащихся
участвовало в двух олимпиадах?
2. Все мои подруги выращивают в своих квартирах какие-нибудь растения. Шестеро
из них разводят лилии, а пятеро — фиалки. И только у двоих есть и лилии и
фиалки. Угадайте, сколько у меня подруг?
3. В футбольной команде «Спартак» 30 игроков, среди них 18 нападающих. 11
полузащитников, 17 защитников и вратари. Известно, что трое могут быть
нападающими и защитниками, 10 защитниками и полузащитниками, 6
нападающими и защитниками, а 1 и нападающим, и защитником, и
полузащитником. Вратари не заменимы. Сколько в команде «Спартак» вратарей?
4. В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36
магнитофонов, 37 телевизоров. 20 из них купили и холодильник и магнитофон, 19 и магнитофон, и телевизор, 15 - холодильник и телевизор, а все три покупки
совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?
5. В классе 38 человек. Из них 16 играют в баскетбол, 17 - в хоккей, 18 - в футбол.
Увлекаются двумя видами спорта - баскетболом и хоккеем - четверо, баскетболом
и футболом - трое, футболом и хоккеем - пятеро. Трое не увлекаются ни
баскетболом, ни хоккеем, ни футболом. Сколько ребят увлекается одновременно
тремя видами спорта? Сколько ребят увлекается лишь одним из этих видов спорта?
6. Шестиклассники заполняли анкету с вопросами об их любимых мультфильмах.
Оказалось, что большинству из них нравятся «Белоснежка и семь гномов», «Губка
Боб Квадратные Штаны» и «Волк и теленок». В классе 38 учеников. «Белоснежка и
семь гномов» нравится 21 ученику. Причем трем среди них нравятся еще и «Волк и
теленок», шестерым - «Губка Боб Квадратные Штаны», а один ребенок одинаково
любит все три мультфильма. У «Волка и теленка» 13 фанатов, пятеро из которых
назвали в анкете два мультфильма. Надо определить, скольким же
шестиклассникам нравится «Губка Боб Квадратные Штаны».
7. В классе 36 человек. Ученики этого класса посещают математический, физический
и химический кружки, причем математический кружок посещают 18 человек,
физический - 14 человек, химический - 10. Кроме того, известно, что 2 человека
посещают все три кружка, 8 человек - и математический и физический, 5 и
математический и химический, 3 - и физический и химический.
Сколько учеников класса не посещают никаких кружков?
8. После зимних каникул классный руководитель спросил, кто из ребят ходил в театр,
кино или цирк. Оказалось, что из 36 учеников класса двое не были ни в кино. ни в
театре, ни в цирке. В кино побывало 25 человек, в театре - 11, в цирке 17 человек; и
в кино, и в театре - 6; и в кино и в цирке - 10; и в театре и в цирке - 4.
Сколько человек побывало и в кино, и в театре, и в цирке?
9. На полке стояло 26 волшебных книг по заклинаниям, все они были прочитаны. Из
них 4 прочитал и Гарри Поттер, и Рон. Гермиона прочитала 7 книг, которых не
читали ни Гарри Поттер, ни Рон, и две книги, которые читал Гарри Поттер. Всего
Гарри Поттер прочитал 11 книг. Сколько книг прочитал только Рон?
10. Задача, которая в 2011 году была вынесена на демонстрационный тест ЕГЭ по
информатике и ИКТ:
В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции
«ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» - символ «&».
В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого
сегмента сети интернет.
Запрос
Найдено страниц (в тысячах)
Крейсер | Линкор
7000
Крейсер
4800
Линкор
4500
Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Крейсер &
Линкор?
Считается, что все вопросы выполняются практически одновременно, так что
набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения
запросов.
11. Задача №18 из демо-версии ГИА 2013.
В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Для каждого запроса указан
его код – соответствующая буква от А до Г. Расположите коды запросов слева
направо в порядке убывания количества страниц, которые найдет поисковый
сервер по каждому запросу.
Код
Запрос
А
(Муха & Денежка) | Самовар
Б
Муха & Денежка & Базар & Самовар
В
Муха | Денежка | Самовар
Г
Муха & Денежка & Самовар
12. Задача В12 из демо-версии ЕГЭ-2013.
В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого
сегмента сети Интернет.
Запрос
Найдено страниц (в тысяч)
Фрегат | Эсминец
3400
Фрегат & Эсминец
900
Фрегат
2100
Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Эсминец?
Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор
страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения
запросов.
Домашнее задание:
1.
Составить алгоритм для решения задач с помощью кругов Эйлера.
(Пример алгоритма, составленного моими учениками.
1.Записываем
краткое условие задачи. 2.Выполняем рисунок. 3.Записываем данные в
круги. 4.Выбираем условие, которое содержит больше свойств.
5.Анализируем, рассуждаем, не забывая записывать результаты в части
круга. 6.Записываем ответ).
2. Придумать и решить свою логическую задачу.
(Пример: 90 семиклассников нашей школы участвовали в опросе, в ходе
которого выяснялось, какие компьютерные игры им нравятся больше:
симуляторы, квесты или стратегии. В результате 20 опрошенных назвали
симуляторы, 30 — квесты, 12 — стратегии. Выяснилось, что 15 школьников
отдают одинаковое предпочтение симуляторам и квестам, 8 учеников —
симуляторам и стратегиям, 4 ученика — квестам и стратегиям, а 6 ребят
совершенно равнодушны к названным компьютерным играм. Некоторые из
школьников ответили, что одинаково увлекаются и симуляторами, и квестами,
и стратегиями. Сколько таких ребят?)
3. Задачи в формате ГИА и ЕГЭ.
http://shinkarenkoea.ucoz.ru/index/reshenie_zadach_egeh_s_pomoshhju_krugov_e
hjlera/0-25
4. Электронные ресурсы:
ttp://logika.vobrazovanie.ru/index.php?link=kr_e.html
http://volna.org/matematika/krughi_eiliera.html
http://gymnasium92.com/content/doc/krugi_inf-2014-02-6669.pdf
Сценарий занятия по теме «Решение логических задач с помощью мостов Эйлера
(графов)».
Цели занятия:
Личностные:
создание условий для формирования у учащихся положительной
мотивации к учению, умения преодолевать посильные трудности,
умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.
Метапредметные:
содействовать формированию умения осуществлять поиск
информации, выделять существенную информацию из текста,
планировать и контролировать деятельность, умения сравнивать
объекты, создавать, применять и преобразовывать модели.
Предметные:
сформировать навык применения графов для решения логических
задач.
Единица содержания:
В данной учебной ситуации предполагается освоение учащимися нового способа решения
логических задач. У детей формируется понимание того, что процесс решения задачи во
многом зависит от адекватного графического образа, благодаря которому станет
возможным найти решение.
Учебный материал:
В качестве учебного материала я предлагаю задачу, которая взята из письма Эйлера к
итальянскому математику и инженеру Маринони, отправленного из Петербурга 13 марта
1736 года:
"Некогда мне была предложена задача об острове, расположенном в городе Кенигсберге
и окруженном рекой, через которую перекинуто семь мостов. Спрашивается, может ли
кто-нибудь непрерывно обойти их, проходя только однажды через каждый мост. И тут
же мне было сообщено, что никто еще до сих пор не мог это проделать, но никто и не
доказал, что это невозможно. Вопрос этот, хотя и банальный, показался мне, однако,
достойным внимания тем, что для его решения недостаточны ни геометрия, ни алгебра,
ни комбинаторное искусство... После долгих размышлений я нашел легкое правило,
основанное на вполне убедительном доказательстве, с помощью которого можно во всех
задачах такого рода тотчас же определить, может ли быть совершен такой обход
через какое угодно число и как угодно расположенных мостов или не может".
"Кенигсбергские же мосты расположены так, что их можно представить на
следующем рисунке [рис.1], на котором A обозначает остров, а B, C и D – части
континента, отделенные друг от друга рукавами реки. Семь мостов обозначены буквами
a, b, c, d, e, f, g ".
Так можно ли обойти все Кенигсбергские мосты, проходя только один раз через каждый
из этих мостов?
Первые попытки выполнения задания.
С ходу был предложен, казалось бы, простой путь решения задачи, такой: сделать
все возможные пробы таких переходов, т. е. перечислить все возможные пути, и затем
рассмотреть, какой или какие из них удовлетворяют условиям вопроса. Но, практически
сразу стало очевидно, что даже в случае только семи мостов приходится делать очень
много таких проб. А при увеличении числа мостов такой способ решения практически
совершенно немыслим. Да, кроме того, при одном и том же числе мостов задача
изменяется в зависимости еще от расположения этих мостов. В ходе обсуждения
учащиеся пришли к выводу, что уже известные им модели не эффективны для решения
данной задачи. В результате возник вопрос: а как же Эйлер решил эту задачу?
Построение модели.
Я сообщаю ребятам о том, что Эйлер решил эту задачу с помощью графов. Для того,
чтобы понять что это за модель, я предлагаю учащимся проанализировать следующие
изображения. В результате каждый пытается дать свое определение графа.
Изображение 1.
Элемент памяти триггер — это логическое устройство,
способное хранить 1 бит информации.
Изображение 2.
Изображение 3.
Изображение железных дорог.
Изображение 4.
Схема движения городского транспорта г. Ухта.
Изображение
5.
Сетевой график строительства.
Изображение 6.
Карта звездного неба.
Изображение 7.
Генеалогического дерева знаменитого дворянского рода Л. Н. Толстого.
Каждый ученик записывает свое определение графа.
Далее работая в группах, учащиеся из различных источников информации
(книги на информационном столе, информационно-телекоммуникационная сеть
«Интернет») находят определения графа, сравнивают их и выбирают на их взгляд
наиболее точное. Используя полученную теоретическую информацию о графах, учащиеся
составляют «конспект». Каждая группа демонстрирует свой «конспект» через документ камеру, а представитель группы комментирует результат работы, ребята из других групп
дополняют при необходимости свои конспекты.
Пример «конспекта».
Графы – фигуры (или схемы), состоящие из множества точек, называемых
вершинами, и связывающих эти точки отрезков прямых и дуг, называемыми ребрами графа.
Количество рёбер, выходящих из вершины графа, называется степенью вершины.
Вершина графа, имеющая нечётную степень, называется нечетной, а чётную степень –
чётной.
Нечетные вершины: D,
Четные вершины:A,B,C,E,G,H,I.
Графы имеют свойства. Если граф можно нарисовать одним росчерком, т, е,
пройти его весь непрерывным движением, проходя по каждой ветви один и только один раз (одним маршрутом)- граф называется уникурсальным (или эйлеровым). Уникурсальный от латинского слова «unus» – один, «cursus» – путь.
Если возможен обход всей сети одним маршрутом, то она называется уникурсальной сетью, а маршрут – уникурсальным обходом.
Условия существования уникурсального обхода, обоснованные Эйлером и
названные им правилами, очень просты:
1.Сеть, не имеющая нечетных узлов, допускает замкнутый уникурсальный
обход с началом в любой точке сети.
2.Сеть, имеющая два и только два нечетных узла, обходится уникурсально,
если начать движение с одного нечетного узла и закончить его в другом.
3.Сеть, имеющая больше двух нечетных узлов, нельзя полностью обойти
одним маршрутом – сеть не уникурсальна.
Изучив необходимый теоретический материал, учащиеся
придумывают геометрическую модель задачи о
Кенигсбергских моста.
На модели земельные участки, разъединенные рукавами
реки, точки А, В,
С, D- вершины (узлы), а мосты как бы вытянуты в линии
a, b, c, d, e, f, g – ветви (или ребра), соединяющими два
последовательных узла.
Решение построенной модели.
Из данной геометрической модели мостов видно, что
сеть имеет 4 узла, в каждом сходится нечетное число ребер (линий) – все узлы нечетные.
Следовательно, по правилу 3 сеть не уникурсальна.
Требуемого маршрута прогулки по 7 мостам города Кенигсберга не существует.
Продолжая работать в группах, учащиеся из различных источников информации
(книги на информационном столе, информационно-телекоммуникационная сеть
«Интернет») находят другие логические задачи, которые так же можно решить,
используя свойства графов. Выбранные задачи ребята решают и наиболее интересными
обмениваются.
Задачи:
1. В некоторой местности через протоки переброшено 15 мостов.
Можно ли обойти все мосты, пройдя по каждому из них только один раз?
2. У вас на индивидуальных карточках изображен план подземелья, в одной из
комнат которого скрыты богатства рыцаря. Чтобы безопасно проникнуть в эту
комнату, надо, войти через определенные ворота в одну из крайних комнат
подземелья, пройти последовательно через все 29 дверей, выключая
сигнализацию тревоги. Проходить дважды через одни и те же двери нельзя.
Определить номер комнаты в которой скрыты сокровища и ворота через
которые нужно войти?
3. Доска имеет форму двойного креста, который получается, если из квадрата 4x4
убрать угловые клетки.
Можно ли обойти ее ходом шахматного коня и вернуться на исходную клетку, побывав на
всех клетках ровно по одному разу ?
4. Можно ли фигуру, изображенную на рисунке, нарисовать одним росчерком, без
повторения линий?
5. Аркадий, Борис. Владимир, Григорий и Дмитрий при встрече обменялись
рукопожатиями (каждый пожал руку каждому по одному разу). Сколько всего
рукопожатий было сделано?
6. В государстве 100 городов, из каждого выходит 2 дороги, кроме столицы, откуда
выходит 5 дорог и города Горный, откуда выходит одна единственная дорога.
Сколько всего дорог в государстве?
7. Доказать, что в государстве из предыдущей задачи можно из столицы доехать
(как-нибудь, возможно, с несколькими пересадками в разных городах), до
города Горный.
8. Между девятью планетами солнечной системы установлено космическое
сообщение. Рейсовые ракеты летают по следующим маршрутам: Земля –
Меркурий; Плутон – Венера; Земля – Плутон; Плутон – Меркурий; Меркурий –
Вене; Уран – Нептун; Нептун – Сатурн; Сатурн – Юпитер; Юпитер – Марс и
Марс – Уран. Можно ли долететь на рейсовых ракетах с Земли до Марса ?
9. На остров Коневец завезли 13 телефонов. Настоятель хочет организовать такую
схему телефонной связи, чтобы соединить каждый телефон ровно с 7-ю
другими. Удастся ли ему это?
10. Насыщенным углеводородом называется соединение углевода С, имеющего
валентность 4, и водорода Н, имеющего валентность 1, в котором при заданном
числе атомов углерода содержится наибольшее число атомов водорода. Найдите
формулу насыщенного углеводорода, содержащего n атомов углерода.
Решив несколько задач, учащиеся пришли к выводу, что теория графов позволяет
быстро и изящно решать задачи, которые весьма трудно решить другими методами и
позволяет решить не только одну отдельно взятую задачу, но и находить методы решения
целого класса задач.
Домашнее задание:
1. Составить алгоритм для решения задач с помощью графов.
2. Придумать и решить свою логическую задачу.
3. Подготовить презентацию. Предлагаемые темы:
«Графы в информатике»
«Графы в программировании»
«Графы и их применение в архитектуре»
«Графы в компьютерных сетях»
«Графы в жизни человека»
4. Электронные ресурсы:
http://festival.1september.ru/articles/416943/
http://sernam.ru/book_e_math.php?id=33
http://nsportal.ru/ap/library/drugoe/2011/11/05/grafy
http://5fan.ru/wievjob.php?id=1158