Тема 7. Линии второго порядка. Занятие 25. Линии второго

Тема 7. Линии второго порядка.
Занятие 25. Линии второго порядка.
Лекция 15.
Основные вопросы.
1. Уравнение линии второго порядка.
2. Каноническое уравнение эллипса.
3. Исследовать формы эллипса по его каноническому уравнению.
4. Каноническое уравнение гиперболы.
5. Исследование формы гиперболы по ее каноническому уравнению.
Известно, что равенство F  x, y   0 в декартовой системе координат
на плоскости в общем виде определяет некоторую линию, которая может
быть и прямой  Ах  Ву  С  0 , и кривой линией (в частности, окружностью
 х2  у 2  R2  ) .
Рассмотрим, так называемые, линии второго порядка, которые представляются алгебраическими уравнениями второй степени.
1. Уравнение линии второго порядка.
Определение 1. Алгебраическим уравнением второй степени называется уравнение вида
а11 х 2  2а12 ху  а22 у 2  2а13 х  2а23 у  а33  0
(1)
где а11, а12 , а22 , а13 , а23 , а33
действительные числа и по крайней мере одно из чисел а11, а12 , а22 не равно нулю.
Обозначения 2а12 ,2а13 ,2а23 введены потому, что во многие формулы,
используемые при исследовании геометрического смысла уравнения (1),
входят половины коэффициентов, при х и при у . Используя такие
обозначения, устраняются дробные выражения.
Определение 2.
Линии, которые в декартовой системе координат определяются алгебраическими уравнениями второй
степени, называются линиями второго порядка .
Уравнения окружности, эллипса, гиперболы и параболы являются частными случаями уравнения (1).
В дальнейшем мы убедимся, что в зависимости от значений коэффициентов в этом уравнении оно может определять действительные или
мнимые кривые или представлять случай их вырождения (например, для окружности х 2  у 2  0 - в точку).
2. Каноническое уравнение эллипса.
Определение 3.
Эллипсом называется геометрическое место точек
плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных точек F1 и F2 называемых фокусами эллипса,
есть величина постоянная, большая, чем расстояние
между фокусами. Обозначим постоянную величину
через 2а , а расстояние между фокусами 2с . Выберем систему координат так, чтобы ось 0х проходила
через фокусы, а начало координат совпало с
серединой отрезка F1 F2 .
Тогда, выбрав произвольную точку М(х,у) , получим, что, расстояние
(рис.7.1) точки М до фокусов F1 и F2 равны
r1 
 x  c 2  y 2 ,
r2  x  c 2  y 2
Согласно определению эллипса имеем r1  r 2  2a 
 x  c 2  y 2   x  c 2  y 2
 2a
(1)
у
М(х,у)
r1
r2
2с
F (-c;0)
1
0
F (c;0)
х
2
Рис. 7.1. К выводу уравнения эллипса.
Умножим обе части уравнения на разность радикалов на 2а . Получим
 х  с
2
 у2   х  с  у2

2а
2
 х  с
2
 у2 
 х  с
2
 у2
или после преобразований левой части
2сх

а
 х  с
2
 у2 
 х  с
2
 у2
(2)
Сложив уравнение (1) с (2) и сократив на два получим:
2
с
 х  с
 х  с   у   а  х  .
а 

а 2  с2  2

 х  у 2  а 2  с2 .
После преобразование имеем
2
а
2
2
2
Положим а  с  в
 а  c  и получим
2
с
 у  а  х, или
а
2
в2 2
х  у2  в2
а2
или
х2 у2

1
а2 в2
2
2
(3)
Полученное уравнение (3) называется каноническим уравнением эллипса. Величины а и в называются соответственно большой и малой полуосями эллипса.
Замечание 1. Параметрические уравнения эллипса с полуосями а и в
имеют вид
 х  а cos t
.

 y  в sin t
3. Исследование формы эллипса по его каноническому уравнению
При указанном выше выборе системы координат график эллипса согласно его каноническому уравнению имеет вид (рис. 7.2).
у
D2
D1
В2
d1
M1
M
в
A1
F1
r1
0
c
M2
a
d2
r2
F2
A2
x
M3
В1
х
а

а
а


х
а

Рис. 7.2. Эллипс и его параметры.
1) Симметрия эллипса. Каноническое уравнение эллипса (3) содержит
только квадраты текущих координат. Поэтому, если координаты точки М(х,у)
удовлетворяют (3), то этому уравнению будут удовлетворять также координаты точек М 1 (- х, у), М 2 (- х, - у) и М 3 ( х ,- у). Точка М 1 симметрична
точке М относительно оси ординат, точка М 3 симметрична точке М относительно оси абсцисс, а М 2 симметрична М относительно начала координат.
Следовательно, эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии, называемые главными осями. Точка пересечения 0 осей симметрии
называется центром.
2) Вершина эллипса. Точки пересечения эллипса со своими осями называются его вершинами (А1 ,А2,, В1, В2). Часто осями эллипса называются также отрезки А1А2 = 2а (большая ось) и В1 В2 = 2в (малая ось) .
Фокусы эллипса расположены на его большой оси. Длина отрезка
F1 F2 = 2с называется фокусным расстоянием .
3) Область расположения эллипса. Из канонического уравнения эллипса очевидно, что
и
х а
у  в.
Следовательно, эллипс целиком расположен внутри прямоугольника,
образованного прямыми х  а , у  в .
4) Форма эллипса . В силу симметрии эллипса достаточно выяснить его
форму, например, в первой четверти. Для построения кривой, расположенной
в первой четверти, необходимо из уравнения (3) выразить переменную у в
явном виде со знаком плюс, т.е.
у
в
а2  х2 .
а
Из этого уравнения видно, что при х = 0 у = в ; при возрастании х
от 0 до а
у убывает от в до 0 ; при х = а у = 0 . Это позволяет установить форму дуги эллипса в первой четверти, а в силу симметрии, и форму
всего эллипса.
Рассмотрим случай, когда расстояние между фокусами стремится к нулю: с  0 , при этом очевидно, что а  в . В пределе при а  в эллипс превращается в окружность. Действительно, уравнение
х2 у2

 1 , или
а2 а2
х 2  у 2  а 2 определяет окружность радиуса а с цент-ром в
начале координат. Следовательно, окружность есть частный случай
эллипса.
С другой стороны эллипс может быть получен равномерным (с постоянным коэффициентом) «сжатием» окружности. Пусть окружность задана
уравнением
х2 у2

1
а2 а2
Сделаем преобразование, при котором произвольная точка окружности N(x,y)
в
а
перейдет в точку N1(x1,y1) , причем х1  х, у1  у .
В результате такого преобразования заданное уравнение окружности
превращается в уравнение
х12 у12

 1 , определяющее эллипс.
а2 в2
5) Эксцентриситет эллипса . Из предыдущих рассуждений ясно, что
в
. Чем меньше
а
форма эллипса зависит от величины отношения полуосей
это отношение, тем эллипс будет более сжатым (по вертикали) и вытянутым
(по горизонтали).
Однако в качестве характеристики формы эллипса обычно пользуются
отношением полуфокусного расстояния с к большой полуоси а .
Число  
с
называется эксцентриситетом эллипса . Так как для эла
липса с  a , то 0    1. Чем больше эксцентриситет (при фиксированном
а), тем больше полуфокусное расстояние, а значит эллипс будет более сжатым ; чем меньше эксцентриситет, тем меньше с и, следовательно, эллипс
будет более «круглым». При   0 эллипс превращается в окружность
а 2  с2  в2 .
6) Фокальные радиусы эллипса. Отрезки F1 M  r1 и F2 M  r2 (рис.
7.2) называются фокальными радиусами точки М . При выводе канонического уравнения эллипса было получено равенство:
 х  с
2
 у2  а 
которого, т.к. r1  r2  2a , могут быть получены формулы:
r1  a   x , r2  a   x .
с
х , из
а
(4)
7) Директрисы эллипса. Если эллипс определен уравнением (3) и а  в ,
то прямые
х
а

и
х
а

(5)
называются директрисами эллипса.
Каждая директриса обладает следующим свойством : если r – расстояние произвольной точки М эллипса до некоторого фокуса, d - расстояние
от той же точки до односторонней с этим фокусом директрисы, то отношение
r1
r
 2 есть постоянная величина, равная эксцентриситету эллипса, т.е.
d1 d 2
r
 .
(6)
d
Замечание 2. Если фокусы эллипса расположены на оси 0у (симметрично относительно начала координат), то каноническое уравнение эллипса
имеет тот же вид (3) , но в этом случае в > а . Иначе говоря, буквой а будем всегда обозначать полуось, расположенную на оси 0х , буквой в - полуось, расположенную на оси 0у , независимо от того, что больше, а или в .
4. Каноническое уравнение гиперболы.
Определение 4. Гиперболой называется геометрическое место точек
плоскости, абсолютная величина разности расстояний
от которых до двух данных точек F1 и F2 , называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная,
не равная нулю и меньшая, чем расстояние между фокусами.
Обозначим эту постоянную через 2а , расстояние между фокусами –
через 2с , координаты фокусов - F1  c;0 ; F2 c;0  . Заметим, что 2с > 2а
(рис. 7.3)
у
М(х;у)
r1
r2
0
F2 (c;0)
F1 (-c;0)
х
Рис. 7.3. К выводу уравнения гиперболы
Пусть М(х,у) – произвольная точка гиперболы. Расстояния точки М до
фокусов, называемых фокальными радиусами, обозначим соответственно
через r1  F1 M и r2  F2 M
r1 
 х  с
2
 у2 и
r2 
 х  с
2
 у2
Тогда согласно определению гиперболы
 х  с
2
 у2 
 х  с
2
 у 2  2а
r1  r2  2a или
(7)
Это есть уравнение гиперболы в выбранной системе координат.
Для приведения уравнения (7) к более простому виду произведем ряд
преобразований, аналогичных для случая эллипса, и получим
х2
у2

1
а 2 с2  а 2
Учитывая, что с > a , и обозначая с 2  а 2  в 2 , получим
х2 у2

1
а2 в2
(8)
которое называется каноническим уравнением гиперболы. Величины а и в
называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы (напомним: для эллипса в 2  а 2  с 2 ).
5. Исследование формы гиперболы по её каноническому
уравнению.
Рассмотрим гиперболу, определяемую каноническим уравнением (8) ,
где в 2  а 2  с 2 .
1) Симметрия гиперболы . Так как уравнение (8) гиперболы отличается от уравнения эллипса (3) только знаком при втором члене левой части, то
аналогично как и для эллипса оси координат являются осями симметрии гиперболы, а начало координат – центром симметрии (рис. 7.4.).
а
а


у

 в
а х
y
M
d2
В1
в
r2
r1
F1
A2
A1
0
c
a
F2
у
В2
D1
x
 в
а х
D
Рис. 7.4. Гипербола и её параметры
2) Вершины гиперболы . Точки пересечения гиперболы с главными осями называются её вершинами, которые находятся на осях координат (точки
А1 и А2) .
Полагая в уравнении (8) у = 0 , найдем абсциссы точек пересечения
гиперболы с осью 0х :
х2
1 ,
а2
откуда
х  а
Если положить х = 0 , то получим уравнение 
у2
 1 , которое не
в2
имеет действительных решений. Значит гипербола пересекается с осью 0х в
двух точках А1  а;0 ; А2  а;0 - действительные вершины, а с осью 0у она не
пересекается (точки В1  0;в ; В2  0;-в - мнимые вершины).
Ось симметрии, пересекающая гиперболу, называется действительной
фокальной осью; ось симметрии, которая не пересекает гиперболу – мнимой
осью симметрии. (Соответственно: 2а – действительная ось симметрии; 2в
–мнимая ось симметрии; 2с – фокусное расстояние) .
3) Область расположения гиперболы . Из канонического уравнения
гиперболы очевидно, что х  а , т.е. х  а и х  а .
Таким образом, все точки гиперболы расположены справа от прямой х = а
и слева от прямой х = - а . Следовательно, гипербола состоит из двух изолированных частей . Та часть, для точек которой х  а называется правой
ветвью ; часть гиперболы, для точек которой х  а - левой ветвью гиперболы.
4) Асимптоты и форма гиперболы . Прямоугольник с центром в начале координат х = ± а у = ± в , называется основным прямоугольником гиперболы . Стороны его равны 2а и 2в . Диагонали этого прямоугольника
определяются очевидными уравнениями
у
в
х
а
и
у
в
х
а
(9)
Диагонали основного прямоугольника (неограниченно продолженные) являются асимптотами гиперболы, т.е. прямыми, к которым приближаются
ветви гиперболы при х , стремящемся к   .
Поэтому при построении графика гиперболы сначала строят основной
прямоугольник гиперболы, её асимптоты, а затем строится и сама кривая.
Наряду с гиперболой (8) часто рассматривают гиперболу, определяемую
уравнением
х2 у2

 1 , или
а2 в2

х2 у2

1
а2 в2
(10)
Две гиперболы, которые определяются уравнениями
х2 у2

 1 и
а2 в2

х2 у2

1
а2 в2
в
одной и той же системе координат, называются сопряженными (при одних
и тех же значениях а и в). Иначе говорят, что одна гипербола сопряженная
по отношению к другой.
Гипербола с разными полуосями (а = в) называется равносторонней
(равнобочной); её каноническое уравнение имеет вид
х 2  у 2  а 2 или
 х2  у2  а2 .
5) Эксцентриситет гиперболы . Отношение полуфокусного расстояния с к действительной полуоси а называется эксцентриситетом гиперболы , т.е.  
с
. Из этой формулы очевидно, что для гиперболы
а
 1 .
6) Фокальные радиусы гиперболы могут быть записаны так
r1  a   x1 , r2  a   x при x  0
или r1  a   x , r2  a   x при x  0
(11)
7) Директриса гиперболы . Если гипербола задана уравнением (31) ,
то прямые, определяемые уравнениями
х
а

,
х
а

(12)
называются её директрисами . Если гипербола задана уравнением (33) , то
её директрисы определяются уравнениями
у
в

,
у
в

Директрисы гиперболы обладают аналогичным свойством, т.е.
r
 .
d